河南省南陽市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

2023年春期高中一年級期終質(zhì)量評估數(shù)學(xué)試題注意事項：1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，考生做題時將答案答在答題卡的指定位置上，在本試卷上答題無效?2.答題前?考生務(wù)必先將自己的姓名?準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.3.選擇題答案使用2B鉛筆填涂，非選擇題答案使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整，筆跡清楚4.請按照題號在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效.5.保持卷面清潔?不折疊?不破損.第Ⅰ卷選擇題（共60分）一?選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B.1 C. D.5【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件，利用復(fù)數(shù)的運算法則和模長的定義即可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以.故選：C.2.已知的邊上有一點，且滿足，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用向量的線性運算可得的表示形式.【詳解】因為，故，整理得到：，故選：D.3.如圖，四邊形的斜二測畫法的直觀圖為等腰梯形，已知，則下列說法正確的是（）A. B.C.四邊形的周長為 D.四邊形的面積為【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直觀圖與平面圖的聯(lián)系還原計算各選項即可.【詳解】如圖過作，由等腰梯形可得：是等腰直角三角形，即,即B錯誤；還原平面圖為下圖，即，即A錯誤；過C作CF⊥AB，由勾股定理得，故四邊形ABCD的周長為：，即C錯誤；四邊形ABCD的面積為：，即D正確.故選：D4.已知，，，則實數(shù)的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由，根據(jù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)及正切函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【詳解】因為，所以，即，，即，，所以.故選：C5.矩形由如圖所示三個全等的正方形拼接而成，令，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)出正方形的邊長，在和中，分別求出和，從而可求出的值，再利用即可求出結(jié)果.【詳解】不妨設(shè)正方形的邊長為1，則在中，，所以，則在中，，所以，所以，又易知，，所以，故.故選：B.6.如圖是一個正方體的平面展開圖，則在該正方體中與底面的夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由展開圖得到正方體的直觀圖，則即為與底面的夾角，再由銳角三角函數(shù)計算可得.【詳解】由展開圖可得如下直觀圖，由正方體的性質(zhì)可知平面，則即為與底面的夾角，設(shè)正方體的棱長為，則，，所以，即與底面的夾角的余弦值為.故選：D7.在中，角所對的邊分別為且的面積為，若，則（）A. B.5 C. D.【答案】A【解析】【分析】利用余弦定理結(jié)合面積公式可求.【詳解】因為的面積為，故，故，又，故，故選：A.8.已知點G為三角形ABC的重心，且，當(dāng)取最大值時，（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題設(shè)可得，結(jié)合，及余弦定理可得，根據(jù)基本不等式即可求解.【詳解】由題意，所以，即，所以，所以，又，，則，所以，即，由，，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，又在上單調(diào)遞減，，所以當(dāng)取最大值時，.故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查向量的數(shù)量積運算及余弦定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是結(jié)合三角形重心的性質(zhì)和余弦定理可得，然后利用基本不等式求解，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.二?多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9.已知不重合的兩條直線和不重合的兩個平面，則下列命題正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，且，則D.若，且，則【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)面面平行的判定定理可得A的正誤，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可得B的正誤，根據(jù)面面垂直的判定定理可得D的正誤，根據(jù)線面的動態(tài)關(guān)系可判斷C的正誤.【詳解】對于A，當(dāng)，且相交時才有，故A錯誤.對于B，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可得B正確.對于C，若，且，可繞旋轉(zhuǎn)，此時或相交，故C錯誤.對于D，因為，故在中存在一條直線，使得，所以，所以，而，故，故D正確.故選：BD.10.已知復(fù)數(shù)滿足，，x，，，所對應(yīng)的向量分別為，，其中O為坐標(biāo)原點，則（）A.的共輒復(fù)數(shù)為 B.當(dāng)時，為純虛數(shù)C.若，則 D.若，則【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算化簡復(fù)數(shù)，進(jìn)而根據(jù)共軛復(fù)數(shù)以及虛部的定義可判斷A，B,根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義以及向量的垂直平行坐標(biāo)滿足的關(guān)系，即可判斷C，結(jié)合復(fù)數(shù)模長公式即可判斷D.【詳解】A選項：由于，所以的共軛復(fù)數(shù)為，故選項A錯誤，,B選項：當(dāng)當(dāng)時，，若，則為為實數(shù)，故選項B錯誤；C選項：易知，，又，則，即，故選項C正確;D選項：由于，則，，，故，選項D正確．故選：CD.11.《九章算術(shù)》中將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”；底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為“陽馬”，四個面均為直角三角形的四面體稱為“鱉臑”，如圖在塹堵中，AC⊥BC，且．下列說法正確的是（）A.四棱錐為“陽馬”B.四面體的頂點都在同一個球面上，且球的表面積為C.四棱錐體積最大值為D.四面體為“鱉臑”【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)“陽馬”和“鱉臑”的定義，可判斷A，D的正誤；當(dāng)且僅當(dāng)時，四棱錐體積有最大值，求值可判斷C的正誤；根據(jù)題意找到四面體的外接球的球心位置，求出外接球半徑，利用球的表面積公式即可得到判斷B.【詳解】底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”，∴在塹堵中，，側(cè)棱平面，對A選項，∴，又，且，則平面，∴四棱錐為“陽馬”，對；對C選項，在底面有，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，，故C錯誤；對D選項，由，即，又且，平面，∴平面，平面,∴，則為直角三角形，又由平面，平面，，則為直角三角形，由“塹堵”的定義可得為直角三角形，為直角三角形．∴四面體為“鱉臑”，故D正確；對B選項，由C知為直角三角形，側(cè)棱平面，則易知,為直角三角形，而為直角三角形，則外接球球心位于的中點，則外接球半徑，則球的表面積為，故B正確.故選：ABD．12.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.在區(qū)間上單調(diào)遞增B.若，則C.的最小正周期為D.圖象可以由函數(shù)的圖象先向左平移個單位，再向上平移個單位得到【答案】ACD【解析】【分析】A.由，利用這些函數(shù)的性質(zhì)判斷；B.由求解判斷；C.由判斷；D.由函數(shù)利用平移變換和伸縮變換判斷.【詳解】A.，因為，所以，又在上遞增，故正確；B.由，則，，，故錯誤；C.，，則，故正確；D.由函數(shù)的圖象先向左平移個單位得到，再向上平移個單位得到，故正確，故選：ACD第II卷非選擇題（共90分）三?填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13.已知角的頂點在坐標(biāo)原點，始邊在軸非負(fù)半軸，終邊經(jīng)過點，則__________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，利用條件求出，再利用齊次式即可求出結(jié)果.【詳解】因為角的終邊經(jīng)過點，所以，所以，故答案為：.14.已知向量，若，則實數(shù)__________.【答案】【解析】【分析】利用向量垂直與數(shù)量積間的關(guān)系，得到，再根據(jù)條件即可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，又，所以，解得.故答案為：.15.若四面體各棱的長是或，且該四面體不是正四面體，則其體積是_______（只需寫出一個可能的值）【答案】或或(寫出其中一個即可)【解析】【分析】考慮一條邊為1，兩條邊為1，三條邊為1三種情況，如圖所示，分別利用體積公式，和利用長方體體積減去四個三棱錐的體積，計算得到答案.【詳解】一條邊為1，其余邊為2時，如圖1，不妨設(shè)，中點為，連接，作于，易知，，，故平面，平面，故，又，，故平面，易知，，故，.當(dāng)有兩條邊為1時，只能時對邊為1，如圖2，不妨設(shè)設(shè)對應(yīng)長方體的長寬高分別為：，則，解得，故.當(dāng)有三條邊為1時，只能是底邊三條邊為1，如圖3所示，是中點，連接，故于，易知，，，故平面，平面，故，又，，故平面，易知，，，故，.其他情況不滿足故答案為：或或(寫出其中一個即可)16.如圖所示，有一塊三角形的空地，已知千米，AB＝4千米，則∠ACB＝________；現(xiàn)要在空地中修建一個三角形的綠化區(qū)域，其三個頂點為B，D，E，其中D，E為AC邊上的點，若使，則BD＋BE最小值為________平方千米．【答案】①.##②.【解析】【分析】在中，利用余弦定理求得再由正弦定理求解；設(shè)分別在，中，利用正弦定理分別求得BD，BE，再由；令轉(zhuǎn)化為求解.【詳解】在中，由余弦定理得，則根據(jù)正弦定理有所以，；設(shè)則在中，由正弦定理得在中，由正弦定理得則；令則則易知分母且是一個單調(diào)遞增的函數(shù)，則是一個單調(diào)遞減的函數(shù)，當(dāng)時，有最小值，．故答案為：；.四?解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）17.（1）在①，②為純虛數(shù)，③為非零實數(shù)這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并對其求解.已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位，若__________，求實數(shù)的值.注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答給分.（2）已知是關(guān)于的實系數(shù)一元二次方程的一個根，求的值.【答案】（1）答案見解析；（2）【解析】【分析】（1）由復(fù)數(shù)的類型以及運算，列出關(guān)系式，從而得出實數(shù)m的值；（2）將代入方程求得.【詳解】選條件①：因為，又，所以，，解得.選條件②：為純虛數(shù)，解得選條件③：為非零實數(shù)，，解得.（2）因為為實系數(shù)一元二次方程：的一個根，，即，所以，解得，.18.已知是同一平面內(nèi)的兩個向量，其中.（1）當(dāng)時，求與的夾角的余弦值；（2）若與共線，求實數(shù)的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由兩向量余弦的夾角公式，根據(jù)條件，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運算和模長公式即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)條件，先求與的坐標(biāo)，再利用共線的坐標(biāo)運算即可求出結(jié)果.【小問1詳解】當(dāng)時，，又，所以.【小問2詳解】因為，所以，，又與共線，所以，解得.19.如圖，在圓錐中，已知的直徑，點是的中點，點為的中點.（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由圓錐的性質(zhì)可得，由圓的性質(zhì)可得，由線面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理可證得結(jié)論；（2）利用（1）條件得到是二面角的平面角，再利用條件求出的三邊長即可求出結(jié)果.【小問1詳解】連接，因為,為的中點，所以.又底面，底面，所以，又，面，所以平面，又平面，所以平面平面．【小問2詳解】由（1）知平面，面，所以，故是二面角的平面角，在中，，又點是的中點，點為的中點，所以，故，所以，即二面角的余弦值為.20.已知銳角的內(nèi)角所對的邊分別為，向量，，且.（1）求角的值；（2）若，求周長的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量垂直的坐標(biāo)形式結(jié)合三角變換可得，故可求.（2）利用正弦定理結(jié)合三角變換公式可得，據(jù)此可求周長的取值范圍.【小問1詳解】因為，故，整理得到：，故，而，故，所以，而，故.【小問2詳解】,因為為銳角三角形，故，故，所以，故，所以，故周長的取值范圍為.21.如圖是一個以為底面的正三棱柱被一平面所截得的幾何體，截面為.已知.（1）在邊上是否存在一點，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；（2）若，求幾何體的體積.【答案】（1）存在，此時，理由見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點，連接，作交于點，連接，從而得到四邊形為平行四邊形，即可得到，從而得證；（2）將幾何體轉(zhuǎn)化為一個四棱錐和正三棱柱的體積進(jìn)行計算.【小問1詳解】存在，此時，如圖，取的中點，連接，作交于點，連接，則，因為是的中點，所以為梯形的中位線，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，即在邊上是存在一點，使得平面且.【小問2詳解】如圖在上取點使得，在上取點使得，連接、、，則三棱柱為正三棱柱，取的中點，連接，取的中點，連接，則，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又，，，所以，，所以.22.已知函數(shù).將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標(biāo)不變，再將所得函數(shù)圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)圖象.（1）求函數(shù)在區(qū)間[，]上的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若對于恒成立，求實數(shù)m的范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用輔助角公式可將化為，因[，]，則，后由在上的單調(diào)遞減區(qū)間可得答案；（2）由題可得，后利用在單調(diào)性可得.方法1：令，則等價于，，后分三種情況，利用分離參數(shù)結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可得答案；方法2：令，則等價于，，則，即可得