2020-2021屆高三第三次診斷考試數(shù)學(xué)（理）試卷含答案

2020屆三診考試（kdoshi）

數(shù)學(xué)（shuxue）（理科（ITk6））試題（shi11）

本試卷（shlju臺(tái)n）分第I卷（選擇題）和第H卷（非選擇題）兩部分?？?/p>

分150分。考試時(shí)間120分鐘。

第?卷（選擇題，滿(mǎn)分60分）

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)用0.5毫米的黑色墨水簽字筆填寫(xiě)在答題卡上。并檢查條形碼粘

貼是否正確。

2.選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡對(duì)應(yīng)題目標(biāo)號(hào)的位置上，非選擇題用0.5毫米黑色墨水簽字筆書(shū)寫(xiě)在答題卡對(duì)

應(yīng)框內(nèi)，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將答題卡收回。

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每個(gè)小題給出的四

個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的。

1.設(shè)加,〃eR,則“加是W1”的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.若復(fù)數(shù)上匕為純虛數(shù)（i為虛數(shù)單位，。為實(shí)數(shù)），則/的值為

\+a\

A.4B.9C.-D.1

4

3.某人口大縣舉行“《只爭(zhēng)朝夕，決戰(zhàn)決勝脫貧攻堅(jiān)》扶貧知識(shí)政策答題比

賽”，分初賽和復(fù)賽兩個(gè)階段進(jìn)行，規(guī)定：初賽成績(jī)大于90分的具有復(fù)

賽資格，某校有1000名學(xué)生參加了初賽，所有學(xué)生的成績(jī)均在區(qū)間

（30,150］內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示，則獲得復(fù)賽資格的人數(shù)為

A.650B.660C.680D.700

71

4.已知a滿(mǎn)足(minzU)cos(—+a)=—,則cos2a=

23

5.方程(fdngchGng)(x2-y2-y-2=0表示的曲線(xiàn)(quxian)的大致形狀是

6.《周髀算經(jīng)》有這樣一個(gè)問(wèn)題：從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨

水、驚蟄、春分(chUnfOn)、清明、谷雨、立夏、小滿(mǎn)、芒種十二個(gè)節(jié)氣

日影長(zhǎng)減等寸，雨水、驚蟄、春分、清明日影之和為三丈二尺，前七個(gè)節(jié)

氣日影之和為七丈三尺五寸，問(wèn)谷雨日影長(zhǎng)為

A.七尺(qichi)五寸B.六尺五寸C.五尺五寸D.四尺五

寸

7.設(shè)/(x)是定義在7?上恒不為零的函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)都有

=f(x+y),若q=5,a”=/(〃)(〃GM)，則數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和

S”的取值范圍是

8.2019年慶祝中華人民共和國(guó)成立70周年閱兵式彰顯了中華民族從站起

來(lái)、富起來(lái)邁向強(qiáng)起來(lái)的雄心壯志.閱兵式規(guī)模之大、類(lèi)型之全均創(chuàng)歷史

之最，編組之新、要素之全彰顯強(qiáng)軍成就(chGngjiii).裝備方陣堪稱(chēng)“強(qiáng)

軍利刃(lirM)”“強(qiáng)國(guó)(qidnggu6)之盾”，見(jiàn)證著人民軍隊(duì)邁向世界

一流軍隊(duì)的堅(jiān)定步伐(bQfd),其中空中梯隊(duì)編有12個(gè)梯隊(duì)，在領(lǐng)隊(duì)機(jī)梯

隊(duì)、預(yù)警(y€ijing)指揮機(jī)梯隊(duì)、轟炸機(jī)梯隊(duì)、艦載機(jī)梯隊(duì)、殲擊機(jī)梯

隊(duì)、陸航突擊梯隊(duì)這6個(gè)梯隊(duì)中，某學(xué)校為宣傳的需要，要求甲同學(xué)需從

中選3個(gè)梯隊(duì)了解其組成情況，其中艦載機(jī)梯隊(duì)、殲擊機(jī)梯隊(duì)兩個(gè)梯隊(duì)中

至少選擇一個(gè)，則不同的選法種數(shù)為.

A.12種B.16種C.18種D.20種

3rX>0(\\

9.設(shè)函數(shù)/(x)=<',若。=一/log2M，b=/(log24.2),

-3\x<0k5J

c=/(207),則。，Ac的大小關(guān)系為

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<a<bD.c<b<a

10.已知正三棱柱/8C-的底面邊長(zhǎng)為后，且該三棱柱外接球的表面

積為14%，若尸為底面48￡的中心，則21與平面4BC所成角的大小為

A.-B.-C.-D.—

34612

Jv2

11.已知不苣是雙曲線(xiàn)三-1=1(?！?力〉0)的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線(xiàn)上

存在點(diǎn)P滿(mǎn)足麗.斯=-2。2,則雙曲線(xiàn)離心率的最小值為

A.V6B.75C.V3D.V2

12.已知函數(shù)(hdnshii)/'(》,田=》111(24>)+卜-》111乂若存在(加1124

i)x,yw(0,+oo)使得(shide)/(x,y)=O,則實(shí)數(shù)(shish￡i)。的最大值為

s1n101n2

A.-D.—C.—D.一

e2e3ee

第II卷(非選擇題，滿(mǎn)分(m3nf?n)90分)

注意事項(xiàng)：

1.請(qǐng)用藍(lán)黑鋼筆或圓珠筆在第II卷答題卡上作答，不能答在此試卷上。

2.試卷中橫線(xiàn)及框內(nèi)注有的地方，是需要你在第II卷答題卡上作答。

本卷包括必考題和選考題兩部分。第13題至第21題為必考題，每個(gè)試

題考生都作答；第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

二、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分。

13.曲線(xiàn)任=Y-2X-lnx+2在點(diǎn)在1)處的切線(xiàn)的傾斜角為▲。

14.已知兩個(gè)單位向量［、1的夾角為60。，向量肅=32或，則

▲O

15.已知點(diǎn)A/(0,2),過(guò)拋物線(xiàn)=4x的焦點(diǎn)少的直線(xiàn)力8交拋物線(xiàn)于4，B兩點(diǎn),

AM-FM=0,則點(diǎn)8的縱坐標(biāo)為▲。

16.如圖，平行六面體平BC。-V中,

AB=5,AD=3,AA,=1,ABAD=-,

13

rr

ABAA,=ND44=彳,則4G的長(zhǎng)為

▲

三、解答(j沱dd)題：本大題共70分。解答應(yīng)(ddying)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明

過(guò)程或演算步驟。

17.(本小題滿(mǎn)分(mGnfOn)12分)

函數(shù)(hdnshii)f(x)=Asin(tyx+(p)(A>0,。>0,0</<乃)的部分(b(ifen)

圖象如圖所示，又函數(shù)g(x)=/jx+￡

kO

(1)求函數(shù)g(x)的單調(diào)增區(qū)間;

(2)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為“，b,c,又c=G,且

銳角C滿(mǎn)足g(C)=-l,若sin8=2sin4,M為/。邊的中點(diǎn)，求ABMC的周

長(zhǎng)。

18.(本小題滿(mǎn)分12分)

如圖，在長(zhǎng)方體4BCD-HKLE中,底面48GD是邊長(zhǎng)為3的正方形，對(duì)

角線(xiàn)AC與8。相交于點(diǎn)

點(diǎn)戶(hù)在線(xiàn)段47上，且2萬(wàn)+赤=6,

rr

BE與底面48CZ)所成角為工。

3

(1)求證：ACtBE；

(2)求二面角歹-的余弦值；

(3)設(shè)點(diǎn)M在線(xiàn)段8。上，且〃平面8跖,

19.(本小題滿(mǎn)分(mdnf@n)12分)

某中學(xué)(zhOngxud)舉行“新冠肺炎(fEydn)”防控知識(shí)閉卷考試比賽，

總分獲得一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)的代表隊(duì)人數(shù)情況如下表，其中一等獎(jiǎng)代

表隊(duì)比三等獎(jiǎng)代表隊(duì)多10人。該校政教處為使頒獎(jiǎng)儀式有序進(jìn)行(jinxi

ng),氣氛活躍，在頒獎(jiǎng)過(guò)程中穿插抽獎(jiǎng)活動(dòng)。并用分層抽樣的方法從三個(gè)代

表隊(duì)中共抽取16人在前排(qidnpdi)就坐，其中二等獎(jiǎng)代表隊(duì)有5人(同隊(duì)

內(nèi)男女生仍采用分層抽樣)

名次一等獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)三等獎(jiǎng)

性別代表隊(duì)代表隊(duì)代表隊(duì)

男生?30◎

女生302030

(1)從前排就坐的一等獎(jiǎng)代表隊(duì)中隨機(jī)抽取3人上臺(tái)領(lǐng)獎(jiǎng)，用X表示女

20.(本小題滿(mǎn)分12分)

已知函數(shù)/(x)=sinx-xcosx.

(1)判斷函數(shù),f(x)在區(qū)間(0,2%)上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由。

(2)當(dāng)0<x<"時(shí),

①比較x-l與Inx的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由;

②證明：ln[/(x)]+1<eCQSV(x)-cosxo

21.（本小題滿(mǎn)分（mdn&n）12分）

如圖，定義：以橢圓（tubyudn）中心為圓心，長(zhǎng)軸為直徑的圓叫做橢圓的

“輔助（fCizhti）圓”。過(guò)橢圓（tubyudn）第四象限內(nèi)一點(diǎn)M作x軸的垂線(xiàn)（chui

xidn）交其“輔助圓”于點(diǎn)N,當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)M的下方時(shí)，稱(chēng)點(diǎn)N為點(diǎn)〃的

Jv2=1（。＞6〉0）上的點(diǎn)（1,-*）的下輔助點(diǎn)

“下輔助點(diǎn)”。已知橢圓

a2b2

為（1廠1）。

（1）求橢圓E的方程；

（2）若AOA/N的面積等于獨(dú)二四，求下輔助點(diǎn)N的坐標(biāo);

8

（3）已知直線(xiàn)/：x-my-/=O與橢圓E交于不同

的A,B兩點(diǎn),若橢圓E上存在點(diǎn)P,使得四邊形

。/尸8是對(duì)邊平行且相等的四邊形。求直線(xiàn)/與坐標(biāo)軸

圍成的三角形面積最小時(shí)的蘇+產(chǎn)的值。

請(qǐng)考生在第22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題

計(jì)分。

22.（本小題滿(mǎn)分10分）選修4一4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系X0T中，將曲線(xiàn)方程（=2）-+（y<2）=],先向左平移2個(gè)

164

單位，再向上平移2個(gè)單位，得到曲線(xiàn)C。

（1）點(diǎn)為曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)，寫(xiě)出曲線(xiàn)。的參數(shù)方程，并求出,X-島

的最大值；

[x=2/

(2)設(shè)直線(xiàn)(zhixiGn)/的參數(shù)(cdnshfi)方程為J，(，為參數(shù)(cGnshfi)),

y=2-t

又直線(xiàn)/與曲線(xiàn)（qUxidn）C的交點(diǎn)（jidodidn）為E,F,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半

軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過(guò)線(xiàn)段E廠的中點(diǎn)旦與/垂直的直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程。

23.（本小題滿(mǎn)分10分）選修4—5：不等式選講

已知函數(shù)/（x）=|2x-3|,g（x）=\2x+a+b\

（1）解不等式/（X）<x2；

(2)當(dāng)a>0,b〉0時(shí)，若/3)=/(》)+8(%)的值域?yàn)閇5,+8),求證:

112

------------------1------------------N-o

。+26+23

▲

數(shù)學(xué)（理科）試題參考答案及評(píng)分意見(jiàn)

一、選擇題(12X5=60分)

題號(hào)123456789101112

答案CDAABCDBAACB

二'填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分。

13.-7i14.V715.-116.也8+56」(選修2-lPg8

4

第3題)

三、解答(j沱dd)題：本大題共70分。

17.(本小題滿(mǎn)分(mdnf@n)12分)

【解析(ji占XI)](1)由函數(shù)

(hdnshii)/(x)=Asin(a)x+0)(A〉0,0>0,0<°<])的部分(biifen)圖象可得

一=2(號(hào)/，即一，則口號(hào)=2,又函數(shù)圖像過(guò)點(diǎn)((,2

貝IJ2x巳+e=2k兀+—,

82

rrrr

即°=2〃乃+—,%eZ,又0<夕<]，即°=—,(4電9每個(gè)值1分)

44

BP/(x)=2sin(2x+—),則g(x)=2sin[2(x+&)+芻=2cos2x......4

484

分

由2k兀-7T<2x<2k兀,keZ,--<x<k/r,keZ,

2

rr

所以函數(shù)g(x)的單調(diào)增區(qū)間為k7i-^kn,keZ………6分(少女eZ扣

1分)

1rr

(2)由g(C)=-l,得cos2C=-一，因?yàn)?<?！瓷?<2。〈不，

22

所以2C=女，C=-,

33

又sinB=2sinA,由正弦定理得2=2①.......8分

a

由余弦定理，得。2=。2+〃一2abcosg,a2+b2-ab=3（2）.

由①2解得a=l,b=2■......10分

又C=VL所以q2+c2=b2,所以A4BC為直角三角形，且角8為直

角。

=-AC^-b=\,所以A5MC的周長(zhǎng)為

22

BM+MC+CB=\+\+\=3o......12分

18.（本小題滿(mǎn)分（mdnf@n）12分）

【解析（ji占xi）］（1）因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體ABCD-//KLE中，有DE1平面

（plngmian）ABCD,所以（sudyi）DE_LZC,

因?yàn)椋▂inwdi）四邊形ABCQ是正方形，所以又

BDCDE=。從而AC1,平面BDE■而B(niǎo)Eu平面BDE,所以

AC1BE.......4分

（2）因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體ABCD-"燈石中，有DA,DC,OE兩兩垂直,

所以建立空間直角坐標(biāo)系。-砂z如圖所示.

由（1）知ND8E為直線(xiàn)8E與平面ABCQ所品的缶

E

JT

又因?yàn)锽E與平面ABCQ所成角為y,

所以/DBE=X

3

所以^^二0,由，。=3可知。E=，F(xiàn)

DB

所以/〃=3c，又2赤+訴=6,A

y

BPAF=^AH,故—=

則4（3,0,0）,F（3,0,V6）,￡（0,0,3V6）,5（3,3,0）,C（0,3,0）,

所以麗=（0,-3,6），￡F=（3,0,-2V6）

、nTHAA、+-曰斗7\\n-BF=0

設(shè)平面8石廠的法向量為〃=（x,y,z）,貝niIl"—,

〃?EF-0

_3y,^6z=0/

即.廣，令z=C，貝1J〃=4,2,6.......7分

3x-2V6z=0'7

因?yàn)锳C,平面89E,所以9為平面BDE的法向量，C4=（3,-3,0）,

…—n-CA6V13

所以C0SV〃,G4>=|—|="----r==-------.

同月726x37213

因?yàn)槎娼菫殇J角，所以二面角尸-8E-。的余弦值為史?......9

13

分

（3）點(diǎn)Af是線(xiàn)段（xidndudn）BO上一個(gè)（yigG）動(dòng)點(diǎn)，設(shè)Af（/J,0）,則

加=（/_3/,0）,

因?yàn)椋▂inw6i）AM〃平面（pingmidn）所以（subyi）/A/.〃=0,

即4（/一3）+2/=0,解得/=2.

此時(shí)，點(diǎn)"坐標(biāo)為（2,2,0）,DM=^BD=2y[2,符合題意.......

12分

19.（本小題滿(mǎn)分12分）

【解析】（D設(shè)代表隊(duì)共有〃人，貝1]a=型，所以〃=160,設(shè)一等獎(jiǎng)代表隊(duì)

16n

男生人數(shù)為X,則x+30+20+30+（x—10）+30=160,解得x=30,則

一等獎(jiǎng)代表隊(duì)的男生人數(shù)為30,故前排就坐的一等獎(jiǎng)代表隊(duì)有3男3

女，共6人。......2分

則X的可能取值為0,1,2,3O

則

1CC?99

p(X=0)=3,P[X=1)==——，P(X=2)==—

Cl20C：20Cl20

C3C01

,p(X=3)=^-=—,所以X的分布列

Cl20

X0123

1991

p

20202020

5分

19913

￡(%)=0x—+lx—+2x—+3x—=-6分

202020202

(2)試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)镼=｛國(guó)"-24x<2,-2<y<2),

面積為SQ=4X4=16,8分

事件(shijiGn)A表示(bidoshi)代表隊(duì)隊(duì)員(du〕yuan)獲得獎(jiǎng)品

-2<x<2

-2<y<2

(jiangpin),所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?=，

x+y<1

x+y>-2

如圖陰影(yinying)部分的面積為

SA

即代表隊(duì)隊(duì)員獲得獎(jiǎng)品的概率為1上Q。

32

.............12分

20.(本小題滿(mǎn)分12分)

【解析】：⑴因?yàn)?(x)=sinx-xcosx,所以

/(X)=cosx-(cosx-xsinx)=xsinx,

當(dāng)x￡(0,句時(shí),vsinx>0,/.f'{x}>0,/(x)在(0,萬(wàn))上單調(diào)遞

增，/(x)>/(0)=0,.??/(x)在(0,可上無(wú)零點(diǎn)；.....

3分

當(dāng)xe(肛2旬時(shí)，；sinx<0,,f/(x)<0,/(%)在(%,2蘇上單調(diào)遞

減，/(〃)=乃>0,/(2])=一2乃<0,.../(X)在(4,2萬(wàn))上有唯一零

點(diǎn)；

綜上，函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,2%)上有唯一一個(gè)零點(diǎn)。......5

分

(2)①x-1>Inx,.............6

分

證明過(guò)程如下：

設(shè)函數(shù)g(x)=x-(l+lnx)=x-lnx-l,貝ljg/(x)=^~~-(0<x<^),

令g'(x)<0，得0<x<1；令g'(x)〉0,得l<x<萬(wàn)?所以，

函數(shù)y=g(x)在區(qū)間(0』)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(1/)上單調(diào)遞增.

則函數(shù)(hdnshii)y=g(x)在x=l處取得(qdd6)極小值，亦即最小值，

即g(x)min=g()=°，

即九一lnx-120；

綜上x(chóng)-lNlnx成立(chengl

|).............9分

②證明(zhVngming)In[/(%)]+1<*"/(x)-cosx成立(chengli),即證

明ln(sinx-xcosx)<(sinx-xcosx)ecosx-cosx-1成立，

因?yàn)?")在(0,加上單調(diào)遞增，.??/(x)>/(0)=0,

BPsinx-xcosx>0,所以(sinx-xcosx)*1〉0,

由①知上一INlnx,即有x>l+lnx,

有(sinx-xcosx)ecosr>1+ln[(sinx-xcosx)eC°sx]成立，當(dāng)x=§時(shí)，

___n)

(sin、—1cosge8s5=l+ln[(sin'-■|cosge8'5],此時(shí)能取等號(hào)。

即(sinx-xcosx)ecosv>1+ln(sinx-xcosx)+cosx,

SPln[/(x)]+1<ecmxf(x)-cosxJt.............12分

21.（本小題滿(mǎn)分12分）

22

【解析】：（1）橢圓E:=+4=l（a>b>0）上的點(diǎn)（1,-在）的下輔助點(diǎn)為

a2b2

???輔助圓的半徑為R=J12+（_］）2=&,橢圓長(zhǎng)半軸為q=R=&,

將點(diǎn)（1,-1）代入橢圓方程;+4=1中，解得8=1,

*''橢圓(tuoyuan)E的方程(fdngchdng)為

2、

一r+'2=1;......4分

2

（2）設(shè)點(diǎn)N（x（,J。）（必）<0）,則點(diǎn)〃（%,乂）（必<0）,將兩點(diǎn)坐標(biāo)（zu6bido）

分別代入輔助圓方程（fangch6ng）和橢圓方程可得，=2,

蓑+齊=1,故田=2y~,即為=后必，

又SbOMN=；Xo（M一為）=2$：匹,貝IJxoy}=

Zo4

'_V2[_V6

xx

rzv2o~o~

1聯(lián)立可解得

42V6V2

ro=_Th="T

工當(dāng)或

.??下輔助（fCizhd）點(diǎn)N的坐標(biāo)為

冬冬7分

（3）由題意可設(shè)4（和弘）,B（x2,y2）.

2

X2

聯(lián)立了+?整理得（/+2）/一\-lmty+t2-2=0,

x=my-^t

則△=8（/+272）〉0.

-2mt

必+歹2=2c

根據(jù)韋達(dá)定理得m......8分

叫=川t-+22

因?yàn)樗倪呅巍?PB是對(duì)邊平行且相等和容易變形的四邊形，即四邊形

。47歸恰好為平行四邊形，所以加=蘇+而.所以%=必+g=―~

m+2

/\c4，

=Xj+x=my+/+my+/=磯必+%)+2]=—---

2x2"+2

因?yàn)?yinwOi)點(diǎn)P在橢圓(tubyudn)E上，所以

16/24w2/2

(suoyi)\r=.

2(zW72+2)(W2+2)

4(m2+2]t2

整理(zhMgli)得-----*=1,即

(W2+2)

4/2=m2+2......10分

在直線(xiàn)(zhixidn)/：=0中，由于直線(xiàn)/與坐標(biāo)軸圍成三角

形，貝(J/W0,加H0.

令x=0,得丫=-工，令歹=0,得》=/.

m

所以三角形面積為

「LIt1W2+2if,,2>1rr41

S=_/---=--------=-\tn\-\---->-x2\12=

2m8\m\8(\m\)84

當(dāng)且僅當(dāng)加2=2,/=］時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)A=24>0.且有

m~+t2=3.

故所求加+產(chǎn)的值為3.

12分

22.（本小題滿(mǎn)分10分）

【解析】：⑴將曲線(xiàn)方程寸+7=1,先向左平移2個(gè)單位，再向上平

移2個(gè)單位，得到曲線(xiàn)。的方程為也即

164

xy,x=4cos6

----1.......-1,故曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為J.(0為參

164[y=2sin^

數(shù))；........2分

又點(diǎn)"(x,y)為曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)，

所以]1一=2cos^-2V3sin^=4cos(6+?),

所以gx—gy的最大值為4................5分

(2)由(1)知曲線(xiàn)(qUxidn)。的直角坐標(biāo)(zhijiflozuobido)方程為

Xy"Ir=2/

—+—=1,又直線(xiàn)(zhixidn)/的參數(shù)(cdnshii)方程為『,

1641y=