2022年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷

2022年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷

試題數(shù)：22,總分：150

1.（單選題，4分）設(shè)集合A={1,2},B={2,4,6},則AUB=（）

A.{2}

B.{1,2}

C.[2,4,6）

D.{1,2,4,6}

2.（單選題，4分）已知a,bGR,a+3i=（b+i）i（i為虛數(shù)單位），則（）

A.a=l,b=-3

B.a=-1,b=3

C.a=-1,b=-3

D.a=l,b=3

x—220,

3.（單選題，4分）若實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件?2x+y-7W0,則z=3x+4y的最大值是

jc—y—1<0,

（）

A.20

B.18

C.13

D.6

4.（單選題，4分）設(shè)xCR,則"sinx=l"是"cosx=0”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

5.（單選題，4分）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的體積（單位:

cm3）是（）

1

2

<1+2->i1**1*2,1?

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

A.22H

B.8n

Cc.22—71

3

n16

D.—1T

3

6.（單選題，4分）為了得到函數(shù)y=2sin3x的圖象，只要把函數(shù)y=2sin（3x+|）圖象上所

有的點(diǎn)（）

A.向左平移與個(gè)單位長(zhǎng)度

B.向右平移］個(gè)單位長(zhǎng)度

C.向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度

D.向右平移V個(gè)單位長(zhǎng)度

7.（單選題，4分）已知2a=5,loga3=b,則4a-3b=（）

A.25

B.5

C.-

9

D.-

3

8.（單選題，4分）如圖，已知正三棱柱ABC-AiBiCi，AC=AAi，E,F分別是棱BC,AiCi上

的點(diǎn).記EF與AAi所成的角為a,EF與平面ABC所成的角為0,二面角F-BC-A的平面角為

Y.則（）

AiQ

\Pi

B

A.a<p<y

B.p<a<y

C.p<Y<a

D.a<y<P

9（單選題,4分）已知a,bER,若對(duì)任意x￡R,a|x-b|+|x-4|-|2x-5|>0,則（）

A.a<l,b>3

B.a<l,b<3

C.a>l,b>3

D.a>l,b<3

10.（單選題，4分）已知數(shù)列｛an｝滿足ai=l,an+i=an-|an2（nCN*）,則（）

A.2<lOOaioo<|

B.|<100a]00<3

7

C.3VlOOaiooV-

D.j7<lOOawo<4

11.（填空題，4分）我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，他把

這種方法稱(chēng)為"三斜求積"，它填補(bǔ)了我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個(gè)空白.如果把這個(gè)方法寫(xiě)成公式，就

是5=2a2_（立分始丫],其中卜c是三角形的三邊，S是三角形的面積.設(shè)某三

角形的三邊a=&,b=V3,c=2,則該三角形的面積S=_.

12.（填空題，6分）已知多項(xiàng)式（x+2）（x-1）4=ao+aix+a2X24-a3X3+a4X44-a5X5,則az=—

a1+a2+a3+a4+a5=__.

13.（填空題，6分）若3sina-sin0=,a+0=],則sina=—,cos2p=—.

2

-x4-2,%<1,1

14.（填空題，6分）已知函數(shù)f（x）=1則f（f（；））=_;若當(dāng)xG[a,

x+i-l,x>l,2

x

b]時(shí)，l<f（x）<3,則b-a的最大值是

15.(填空題，6分)現(xiàn)有7張卡片，分別寫(xiě)上數(shù)字1,2,2,3,4,5,6.從這7張卡片中

隨機(jī)抽取3張，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為3則P解=2)=_,E(0

16.(填空題，4分)已知雙曲線(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)為F,過(guò)F且斜率為二的

直線交雙曲線于點(diǎn)A(xi，yi),交雙曲線的漸近線于點(diǎn)B(x2,y2)且xi<0<X2.若

|FB|=3|FA|,則雙曲線的離心率是

17.(填空題，4分)設(shè)點(diǎn)P在單位圓的內(nèi)接正八邊形AIA2“.A8的邊A1A2上，則西2+

西2+...+兩2的取值范圍是—.

18.(問(wèn)答題，14分)在^ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知4a=遙c,

?3

cosC=-.

(I)求sinA的值；

(II)若b=ll,求ZkABC的面積.

19.(問(wèn)答題，15分)如圖，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB||DC,DC||EF,AB=5,

DC=3,EF=1,ZBAD=ZCDE=6O°,二面角F-DC-B的平面角為60。.設(shè)M,N分別為AE,BC

的中點(diǎn).

(I)證明：FN1AD；

(ID求直線BM與平面ADE所成角的正弦值.

20.(問(wèn)答題,15分)已知等差數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)ai=-l,公差d>l.記⑸｝的前n項(xiàng)和為S”

(nGN,).

(I)若S4-2a2a3+6=0,求Sn；

(II)若對(duì)于每個(gè)neN*,存在實(shí)數(shù)Cn，使an+Cn，an+l+4cn,an+2+15Cn成等比數(shù)列，求d的

取值范圍.

2

21.(問(wèn)答題，15分)如圖，已知橢圓r含+y2=l.設(shè)A,B是橢圓上異于P(0,1)的兩點(diǎn),

且點(diǎn)Q(0,9在線段AB上，直線PA,PB分別交直線y=《x+3于C,D兩點(diǎn).

(I)求點(diǎn)P到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值；

(II)求|CD|的最小值.

%

22.(問(wèn)答題，15分)設(shè)函數(shù)f(x)=—+lnx(x>0).

2x

(I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)已知a,beR,曲線y=f(x)上不同的三點(diǎn)(x”f(xi)),(X2，f(x?)),(X3,f

(X3))處的切線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(a,b).證明：

(i)若a>e,則0<b-f(a)<-(--1)；

2e

(ii)若OVaVe,Xi〈X2<X3,則三+V三+三<2-.

zz

e6ex1x3a6e

(注：e=2.71828.??是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

2022年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

試題數(shù)：22,總分：15()

1.(單選題，4分)設(shè)集合A={1,2},B={2,4,6},則AUB=()

A.{2}

B.{1>2}

C.[2,4,6)

D.[1,2,4,6}

【正確答案】：D

【解析】：利用并集運(yùn)算求解即可.

【解答】：解：潺={1,2},B={2,4,6),

：.AUB={1,2,4,6},

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了并集及其運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.(單選題，4分)已知a,bGR,a+3i=(b+i)i(i為虛數(shù)單位)，則()

A.a=l,b=-3

B.a=?l,b=3

C.a=-1,b=-3

D.a=l,b=3

【正確答案】：B

【解析】：利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)，再利用復(fù)數(shù)的相等求解.

【解答】：解：?；a+3i=(b+i)i=-l+bi,a,bGR,

b=3,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的相等，是基礎(chǔ)題.

(x—2之0,

3.(單選題，4分)若實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件12x+y-7S0,則z=3x+4y的最大值是

Vx—y-2<0,

)

A.20

B.18

C.13

D.6

【正確答案】：B

【解析】：先作出不等式組表示的平面區(qū)域，然后結(jié)合圖象求解即可.

x-2>0,

【解答】：解：實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件■2x+y—7W0,

-y—240,

則不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的陰影部分，

由已知可得A(2,3),

由圖可知：當(dāng)直線3x+4y-z=0過(guò)點(diǎn)A時(shí)，z取最大值，

貝IJz=3x+4y的最大值是3x2+4x3=18,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題，重點(diǎn)考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬基礎(chǔ)題.

4.(單選題,4分)設(shè)xCR,則"sinx=l"是40sx=設(shè)的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

【正確答案】：A

【解析】：利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，充要條件的定義判定即可.

【解答】：vsin2x+cos2x=l,

①當(dāng)sinx=l時(shí),則cosx=0,.,.充分性成立，

②當(dāng)cosx=0時(shí)，則sinx=±l,.?.必要性不成立，

??.sinx=l是cosx=0的充分不必要條件，

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，充要條件的判定，屬于基礎(chǔ)題.

5.（單選題，4分）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的體積（單位:

cm3）是（）

aiA

2

，1*2,1*-X1*2,1*

正視圖制視圖

◎

俯視圖

A.22n

B.8n

「22

C.—IT

3

16

Dn.—TT

3

【正確答案】：c

【解析】：判斷幾何體的形狀，利用三視圖的數(shù)據(jù),求解幾何體的體積即可.

【解答】：解：由三視圖可知幾何體是上部為半球,中部是圓柱，下部是圓臺(tái)，

所以幾何體的體積為：jx^xl3+TTX12X2+|（22X7T4-I2X7T4-V22X7TXl2X7T）X2=y

TE.

故選：c.

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查三視圖求解幾何體的體積，判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵，是中檔題.

6.(單選題，4分)為了得到函數(shù)y=2sin3x的圖象，只要把函數(shù)y=2sin(3x+()圖象上所

有的點(diǎn)()

A.向左平移搟個(gè)單位長(zhǎng)度

B.向右平移搟個(gè)單位長(zhǎng)度

C.向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度

D.向右平移看個(gè)單位長(zhǎng)度

【正確答案】：D

【解析】：由已知結(jié)合正弦函數(shù)圖象的平移即可求解.

【解答】：解：把y=2sin(3x+“圖象上所有的點(diǎn)向右平移右個(gè)單位可得y=2sin[3(x*)

+^]=2sin3x的圖象.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象平移，屬于基礎(chǔ)題.

7.(單選題，4分)已知2a=5,log83=b,則4a金=()

A.25

B.5

【正確答案】：C

【解析】：直接利用指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可.

【解答】：解：由2a=5,log83=b,

可得8b=23b=3,

則4*3b=±=04=￡=空，

2

43b(23”239

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.（單選題，4分）如圖，已知正三棱柱ABC-AiBiCi,AC=AAi，E,F分別是棱BC,AiCi±

的點(diǎn).記EF與AAi所成的角為a,EF與平面ABC所成的角為0,二面角F-BC-A的平面角為

A.a<p<y

B.p<a<y

C.p<y<a

D.a<y<P

【正確答案】：A

【解析】：根據(jù)線線角的定義，線面角的定義，面面角的定義，轉(zhuǎn)化即可求解.

【解答】：解：?.?正三棱柱ABC-A1BC中，AC=AAi,

二正三棱柱的所有棱長(zhǎng)相等，設(shè)棱長(zhǎng)為1,

如圖，過(guò)F作FG1AC,垂足點(diǎn)為G,連接GE,則A】A||FG,

與所成的角為且

??.EFAAiNEFG=a,tana=FG—=GE,

又GE6[0,1],AtanaGfO,1],

??.EF與平面ABC所成的角為NFEG=B，且tan0=^=表e[l,+oo),

.?.tanp>tana,...①，

再過(guò)G點(diǎn)作GIUBC,垂足點(diǎn)為H,連接HF,

又易知FG_L底面ABC,BCu底面ABC,

.-.BC1FG,又FGnGH=G,??.BC_L平面GHF,

???二面角F-BC-A的平面角為4GHF=y，且tany=^=々，又GHe[O,1],

GHGH

.,.tanvE[l,+8),.,.tanY>tana,…②，

又GE>GH,.*.tanp<tanY，...③,

由①②③得tanaStan任tany,又a,0,丫￡[0，]),y=tanx在[0,)單調(diào)遞增,

.-.a<p<y,

故選:A.

B

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查線線角的定義，線面角的定義，面面角的定義，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬中檔

題.

9.（單選題,4分）已知a,beR,若對(duì)任意xCR,a|x-b|+|x-4|-|2x-5|>0,則（）

A.a<l,b>3

B.a<l,b<3

C.a>l,b>3

D.a>l,b<3

【正確答案】：D

【解析】：取特值，結(jié)合選項(xiàng)直接得出答案.

【解答】：解：取x=4,則不等式為a|4-b卜320,顯然存0,且b04,

觀察選項(xiàng)可知，只有選項(xiàng)D符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查絕對(duì)值不等式的解法，作為選擇題，常常采用特值法，排除法等提高解題

效率，屬于基礎(chǔ)題.

2

10.（單選題，4分）已知數(shù)列｛an｝滿足ai=l,an+i=an-|an（neN*）,則（）

A.2<lOOaioo<|

B.|<lOOaioo<3

C.3<lOOaioo<^

7

D.-<lOOaioo<4

【正確答案】：B

【解析】：分析可知數(shù)列｛an｝是單調(diào)遞減數(shù)列，根據(jù)題意先確定上限，得到由1M總，由此可

推得100an<3,再將原式變形確定下限，可得一」一式:九+：G+：+……H——+1,由此可

an+133\23n+1/

推得100的0。>|,綜合即可得到答案.

2

【解答】：解：???an+i-an=-1an<0,

???{aj為遞減數(shù)列，

又斯+1=。九一!即2W|,且a#o,

l-ia?>->0，

n

an33

又ai=l>0,則an>0,

、

??121

?0n-an+1=-an>-anan+1,

???------->-,

an+ian3

2+](n-1)="+[,貝！]anS2,

Clfia1333九+2

.?.100a1O0<100x^<^=3；

由娛1=與一沁2得限］=冊(cè)（1一2），得含一2=汽式點(diǎn)"（1+W）,

累加可得，ZZ7-tn+IG+l+，"-+^T)+1)

<34H—X(—IF???...H)<34H—Xf-X6H—X93)<40，

a100----------------3\23-------------------100/3\28)

.-.100aloo>100x^=|；

綜上，|<lOOaloo<3.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查遞推數(shù)列，數(shù)列的單調(diào)性等知識(shí)，對(duì)化簡(jiǎn)變形能力要求較高，考查運(yùn)算求

解能力，邏輯推理能力，屬于難題.

11.（填空題，4分）我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，他把

這種方法稱(chēng)為“三斜求積"，它填補(bǔ)了我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個(gè)空白.如果把這個(gè)方法寫(xiě)成公式，就

是$=#242-仔■+%町［其中a,b,c是三角形的三邊，S是三角形的面積.設(shè)某三

角形的三邊a=近，b=K，c=2,則該三角形的面積S=_.

【正確答案】：［1］孚

4

【解析】：直接由秦九韶計(jì)算可得面積.

【解答】：解：由S=Ji[c2a2-仔竽竺）2]=|J22.（V2）2-『+（呼（可]2=亨，

故答案為：軍.

4

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查學(xué)生的閱讀能力，考查學(xué)生計(jì)算能力，屬基礎(chǔ)題.

12.（填空題，6分）已知多項(xiàng)式（x+2）（x-1）4=ao+aix4-a2x2+a3x3+a4x4+asx5,則32=—

ai+a24-a34-a4+a5=—.

【正確答案】：[1]8;[2]-2

【解析】：a2相當(dāng)于是用（x+2）中的一次項(xiàng)系數(shù)乘以（x-1）4展開(kāi)式中的一次項(xiàng)系數(shù)加上

（x+2）中的常數(shù)項(xiàng)乘以（x?l）4展開(kāi)式中的二次項(xiàng)系數(shù)之和，分別令x=0,x=l,即可求得

31+324-33+34+35的值，

【解答】：解：(x-1)4=x4-4x3+6x2-4x+l,

,?總2=?4+12=8；

令x=0,則ao=2,

令x=l,則ao+ai+a2+a3+a4+a5=O,

?，?ai+a2+a3+a4+a5=-2.

故答案為：8,-2.

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查二項(xiàng)式定理的運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

13.（填空題，6分）若3sina-sin0=V1U,a+B=],則sina=_,cos2p=_.

【正確答案】：[1]誓；[2、

【解析】：由誘導(dǎo)公式求出3sina-cosa=/而，再由同角三角函數(shù)關(guān)系式推導(dǎo)出sina=彳薩,

由此能求出cos2p的值.

【解答】：解：v3sina-sinp=V10,a+0=］，

.,.3sina-cosa=V10,

/.cosa=3sina-V10,

vsin2a+cos2a=l,

.,.sin2a+Osina-V10)2=1,

解得sina=,cosp=sina=,

on4

cos2p=2cos2p-l=2x-----1=-.

r11005

故答案為：黑；，

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查三角函數(shù)值的求法，考查誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式、二倍角公式等

基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

—X2+2,x<1,1

14.(填空題，6分)已知函數(shù)f(x)=1則f(f(；))=_;若當(dāng)xe[a,

x+--1,x>l,2

X

b]時(shí)，lWf(x)<3,則b-a的最大值是一.

【正確答案】：汽

28

【解析】：直接由分段函數(shù)解析式求f(f(a))；畫(huà)出函數(shù)f(x)的圖象，數(shù)形結(jié)合得答案.

2

—x+2,x<1117

【解答】：解：?.,函數(shù)f(x)=1，.?.f(-)=--+2=-,

x+i-l,X>1244

x

由圖可知，若當(dāng)x€[a,b]時(shí)，l<f(x)<3,則b-a的最大值是2+百一(-1)=3+遮.

故答案為：H;3+V3.

28

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查函數(shù)值的求法，考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.

15.(填空題，6分)現(xiàn)有7張卡片，分別寫(xiě)上數(shù)字1,2,2,3,4,5,6.從這7張卡片中

隨機(jī)抽取3張，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為序則Pq=2)=_,E(p=_.

【正確答案】:[1喋;[2瀉

【解析】：根據(jù)組合數(shù)公式，古典概型的概率公式，離散型隨機(jī)變量的均值定義即可求解.

【解答】：解：根據(jù)題意可得：S的取值可為1，2,3,4,

又P（口）

p（分2）=史警2=竺,

、給35

P（f=3）=4=-.

、齡35

p（E=4）=<=

■,-E（《）=lx—+2x—+3x—+4x—=—,

）73535357

故答案為：||；告.

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查組合數(shù)公式，古典概型的概率公式，離散型隨機(jī)變量的均值定義，屬基礎(chǔ)

題.

16.（填空題，4分）已知雙曲線（a>0,b>0）的左焦點(diǎn)為F,過(guò)F且斜率為3的

直線交雙曲線于點(diǎn)A（xi，yi）,交雙曲線的漸近線于點(diǎn)B（x2,yz）且Xi<0<X2.若

|FB|=3|FA|,則雙曲線的離心率是一.

【正確答案】：口]學(xué)

【解析】：過(guò)點(diǎn)A作AA'lx軸于點(diǎn)A',過(guò)點(diǎn)B作BB'lx軸于點(diǎn)B',依題意，點(diǎn)B在漸近線

y=%上，不妨設(shè)B（m,?,m>0,根據(jù)題設(shè)條件可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（一表簿，

代入雙曲線方程，化簡(jiǎn)可得a,c的關(guān)系，進(jìn)而得到離心率.

【解答】：解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AA'lx軸于點(diǎn)A',過(guò)點(diǎn)B作BB'lx軸于點(diǎn)B',

由于B（X2，丫2）且X2>0,則點(diǎn)B在漸近線y=gx上，不妨設(shè)8（m,,m>0,

b

設(shè)直線AB的傾斜角為。，則tan?=9,則震!==，即蕾=?，貝（J|FB，|=4m,

4a\FB>\4a\FBr\4a11

.,.|0F|=c=3m,

又黑=黑='則以'|=抑"|=智=聯(lián),

\DD>\\Dr|oJOU7U

又緇=黑號(hào),則M，|=沙即=.，則%|=3m—等=粵音,

??.點(diǎn)A的坐標(biāo)為（―涉案），

25c2b2c2

??.耳一號(hào)=1,即吃=%=亙

a2b2a2248

c3\[6

：,?=-=——?

a4

故答案為：乎.

4

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

17.(填空題，4分)設(shè)點(diǎn)P在單位圓的內(nèi)接正八邊形A1A2...A8的邊AiAz上，則兩2十

%2+“.+兩2的取值范圍是_.

【正確答案】：[1][12+2夜，16]

【解析】：以圓心為原點(diǎn)，A7A3所在直線為x軸，AsAi所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)

系，求出正八邊形各個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)P(x,y),進(jìn)而得到西'2+兩2+...+兩三8(x2+y2)

+8,根據(jù)點(diǎn)P的位置可求出X2+y2的范圍，從而得到%2+耐2+...+兩2的取值范圍.

【解答】：解：以圓心為原點(diǎn)，A7A3所在直線為x軸，A5Al所在直線為y軸，建立平面直角

坐標(biāo)系，如圖所示，

則Ai(0,1),人2(/，，A3(1，0),人4(/，-As(0,-1)>Af,,

一號(hào))，A7(-1(0)(4(一號(hào)‘Y)，

設(shè)P(x,y),

22

則西2+兩2+...+P^2=|PA1|2+|PA2|2+|PA3|2+|PA4|2+|PA5|2+|PA6|2+|PA7|4-|PA8|=8

(x2+y2)+8,

1.■cos22.5°<|OP|<l,1+c^545<x2+y2<1,

2+V2712,d

??zz

?---4--<x+y<1,

.-.12+2V2<8(x2+y2)+8<16,

即西(2+就2+...+兩2的取值范圍是口2+2V2,16],

故答案為：口2+2a，16].

【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算和性質(zhì)，考查了學(xué)生分析問(wèn)題和轉(zhuǎn)化問(wèn)題的

能力，屬于中檔題.

18.(問(wèn)答題，14分)在4ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知4a=而c,

_3

cosC=-.

(I)求sinA的值；

(II)若b=ll,求4ABC的面積.

【正確答案】：

【解析】：(I)根據(jù)cosC=|,確定C的范圍，再求出sinC,由正弦定理可求得sinA；

(II)根據(jù)A,C的正、余弦值，求出sinB,再由正弦定理求出a,代入面積公式計(jì)算即可.

【解答】：解：(I)因?yàn)閏osC=|>0,所以Ce(0,,且sinC=,l-cos2C=g,

由正弦定理可得:

sinAsinC

口n士.AasinCa.\[s4V5

即有sinA=------=-sinC=—x-=—

CC455

(II)因?yàn)?a=V5c=a=在cVc,

4

所以A<C,故AW(0,]),

又因?yàn)閟inA=g,所以cosA=等,

所以sinB=sin[n-(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=；

由正弦定理可得：*=裊=總=5遍,

所以a=5V5sinA=5,

所以SAABC=IabsinC=1x5xllx1=22.

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了解三角形中正弦定理、面積公式，屬于基礎(chǔ)題.

19.（問(wèn)答題，15分）如圖，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，AB||DC,DC||EF,AB=5,

DC=3,EF=1,ZBAD=ZCDE=6O°,二面角F-DC-B的平面角為60。.設(shè)M,N分別為AE,BC

的中點(diǎn).

（I）證明：FN1AD；

（n）求直線BM與平面ADE所成角的正弦值.

【正確答案】：

【解析】：（I）根據(jù)題意證出FN_L平面ABCD,即可得證；（II）由于FN1平面ABCD,如

圖建系，求得平面ADE的法向量，代入公式即可求解.

【解答】：證明：⑴由于CD1CB,CD1CF,

平面ABCDC平面CDEF=CD,CFu平面CDEF,CBu平面ABCD,

所以ZFCB為二面角F-DC-B的平面角，

貝ljNFCB=60。，CD_L平面CBF,貝ljCD1FN.

又CF=V3(CD-EF)=2百，CB=北(AB-CD)=2V3,

則^BCF是等邊三角形，則CB1FN,

因?yàn)镈C1FC,DC1BC,FSBC=C,FCu平面FCB,BCu平面FCB,

所以DC1平面FCB,因?yàn)镕Nu平面FCB,所以DC1FN,

又因?yàn)镈C"B=C,DCu平面ABCD,CBu平面ABCD,

所以FN1平面ABCD,因?yàn)锳Du平面ABCD,故FN1AD；

3),E(l,0,3),。(3,-V3,0),則

M(3‘當(dāng),I),

兩=(3,若,DA=(2,2百，0),~DE=(-2,V3,3),

設(shè)平面ADE的法向量元=(x,y,z),

n-DA=0,f2x+2V3y=0

則令x=舊，則y=-l,z=V3>

'n?DE=0—2x+V3y+3z=0

???平面ADE的法向量記="L-1,V3),

設(shè)BM與平面ADE所成角為6,

則s譏昨昌*=

|FM||n|14

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了線線垂直的證明和線面角的計(jì)算，屬于中檔題.

20.(問(wèn)答題，15分)已知等差數(shù)列｛a。｝的首項(xiàng)a1=-l,公差d>l.記｛aj的前n項(xiàng)和為Sn

(nGN,).

(I)若S4-2a2a3+6=0,求Sn:

(II)若對(duì)于每個(gè)neN*,存在實(shí)數(shù)Cn，使an+Cn，an+l+4Cn，an+2+15Cn成等比數(shù)列，求d的

取值范圍.

【正確答案】：

【解析】：(I)由等差數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)ai=-l及S4-2a2a3+6=0可得關(guān)于公差d的方程，再

由公差d的范圍可得d的值，再由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得Sn的解析式；

(II)由an+品，an+l+4Cn，an+2+15Cn成等比數(shù)列，可得關(guān)于品的二次方程，由判別式大于0

可得d的表達(dá)式，分類(lèi)討論可得d的取值范圍.

【解答】：解：(I)因?yàn)榈炔顢?shù)列｛aj的首項(xiàng)ai=-l,公差d>l,

因?yàn)镾v2a2a3+6=0,可得絲詈匕2a2a3+6=0,即2(ai+a4)-2a2a3+6=0,

ai+ai+3d-(ai+d)(ai+2d)+3=0,即-l-l+3d?(?l+d)(-l+2d)+3=0,

整理可得：d2=3d,解得d=3,

所以Sn=na1+攻/d=-n+網(wǎng)”=對(duì)產(chǎn)，

即Sn=gf^；

(II)因?yàn)閷?duì)于每個(gè)neN*,存在實(shí)數(shù)Cn，使an+Cn，a-an+2+15Cn成等比數(shù)列，

2

則(ai+nd+4cn)=[ai+(n-1)d+cn][(ai+(n+l)d+15cn],ai=-l,

22

整理可得:Cn+[(14-8n)d+8]cn+d=0,則△=[(14-8n)d+8]2-4d2"恒成立在nCN+,

整理可得[(2n-3)d-2][n-2)d-l]>0,

當(dāng)n=l時(shí)，可得d￡2或dN-1,而d>l,

所以d的范圍為(1,+oo)；

n=2時(shí)，不等式變?yōu)?d-2)(-1)>0,解得dW2,而d>l,

所以此時(shí)de(1,2],

當(dāng)n23時(shí)，d>l,則[(2n-3)d-2][n-2)d-l]>(2n-5)(n-3)NO符合要求，

綜上所述，對(duì)于每個(gè)nCN*,d的取值范圍為(1,2],使an+Cn，an+l+4Cn，an+2+15Cn成等比

數(shù)列.

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用及等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，恒成立的判斷方法，屬

于中檔題.

Y2

21.(問(wèn)答題，15分)如圖，已知橢圓器+y2=l.設(shè)A,B是橢圓上異于P(0,1)的兩點(diǎn),

且點(diǎn)Q(0,|)在線段AB上，直線PA,PB分別交直線y=《x+3于C,D兩點(diǎn).

(I)求點(diǎn)P到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值；

(II)求|CD|的最小值.

【正確答案】：

【解析】：(I)設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)M(x,y),利用兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合二次函數(shù)的性

質(zhì)即可得解；

(II)設(shè)直線AB方程并與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得到兩根之和與兩根之積，進(jìn)而表示

出|x「X2|,再分別聯(lián)立直線AP,直線BP與直線y=-1+3,得到C,D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，由此

可表示出|CD|,再轉(zhuǎn)化求解即可.

【解答】：解：(I)設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)M(X,y),則|PM|2=x2+(y-1)2=12-12y2+y2-

2y+l=-lly2-2y+13,y€[-l,1],

2

而函數(shù)z=-lly2-2y+13的對(duì)稱(chēng)軸為y=e[-1,1],則其最大值為一11x(-J+2X

1,144

n+13=—1

\PM\max=舊=喑，即點(diǎn)P到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值為誓；

(II)設(shè)直線AB：y=fcx+1,4(%i，%)，B(X2>丫2)，

(y=kx+^

聯(lián)立直線AB與橢圓方程有匕22,消去丫并整理可得，(I2k2+1)x2+12kx-9=0,

由韋達(dá)定理可得，/+冷=一溫？，與％2=-高，

二%一次I=/(%1+%2)2—4%1久2=jb贏了+點(diǎn)=嚼，

設(shè)C(X3,y3)，D(X4,yj)，直線AP：y=—~~-x+1,直線BP：y=—~~-x+1，

X1x2

z

y=且x+1I[y=+1

聯(lián)立?二以及1%2

X+3[y=-卜+3

y=-2'

可得

二由弦長(zhǎng)公式可得防=J1+(勺忱33=苧|君上-芳=V|鬻

T,=T,J25島一1|)+^^TxT安，當(dāng)且僅當(dāng)k=9時(shí)等

516

號(hào)成立,

???|CD|的最小值為丁.

【點(diǎn)評(píng)】：本題考查直線與橢圓的綜合運(yùn)用，涉及了兩點(diǎn)間的距離公式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)

求最值，弦長(zhǎng)公式等基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)，考查邏輯推理能力，運(yùn)算求解能力，屬于難題.

22.(問(wèn)答題，15分)設(shè)函數(shù)f(x)=-+lnx(x>0).

2x

(I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)已知a,beR,曲線y=f(x)上不同的三點(diǎn)(xi，f(xi)),(X2，f(X2)),(X3,f

(x3))處的切線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(a,b).證明：

(i)若a>e,貝!I0<b-f(a)<-(--1)；

2e

(ii)若0<a<e,xi<X2〈X3，則白+<乙+工<之-.

1z

ebeXjx3a6e

(注:e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

【正確答案】：

【解析1：(1)求出導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)能求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

(JI)(i)設(shè)切點(diǎn)分別為(X1，f(X!)),(X2,f(x2)),(X3，f(X3)),則f(X。-

b=f(x。(Xj-a),(i=l.2>3)，方程f(x)-b=f(x)(x-a)有3個(gè)不同的根，該方程

整理為(9會(huì))(x-a)噎-濟(jì)久+6=0,設(shè)g(x)=Q-袤)(x-a)-^-lnx+b,則

g'(x)=*(x-e)(x-a),利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明OVb1)?

(ii)當(dāng)OVaVe時(shí)，g(x)在(0,a),(e,4-oo)上為減函數(shù)，在(a,e)上為增函數(shù),

設(shè)xi〈X2<X3，推導(dǎo)出&+l<bV4+"a,設(shè)t=￡,-=m6(0,1),則方程1-"上+

景—Inx+b=0,即為?(m+1)t+yt2+Znt+6=0,由此能證明OVaVe,XiVx2VX3,

則2+工+工<

zz

e6ex3a6e

【解答】：解：(I),函數(shù)f(x)=zr4-lnx(x>0)，

2x

.?.1(%)=一9+工=號(hào)，(x>0),

由/'(%)=第>0,得x>,；.f(x)在（|,+00）上單調(diào)遞增；

由/'(")=豪<°'得0<x<；，4(X)在（0,|）上單調(diào)遞減.

（ID（i）證明：???過(guò)（a,b）有三條不同的切線,

設(shè)切點(diǎn)分別為（Xi，f（X1））,（X2，f（X2）），（X3,f（X3）），

.,.f(Xi)-b=f(Xi)(Xj-a),(i=l,2,3),.?.方程f(x)-b=f(x)(x-a)有3個(gè)不同的

根,

該方程整理為（卜忌）（x-a）/nx+b=。,

設(shè)g(x)=(：一裊)(x-a)吟-lnx+b,

則g'（x）W一去+-4+盤(pán)=哈(x-e)(x-a),

當(dāng)OVxVe或x>a時(shí)，g'(x)<0；當(dāng)eVxVa時(shí)，g'(x)>0,

???g(x)在(0,e),(a,+8)上為減函數(shù)，在(e,a)上為增函數(shù)，

???g(x)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，??.g(e)VO且g(a)>0,

?,*(——)(e?a)-?-Ine+bVO,且(———r)(a?a)-——ITLCL+b>0,

e2e22ea2a22a

整理得到或+1且(+)a=/(a),

此時(shí)，b<或+1，且b>?+Ina=f(a),

此時(shí)，；1)<￡+1一e+.)琮一Ina+b>0,

整理得b<^-+l,且b>9+)a=/(a),

2e2a

a,13

此時(shí)，b-f(a)--(——1)<巳+l-(—+ITLCL)-----=一lna,

2e2e2a2e22~h~

設(shè)N（a）為（e,+8）上的減函數(shù)，.?.|i（a）<|-——Ine=0,

2e

.?,0<6-/(a)<ig-l)?

（ii）當(dāng)OVaVe時(shí)，同（i）討論，得:

g（x）在（0,a），（e,+oo）上為減函數(shù)，在（a,e）上為增函數(shù),

不妨設(shè)Xi〈X2〈X3,則0VxiVa〈X2〈e<X3,

?