中考數(shù)學(xué)全程復(fù)習(xí)方略第十三講二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)課件

第十三講二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)考點(diǎn)一二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)【主干必備】一、二次函數(shù)的概念及其關(guān)系式1.二次函數(shù)的概念:形如________________(a,b,c是常數(shù),a≠0)的函數(shù).

y=ax2+bx+c2.二次函數(shù)的解析式:(1)一般式:______________________.

(2)頂點(diǎn)式:y=a(x-h)2+k(a≠0),其頂點(diǎn)坐標(biāo)是____________.

y=ax2+bx+c(a≠0)(h,k)二、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)圖象a>0a<0

函數(shù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)性質(zhì)拋物線開(kāi)口向上拋物線開(kāi)口向下對(duì)稱軸是直線x=____,頂點(diǎn)是________當(dāng)x<-時(shí),y隨x的增大而___________;當(dāng)x>-時(shí),y隨x的增大而___________

當(dāng)x<-時(shí),y隨x的增大而___________;當(dāng)x>-時(shí),y隨x的增大而___________

減小增大增大減小函數(shù)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)性質(zhì)拋物線有最低點(diǎn),當(dāng)x=-時(shí),y有最小值,y最小值=拋物線有最高點(diǎn),當(dāng)x=-時(shí),y有最大值,y最大值=【核心突破】例1(2018·成都中考)關(guān)于二次函數(shù)y=2x2+4x-1,下列說(shuō)法正確的是 (

)A.圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)B.圖象的對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)C.當(dāng)x<0時(shí),y的值隨x值的增大而減小D.y的最小值為-3D【明·技法】由二次函數(shù)解析式判斷性質(zhì)的方法1.由函數(shù)頂點(diǎn)式直接確定頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸.2.根據(jù)開(kāi)口方向和頂點(diǎn)坐標(biāo)確定函數(shù)的增減性或函數(shù)的最值.3.根據(jù)b2-4ac的符號(hào)確定其與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù).【題組過(guò)關(guān)】1.(2019·自貢中考)一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù)y=

的圖象如圖所示,則二次函數(shù)y=ax2+bx+c的大致圖象是 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)(

)A2.(2019·蘭州中考)已知點(diǎn)A(1,y1),B(2,y2)在拋物線y=-(x+1)2+2上,則下列結(jié)論正確的是 (

)世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)A.2>y1>y2

B.2>y2>y1C.y1>y2>2 D.y2>y1>2A3.(2019·安慶桐城市期末)二次函數(shù)y=-x2+(8-m)x+12,當(dāng)x>2時(shí),y隨著x的增大而減小;當(dāng)x<2時(shí),y隨著x的增大而增大,則m的值為 (

)A.-4

B.4

C.6

D.10B4.(2019·上海靜安區(qū)一模)拋物線y=ax2+(a-1)(a≠0)經(jīng)過(guò)原點(diǎn),那么該拋物線在對(duì)稱軸左側(cè)的部分是____________的.(填“上升”或“下降”)

下降考點(diǎn)二二次函數(shù)圖象的平移【核心突破】例2(1)(2019·濟(jì)寧中考)將拋物線y=x2-6x+5向上平移兩個(gè)單位長(zhǎng)度,再向右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度后,得到的拋物線解析式是 (

)A.y=(x-4)2-6

B.y=(x-1)2-3C.y=(x-2)2-2 D.y=(x-4)2-2D(2)(2018·紹興中考)若拋物線y=x2+ax+b與x軸兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為2,稱此拋物線為定弦拋物線,已知某定弦拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1,將此拋物線向左平移2個(gè)單位,再向下平移3個(gè)單位,得到的拋物線過(guò)點(diǎn)(

)A.(-3,-6) B.(-3,0)C.(-3,-5) D.(-3,-1)B【明·技法】二次函數(shù)圖象的平移變換(1)具體步驟:先利用配方法把二次函數(shù)化成y=a(x-h)2+k的形式,確定其頂點(diǎn)(h,k),然后作出二次函數(shù)y=ax2的圖象,將拋物線y=ax2平移,使其頂點(diǎn)平移到(h,k).具體平移方法如圖所示:(2)平移規(guī)律:在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“左加右減”.【題組過(guò)關(guān)】1.(2019·紹興中考)在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=(x+5)(x-3)經(jīng)變換后得到拋物線y=(x+3)(x-5),則這個(gè)變換可以是 (

)A.向左平移2個(gè)單位 B.向右平移2個(gè)單位C.向左平移8個(gè)單位 D.向右平移8個(gè)單位B2.(2019·臺(tái)州溫嶺市期末)把拋物線y=ax2+bx+c的圖象先向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度,所得的圖象的解析式是y=x2+5x+5,則a-b+c的值為

(

)A.2

B.4 C.8

D.14A3.(2019·廣東模擬)如圖,點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(1,4)和(4,4),拋物線y=a(x-m)2+n的頂點(diǎn)在線段AB上運(yùn)動(dòng),與x軸交于C,D兩點(diǎn)(C在D的左側(cè)),點(diǎn)C的橫坐標(biāo)最小值為-3,則點(diǎn)D的橫坐標(biāo)最大值為_(kāi)_______.

84.(2019·安徽模擬)如圖,拋物線y1=ax2-x+c與x軸交于點(diǎn)A(-3,0)和點(diǎn)B,并經(jīng)過(guò)點(diǎn),拋物線y1的頂點(diǎn)為C.將拋物線y1平移后得到頂點(diǎn)為B且對(duì)稱軸為直線l的拋物線y2. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)(1)求拋物線y2的表達(dá)式.(2)在直線l上是否存在點(diǎn)P,使△PBC為等腰三角形?若存在,請(qǐng)求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】(1)由于拋物線y1=ax2-x+c與x軸交于點(diǎn)A(-3,0)和點(diǎn)B,并經(jīng)過(guò)點(diǎn),∴解得∴拋物線y1=當(dāng)y1=0時(shí),=0,解得x1=-3,x2=1,∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0),∵將拋物線y1平移后得到頂點(diǎn)為B且對(duì)稱軸為直線l的拋物線y2.∴拋物線y2的表達(dá)式為:y2=-(x-1)2.(2)在直線l上存在點(diǎn)P,使△PBC是等腰三角形,由y1=-x2-x+=-(x+1)2+2可知C點(diǎn)的坐標(biāo)為(-1,2),根據(jù)勾股定理得BC=設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,m),分三種情況:①當(dāng)PB=PC時(shí),m2=22+(m-2)2,解得m=2,此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為(1,2);②當(dāng)PB=BC時(shí),m2=(2)2,解得m=±2,此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為(1,2)或(1,-2);③當(dāng)PC=BC時(shí),22+(m-2)2=(2)2,解得m=4或m=0(舍去),此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為(1,4);綜上,△PBC是等腰三角形時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,2)或(1,2)或(1,-2)或(1,4).考點(diǎn)三二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系【核心突破】例3(2019·隨州中考)如圖所示,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,OA=OC,對(duì)稱軸為直線x=1,則下列結(jié)論:①abc<0;②a+=0;③ac+b+1=0;④2+c是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一個(gè)根.其中正確的有 (

)A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)B【明·技法】二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與字母系數(shù)的關(guān)系字母或代數(shù)式字母的符號(hào)圖象的特征aa>0開(kāi)口向上|a|越大開(kāi)口越小a<0開(kāi)口向下字母或代數(shù)式字母的符號(hào)圖象的特征bb=0對(duì)稱軸為y軸ab>0(b與a同號(hào))對(duì)稱軸在y軸左側(cè)ab<0(b與a異號(hào))對(duì)稱軸在y軸右側(cè)cc=0經(jīng)過(guò)原點(diǎn)c>0與y軸正半軸相交c<0與y軸負(fù)半軸相交字母或代數(shù)式字母的符號(hào)圖象的特征b2-4acb2-4ac=0與x軸有唯一交點(diǎn)(頂點(diǎn))b2-4ac>0與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)b2-4ac<0與x軸沒(méi)有交點(diǎn)特殊關(guān)系當(dāng)x=1時(shí),y=a+b+c當(dāng)x=-1時(shí),y=a-b+c若a+b+c>0,即當(dāng)x=1時(shí),y>0若a+b+c<0,即當(dāng)x=1時(shí),y<0【題組過(guò)關(guān)】1.(2019·涼山州中考)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的部分圖象如圖所示,有以下結(jié)論:①3a-b=0;②b2-4ac>0;③5a-2b+c>0;④4b+3c>0,其中錯(cuò)誤結(jié)論的個(gè)數(shù)是(

)A.1

B.2

C.3

D.4A2.(2019·汕頭潮南區(qū)期末)如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對(duì)稱軸為直線x=1,與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0),其部分圖象如圖所示,下列結(jié)論:①4ac<b2;②3a+c>0;③當(dāng)x>0時(shí),y隨x的增大而減小;④當(dāng)y>0時(shí),x的取值范圍是-1<x<3;⑤方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根是x1=-1,x2=3;其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是 (

)A.4 B.3 C.2 D.1B3.(2019·秦皇島盧龍縣期末)如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象,其對(duì)稱軸為x=1,下列結(jié)論:①abc>0;②2a+b=0;③4a+2b+c<0;④若是拋物線上兩點(diǎn),則y1<y2,其中結(jié)論正確的是___________. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)

②④考點(diǎn)四確定二次函數(shù)解析式【核心突破】例4(1)(2018·北京中考)跳臺(tái)滑雪是冬季奧運(yùn)會(huì)比賽項(xiàng)目之一,運(yùn)動(dòng)員起跳后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分,運(yùn)動(dòng)員起跳后的豎直高度y(單位:m)與水平距離x(單位:m)近似滿足函數(shù)關(guān)系y=ax2+bx+c(a≠0).如圖記錄了某運(yùn)動(dòng)員起跳后的x與y的三組數(shù)據(jù),根據(jù)上述函數(shù)模型和數(shù)據(jù),可推斷出該運(yùn)動(dòng)員起跳后飛行到最高點(diǎn)時(shí),水平距離為 (

)A.10m

B.15m

C.20m

D.22.5mB(2)(2018·湖州中考)已知拋物線y=ax2+bx-3(a≠0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,0),(3,0),求a,b的值.【自主解答】∵拋物線y=ax2+bx-3(a≠0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,0),(3,0),∴解得即a的值是1,b的值是-2.【明·技法】確定二次函數(shù)的解析式方法適用條件及求法一般式若已知條件是圖象上的三個(gè)點(diǎn)或三對(duì)自變量與函數(shù)的對(duì)應(yīng)值,則可設(shè)所求二次函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c頂點(diǎn)式若已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸方程與最大值(最小值),可設(shè)所求二次函數(shù)為y=a(x-h)2+k方法適用條件及求法交點(diǎn)式若已知二次函數(shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(x1,0),(x2,0),可設(shè)所求的二次函數(shù)為y=a(x-x1)(x-x2)易錯(cuò)警示:(1)用頂點(diǎn)式代入頂點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)橫坐標(biāo)容易弄錯(cuò)符號(hào).(2)所求的二次函數(shù)解析式最后要化成一般式.【題組過(guò)關(guān)】1.(2019·杭州下城區(qū)期末)已知二次函數(shù)y=ax2+4x+c,當(dāng)x=-2時(shí),函數(shù)值是-1;當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)值是5,則此二次函數(shù)的解析式為 (

)A.y=2x2+4x-1 B.y=x2+4x-2C.y=-2x2+4x+1 D.y=2x2+4x+1A2.(2019·滄州青縣期末)二次函數(shù)的部分圖象如圖所示,對(duì)稱軸是x=-1,則這個(gè)二次函數(shù)的解析式為 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)(

)A.y=-x2+2x+3B.y=x2+2x+3C.y=-x2+2x-3D.y=-x2-2x+3D3.拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A(-2,4),B(6,4)兩點(diǎn),且頂點(diǎn)在x軸上,則該拋物線解析式為_(kāi)_____________.

考點(diǎn)五二次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系【核心突破】例5(1)(2019·濟(jì)寧中考)如圖,拋物線y=ax2+c與直線y=mx+n交于A(-1,p),B(3,q)兩點(diǎn),則不等式ax2+mx+c>n的解集是_________________.

x<-3或x>1(2)(2018·云南中考)已知二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)A(0,3),B(-4,-)兩點(diǎn).①求b,c的值.②二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象與x軸是否有公共點(diǎn),若有,求公共點(diǎn)的坐標(biāo);若沒(méi)有,請(qǐng)說(shuō)明情況.【自主解答】①把A(0,3),B(-4,-)分別代入y=-x2+bx+c,得解得

②由①可得,該拋物線解析式為:Δ=>0,所以二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象與x軸有公共點(diǎn).∵-x2+x+3=0的解為:x1=-2,x2=8.∴公共點(diǎn)的坐標(biāo)是(-2,0)或(8,0).【明·技法】二次函數(shù)與一元二次方程以及不等式之間的關(guān)系(1)二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系①二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),則兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是相應(yīng)的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)解.②二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)由相應(yīng)的一元二次方程的根的判別式的符號(hào)確定.(2)利用二次函數(shù)圖象解不等式的方法不等式ax2+bx+c>0(或ax2+bx+c<0)的解集就是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象在x軸上(下)方的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的x的取值范圍,