知識(shí)資料數(shù)學(xué)積分學(xué)(七)(新版)

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。PAGE第頁/共頁72．平面薄片的質(zhì)量、重心及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)平面薄片占有xOy面上的區(qū)域D，薄片在D上任一點(diǎn)P（x,y）處的面密度為μ（x,y)，則薄片的質(zhì)量為薄片重心的坐標(biāo)為薄片關(guān)于x軸、y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為（三）例題【例1-3-25】計(jì)算由兩條拋物線：y2=x、y＝x2所圍成的圖形的面積?！窘狻?jī)蓷l拋物線所圍成的圖形如圖1-3-13所示，x的變化區(qū)間為[0,1]，所求面積為計(jì)算心形線ρ＝a（1+cosθ）（a>0）所圍成的圖形的面積?！窘狻啃男尉€所圍成的圖形如圖1-3-14所示，θ的變化區(qū)間為[-π,π]。所求面積為【例1-3-27】計(jì)算由橢圓=1所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)橢球體的體積為【解】這個(gè)旋轉(zhuǎn)體也可看作是由半個(gè)橢圓及x軸圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成。x的變化區(qū)間為「-a,a］。所求體積為故應(yīng)選（C）?！纠?-3-29】計(jì)算擺線x=a（-sin)，y＝a（1－cos）的一拱（02）（圖l-3-15）的長(zhǎng)度?！窘狻康淖兓瘏^(qū)間為[0,2],x'（）=a（1－cos)，y’（）=asin，所求弧長(zhǎng)為【例1-3–30】求半徑為a的勻稱半圓薄片（面密度為常量μ）對(duì)于其直徑邊的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量?！窘狻咳∽鴺?biāo)系如圖1-3-16所示，薄片所占閉區(qū)域所求轉(zhuǎn)動(dòng)慣量即半圓薄片對(duì)于x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量其中M=為半圓薄片的質(zhì)量。第四節(jié)無窮級(jí)數(shù)一、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（一）常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)1．常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念數(shù)列un（n=1,2,…）的各項(xiàng)依次相加的表達(dá)式稱為無窮級(jí)數(shù)，第n項(xiàng)un稱為級(jí)數(shù)的普通項(xiàng)或通項(xiàng)，前n項(xiàng)之和Sn=稱為級(jí)數(shù)的部分和。若=S存在．則稱級(jí)數(shù)收斂，并稱級(jí)數(shù)的和為S;若不存在，則稱級(jí)數(shù)發(fā)散。當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)，rn=稱為級(jí)數(shù)的余項(xiàng)，有=0。2．常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)（1）若=S,則=k=ks（k為常數(shù))；（2）若=S，則vn=T,則（unvn)=vn=ST;（3）收斂級(jí)數(shù)加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)仍收斂于本來的和；（4）在級(jí)數(shù)中改變有限項(xiàng)，不影響其收斂性；（5）若級(jí)數(shù)收斂，則＝0；反之，不一定成立。3．典型級(jí)數(shù)（l）幾何級(jí)數(shù)aqn-1，當(dāng)q<1時(shí)，收斂于，當(dāng)q1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；（2）p-級(jí)數(shù)（p>0)，當(dāng)p>1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)0＜p1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散.（二）常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法1．正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法若級(jí)數(shù)，其中un0（n=1,2，…），則稱級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)。（l）收斂準(zhǔn)則：正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充足須要條件是其部分和有界。（2）比較審斂法：設(shè)、vn為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，對(duì)某個(gè)N>0，當(dāng)n＞N時(shí)，0unCvn（C>0為常數(shù)）。若vn收斂，則收斂；若發(fā)散，則vn發(fā)散。比較審斂法的極限形式：若＝l（vn0)，則當(dāng)0＜l＜十時(shí)，和vn同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散。（3）比值審斂法：設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若=l，則當(dāng)l<l時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)l>1或l=+時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)l=1時(shí)，級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。（4)根值審斂法：設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若=l,則當(dāng)l<l時(shí)，級(jí)數(shù)收斂;當(dāng)l>1或l=+時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)l=1時(shí)，級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。2．隨意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法若級(jí)數(shù)，其中un（n=1,2，…）為隨意實(shí)數(shù)，則稱級(jí)數(shù)為隨意項(xiàng)級(jí)數(shù)。若級(jí)數(shù)的各項(xiàng)正負(fù)交替浮上，即可寫作（-1）nun（un>0）或（-l）n+lun（un＞0），則稱級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)。若級(jí)數(shù)為隨意項(xiàng)級(jí)數(shù)，而級(jí)數(shù)un收斂，則稱級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；若收斂，而un發(fā)散，則稱級(jí)數(shù)條件收斂。（l）萊布尼茲判別法：若交錯(cuò)級(jí)數(shù)（-l）nun（un＞0）滿意：1）unun+1（n＝1,2…）;2）un=0，則級(jí)數(shù)（-1）nun收斂，且有余項(xiàng)rnun+1（n＝1,2,…）（2）若隨意項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則