振動(dòng)力學(xué)與結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)知識(shí)資料第2章21

第二章單自由度系統(tǒng)的振動(dòng)第一節(jié)單自由度系統(tǒng)的無(wú)阻尼自由振動(dòng)一、自由振動(dòng)的解自由振動(dòng)---由初位移、初速度引起的,在振動(dòng)中無(wú)動(dòng)荷載作用的振動(dòng)。分析自由振動(dòng)的目的---確定體系的動(dòng)力特性：頻率、周期。lEI一.運(yùn)動(dòng)方程及其解mEIl令

二階線性齊次常微分方程其通解為由初始條件可得令其中無(wú)阻尼的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)受到初始擾動(dòng)后，其自由振動(dòng)是以為振動(dòng)頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并且永無(wú)休止。初始條件的說(shuō)明：初始條件是外界能量轉(zhuǎn)入的一種方式，有初始位移即轉(zhuǎn)入了彈性勢(shì)能，有初始速度即轉(zhuǎn)入了動(dòng)能二、單自由度系統(tǒng)的動(dòng)力特性周期：園頻率：工程頻率：與外界無(wú)關(guān),體系本身固有的特性與系統(tǒng)是否正在振動(dòng)著以及如何進(jìn)行振動(dòng)的方式都毫無(wú)關(guān)系A(chǔ)、v不是系統(tǒng)的固有屬性的數(shù)字特征，與系統(tǒng)過(guò)去所受到過(guò)的激勵(lì)和考察開(kāi)始時(shí)刻系統(tǒng)所處的狀態(tài)有關(guān)

例:圖示剛架其橫梁的剛度為無(wú)限大，柱子的抗彎剛度，梁的質(zhì)量m=5000kg，不計(jì)柱子的軸向變形和阻尼，試計(jì)算此剛架的自振頻率。思考題：剛架如何振動(dòng)？關(guān)鍵是求側(cè)移勁度。求圖示系統(tǒng)的固有頻率（a）彈簧串聯(lián)情況；（b）彈簧并聯(lián)情況。(a)串聯(lián)情況思考題：串聯(lián)后系統(tǒng)頻率與單個(gè)彈簧系統(tǒng)相比有何變化？(b)并聯(lián)情況思考題：并聯(lián)后系統(tǒng)頻率與單個(gè)彈簧系統(tǒng)相比有何變化？

例：簡(jiǎn)支梁AB，重量不計(jì)。在梁的中點(diǎn)位置放一重為W的物體M時(shí)，其靜撓度為yst?，F(xiàn)將物體M從高度h處自由釋放，落到梁的中點(diǎn)處，求該系統(tǒng)振動(dòng)的規(guī)律。當(dāng)物體落到梁上后，梁、物體系統(tǒng)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，只要定出簡(jiǎn)諧振動(dòng)的三個(gè)參數(shù)：圓頻率、振幅和初相角即可。2.算例例一.求圖示體系的自振頻率和周期.mEIlEIl=1=1ll/2l解:例二.求圖示體系的自振頻率和周期.=1解:mEIllm/2EIEIll例三.質(zhì)點(diǎn)重W,求體系的頻率和周期.解:EIkl1k例三：提升機(jī)系統(tǒng)重物重量鋼絲繩的彈簧剛度重物以的速度均勻下降求：繩的上端突然被卡住時(shí)，（1）重物的振動(dòng)頻率，（2）鋼絲繩中的最大張力Wv解：振動(dòng)頻率重物勻速下降時(shí)處于靜平衡位置，若將坐標(biāo)原點(diǎn)取在繩被卡住瞬時(shí)重物所在位置則t=0時(shí)，有：振動(dòng)解：W靜平衡位置kxWv振動(dòng)解：繩中的最大張力等于靜張力與因振動(dòng)引起的動(dòng)張力之和：動(dòng)張力幾乎是靜張力的一半由于為了減少振動(dòng)引起的動(dòng)張力，應(yīng)當(dāng)降低升降系統(tǒng)的剛度Wv例：圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I在圓盤(pán)的靜平衡位置上任意選一根半徑作為角位移的起點(diǎn)位置扭振固有頻率為軸的扭轉(zhuǎn)剛度，定義為使得圓盤(pán)產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角所需的力矩由牛頓第二定律：由上例可看出，除了選擇的坐標(biāo)不同之外，角振動(dòng)與直線振動(dòng)的數(shù)學(xué)描述完全相同。如果在彈簧質(zhì)量系統(tǒng)中將m、k稱為廣義質(zhì)量及廣義剛度，則彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的有關(guān)結(jié)論完全適用于角振動(dòng)。以后不加特別聲明時(shí)，彈簧質(zhì)量系統(tǒng)是廣義的。0mx靜平衡位置彈簧原長(zhǎng)位置從前面兩種形式的振動(dòng)看到，單自由度無(wú)阻尼系統(tǒng)總包含著慣性元件和彈性元件兩種基本元件，慣性元件是感受加速度的元件，它表現(xiàn)為系統(tǒng)的質(zhì)量或轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，而彈性元件是產(chǎn)生使系統(tǒng)恢復(fù)原來(lái)狀態(tài)的恢復(fù)力的元件，它表現(xiàn)為具有剛度或扭轉(zhuǎn)剛度的彈性體。同一個(gè)系統(tǒng)中，若慣性增加，則使固有頻率降低，而若剛度增加，則固有頻率增大0mx靜平衡位置彈簧原長(zhǎng)位置例：復(fù)擺剛體質(zhì)量m對(duì)懸點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量重心C

求：復(fù)擺在平衡位置附近做微振動(dòng)時(shí)的微分方程和固有頻率a0C解：由牛頓定律：因?yàn)槲⒄駝?dòng)：則有：固有頻率：實(shí)驗(yàn)確定復(fù)雜形狀物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的一個(gè)方法若已測(cè)出物體的固有頻率，則可求出，再由移軸定理，可得物質(zhì)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：a0C例：彈簧－質(zhì)量系統(tǒng)沿光滑斜面做自由振動(dòng)斜面傾角300質(zhì)量m=1kg彈簧剛度k=49N/cm開(kāi)始時(shí)彈簧無(wú)伸長(zhǎng)，且速度為零求：系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程m300重力加速度取9.8m/s2解：以靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系振動(dòng)固有頻率：振動(dòng)初始條件：考慮方向初始速度：運(yùn)動(dòng)方程：m300能量法（補(bǔ)充）對(duì)于不計(jì)阻尼即認(rèn)為沒(méi)有能量損失的單自由度系統(tǒng)，也可以利用能量守恒原理建立自由振動(dòng)的微分方程，或直接求出系統(tǒng)的固有頻率無(wú)阻尼系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，其機(jī)械能守恒，即動(dòng)能T

和勢(shì)能V

之和保持不變，即：或：彈簧質(zhì)量系統(tǒng)動(dòng)能：勢(shì)能：（重力勢(shì)能）（彈性勢(shì)能）

不可能恒為00mx靜平衡位置彈簧原長(zhǎng)位置零勢(shì)能點(diǎn)如果將坐標(biāo)原點(diǎn)不是取在系統(tǒng)的靜平衡位置，而是取在彈簧為自由長(zhǎng)時(shí)的位置動(dòng)能：勢(shì)能：設(shè)新坐標(biāo)0mx零勢(shì)能點(diǎn)y靜平衡位置彈簧原長(zhǎng)如果重力的影響僅是改變了慣性元件的靜平衡位置，那么將坐標(biāo)原點(diǎn)取在靜平衡位置上，方程中就不會(huì)出現(xiàn)重力項(xiàng)考慮兩個(gè)特殊位置上系統(tǒng)的能量靜平衡位置上，系統(tǒng)勢(shì)能為零，動(dòng)能達(dá)到最大最大位移位置，系統(tǒng)動(dòng)能為零，勢(shì)能達(dá)到最大對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)：x

是廣義的0mx靜平衡位置靜平衡位置最大位移位置xmax0mx例：如圖所示是一個(gè)倒置的擺擺球質(zhì)量m剛桿質(zhì)量忽略每個(gè)彈簧的剛度求:(1)倒擺作微幅振動(dòng)時(shí)的固有頻率(2)擺球時(shí)，測(cè)得頻率為，時(shí)，測(cè)得頻率為，問(wèn)擺球質(zhì)量為多少千克時(shí)恰使系統(tǒng)處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)？lmak/2k/2（1）解法1：廣義坐標(biāo)動(dòng)能勢(shì)能零勢(shì)能位置1零勢(shì)能位置1lmak/2k/2解法2：零勢(shì)能位置2動(dòng)能勢(shì)能零勢(shì)能位置2lmak/2k/2（2）平衡臨界位置的確定

利用：，測(cè)得頻率f為，測(cè)得頻率f為，瑞利法－利用能量法求解固有頻率時(shí)，對(duì)于系統(tǒng)的動(dòng)能的計(jì)算只考慮了慣性元件的動(dòng)能，而忽略不計(jì)彈性元件的質(zhì)量所具有的動(dòng)能，因此算出的固有頻率是實(shí)際值的上限mkx0－這種簡(jiǎn)化方法在許多場(chǎng)合中都能滿足要求，但有些工程問(wèn)題中，彈性元件本身的質(zhì)量因占系統(tǒng)總質(zhì)量相當(dāng)大的比例而不能忽略，否則算出的固有頻率明顯偏高例如：彈簧質(zhì)量系統(tǒng)設(shè)彈簧的動(dòng)能:系統(tǒng)最大動(dòng)能：系統(tǒng)最大勢(shì)能：若忽略，則增大彈簧等效質(zhì)量mtmkx0因此忽略彈簧動(dòng)能所算出的固有頻率是實(shí)際值的上限等效質(zhì)量和等效剛度方法1：選定廣義位移坐標(biāo)后，將系統(tǒng)得動(dòng)能、勢(shì)能寫(xiě)成如下形式：當(dāng)、分別取最大值時(shí)：則可得出：Ke：簡(jiǎn)化系統(tǒng)的等效剛度Me：簡(jiǎn)化系統(tǒng)的等效質(zhì)量等效的含義是指簡(jiǎn)化前后的系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能分別相等動(dòng)能勢(shì)能零勢(shì)能位置1lmak/2k/2第二節(jié)單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng)一、有阻尼自由振動(dòng)的解特征方程的根：1、臨界阻尼情況：不產(chǎn)生振動(dòng)的最小阻尼2、超阻尼情況

體系仍不作振動(dòng)，只發(fā)生按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期蠕動(dòng)，上式也不含簡(jiǎn)諧振動(dòng)因子，由于大阻尼作用，受干擾后，偏離平衡位置體系不會(huì)產(chǎn)生振動(dòng)，初始能量全部用于克服阻尼，不足以引起振動(dòng)。3、負(fù)阻尼情況

<0或c<0

阻尼本來(lái)是耗散能量的，負(fù)阻尼表示在系統(tǒng)振動(dòng)過(guò)程中不僅不消耗能量，而且不斷加入能量。這種情況下系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)是不穩(wěn)定的，其振幅將會(huì)愈來(lái)愈大，直至系統(tǒng)破壞。4、低阻尼或小阻尼情況

<1或c<2m考慮阻尼使得結(jié)構(gòu)的自振頻率略有減小，亦即使系統(tǒng)的自振周期稍有增大。阻尼影響使振幅按指數(shù)規(guī)律衰減。

結(jié)構(gòu)實(shí)際量測(cè)表明，對(duì)于一般鋼筋混凝土桿系結(jié)構(gòu)的阻尼比在0.05左右，拱壩在0.03-0.05，重力壩包括大頭壩在0.05-0.10,土壩、堆石壩在0.10-0.20之間。強(qiáng)震時(shí)，還會(huì)增加一些，但其值也是不大的。即使取0.02代入求得的頻率與不考慮阻尼的頻率也很接近。因此實(shí)際工程結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算時(shí)不計(jì)阻尼的影響。

不同阻尼比對(duì)自由振動(dòng)幅值的影響ty(t)臨界也是按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期運(yùn)動(dòng)，但比過(guò)阻尼衰減快些三種阻尼情況比較：欠阻尼過(guò)阻尼臨界阻尼欠阻尼是一種振幅逐漸衰減的振動(dòng)過(guò)阻尼是一種按指數(shù)規(guī)律衰減的非周期蠕動(dòng)，沒(méi)有振動(dòng)發(fā)生二、阻尼的量測(cè)小阻尼解答經(jīng)過(guò)三角轉(zhuǎn)換可寫(xiě)成可以根據(jù)自由振動(dòng)衰減曲線確定阻尼比。考慮兩相鄰幅值，在ti時(shí)刻，yi=Ae-

ti;在ti+Td時(shí)刻，yi+1=Ae-(ti+Td),定義自然對(duì)數(shù)遞減率y自由振動(dòng)衰減曲線

例：有關(guān)參數(shù)同前剛架，若用千斤頂使M產(chǎn)生側(cè)移25mm，然后突然放開(kāi)，剛架產(chǎn)生自由振動(dòng)，振動(dòng)5周后測(cè)得的側(cè)移為7.12mm。試求：（1）考慮阻尼時(shí)的自振頻率；（2）阻尼比和阻尼系數(shù)；（3）振動(dòng)10周后的振幅。解：由y0=25mm,y0+5TD=7.12mm,有：例:對(duì)圖示體系作自由振動(dòng)試驗(yàn).用鋼絲繩將上端拉離平衡位置2cm,用力16.4kN,降繩突然切斷,開(kāi)始作自由振動(dòng).經(jīng)4周期,用時(shí)2秒,振幅降為1cm.求1.阻尼比2.剛度系數(shù)3.無(wú)阻尼周期4.重量5.阻尼系數(shù)6.若質(zhì)量增加800kg體系的周期和阻尼比為多少2cm解:1.阻尼比2.剛度系數(shù)3.無(wú)阻尼周期4.重量5.阻尼系數(shù)6.若質(zhì)量增加800kg,體系的周期和阻尼比為多少三、相軌跡與奇點(diǎn)1、相平面的相軌跡狀態(tài)變量相平面相軌跡相軌跡的幾何特征2、相平面的奇點(diǎn)奇點(diǎn)：相平面內(nèi)平衡點(diǎn)：李雅普洛夫穩(wěn)定性李雅普洛夫穩(wěn)定性:設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為式中A為n×n方陣。設(shè)系統(tǒng)原來(lái)的平衡狀態(tài)為xe=0,在擾動(dòng)產(chǎn)生了初始狀態(tài)x0以后，系統(tǒng)狀態(tài)x(t)將從x0開(kāi)始按下列規(guī)律轉(zhuǎn)移：如果對(duì)于任意初始狀態(tài)x0,由它引起的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)x(t)滿足那么，線性定常系統(tǒng)就是穩(wěn)定的（李雅普諾夫穩(wěn)定性定義下的漸近穩(wěn)定）(a)(b)(c)習(xí)題：2-1(a)、（b）、(d)、(e)劉延柱編《振動(dòng)力學(xué)》P32頁(yè)，E1.1、E1.3、E1.4第三節(jié)單自由度系統(tǒng)簡(jiǎn)諧荷載作用下的受迫振動(dòng)一、無(wú)阻尼受迫振動(dòng)1、無(wú)阻尼受迫振動(dòng)方程解運(yùn)動(dòng)方程的解上式中，前三項(xiàng)都是頻率為的自由振動(dòng)。但第一、二項(xiàng)是初始條件決定的自由振動(dòng)，第三項(xiàng)與初始條件無(wú)關(guān)，是由伴隨干擾力的作用而產(chǎn)生的，稱為伴生自由振動(dòng)。第四項(xiàng)則是按照干擾力的頻率而進(jìn)行的振動(dòng)，稱為純受迫振動(dòng)。2、動(dòng)力系數(shù)

動(dòng)力系數(shù)變化曲線例:圖示無(wú)重簡(jiǎn)支梁，在跨中W＝20kN的電機(jī)，電機(jī)偏心所產(chǎn)生的離心力F(t)，若機(jī)器每分鐘的轉(zhuǎn)數(shù)n=500rad/min，梁的EI=1.008×10000kN.m2。在不計(jì)阻尼的情況下，試求梁的最大位移和彎矩。解：（1）梁的自振頻率（2）系統(tǒng)的動(dòng)力系數(shù)想想看還有沒(méi)有其他方法求自振頻率？（3）梁跨中截面的最大位移和彎矩思考題：第二個(gè)式子怎么來(lái)的？思考題：如何求某一截面的Qmax?例:圖示跨中帶有一質(zhì)體的無(wú)重簡(jiǎn)支梁，受動(dòng)力荷載作用，若外干擾力頻率取不同的值，試求質(zhì)體的最大動(dòng)力位移。解：按疊加原理

（1）慣性力前為何加負(fù)號(hào)？（2）運(yùn)動(dòng)方程式與直接作用在質(zhì)體時(shí)有什么差別？（3）如果梁上還有一個(gè)動(dòng)荷載，運(yùn)動(dòng)方程式形式有何變化？例1求圖示體系振幅和動(dòng)彎矩幅值圖，已知?jiǎng)游灰?、?dòng)內(nèi)力幅值計(jì)算計(jì)算步驟:1.計(jì)算荷載幅值作為靜荷載所引起的位移、內(nèi)力；2.計(jì)算動(dòng)力系數(shù)；3.將得到的位移、內(nèi)力乘以動(dòng)力系數(shù)即得動(dòng)位移幅值、動(dòng)內(nèi)力幅值。mEIEIlPl/4解.Pl/3動(dòng)彎矩幅值圖例2求圖示梁中最大彎矩和跨中點(diǎn)最大位移已知:解.Ql/2l/2重力引起的彎矩重力引起的位移l/4振幅動(dòng)彎矩幅值跨中最大彎矩跨中最大位移[動(dòng)荷載不作用于質(zhì)點(diǎn)時(shí)的計(jì)算]m=1=1令P仍是位移動(dòng)力系數(shù)是內(nèi)力動(dòng)力系數(shù)嗎?運(yùn)動(dòng)方程穩(wěn)態(tài)解振幅[列幅值方程求內(nèi)力幅值]解:例:求圖示體系振幅、動(dòng)彎矩幅值圖.已知同頻同步變化mEIl/2l/2FF=1重要！??！F動(dòng)彎矩幅值圖解:例:求圖示體系振幅、動(dòng)彎矩幅值圖.已知mEIl/2l/2FF=1解:例:求圖示體系右端的質(zhì)點(diǎn)振幅F動(dòng)彎矩幅值圖mlmkllAFo二、有阻尼受迫振動(dòng)1、解的形式式中，第一、二項(xiàng)由初始條件決定的自由振動(dòng)，第三、四是荷載作用而伴生的自由振動(dòng)，第五項(xiàng)為純受迫振動(dòng)。前四項(xiàng)自由振動(dòng)由于阻尼的存在，很快衰減以致消失，最終只存下穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)。

2、幅頻曲線簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下穩(wěn)態(tài)響應(yīng)特性：以為橫坐標(biāo)畫(huà)出曲線激振頻率相對(duì)于系統(tǒng)固有頻率很低結(jié)論：響應(yīng)的振幅A與靜位移B相當(dāng)0123012345（1）當(dāng)<<1（）幅頻曲線激振頻率相對(duì)于系統(tǒng)固有頻率很高結(jié)論：響應(yīng)的振幅很小0123012345（2）當(dāng)>>1（）幅頻曲線結(jié)論：系統(tǒng)即使按無(wú)阻尼情況考慮也是可以的對(duì)應(yīng)于不同值,曲線較為密集，說(shuō)明阻尼的影響不顯著0123012345（3）在以上兩個(gè)領(lǐng)域

>>1，<<1幅頻曲線結(jié)論：共振時(shí)振幅無(wú)窮大（4）當(dāng)對(duì)應(yīng)于較小值，迅速增大當(dāng)0123012345但共振對(duì)于來(lái)自阻尼的影響很敏感，在=1附近的區(qū)域內(nèi)，增加阻尼使振幅明顯下降.幅頻曲線0123012345（5）對(duì)于有阻尼系統(tǒng)，并不出現(xiàn)在=1處，而且稍偏左.幅頻曲線（6）當(dāng)振幅無(wú)極值0123012345幅頻曲線記：品質(zhì)因子在共振峰的兩側(cè)取與對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)，帶寬Q與有關(guān)系：阻尼越弱，Q越大，帶寬越窄，共振峰越陡峭P33-34有證明3、相頻曲線相頻特性曲線相位差位移與激振力在相位上幾乎相同位移與激振力反相（3）當(dāng)共振時(shí)的相位差為，與阻尼無(wú)關(guān)0123090180以為橫坐標(biāo)畫(huà)出曲線（1）當(dāng)<<1（）（2）當(dāng)>>1（）4、系統(tǒng)上各個(gè)力的平衡由已知的荷載,以及求得的位移有，當(dāng)荷載頻率遠(yuǎn)小于系統(tǒng)自振頻率時(shí)，β→0,慣性力Fi(t)和阻尼力Fd(t)都很小，荷載主要由彈簧力平衡；想想：此時(shí)相當(dāng)于什么情況?當(dāng)荷載頻率遠(yuǎn)大于系統(tǒng)自振頻率時(shí)，β→∞,荷載主要由慣性力平衡；當(dāng)荷載頻率接近系統(tǒng)自振頻率時(shí)，β→1,此時(shí)阻尼力此時(shí)荷載主要由阻尼力平衡，這種狀態(tài)稱為共振。共振區(qū)內(nèi)（0.75-1.25)阻尼力不可以忽略。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)中四個(gè)力的平衡5、半功率法確定阻尼比簡(jiǎn)諧荷載受迫振動(dòng)的幅頻曲線可以用來(lái)確定系統(tǒng)的阻尼比ξ。取曲線上a、b兩點(diǎn)，令縱坐標(biāo)代入幅頻曲線公式，經(jīng)處理后有例.圖示為塊式基礎(chǔ).機(jī)器與基礎(chǔ)的質(zhì)量為;地基豎向剛度為;豎向振動(dòng)時(shí)的阻尼比為機(jī)器轉(zhuǎn)速為N=800r/min,其偏心質(zhì)量引起的離心力為F=30kN.求豎向振動(dòng)時(shí)的振幅。解：例：汽車的拖車在波形道路上行駛已知拖車的質(zhì)量滿載時(shí)為m1=1000kg空載時(shí)為m2=250kg懸掛彈簧的剛度為k=350kN/m阻尼比在滿載時(shí)為車速為v=100km/h路面呈正弦波形，可表示為求：拖車在滿載和空載時(shí)的振幅比l=5ml=5mmk/2cx0k/2xfalxfz解：汽車行駛的路程可表示為：路面的激勵(lì)頻率：得：c、k

為常數(shù)，因此與成反比因此得到空載時(shí)的阻尼比為：滿載和空載時(shí)的頻率比：因?yàn)橛校簂=5mmk/2cx0k/2xfalxfz滿載:

m1=1000kg空載:m2=250kg車速:v=100km/hk=350kN/m滿載時(shí)頻率比記：滿載時(shí)振幅

B1，空載時(shí)振幅B2有：滿載時(shí)阻尼比空載時(shí)阻尼比空載時(shí)頻率比因此滿載和空載時(shí)的振幅比：l=5ml=5mmk/2cx0k/2xfalxfz

簡(jiǎn)諧慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng)小結(jié)背景：地基振動(dòng)，轉(zhuǎn)子偏心引起的受迫振動(dòng)特點(diǎn)：激振慣性力的幅值與頻率的平方成正比例坐標(biāo)：動(dòng)力學(xué)方程：基座位移規(guī)律：x1

相對(duì)基座位移mm受力分析xfkcmx0mkxxfcD：基座位移振幅依據(jù)：令：有：其中：xfkcmx0補(bǔ)：振動(dòng)微分方程解顯含時(shí)間t非齊次微分方程非齊次微分方程通解齊次微分方程通解非齊次微分方程特解＝＋阻尼自由振動(dòng)逐漸衰減暫態(tài)響應(yīng)持續(xù)等幅振動(dòng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)振動(dòng)微分方程：設(shè)：代入，有：復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)振動(dòng)微分方程：引入：振幅放大因子相位差則：

：穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的復(fù)振幅靜變形穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的實(shí)振幅0.250.50.751.02.010100190180幅頻曲線相頻曲線若以絕對(duì)位移x為坐標(biāo)其中：則有：xfkcmx0mkxxfc代入：無(wú)阻尼情況：xfkcmx0mkxxfc幅頻曲線010100.10.250.350.51.0可看出：當(dāng)時(shí)，振幅恒為支撐運(yùn)動(dòng)振幅D當(dāng)時(shí)，振幅恒小于D增加阻尼反而使振幅增大xfkcmx0mkxxfc

機(jī)械阻抗與導(dǎo)納**工程中常用機(jī)械阻抗來(lái)分析結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性機(jī)械阻抗定義為簡(jiǎn)諧激振時(shí)復(fù)數(shù)形式的輸入與輸出之比動(dòng)力學(xué)方程：：輸入：輸出代入，得：復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)根據(jù)定義，位移阻抗：位移阻抗與復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)互為倒數(shù)，也稱為導(dǎo)納

輸出也可以定義為速度或加速度，相應(yīng)的機(jī)械阻抗稱為速度阻抗和加速度阻抗

速度阻抗加速度阻抗機(jī)械阻抗的倒數(shù)稱為機(jī)械導(dǎo)納，相應(yīng)、、分別有位移導(dǎo)納、速度導(dǎo)納和加速度導(dǎo)納位移阻抗速度阻抗加速度阻抗機(jī)械阻抗和機(jī)械導(dǎo)納都僅僅取決于系統(tǒng)本身的動(dòng)力特性（m，k，c），它們都是復(fù)數(shù)現(xiàn)已有多種專門(mén)測(cè)試機(jī)械阻抗的分析儀器，根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械阻抗可以確定和分析系統(tǒng)的固有頻率、相對(duì)阻尼系數(shù)等參數(shù)及其它動(dòng)力特征復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)又可寫(xiě)為：模及幅角：同時(shí)反映了系統(tǒng)響應(yīng)的幅頻特性和相頻特性記實(shí)部和虛部為：實(shí)頻特性曲線和虛頻特性曲線發(fā)生共振時(shí)近似取最大值10101粘性阻尼系數(shù)的Nyquict圖是一個(gè)近似的園，并且在共振點(diǎn)附近，曲線弧長(zhǎng)隨的變化率是最大的Nyquict圖在結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析上有很多用處-6-4-20246-12-10-8-6-4-20Re(H)Im(H)還可以用頻率比

或相對(duì)阻尼系數(shù)作參變量，把畫(huà)在復(fù)平面上，這樣得到的曲線稱為乃奎斯特圖（Nyquictplot）質(zhì)量為m的物體掛在彈簧系數(shù)為K的彈簧一端，另一端B沿鉛直按作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，考慮粘滯阻尼力作用，求物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律。解：取ξ＝0時(shí)物體的平衡位置