固體物理課后習(xí)題與答案

固體物理課后習(xí)題與答案

第一章金屬自由電子氣體模型習(xí)題及答案

1.你是如何理解絕對零度時和常溫下電子的平均動能十分相近這一

點(diǎn)的？

［解答］自由電子論只考慮電子的動能。在絕對零度時.，金屬中的自

由(價)電子，分布在費(fèi)米能級

及其以下的能級上，即分布在一個費(fèi)米球內(nèi)。在常溫下，費(fèi)米球內(nèi)部

離費(fèi)米面遠(yuǎn)的狀態(tài)全被電子占據(jù)，這些電子從格波獲取的能量不足以使其

躍遷到費(fèi)米面附近或以外的空狀態(tài)上，能夠發(fā)生能態(tài)躍遷的僅是費(fèi)米面附

近的少數(shù)電子，而絕大多數(shù)電子的能態(tài)不會改變。也就是說，常溫下電子的

平均動能與絕對零度時的平均動能十分相近。

2.晶體膨脹時，費(fèi)米能級如何變化？

［解答］費(fèi)米能級

?2

(3n?2)2/3,E?2mo

F

其中n單位體積內(nèi)的價電子數(shù)目。晶體膨脹時，體積變大，電子數(shù)目

不變，n變小，費(fèi)密能級降低。

3.為什么溫度升高，費(fèi)米能反而降低？

［解答］當(dāng)T?OK時，有一半量子態(tài)被電子所占據(jù)的能級即是費(fèi)米能級。

除了晶體膨脹引起費(fèi)米能

級降低外，溫度升高，費(fèi)米面附近的電子從格波獲取的能量就越大,

躍遷到費(fèi)米面以外的電子就越多，原來有一半量子態(tài)被電子所占據(jù)的能級

上的電子就少于一半，有一半量子態(tài)被電子所占據(jù)的能級必定降低，也就

是說，溫度生高，費(fèi)米能反而降低。

4.為什么價電子的濃度越大，價電子的平均動能就越大？

［解答］由于絕對零度時和常溫下電子的平均動能十分相近，我們討

論絕對零度時電子的平均動能與

電子的濃度的關(guān)系。

價電子的濃度越大，價電子的平均動能就越大，這是金屬中的價電子

遵從費(fèi)米一狄拉克統(tǒng)計分布的必

然結(jié)果。在絕對零度時，電子不可能都處于最低能級上，而是在費(fèi)米

球中均勻分布。由式OkF?(3n?2)l/3可知，價電子的濃度越大

費(fèi)米球的半徑就越大，高能量的電子就越多，價電子的平均動能

?23o3?2

22/3(3n?)和E?EF?(3n?2)2/3式看得更清楚。就越大。這一點(diǎn)從E?電子

的平均動能E正2m510mo

F

。比于費(fèi)米能EF,而費(fèi)米能又正比于電子濃度n2l3。所以價電子的

濃度越大，價電子的平均動能就越大。

5.兩塊同種金屬，溫度不同，接觸后，溫度未達(dá)到相等前，是否存

在電勢差？為什么？

［解答］兩塊同種金屬，溫度分別為T1和T2,且T1?T2。在這種情況

下，溫度為T1的金屬高于費(fèi)米

能EF的電子數(shù)目，多于溫度為T2的金屬高于費(fèi)米能EF的電子數(shù)目。

兩塊同種金屬接觸后，系統(tǒng)的

能量要取最小值，溫度為T1的金屬高于EF的部分電子將流向溫度為

T2的金屬。溫度未達(dá)到相等前，

這種流動一直持續(xù)，期間，溫度為T1的金屬失去電子，帶正電；溫

度為T2的金屬得到電子，帶負(fù)電，

兩者出現(xiàn)電勢差。

0001

6.為什么價電子的濃度越高，電導(dǎo)率越大？

［解答］電導(dǎo)?是金屬通流能力的量度。通流能力取決于單位時間內(nèi)通

過截面積的電子數(shù)。但并不是所有價電子對導(dǎo)電都有貢獻(xiàn)，對導(dǎo)電有貢獻(xiàn)

的是費(fèi)米面附近的電子。費(fèi)米球越大，對導(dǎo)電有貢獻(xiàn)的電子數(shù)目就越多。

費(fèi)米球的大小取決于費(fèi)米半徑kF?(3n?2)l/3?？梢婋娮訚舛萵越高，費(fèi)米

球越大，對導(dǎo)電有貢獻(xiàn)的電子數(shù)目就越多，該金屬的電導(dǎo)率就越高。

7.一金屬體積為V,價電子總數(shù)為N,以自由電子氣模型，

(1)在絕熱條件下導(dǎo)出電子氣體的壓強(qiáng)為：P?2U030,其中電子氣

體的基態(tài)能量U07NEF53V

10U05P?o39V(2)證明電子氣體的體積彈性模量K??V(?p/?V)?

［解答］

(1)在絕熱近似條件下，外場力對電子氣作的功W等于系統(tǒng)內(nèi)能的增

加dU,即

dU?W??PdV

式中P是電子氣的壓強(qiáng)。由上式可得P???u?v

在常溫條件下，忽略掉溫度對內(nèi)能的影響，則由

33?2N0U?U0?NEF?N(3?2)2/3552mV

由此可得到

?U0P???V2U03?22?N(3N?2)2/3?(V)?5/3?52m33V

P和體積V的關(guān)系為(2)體積彈性模量K與壓強(qiáng)?PK??,將?VV

10U0?P3?225??N(3N?2)2/3?(V)?8/3???V52m339V2

代入體積彈性模量K與壓強(qiáng)P和體積V的關(guān)系式，得到

K?

10U09V

(6?2)1/3

8.每個原子占據(jù)的體積為a,絕對零度時價電子的費(fèi)米半徑為k?,

計算每個原子的價電a30

F

子數(shù)目。

［解答］在絕對零度時導(dǎo)電電子的費(fèi)米半徑kF?(3n?)021/3o

(6?2)0現(xiàn)已知一金屬導(dǎo)電電子的費(fèi)米半徑kF?a

1/3,所以，該金屬中導(dǎo)電電子的密度2

n?2oa3

a3是一個原子占據(jù)的體積，由此可知，該金屬的原子具有兩個價電子。

第二章晶體的結(jié)構(gòu)習(xí)題及答案

1.晶面指數(shù)為（123）的晶面ABC是離原點(diǎn)。最近的晶面，0A,0B

和0C分別與基矢al,a2和a3重合，除0點(diǎn)外，0A,0B,和0C上是否

有格點(diǎn)？若ABC面的指數(shù)為（234）,情況又如何？

［解答］晶面家族（123）截al,a2,和a3分別為1,2,3等份，ABC

面是離原點(diǎn)0最近的晶面，0A的長度等于al長度，0B的長度等于a2的

長度的1/2,0C的長度等于a3的長度的1/3,所以只有A點(diǎn)是格點(diǎn)。若

ABC面的指數(shù)為（234）的晶面族，則A、B、和C都不是格點(diǎn)。

2.在結(jié)晶學(xué)中，晶胞是按晶體的什么特性選取的？

［解答］在結(jié)晶學(xué)中，晶胞選取的原則是既要考慮晶體結(jié)構(gòu)的周期性又

要考慮晶體的宏觀對稱性。

3.在晶體衍射中，為什么不能用可見光？

［解答］晶體中原子間距的數(shù)量級為10?10米，要使原子晶格成為光

波的衍射光柵，光波的波長應(yīng)小于10?10米。但可見光的波長為7.6—

4.0?10?7米,是晶體中原子間距的1000倍。因此，在晶體衍射中，不能用

可見光。

4.溫度升高時、衍射角如何變化？X光波長變化時,衍射角如何變化？

［解答］溫度升高時，由于熱膨脹，面間距dhkl逐漸變大，由布拉格

反射公式2dhklsin??n?可知，對應(yīng)同一級衍射，當(dāng)X光波長不

變時，面間距dhkl逐漸變大，衍射角?逐漸變小。所以溫度升高，衍射角

變小。

當(dāng)溫度不變，X光波長變大時，對于同一晶面族，衍射角？隨之變大。

3

7.六角晶胞的基矢a?3a3aai?j,b??ai?j,c?ck。求其倒格基矢。2222

aa32ai?j)?[(?ai?j)?(ck)]?aco22222[解答]晶胞體積

為??a?[b?c]?(

其倒格矢為

a*?2?[b?c]a22??2?[(?ai?j)?(ck)]??(i?j)o2?22a33ac

2?[c?a]3a22??2?[(ck)?(ai?j)]??(?i?j)o2?22a3ac

2?[a?b]3aa22??2?[(ai?j)?(?ai?j)]??ko2?2222c3acb*?c*?

8.證明以下結(jié)構(gòu)晶面族的面間距：

(1)立方晶系：dhkl?a[h2?k2?l2]?l/2；

(2)正交晶系:dhkl?[()?()?()]h

a2k

b2l

c2?l/2；

[解答]

(1)設(shè)沿立方晶系晶軸a,b,c的單位矢量分別為i,j,k,則

正格子基矢為

a?ai,b?aj,c?ak,

倒格子基矢為a?

*2?2?2?i,b*?j,c*?ko

aaa4圖2.6立方晶胞

與晶面族(hkl)正交的倒格矢Khkl?ha*?kb*?lc*0

由晶面間距dhkl與倒格矢Khkl的關(guān)系式dhkl?2?Khk得

dhkl?a

h?k?l222o

(2)對于正交晶系，晶胞基矢a,b,c相互垂直，但晶格常數(shù)a?b?c,

設(shè)沿晶軸a,b,c的

k,單位矢量分別為i,j,則正格子基矢為a?ai,b?bj,c?ck,

*倒格子基矢為a?2?2?2?i,b*?j,c*?k。abc

與晶面族正交的倒格矢

(hkl)Khkl?ha*?kb*?lc*0

由晶面間距dhkl與倒格矢Khkl的關(guān)系式dhkl?2?Khkl

I

c2?l/2圖2,7正交晶胞得dhkl?[()?()?()]h

a2k

b2o

9.求晶格常數(shù)為a的面心立方和體心立方晶體晶面族(hlh2h3)的面間

距。

[解答]面心立方正格子的原胞基矢為

al?aaa(j?k),a2?(k?i),a3?(i?j)222

由bl?2?[a2?a3]2?[a3?al]2?[al?a2],b2?,

b3?,???

可得其倒格子基矢為

bl?2?2?2?(?i?j?k),b2?(i?j?k),b3?(i?j?k),aaa

倒格矢Kh?

hlbl?h2b2?h3b3

5

根據(jù)式dhlh2h3?2?,得面心立方晶體晶面族(hlh2h3)的面間距Kh

2?a。?2221/2Kh[(?hl?h2?h3)?(hl?h2?h3)?(hl?h2?h3)]

dhlh2h3?

體心立方正格子原胞基矢可取為

al?aaa(?i?j?k),a2?(i?j?k),a3?(i?j?k)。22a

2?2?2?(j?k),b2?(k?i),b3?(i?j)。aaa其倒格子基矢為bl?

則晶面族(hlh2h3)的面間距為

dhlh2h3?2?ao?2221/2Kh[(h2?h3)?(h3?hl)?(hl?h2)]

10.試證三角晶系的倒格子也屬于三角晶系。

[解答]對于三角晶系，其三個基矢量的大小相等，且它們相互間的夾

角也相等，即

a?al?b?a2?c?a3?a,???????o

2?[a2?a3]2?a2sin?利用正倒格子的關(guān)系，得bl???b,??

2?[a3?al]2?a2sin?b2???b??

2?[al?a2]2?a2sin?b3???b。

(1)??

設(shè)bl與b2的交角為?12,b2與b3的交角為?23,b3與bl的交角為?31,

則有6

4?24?2

bl?b2?bcos?12?2[(a2?a3)?(a3?al)]?2al?[(a2?a3)?a3]??

(2)2244?4?a2?2[(al?a3)(a2?a3)?(al?a2)a2]?(cos??cos?)2??2

由和式得

cos2??cos?cos?(l?cos?)?cos????(1)(2)cos?12?o

221?cos?sin?l?cos?

由b2?b3和b3?bl可得cos?23??cos??cos?,cos?31?。

l?cos?l?cos?

可見倒格基矢bl與b2的交角，b2與b3的交角，b3與bl的交角都相

等。這表明三個倒格基矢的長度不僅相等，且它們之間的夾角也相等，所

以三角晶系的倒格子也屬于三角晶系。

11.一維原子鏈?zhǔn)怯葾,B兩種原子構(gòu)成，設(shè)A,B原子的散射因子

分別為fA和fB，入射X射線垂直于原子鏈，證明

(1)衍射極大條件是acos??n?,a是晶格常數(shù)，？是衍射束與原子

鏈的夾角.

(2)當(dāng)h為奇數(shù)，衍射強(qiáng)度比例于fA?fB.2

(3)討論fA?fB情況.

［解答］

(1)如圖1所示，設(shè)原子是等間距的，衍射光束與原子鏈的夾角為?，

當(dāng)入射X光垂直于原子鏈時,A原子或B原子散射波的光程差為acos?。

當(dāng)acos??n?時，各A原子(或B原子)的散射波的相位差為0,散

射波相互加強(qiáng)，形成很強(qiáng)的衍射光。圖1X光衍射

B兩個原子，(2)一個原胞內(nèi)包含A,取A原子的坐標(biāo)為(000),

?2??1?,則幾何結(jié)構(gòu)因子

B原子的坐標(biāo)為(a00)hxo倒格矢Gh?hb?2a

7

??feSGAh???iGh?dA?fBe???iGh?dB?fAe??iGh?0?fBe?i2?l??ax?hxa2?f

A?fBe?i?h?fA?fBcos(h?),?衍射光的強(qiáng)度l?SG2h?［fA?fBcos(h?)］2,因此從上

式可知，當(dāng)h為奇數(shù)時，衍射光的強(qiáng)度正比于fA?fB。2

(3)若fA?fB?f,當(dāng)h為奇數(shù)時，衍射光的強(qiáng)度為0。這時，A原子

與B原子的散射波的相

位差為？，相位相反，互相抵消，即對應(yīng)消光現(xiàn)象。當(dāng)h為偶數(shù)時，

衍射光的強(qiáng)度最強(qiáng)

，I?4f2o

第三章能帶論習(xí)題和答案

1.布洛赫函數(shù)滿足?(r?Rn)?eik?R?(r),何以見得上式中k具有波

矢的意義？n

［解答］人們總可以把布洛赫函數(shù)?(r)展成付里葉級數(shù)

?(r)??a(K?Kh)e/

hi(K/?Kh)?r,

其中K是電子的波矢。將?(r)代入

得到eik/?Rn/?(r?Rn)?eik?R?(r)n?eik?Rn

/其中利用了Kh?Rn?2p?(p是整數(shù))，由上式可知，k?k,即k具有波

矢的意義。

2.波矢空間與倒格空間有何關(guān)系？為什么說波矢空間內(nèi)的狀態(tài)點(diǎn)是

準(zhǔn)連續(xù)的？

［解答］波矢空間與倒格空間處于統(tǒng)一空間，倒格空間的基矢分別為

bl,b2,b3,而波矢空間的基矢分別為bl/Nl,b2/N2，b3/N3；

N1,N2,N3分別是沿正格基矢al,a2,a3方向晶體的原胞數(shù)目。

倒格空間中一個倒格點(diǎn)對應(yīng)的體積為bl?(b2?b3)??,*

bib2b3?*

波矢空間中一個波矢點(diǎn)對應(yīng)的體積為？(?)?N1N2N3N

即波矢空間中一個波矢點(diǎn)對應(yīng)的體積，是倒格空間中一個倒格點(diǎn)對應(yīng)

的體積的1/No由于N是晶體的原胞數(shù)目，數(shù)目巨大，所以一個波矢點(diǎn)對

應(yīng)的體積與一個倒格點(diǎn)對應(yīng)的體積相比是極其微小的。也就是說，波矢

點(diǎn)在倒格空間看是極其稠密的。因此，在波矢空間內(nèi)作求和處理時，可把

波矢空間內(nèi)的狀態(tài)點(diǎn)看成是準(zhǔn)連續(xù)的。

8

3.與布里淵區(qū)邊界平行的晶面族對什么狀態(tài)的電子具有強(qiáng)烈的散射

作用？

［解答］當(dāng)電子的波矢k滿足關(guān)系式Kn?伙?Kn)?O時，與布里淵區(qū)

邊界平行且垂直于Kn的晶面2

族對波矢為k的電子具有強(qiáng)烈的散射作用。此時，電子的波矢很大,

波矢的末端落在了布里淵區(qū)邊界上，k垂直于布里淵區(qū)邊界的分量的模等

于Kn/2o

4.一維周期勢函數(shù)的付里葉級數(shù)V(x)??Ven

ni2?nxa中，指數(shù)函數(shù)的形式是由什么條件決定的？

［解答］周期勢函數(shù)V(x)付里葉級數(shù)的通式為V(x)??Ve?

n

ninxo上式必須滿足勢場的周期性，即

V(x?a)??Vnei?n(x?a)??Vnei?nx(e

nni?an)?V(x)??Vnei?nxn

顯然ei?na?l。

2?no可見周期勢函數(shù)V(x)的付里葉級數(shù)中指數(shù)函數(shù)的形式是由其周

a要滿足上式，？n必為倒格矢?n?

期性決定的。

5.在布里淵區(qū)邊界上電子的能帶有何特點(diǎn)？

［解答］電子的能帶依賴于波矢的方向，在任一方向上，在布里淵區(qū)

邊界上，近自由電子的能帶一般會出現(xiàn)禁帶。若電子所處的邊界與倒格矢

Kn正交，邊界是Kn的中垂面，則禁帶的寬度Eg?2(Kn),V(Kn)是周期勢

場的付里葉級數(shù)的系數(shù)。

不論何種電子，在布里淵區(qū)邊界上，其等能面在垂直于布里淵區(qū)邊界

的方向上的斜率為零，即電子的等能面與布里淵區(qū)邊界正交。

6.緊束縛模型電子的能量是正值還是負(fù)值？

［解答］緊束縛模型電子在原子附近的幾率大，遠(yuǎn)離原子的幾率很小,

在原子附近它的行為同在孤立原子的行為相近。因此，緊束縛模型電子的

能量與在孤立原子中的能量相近。孤立原子中電子的能量是一負(fù)值，所以

緊束縛模型電子的能量是負(fù)值。s態(tài)電子能量表達(dá)式

?(k)??i?J(O)??J(Rm)eik?Rm

n

即是例證。其中孤立原子中電子的能量?i是主項(xiàng)，是一負(fù)值，?J(0)

和?J(Rm)是小量，也是負(fù)值。

7.緊束縛模型下內(nèi)層電子的能帶與外層電子的能帶相比較，哪一個

寬？為什么？

[解答]以S態(tài)電子為例，緊束縛模型電子能帶的寬度取決于積分J

的大小，而積分

J(Rm)????i*(r)[V(r)?Vat(r?Rm)]?i(r?Rm)dr

的大小又取決于?i(r)與相鄰格點(diǎn)的?i(r?Rm)的交疊程度。緊束縛模型下,

內(nèi)層電子的?i(r)與?i(r?Rm)交疊程度小，外層電子的?i(r)與?i(r?Rm)交疊程度

大。因此，緊束縛模型下，內(nèi)層電子9

的能帶與外層電子的能帶相比，外層電子的能帶寬。

8.晶格常數(shù)為a的一維晶體中，電子的波函數(shù)為

?3?x,(2)?k(x)??f(x?⑶，f是某一函數(shù)，

(1)?k(x)?icosal???

求電子在以上狀態(tài)中的波矢。

[解答]由式？k(r?Rn)?eir?R?k(r)可知，在一維周期勢場中運(yùn)動的電子的

波函數(shù)滿足n

由此得

?k(x?a)?eika?k(x)o

3?3?(x?a)]?icos(x??)aa?k(x?a)?icos[

(1)3???ix)???k(x)?eika?k(x)a

于是e

因此得ika??l

k???

a，?3?5?,?，…aa

若只取布里淵區(qū)內(nèi)的值：??

a?k??

a,則有k??/a

?/(2)?k(x?a)?

I????f(x?a?la)??f[x?(l?l)a],令ll?????l?l,

得?k(x?a)?

ikal/???/ikaf(x?⑶？?(x)?e?k(x)?k?由上式知e?l

2?4?6?,?,?,??-aaa

k?0o

所以有k?0,?由此得在布里淵區(qū)內(nèi)的值為

9.一維周期勢場為

?l?mW2[b2?(x?na)2],當(dāng)na?b?x?na?bV(x)??2

?0，當(dāng)(n?l)a?b?x?na?b?

其中a?4b,W為常數(shù)，求出勢能的平均值。

[解答]由于勢能具有周期性，因此只在一個周期內(nèi)求平均即可，于

是得10

la/212blbl222??V(x)dx?V(x)dx?mW[b?x]dxa?a/24b??2b4b??b2

第五章晶格振動習(xí)題和答案mWll[b2x?x3]?mW2b28b36?b2b

1.什么叫簡正振動模式？簡正振動數(shù)目、格波數(shù)目或格波振動模式

數(shù)目是否是一回事？

[解答]為了使問題既簡化又能抓住主要矛盾，在分析討論晶格振動

時，將原子間互作用力的泰勒級數(shù)中的非線性項(xiàng)忽略掉的近似稱為間諧近

似。在間諧近似下，由N個原子構(gòu)成的晶體的晶格振動，可等效成3N個

獨(dú)立的諧振子的振動。每個諧振子的振動模式稱為間正振動模式，它對應(yīng)

著所有的原子都以該模式的頻率做振動，它是晶格振動模式中最簡單最基

本的振動方式。原子的振動，或者說格波振動通常是這3N個簡正振動模

式的線性迭加。

簡正振動數(shù)目、格波數(shù)目或格波振動模式數(shù)目是一回事，這個數(shù)目等

于晶體中所有原子的自由度數(shù)之和，即等3N。

2.長光學(xué)支格波與長聲學(xué)支格波本質(zhì)上有何差別？

［解答］長光學(xué)支格波的特征是每個原胞內(nèi)的不同原子做相對振動，振

動頻略較高，它包含了晶格振動頻率最高的振動模式。長聲學(xué)支格波的特

征原胞內(nèi)的不同原子沒有相對位移，原胞做整體運(yùn)動，振動頻率較低，它

包含了晶格振動頻率最低的振動模式，波速是一常數(shù)。任何晶體都存在聲

學(xué)支格波，但簡單晶格(非復(fù)式格子)晶體不存在光學(xué)支格波。

3.溫度一定，一個光學(xué)波的聲子數(shù)目多呢，還是聲學(xué)波的聲子數(shù)目

多？

［解答］頻率為?的格波的(平均)聲子數(shù)為

n(?)?l

e??/kBT?l

因?yàn)楣鈱W(xué)波的頻率?。比聲學(xué)波的頻率?A高，(e??O/kBT?l)大于

(e??A/kBT?l),所以在溫度一定情況下，一個光學(xué)波的聲子數(shù)目少于一個

聲學(xué)波的聲子數(shù)目。

4.對同一個振動模式，溫度高時的聲子數(shù)目多呢，還是溫度低時的

聲子數(shù)目多呢？

［解答］設(shè)溫度TH〉TL,由于(e??/kBTH?l)大于(e??/kBTL?l),所

以對同一個振動模式，溫度高時的聲子數(shù)目多于溫度低時的聲子數(shù)目。

5.高溫時，頻率為?的格波的聲子數(shù)目與溫度有何關(guān)系？

［解答］溫度很高時，e??/kBT?l???/kBT,頻率為?的格波的(平均)

聲子數(shù)為

?kBT??n(?)?l

e??/kBT?l

可見高溫時，格波的聲子數(shù)目與溫度近似成正比。

11

6.喇曼散射方法中，光子會不會產(chǎn)生倒逆散射？

［解答］晶格振動譜的測定中，光波的波長與格波的波長越接近，光

波與聲波的相互作用才越顯著。喇曼散射中所用的紅外光，對晶格振動譜

來說，該波長屬于長波長范圍。因此，喇曼散射是光子與長光學(xué)波聲子的

相互作用。長光學(xué)波聲子的波矢很小，相應(yīng)的動量?q不大。而能產(chǎn)生倒逆

散射的條件是光的入射波矢k與散射波矢k要大，散射角？也要大。k與k

大要求波長小，散射角?大要求?q大，但對喇曼散射來說，這兩點(diǎn)都不滿

足。即喇曼散射中，光子不會產(chǎn)生倒逆散射。

7.長聲學(xué)格波能否導(dǎo)致離子晶體的宏觀極化？

［解答］長光學(xué)波所以能導(dǎo)致離子晶體的宏觀極化，其根源是長光學(xué)

格波使得原胞內(nèi)不同的原子(正負(fù)離子)產(chǎn)生了相對位移，長聲學(xué)格波的

特點(diǎn)是，原胞內(nèi)所有的原子沒有位移。因此，長聲學(xué)格波不能導(dǎo)致離子晶

體的宏觀極化。

8.你認(rèn)為簡單晶體存在強(qiáng)烈的紅外吸收嗎？

［解答］實(shí)驗(yàn)已經(jīng)證實(shí)，離子晶體能強(qiáng)烈吸收遠(yuǎn)紅外光波。這種現(xiàn)象

產(chǎn)生的根源是離子晶體中的長光學(xué)橫波能與遠(yuǎn)紅外電磁場發(fā)生強(qiáng)烈耦合。

簡單晶格中不存在光學(xué)波，所以簡單晶格不會吸收遠(yuǎn)紅外光波。

9.愛因斯坦模型在低溫下與實(shí)驗(yàn)存在偏差的根源是什么？

［解答］按照愛因斯坦溫度的定義，愛因斯坦模型的格波的頻率大約

為10?z,屬于光學(xué)支頻率。但光學(xué)格波在低溫時對熱容的貢獻(xiàn)非常小，

低溫下對熱容貢獻(xiàn)大的主要是長聲學(xué)格波。也就是說愛因斯坦沒考慮聲學(xué)

波對熱容的貢獻(xiàn)是愛因斯坦模型在低溫下與實(shí)驗(yàn)存在偏差的根源。

10.在甚低溫下，德拜模型為什么與實(shí)驗(yàn)相符？

［解答］在甚低溫下，不僅光學(xué)波得不到激發(fā)，而且聲子能量較大的

短聲學(xué)格波也未被激發(fā)，得到激發(fā)的只是聲子能量較小的長聲學(xué)格波。長

聲學(xué)格波即彈性波。德拜模型只考慮彈性波對熱容的貢獻(xiàn)。因此，再甚低

溫下，德拜模型與事實(shí)相符，自然與實(shí)驗(yàn)相符。

11.在絕對零度時還有格波存在嗎？若存在，格波間還有能量交換

嗎？

［解答］頻率為?i的格波的振動能為13//

?i??ni????i,

其中ni??i是由ni個聲子攜帶的熱振動能，（？?i/2）是零點(diǎn)振動能，聲

子數(shù)??1?2?

ni?l

e??i/kBT?l

絕對零度時，ni?O。頻率為?i的格波的振動能只剩下零點(diǎn)振動能。

格波間交換能量是靠聲子的碰撞實(shí)現(xiàn)的。絕對零度時，聲子消失，格

波間不再交換能量。

第七章《固體中的原子鍵合》習(xí)題及答案

12

1.是否有與庫侖力無關(guān)的晶體結(jié)合類型？

［解答］共價結(jié)合中，電子雖然不能脫離電負(fù)性大的原子，但靠近的

兩個電負(fù)性大的原子可以各出一個電子，形成電子共享的形式，即這一對

電子的主要活動范圍處于兩個原子之間，通過庫侖力，把兩個原子連接起

來。離子晶體中，正離子與負(fù)離子的吸引力就是庫侖力。金屬結(jié)合中，原

子實(shí)依靠原子實(shí)與電子云間的庫侖力緊緊地吸引著。分子結(jié)合中，是電偶

極矩把原本分離的原子結(jié)合成了晶體。電偶極矩的作用力實(shí)際就是庫侖力。

氫鍵結(jié)合中，氫先與負(fù)性大的原子形成共價結(jié)合后，氫核與負(fù)電中心不在

結(jié)合，迫使它通過庫侖力再與另一個電負(fù)性大的原子結(jié)合?？梢姡芯?/p>

體結(jié)合類型都與庫侖力有關(guān)。

2.如何理解庫侖力是原子結(jié)合的動力？

［解答］晶體結(jié)合中，原子間的排斥力是短程力，在原子吸引靠近的

過程中，把原本分離的原子拉近的動力只能是長程力，這個長程吸引力就

是庫侖力。所以，庫侖力是原子結(jié)合的動力。

3.晶體的結(jié)合能，晶體的內(nèi)能，原子間的相互作用勢能有何區(qū)別？

［解答］自由粒子結(jié)合成晶體過程中釋放出的能量，或者把晶體拆散成

一個個自由粒子所需要的能量，稱為晶體的結(jié)合能。

原子的動能與原子間的相互作用勢能之和為晶體的內(nèi)能。

在0K時，原子還存在零點(diǎn)振動能。但零點(diǎn)振動能與原子間的相互作

用勢能的絕對值相比小得多。所以，在0K時原子間的相互作用勢能的絕

對值近似等于晶體的結(jié)合能。

4.原子間的排斥作用取決于什么原因？

［解答］相鄰的原子靠得很近，以至于它們內(nèi)層閉合殼層的電子云發(fā)生

重疊時，相鄰的原子間便產(chǎn)生巨大排斥力。也就是說，原子間的排斥作用

來自相鄰原子內(nèi)層閉合層殼電子云的重疊。

5.原子間的排斥作用和吸引作用有何關(guān)系？起主導(dǎo)的范圍是什么？

［解答］在原子由分散無規(guī)則的中性原子結(jié)合成規(guī)則排列的晶體過程

中，吸引力起了主要作用。在吸引力的作用下，原子間的距離縮小到一定

程度，原子間才出現(xiàn)排斥力。當(dāng)排斥力與吸引力相等時，晶體達(dá)到穩(wěn)定結(jié)

合狀態(tài)?？梢姡w要達(dá)到穩(wěn)定結(jié)合狀態(tài)，吸引力與排斥力缺一不可。設(shè)

此時相鄰原子間的距離為rO,當(dāng)相鄰原子間的距離r?rO時，吸引力起主

導(dǎo)作用；當(dāng)相鄰原子間的距離r?rO時,排斥力起主導(dǎo)作用。

6.共價結(jié)合為什么有“飽和性”和“方向性”？

［解答］設(shè)N為一個原子的價電子數(shù)目，對于IVA,VA,VIA,V11A族

元素，價電子殼層一共有8個量子態(tài)，最多能接納(8-N)個電子，形成

(8-N)個共價鍵，這就是共價結(jié)合的“飽和性二

共價鍵的形成只在特定的方向上，這些方向是配對電子波函數(shù)的對稱

軸方向，在這個方向上交迭的電子云密度最大。這就是共價結(jié)合的“方向

性二

7.共價結(jié)合，兩原子電子云交疊產(chǎn)生吸引，而原子靠近時，電子云

交疊會產(chǎn)生巨大的排斥力，如何解釋？

［解答］共價結(jié)合，形成共價鍵的配對電子，它們的自旋方向相反，這

兩個電子的電子云交迭使得體系的能量降低，結(jié)構(gòu)穩(wěn)定。但當(dāng)原子靠得很

近時，原子內(nèi)部滿殼層電子的電子云交迭，量子態(tài)相同的電子產(chǎn)生巨大的

排斥力，使得系統(tǒng)的能量急劇增大。

8.試解釋一個中性原子吸收一個電子一定要放出能量的現(xiàn)象。

［解答］當(dāng)一個中性原子吸收一個電子變成一個負(fù)離子，這個電子能穩(wěn)

定地進(jìn)入原子的殼層中，這個電子與原子核的庫侖吸引能的絕對值一定大

于它與其他電子的排斥能。但這個電子與原子核的庫侖吸引能是一個負(fù)值。

也就是說，當(dāng)中性原子吸收一個電子變成負(fù)離子后，這個離子的能量要低

于中性原子的能量。因此，13

一個中性原子吸收一個電子一定要放出能量。

9.為什么許多金屬為密積結(jié)構(gòu)？

［解答］金屬結(jié)合中，受到最小能量原理的約束，要求原子實(shí)與共有電

子電子云間的庫侖能要盡可能的低。原子實(shí)越緊湊，原子實(shí)與共有電子電

子云靠得就越緊密，庫侖能就越低。所以，許多金屬的結(jié)構(gòu)為密積結(jié)構(gòu)。

10.何為雜化軌道？

［解答］為了解釋金剛石中碳原子具有4個等同的共價鍵，1931年泡

林(Pauling)和斯萊特(Slater)提出了雜化軌道理論，碳原子有4個價電子，

它們分別對應(yīng)時，它們組成了4個新的量子態(tài)?1?

?2s,?2p,?2py,?2P量子態(tài)，在構(gòu)成共價鍵

x

z

?3?(?2s??2p??2p

x

12

y

11

(?2s??2px??2py??2pz)；?2?(?2s??2px??2py??2pz)；22

1

??2pz)；?4?(?2s??2px??2py??2pz)o4個電子分別占據(jù)？1,?2,

2

?3,?4新軌道，在四面體頂角方向形成4個共價鍵。

???

11.設(shè)離子晶體中，離子間的互作用勢為u(r)??

???

子間總的相互作用勢能U(RO)??

e2b

??m,最近鄰RR。證明：晶體平衡時，離e2?,最近鄰以外r

NZb

(m?l),其中Z是晶體配位數(shù)。mRO

證明：設(shè)離子數(shù)目為2N,以rij?ajR表示第j個離子到參考離子i的

距離，忽略表面效應(yīng)，則總的相互作用能可表示為

U?N[

?

/

?e2e2bb

?(?)??m]?N[??Zm],

ajR最近鄰RRR

1

)為馬德隆常數(shù)，+號對應(yīng)于異號離子，一號對應(yīng)于同號離子；Z為任

一離子的最近aj

其中

???/(?

dU

鄰數(shù)目。設(shè)平衡時R?RO,由平衡條件，

dr

ZmbZmbm?12

??e,即R?()o0m?12

RO?e

于是，晶體平衡時離子間總的相互作用勢能UO?N[?

1

?N[

RO

?e2

RO2

?

Zmb

]?0,得m?l

RO

ZmbZbNZb

?]??(m?l)ommm

RORORO

14

12.兩原子間互作用勢u(r)??

求?和？。？r2??r8,當(dāng)兩原子構(gòu)成一穩(wěn)定分子時，核間距為3A,解離

能為4eV,o

[解答]當(dāng)兩原子構(gòu)成一穩(wěn)定分子即平衡時，其相互作用勢能取極小

值，于是有

du(r)2?8??3?9?0odrr?rOrOrO

4?),(1)1

6由此得平衡時兩原子間的距離為r0?(?

而平衡時的勢能為u(rO)???

r02??r08??3?o(2)4r02

根據(jù)定義，解離能為物體全部離解成單個原子時所需要的能量，其值

等于u(rO)。已知解離能為4eV,因此得

o3??4eVo(3)4r02

再將rO?3A代入(1)、(3)兩式，得

13.勒納一瓊斯勢為

u(r)?4?[(??7.69?10?38J?m2,??1.40?10?95J?m8o?)12?()6],證明：r?1.12?

時，勢能最小,且u(r)???；當(dāng)r??rr?

時，u(r)?0；說明？和？的物理意義。

[解答]當(dāng)r?rO時，u(r)取最小值u(rO),由極值條件du(r)?O,drr?rO

得4?(?12

?12r013?6?6r07)?0o于是有r0?2??1.12?o

再代入u的表示式得

??llu(r0)?4?[()12?()6]?4?(?)???or0r042

當(dāng)r??時，則有u(?)?4?[(?12?6)?()]?0o??

由于u(rO)是兩分子間的結(jié)合能，所以？即是兩分子處于平衡時的結(jié)合

能。？具有長度的量綱，它的物理15

意義是互作用勢能為0時兩分子間的間距。

第八章缺陷習(xí)題答案

1.為什么形成一個肖脫基缺陷所需能量比形成一個弗侖克爾缺陷所

需能量低？

[解答]形成一個肖特基缺陷時、晶體內(nèi)留下一個空位，晶體表面多

一個原子。因此形成一個肖特基缺陷所需的能量，可以看成晶體表面一個

原子與其他原子的作用能，和晶體內(nèi)部一個原子與其他原子的相互作用能

的差值。形成一個弗侖克爾缺陷時，晶體內(nèi)留下一個空位，多一個填隙原

子。因此形成一個弗侖克爾缺陷所需要的能量，可以看成晶體內(nèi)部一個填

隙原子與其他原子的相互作用能，和晶體內(nèi)部一個原子與其他原子相互作

用能的差值。填隙原子與相鄰原子的距離非常小，它與其他原子的排斥能

比正常原子間的排斥能大得多。由于排斥能是正值，包括吸引能和排斥能

的相互作用能是負(fù)值，所以填隙原子與其他原子的相互作用能絕對值，比

晶體表面一個原子與其他原子相互作用能的絕對值要小。也就是說，形成

一個肖特基缺陷所需能量比形成一個弗侖克爾缺陷所需能量要低。

2.金屬淬火后為什么變硬？

［解答］晶體的一部分相對于另一部分的滑移，實(shí)際是位錯線的滑移,

位錯線的移動是逐步進(jìn)行的，使得滑移的切應(yīng)力最小。這就是金屬一般較

軟的原因之一。顯然，要提高金屬的強(qiáng)度和硬度，似乎可以通過消除位錯

的辦法來實(shí)現(xiàn)。但事實(shí)上位錯是很難消除的。相反，要提高金屬的強(qiáng)度和

硬度，通常采用增加位錯的辦法來實(shí)現(xiàn)。金屬淬火就是增加位錯的有效辦

法。將金屬加熱到一定高溫，原子振動的幅度比常溫時的幅度大得多，原

子脫離正常格點(diǎn)的幾率比常溫時大得多，晶體中產(chǎn)生大量的空位、填隙缺

陷。這些點(diǎn)缺陷容易形成位錯。也就是說，在高溫時，晶體內(nèi)的位錯缺陷

比常溫時多得多。高溫的晶體在適宜的液體中急冷，高溫時新產(chǎn)生的位錯

來不及恢復(fù)和消退，大部分被存留下來。數(shù)目眾多的位錯相互交織在一起,

某一方向的位錯的滑移，會受到其他方向位錯的牽制，使位錯滑移的阻力

大大增加，使得金屬變硬。

3.在位錯滑移時，刃位錯上原子受的力和螺位錯上原子受的力各有

什么特點(diǎn)？

［解答］在位錯滑移時，刃位錯上原子受力的方向就是位錯滑移的方向。

但螺位錯滑移時，螺位錯上原子受力的方向與位錯滑移的方向相垂直。

4.離子晶體中正負(fù)離子空位數(shù)目、填隙原子數(shù)目都相等，在外電場

作用下，它們對導(dǎo)電的貢獻(xiàn)完全相同嗎？

［解答］在正負(fù)離子空位數(shù)目、填隙離子數(shù)目都相等情況下，AB離子

晶體的熱缺陷對導(dǎo)電的貢獻(xiàn)只取決于它們的遷移率？。設(shè)正離子空位附近

的離子和填隙離子的振動頻率分別為?Au和？Ai,正離子空位附近的離子

和填隙離子跳過的勢壘高度分別為EAu和EAi,負(fù)離子空位附近的離子和

填隙離子的振動頻率分別為?Bu和?Bi,負(fù)離子空位附近的離子和填隙離

子跳過的勢壘高度分別為EBu和EBu,則有

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?A

?

u

?

ea2vAu

kBT

?

e

?EA??/kBT

,?Ai

?

?

ea2vAi

kBT

?

e

?EAi?/kBT

?B?

u

?

ea2vB??kBT

e

?EB??/kBT

?B??

i

ea2vBi

kBT

?

e

?EBi?/kBT

o由空位附近的離子跳到空位上的幾率，比填隙離子跳到相鄰間隙位

置上的幾率

?

?

大得多，可以推斷出空位附近的離子跳過的勢壘高度，比填隙離子跳

過的勢壘高度要低,即EAu<EAi,

??????

EBu<EBuo?Au<?Ai,?Bu<?Bi,另夕卜,由于A?和B?的離子半

徑不同，質(zhì)量不同，所以一般

16

????????EA?