高中數(shù)學《第四章 數(shù)列》章節(jié)復習、單元檢測試卷易錯題

高中數(shù)學選擇性必修二《第四章數(shù)列》章節(jié)復習一．知識系統(tǒng)整合1.知識網(wǎng)絡2.知識梳理等差數(shù)列等比數(shù)列定義如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示.如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0).遞推公式an＋1－an＝d＝q中項由三個數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成最簡單的等差數(shù)列.這時A叫做a與b的等差中項，并且A＝如果a、G、b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項，且G＝±通項公式an＝a1＋(n－1)dan＝a1qn－1前n項和公式Sn＝＝na1＋dq≠1時，Sn＝＝，q＝1時，Sn＝na1性質(zhì)am，an的關系am－an＝(m－n)d＝qm－nm，n，s，t∈N*，m＋n＝s＋tam＋an＝as＋ataman＝asat{kn}是等差數(shù)列，且kn∈N*{}是等差數(shù)列{}是等比數(shù)列n＝2k－1，k∈N*S2k－1＝(2k－1)·aka1a2·…·a2k－1＝k1，k2，k3(k1，k2，k3∈N*)成等差數(shù)列，，成等差數(shù)列，，成等比數(shù)列判斷方法利用定義an＋1－an是同一常數(shù)是同一常數(shù)利用中項an＋an＋2＝2an＋1anan＋2＝利用通項公式an＝pn＋q，其中p、q為常數(shù)an＝abn(a≠0，b≠0)利用前n項和公式Sn＝an2＋bn(a，b為常數(shù))Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1或Sn＝np(p為非零常數(shù))二.規(guī)律方法收藏(1)在求等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式時，分別用到了累加法和累乘法；(2)在求等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項和時，分別用到了倒序相加和錯位相減.(3)等差數(shù)列和等比數(shù)列各自都涉及5個量，已知其中任意三個求其余兩個，用到了方程思想.(4)在研究等差數(shù)列和等比數(shù)列單調(diào)性，等差數(shù)列前n項和最值問題時，都用到了函數(shù)思想.(5)等差數(shù)列和等比數(shù)列在很多地方是相似的，發(fā)現(xiàn)和記憶相關結(jié)論時用到了類比.三．學科思想培優(yōu)一、數(shù)學抽象數(shù)學抽象是指通過對數(shù)量關系與空間形式的抽象，得到數(shù)學研究對象的素養(yǎng)．主要表現(xiàn)為：獲得數(shù)學概念和規(guī)則，提出數(shù)學命題和模型，形成數(shù)學方法和思想，認識數(shù)學結(jié)構與體系．在本章中，主要表現(xiàn)在構造新數(shù)列，及數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)中.【典例1】“春雨驚春清谷天，夏滿芒夏署相連，秋處露秋寒霜降，冬霜雪冬小大寒”，這首二十四節(jié)氣歌，記錄了中國古代勞動人民在田間耕作長期經(jīng)驗的積累和智慧.“二十四節(jié)氣”已經(jīng)被列入聯(lián)合國教科文組織人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄.我國古代天文學和數(shù)學著作《周牌算經(jīng)》中記載：一年有二十四個節(jié)氣，每個節(jié)氣的晷長損益相同(晷是按照日影測定時刻的儀器，晷長即為所測量影子的長度)二十四節(jié)氣及晷長變化如圖所示，相鄰兩個節(jié)氣晷長減少或增加的量相同，周而復始.已知每年冬至的晷長為一丈三尺五寸，夏至的晷長為一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，則晷長為七尺五寸時，對應的節(jié)氣為（）A．春分?秋分B．雨水?處暑C．立春?立秋D．立冬?立夏【答案】A【解析】設從夏至開始到冬至，各節(jié)氣的晷長分別為，，，…，，則夏至時晷長為(寸)，冬至時晷長為(寸)，因為每個節(jié)氣晷長損益相同，則為等差數(shù)列，設公差為，所以，解得，所以，由，得，即晷長七尺五寸對應的節(jié)氣為從夏至開始的第七個節(jié)氣，即秋分；設從冬至開始到夏至，每個節(jié)氣的晷長為，則，由，得，即晷長七尺五寸對應的節(jié)氣是從冬至開始的第七個節(jié)氣，即春分.所以晷長為七尺五寸時，對應的節(jié)氣為春分和秋分.故選：A.【典例2】年，考古工作者在湖南省云夢縣睡虎地秦墓出土了大量記載秦法律令的竹簡，其中包括徭律一條．徭律是秦代關于徭役的法律，其中規(guī)定：服徭戍遲到處以申斥和貲罰．失期三日到五日，誶；六日到旬，貲一盾；過旬，貲一甲．意思是：遲到天以內(nèi)算正常，不處罰；遲到天，口頭批評；遲到日，罰一面盾牌；遲到天以上，罰一副甲胄．若有一隊服徭役的農(nóng)民從甲地出發(fā)前往乙地，甲、乙兩地相距里，第一天行里，以后每天都比前一天少行里，要求天內(nèi)到達，則該隊服徭役的農(nóng)民最可能受到的懲罰是（）．A．無懲罰B．誶C．貲一盾D．貲一甲【答案】C【解析】由題意知，每日行走的路程成等差數(shù)列，記為，因為首項為，公差為，所以．設從甲地到乙地用天，則，即，解得或（舍），即從甲地出發(fā)前往乙地所用的時間為天，因為要求天到達，所以遲到了天，又因為遲到日，罰一面盾牌，故應貲一盾．故選：C.【典例3】已知數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設，數(shù)列的前n項和，求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）由，得，∴，∵，∴．（2）由（1）得，∴，當時，∵，∴，即證.二、數(shù)學運算數(shù)學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學問題的素養(yǎng)，主要表現(xiàn)為：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，求得運算結(jié)果．在本章中，主要表現(xiàn)在求等差、等比數(shù)列的特定項，公差（公比），前n項和，項數(shù)的運算中.【典例4】在等比數(shù)列中，有，數(shù)列是等差數(shù)列，且，則等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵是等比數(shù)列，∴，，所以，即，∵是等差數(shù)列，所以．故選：C．【典例5】設等比數(shù)列的前項和為，若，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】是等比數(shù)列，也稱等比數(shù)列，，設，則，，則，.故選：D.【典例6】設等差數(shù)列的前n項和為，公差且，則取得最小值時，n的值為（）A．3B．4C．3或4D．4或5【答案】C【解析】由，可得，因為，所以，所以，所以．因為，所以是遞增數(shù)列，所以，顯然前3項和或前4項和最?。蔬x：C【典例7】在數(shù)列中，，，對，，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由得數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，當時，經(jīng)檢驗，時成立．．，故選：C.【典例8】已知數(shù)列的前n項和為，，對任意的都有，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】數(shù)列滿足，對任意的都有，則有，可得數(shù)列為常數(shù)列，有，得，得，又由，所以．故選：C【典例9】【多選】已知數(shù)列的前項和為，則下列說法正確的是（）A．B．為的最小值C．D．【答案】AC【解析】,,對于也成立，所以，故A正確；當時，,當n=17時,當時，,只有最大值，沒有最小值，故B錯誤；因為當時，,∴，故C正確；，故D錯誤.故選：AC.三、邏輯推理邏輯推理是指從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng)，主要表現(xiàn)為：掌握推理基本形式和規(guī)則，發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，探索和表述論證過程，理解命題體系，有邏輯地表達與交流．本章主要表現(xiàn)求數(shù)列的通項公式，在等差，等比數(shù)列判定、數(shù)列求和及數(shù)列開放題運用等方面.【典例10】【多選】已知數(shù)列的前項和滿足，下列說法正確的是（）A．若首項，則數(shù)列的奇數(shù)項成等差數(shù)列B．若首項，則數(shù)列的偶數(shù)項成等差數(shù)列C．若首項，則D．若首項，若對任意，恒成立，則的取值范圍是【答案】BCD【解析】由①得②，①②可得③，所以④，③④可得，因此數(shù)列從第三項開始，奇數(shù)項成等差，偶數(shù)項也成等差；若，即，則，即，所以；由得，則；由得，則；所以，，因此數(shù)列的奇數(shù)項不成等差數(shù)列，偶數(shù)項成等差數(shù)列，即A錯，B正確；此時，即C正確；因為成公差為的等差數(shù)列，也成公差為的等差數(shù)列；為使對任意，恒成立，只需，若，由，則；由，可得；由得所以，解得，即D正確.故選：BCD.【典例11】在①為常數(shù))，②為常數(shù))，③為常數(shù))這三個條件中任選一個，補充到下面問題中，若問題中的數(shù)列存在，求數(shù)列的前項和；若問題中的數(shù)列不存在，說明理由.問題：是否存在數(shù)列，其前項和為，且___________？注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】答案見解析【解析】如果選擇，由即解得該方程組無解，所以該數(shù)列不存在.如果選擇為常數(shù))，即數(shù)列為等差數(shù)列，由，可得公差，所以所以如果選擇為常數(shù))，即數(shù)列為等比數(shù)列，由，可得公比，所以，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以其前項和為.【典例12】設數(shù)列，是公比不相等的兩個等比數(shù)列，數(shù)列滿足．（1）若，是否存在常數(shù)，使得數(shù)列為等比數(shù)列?若存在，求的值；若不存在，說明理由；（2）證明：不是等比數(shù)列．【答案】（1）存在，或；（2）證明見解析.【解析】（1）由題意知，若數(shù)列為等比數(shù)列，則有，其中且，將代入上式，得，即，整理得，解得或．（2）設數(shù)列，的公比分別為且，，則，為證不是等比數(shù)列，只需證，事實上，，由于，故，又，從而，所以不是等比數(shù)列.【典例13】已知是等差數(shù)列，是遞增的等比數(shù)列且前和為，，___________.在①成等差數(shù)列，②(為常數(shù))這兩個條件中任選其中一個，補充在上面的橫線上，并完成下面問題的解答(如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分).（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.【答案】條件選擇見解析；（1），；（2）.【解析】選①解：（1）設等差數(shù)列的公差為，，.由題意知，得，設等比數(shù)列的公比為，即，解得，或，由數(shù)列為遞增等比數(shù)列可知不合題意，所以是一個以2為首項，2為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）知，，，.選②解：（1）設等差數(shù)列的公差為，，.令，則，當時，當時，也滿足上式.（2）由（1）知，，，，四、數(shù)學建模數(shù)學建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學方法構建模型解決問題的素養(yǎng)，主要表現(xiàn)在：發(fā)現(xiàn)和提出問題，建立和求解模型，檢驗和完善模型，分析和解決問題，在本章主要表現(xiàn)在數(shù)列的的實際應用問題中.【典例14】“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻.十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于.若第一個單音的頻率為，則第六個單音的頻率為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意知，十三個單音的頻率構成等比數(shù)列，公比為，第六個單音的頻率.故選：B.【典例15】某公司自2020年起，每年投入的設備升級資金為500萬元，預計自2020年起(2020年為第1年)，因為設備升級，第n年可新增的盈利(單位：萬元)，求：（1）第幾年起，當年新增盈利超過當年設備升級資金；（2）第幾年起，累計新增盈利總額超過累計設備升級資金總額.【答案】（1）第7年；（2）第12年.【解析】（1）當時，，解得，即，不成立，當時，，即，隨著的增大而減小，當時，不成立，當時，成立，故第7年起，當年新增盈利超過當年設備升級資金；（2）當時，累計新增盈利總額，可得所求超過5，當時，，整理得，由于隨著的增大而減小又當時，，故不成立，當時，，故成立，故從第12年起，累計新增盈利總額超過累計設備升級資金總額.高中數(shù)學選擇性必修二《第四章數(shù)列》單元檢測試卷（一）注意事項：本試卷滿分150分，考試時間12分鐘，試題共22題．答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．已知數(shù)列的前項依次為，，，，則數(shù)列的通項公式可能是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】對于A，，故A錯誤.對于B，，故B錯誤.對于C，，故C正確.對于D，，故D錯誤.故選：C.2．已知均為等差數(shù)列，且，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列故選：C．3．在等比數(shù)列中，已知，則公比q=（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，解得故選：D4．中國古代詞中，有一道“八子分綿”的數(shù)學名題：“九百九十二斤綿，贈分八子做盤纏，次第每人多十六，要將第八數(shù)來言”.題意是：把992斤綿分給8個兒子作盤纏，按照年齡從大到小的順序依次分綿，年齡小的比年齡大的多16斤綿，那么第8個兒子分到的綿是（）A．174斤B．184斤C．180斤D．181斤【答案】C【解析】設第8個兒子分到的綿是，第個兒子分到的綿是，則構成以為首項，為公比的等比數(shù)列，解得故選：C5．設為等比數(shù)列的前項和，若，，，則等比數(shù)列的公比的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】設等比數(shù)列的公比為，因為，，，所以，，因為，所以有，因為，所以，因此要想對于恒成立，只需，而，所以.故選：A6．設等差數(shù)列前項和為，等差數(shù)列前項和為，若．則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為，所以，因為是等差數(shù)列前項和，是等差數(shù)列前項和，所以，，則，，故選：B.7．在等差數(shù)列中，.記，則數(shù)列（）A．有最大項，有最小項B．有最大項，無最小項C．無最大項，有最小項D．無最大項，無最小項【答案】C【解析】依題意可得公差，，所以當時，，當時，，因為，，，，，，又當時，，且，即，所以當時，數(shù)列單調(diào)遞增，所以數(shù)列無最大項，數(shù)列有最小項.故選：C8．已知數(shù)列的前n項和，若，恒成立，則實數(shù)的最大值是（）A．3B．4C．5D．6【答案】C【解析】因為數(shù)列的前n項和，當時，；當時，滿足上式，所以，又，恒成立，所以，恒成立；令，則對任意，顯然都成立，所以單調(diào)遞增，因此，即的最小值為，所以，即實數(shù)的最大值是.故選：C二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對的得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分)9．等差數(shù)列的公差為，前項和為，當首項和變化時，是一個定值，則下列各數(shù)也為定值的有()A．B．C．D．【答案】BC【解析】由等差中項的性質(zhì)可得為定值，則為定值，為定值，但不是定值.故選：BC.10．若數(shù)列對任意滿足，下面選項中關于數(shù)列的命題正確的是（）A．可以是等差數(shù)列B．可以是等比數(shù)列C．可以既是等差又是等比數(shù)列D．可以既不是等差又不是等比數(shù)列【答案】ABD【解析】因為,所以或,即：或①當時,是等差數(shù)列或是等比數(shù)列.②或時,可以既不是等差又不是等比數(shù)列，故選ABD11．設是公比為的等比數(shù)列，下列四個選項中是正確的命題有（）A．是公比為的等比數(shù)列B．是公比為的等比數(shù)列C．是公比為的等比數(shù)列D．是公比為的等比數(shù)列【答案】AB【解析】由于數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，則對任意的，，且公比為.對于A選項，，即數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，A選項正確；對于B選項，，即數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，B選項正確；對于C選項，，即數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，C選項錯誤；對于D選項，，即數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，D選項錯誤.故選：AB.12．設為數(shù)列的前項和，若()等于一個非零常數(shù)，則稱數(shù)列為“和等比數(shù)列”．下列命題正確的是（）．A．等差數(shù)列可能為“和等比數(shù)列”B．等比數(shù)列可能為“和等比數(shù)列”C．非等差等比數(shù)列不可能為“和等比數(shù)列”D．若正項數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且數(shù)列是“和等比數(shù)列”，則【答案】ABD【解析】若等差數(shù)列的公差為，則是非零常數(shù)，則此數(shù)列為“和等比數(shù)列”，A對若等比數(shù)列的公比為，則是非零常數(shù)，則此數(shù)列為“和等比數(shù)列”，B對若數(shù)列滿足，則是非零常數(shù)，它既不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列，但它是“和等比數(shù)列”，C錯正項數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，∴，則故數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，又數(shù)列是“和等比數(shù)列”，則又為非零常數(shù)，則，即，即，D對故選：ABD．三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)13．已知等比數(shù)列的前項和，則______.【答案】3【解析】時，，又，數(shù)列等比數(shù)列，∴，即，解得．∴.故答案為：3．14．設數(shù)列中，，，則通項___________.【答案】【解析】因為，所以，則；；.各式相加可得，所以，故答案為：.15．數(shù)列滿足：，，則數(shù)列的通項公式___________.【答案】【解析】因為①；當時，②；①減②得，即，所以，所以，所以所以，，，……，，所以，所以，又，所以，當時也成立，所以故答案為：16．數(shù)列的前項和為，定義的“優(yōu)值”為，現(xiàn)已知的“優(yōu)值”，則______，______．【答案】【解析】由題意，∴時，，兩式相減得：，，又，滿足，∴，．故答案為：；．四、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．已知數(shù)列的前項和為，，（）.（1）求；（2）若，數(shù)列的前項和為，求.【解析】（1）因為，所以，又，所以數(shù)列是公差為2，首項為2的等差數(shù)列，所以.（2）由（1）可知，所以，所以.18．設數(shù)列的前n項和為，且，，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前n項和．【解析】（1）∵，∴∴是等差數(shù)列，設的公差為，∵，，∴，解得，∴．（2）∴．19．已知數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，數(shù)列的前項和（1）求的通項公式；（2）若等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，求數(shù)列的前項和【解析】（1）設的公差為，則，即，所以，解得，所以.（2）設的公比為，由（1）知解得所以因此所以，所以20．已知等差數(shù)列的前n項和為，且滿足.（1）求數(shù)列的通項公式;（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.【解析】設公差為，依題意得解得所以.，.21．已知為等差數(shù)列，數(shù)列的前和為，____.在①，②這兩個條件中任選其中一個，補充在上面的橫線上，并完成下面問題的解答(如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分).（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.【解析】選①解：（1）設等差數(shù)列的公差為，，，由，得，當時，，即，所以是一個以2為首項，2為公比的等比數(shù)列..（2）由（1）知，，，.選②解：（1）設等差數(shù)列的公差為，，.，令，得，即，.（2）解法同選①的第（2）問解法相同.22．我國某西部地區(qū)進行沙漠治理，該地區(qū)有土地1萬平方公里，其中是沙漠，從今年起，該地區(qū)進行綠化改造，每年把原有沙漠的改造為綠洲，同時原有綠洲的被沙漠所侵蝕又變成沙漠，設從今年起第n年綠洲面積為萬平方公里．（1）求第n年綠洲面積與上一年綠洲面積的關系；（2）判斷是否是等比數(shù)列，并說明理由；（3）至少經(jīng)過幾年，綠洲面積可超過？【解析】（1）由題意得，所以；（2）由（1）得，∴，所以是等比數(shù)列.（3）由（2）有，又，所以，∴，即；，即，兩邊取常用對數(shù)得：，所以∴．∴至少經(jīng)過6年，綠洲面積可超過60%．高中數(shù)學選擇性必修二《第四章數(shù)列》單元檢測試卷（二）注意事項：本試卷滿分150分，考試時間12分鐘，試題共22題．答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．設等差數(shù)列{an}中，a3＝2，a5＝7，則a7＝()A．10B．20C．16D．12【答案】D【解析】∵{an}是等差數(shù)列，∴d＝＝，∴a7＝2＋4×＝12.2．在數(shù)列{an}中，a1＝，an＝(－1)n·2an－1(n≥2)，則a5等于()A．－D．C．－D．【答案】B【解析】∵a1＝，an＝(－1)n·2an－1，∴a2＝(－1)2×2×＝，a3＝(－1)3×2×＝－，a4＝(－1)4×2×＝－，a5＝(－1)5×2×＝.3．設等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S10∶S5＝1∶2，則S15∶S5＝()A．3∶4B．2∶3C．1∶2D．1∶3【答案】A【解析】在等比數(shù)列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比數(shù)列，因為S10∶S5＝1∶2，所以S5＝2S10，S15＝S5，得S15∶S5＝3∶4，故選A.4．在等比數(shù)列{an}中，已知前n項和Sn＝5n＋1＋a，則a的值為()A．－1B．1C．5D．－5【答案】【解析】因為Sn＝5n＋1＋a＝5×5n＋a，由等比數(shù)列的前n項和Sn＝，可知其常數(shù)項與qn的系數(shù)互為相反數(shù)，所以a＝－5.5．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝則254是該數(shù)列的()A．第8項B．第10項C．第12項D．第14項【答案】D【解析】當n為正奇數(shù)時，an＋1＝2an，則a2＝2a1＝2，當n為正偶數(shù)時，an＋1＝an＋1，得a3＝3，依次類推得a4＝6，a5＝7，a6＝14，a7＝15，…，歸納可得數(shù)列{an}的通項公式an＝則2＋1－2＝254，n＝14，故選D.6．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其前n項和為Sn，若a1a2a3＝15，且＝，則a2＝()A．2D．C．3D．【答案】C【解析】∵S1＝a1，S3＝3a2，S5＝5a3，∴＝.∵a1a2a3＝15，∴＝，∴a2＝3.故選C.7．如果數(shù)列a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首項為1，公比為的等比數(shù)列，那么an＝()A.D．C.D．【答案】A【解析】由題知a1＝1，q＝，則an－an－1＝1×n－1.設數(shù)列a1，a2－a1，…，an－an－1的前n項和為Sn，∴Sn＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an.又∵Sn＝＝，∴an＝.8．若有窮數(shù)列a1，a2，…，an(n是正整數(shù))，滿足a1＝an，a2＝an－1，…，an＝a1，即ai＝an－i＋1(i是正整數(shù)，且1≤i≤n)，就稱該數(shù)列為“對稱數(shù)列”．已知數(shù)列{bn}是項數(shù)不超過2m(m＞1，m∈N*)的對稱數(shù)列，且1,2,4，…，2m－1是數(shù)列{bn}的前m項，則當m＞1200時，數(shù)列{bn}的前2019項和S2019的值不可能為()A．2m－2m－2009B．22019－1C．2m＋1－22m－2019－1D．3·2m－1－22m－2020－1【答案】A【解析】若數(shù)列{bn}的項數(shù)為偶數(shù)，則數(shù)列可設為1,21,22，…，2m－1,2m－1，…，22,2,1，當m≥2019時，S2019＝＝22019－1，故B可能．當1200＜m＜2019時，S2019＝2×－＝2m＋1－22m－2019－1，故C可能．若數(shù)列為奇數(shù)項，則數(shù)列可設為1,21,22，…，2m－2,2m－1,2m－2，…，22,2,1，當m≥2019時，S2019＝＝22019－1.當1200＜m＜2019時，S2019＝2×－＋2m－1＝3·2m－1－22m－2020－1，故D可能．故選A.二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對的得5分，選對但不全的得3分，有選錯的得0分)9．已知等比數(shù)列{an}的公比q＝－，等差數(shù)列{bn}的首項b1＝12，若a9>b9且a10>b10，則以下結(jié)論正確的有()A．a(chǎn)9·a10<0B．a(chǎn)9>a10C．b10>0D．b9>b10【答案】AD【解析】∵等比數(shù)列{an}的公比q＝－，∴a9和a10異號，∴a9a10＝<0，故A正確；但不能確定a9和a10的大小關系，故B不正確；∵a9和a10異號，且a9>b9且a10>b10，∴b9和b10中至少有一個數(shù)是負數(shù)，又∵b1＝12>0，∴d<0，∴b9>b10，故D正確；∴b10一定是負數(shù)，即b10<0，故C不正確．故選A、D.10．等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1＞0，公差d≠0，則下列命題正確的是()A．若S5＝S9，則必有S14＝0B．若S5＝S9，則必有S7是Sn中最大的項C．若S6＞S7，則必有S7＞S8D．若S6＞S7，則必有S5＞S6【答案】ABC【解析】∵等差數(shù)列{an}的前n項和公式Sn＝na1＋，若S5＝S9，則5a1＋10d＝9a1＋36d，∴2a1＋13d＝0，∴a1＝－，∵a1＞0，∴d＜0，∴a1＋a14＝0，∴S14＝7(a1＋a14)＝0，A對；又∵Sn＝na1＋＝－＋＝，由二次函數(shù)的性質(zhì)知S7是Sn中最大的項，B對；若S6＞S7，則a7＝a1＋6d＜0，∴a1＜－6d，∵a1＞0，∴d＜0，∴a6＝a1＋5d＜－6d＋5d＝－d，a8＝a7＋d＜a7＜0，S7＞S8＝S7＋a8，C對；由a6＜－d不能確定a6的符號，所以S5＞S6不一定成立，D錯．故選A、B、C.11．在《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故事：“三百七十八里關，初行健步不為難；次日腳痛減一半，如此六日過其關”．則下列說法正確的是()A．此人第三天走了四十八里路B．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C．此人第二天走的路程占全程的D．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍【答案】ABD【解析】設此人第n天走an里路，則{an}是首項為a1，公比為q＝的等比數(shù)列．所以S6＝，解得a1＝192.a3＝a1q2＝192×＝48，所以A正確，由a1＝192，則S6－a1＝378－192＝186，又192－186＝6，所以B正確．a(chǎn)2＝a1q＝192×＝96，而S6＝94.5＜96，所以C不正確．a(chǎn)1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝192×＝336，則后3天走的路程為378－336＝42而且42×8＝336，所以D正確．故選A、B、D.12．若數(shù)列{an}滿足：對任意正整數(shù)n，{an＋1－an}為遞減數(shù)列，則稱數(shù)列{an}為“差遞減數(shù)列”．給出下列數(shù)列{an}(n∈N*)，其中是“差遞減數(shù)列”的有()A．a(chǎn)n＝3nB．a(chǎn)n＝n2＋1C．a(chǎn)n＝D．a(chǎn)n＝ln【答案】CD【解析】對A，若an＝3n，則an＋1－an＝3(n＋1)－3n＝3，所以{an＋1－an}不為遞減數(shù)列，故A錯誤；對B，若an＝n2＋1，則an＋1－an＝(n＋1)2－n2＝2n＋1，所以{an＋1－an}為遞增數(shù)列，故B錯誤；對C，若an＝，則an＋1－an＝－＝，所以{an＋1－an}為遞減數(shù)列，故C正確；對D，若an＝ln，則an＋1－an＝ln－ln＝ln＝ln，由函數(shù)y＝ln在(0，＋∞)遞減，所以數(shù)列{an＋1－an}為遞減數(shù)列，故D正確．故選C、D.三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)13．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝2020－3n，則使an>0成立的最大正整數(shù)n的值為________．【答案】673【解析】由an＝2020－3n>0，得n<＝673，又∵n∈N*，∴n的最大值為673.14．已知{an}是等差數(shù)列，Sn為其前n項和，n∈N*.若a3＝16，S20＝20，則an＝________，S10＝________.【答案】22－2n110【解析】設{an}的首項，公差分別是a1，d，則解得a1＝20，d＝－2，∴an＝a1＋(n－1)d＝20－2(n－1)＝22－2n.S10＝10×20＋×(－2)＝110.15．已知數(shù)列1，a1，a2,9是等差數(shù)列，數(shù)列1，b1，b2，b3,9是等比數(shù)列，則＝________.【答案】【解析】因為數(shù)列1，a1，a2,9是等差數(shù)列，所以a1＋a2＝1＋9＝10.因為數(shù)列1，b1，b2，b3,9是等比數(shù)列，所以＝1×9＝9，又b2＝1×q2＞0(q為等比數(shù)列的公比)，所以b2＝3，則＝.16．設{an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn為其前n項和，已知a2a4＝1，S3＝7，則S5＝________.【答案】【解析】設{an}的公比為q，q>0，且＝1，∴a3＝1.∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝＋1＝7，即6q2－q－1＝0，解得q＝或q＝－(舍去)，a1＝＝4.∴S5＝＝8×＝.四、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)已知等比數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列的通項公式;（2）令，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設等比數(shù)列的首項為，公比為，由題意得：解得所以（2）所以數(shù)列為等差數(shù)列，所以．18．(本小題滿分12分)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝－1，.(1)求等比數(shù)列{an}的公比q；(2)求.【解析】(1)由，a1＝－1，知公比q≠1，.由等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)知S5，S10－S5，S15－S10成等比數(shù)列，且公比為q5，故q5＝，q＝－.(2)由(1)，得an＝(－1)×，所以＝n－1，所以數(shù)列{}是首項為1，公比為的等比數(shù)列，故＝＝.19．(本小題滿分12分)已知等差數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記數(shù)列的前n項和為.若，(為偶數(shù))，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設等差數(shù)列的公差為d，因為，所以即解得，所以.經(jīng)檢驗，符合題設，所以數(shù)列的通項公式為.（2）由（1）得，，所以.，∴，因為，，所以，即.因為為偶數(shù)，所以.20．(滿分12分)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，an<an＋1，且S3＝2S2＋1.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若數(shù)列{bn}滿足bn＝(2n－1)an(n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.【解析】(1)設等比數(shù)列{an}的公比為q，由an<an＋1，得q>1，又a1＝1，則a2＝q，a3＝q2，因為S3＝2S2＋1，所以a1＋a2＋a3＝2(a1＋a2)＋1，則1＋q＋q2＝2(1＋q)＋1，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n－1(n∈N*)．(2)由(1)知，bn＝(2n－1)·an＝(2n－1)·2n－1(n∈N*)，則Tn＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n－1)×2n－1，2Tn＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，兩式相減，得－Tn＝1＋2×21＋2×22＋…＋2×2n－1－(2n－1)×2n，即－Tn＝1＋22＋23＋24＋…＋2n－(2n－1)×2n，化簡得Tn＝(2n－3)×2n＋3.21．(本小題滿分12分)在①；②為等差數(shù)列，其中成等比數(shù)列；③這三個條件中任選一個，補充到下面的問題中，然后解答補充完整的題目.已知數(shù)列中，______.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設為數(shù)列的前項和，求證：.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）若選條件①，，，又，所以數(shù)列是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列，所以；若選擇②，設數(shù)列的公差為d，則，因為成等比數(shù)列，，解得或；當時，，此時不能構成等比數(shù)列，所以，所以，若選擇③，由得，當時，，兩式相減得，所以，當時，也適合上式，所以，（2）由（1）得，所以，故22．(本小題滿分12分)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S10＝55，S20＝210.(1)求數(shù)列{an}的通項公式．(2)設bn＝，是否存在m，k(k>m≥2，m，k∈N＋)使得b1，bm，bk成等比數(shù)列？若存在，求出所有符合條件的m，k的值；若存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）存在m＝2，k＝8使得b1，bm，bk成等比數(shù)列．【解析】(1)設等差數(shù)列{an}的公差為d，則Sn＝na1＋.由已知，得即，解得.所以an＝a1＋(n－1)d＝n(n∈N＋)．(2)假設存在m，k(k>m≥2，m，k∈N＋)使得b1，bm，bk成等比數(shù)列，則.因為bn＝，所以b1＝，bm＝，bk＝，所以整理，得k＝.以下給出求m，k的方法：因為k>0，所以－m2＋2m＋1>0.解得1－<m<1＋.因為m≥2，m∈N＋，所以m＝2，此時k＝8.故存在m＝2，k＝8使得b1，bm，bk成等比數(shù)列高中數(shù)學選擇性必修二《第四章數(shù)列》高考真題1．設是等比數(shù)列，且，，則A．12B．24C．30D．32【答案】D【解析】設等比數(shù)列的公比為，則，，因此，.故選：D.2.北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)A．3699塊B．3474塊C．3402塊D．3339塊【答案】C【解析】設第n環(huán)天石心塊數(shù)為，第一層共有n環(huán)，則是以9為首項，9為公差的等差數(shù)列，，設為的前n項和，則第一層、第二層、第三層的塊數(shù)分別為，因為下層比中層多729塊，所以，即即，解得，所以.故選：C3．記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．若a5–a3=12，a6–a4=24，則=A．2n–1B．2–21–nC．2–2n–1D．21–n–1【答案】B【解析】設等比數(shù)列的公比為，由可得：，所以，因此.故選：B.4.在等差數(shù)列中，，．記，則數(shù)列A．有最大項，有最小項B．有最大項，無最小項C．無最大項，有最小項D．無最大項，無最小項【答案】B【解析】由題意可知，等差數(shù)列的公差，則其通項公式為：，注意到，且由可知，由可知數(shù)列不存在最小項，由于，故數(shù)列中的正項只有有限項：，.故數(shù)列中存在最大項，且最大項為.故選：B．5．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，公差，且．記，，，下列等式不可能成立的是A．B．C．D．【答案】D【解析】對于A，因為數(shù)列為等差數(shù)列，所以根據(jù)等差數(shù)列的下標和性質(zhì)，由可得，，A正確；對于B，由題意可知，，，∴，，，．∴，．根據(jù)等差數(shù)列的下標和性質(zhì)，由可得，B正確；對于C，，當時，，C正確；對于D，，，．當時，，∴即；當時，，∴即，所以，D不正確．故選：D.6．記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．若a1=?2，a2+a6=2，則S10=__________．【答案】【解析】是等差數(shù)列，且，設等差數(shù)列的公差根據(jù)等差數(shù)列通項公式：可得即：整理可得：解得：根據(jù)等差數(shù)列前項和公式：可得：.7.數(shù)列滿足，前16項和為540，則.【答案】【解析】，當為奇數(shù)時，；當為偶數(shù)時，.設數(shù)列的前項和為，，.8．我國古代數(shù)學家楊輝，朱世杰等研究過高階等差數(shù)列的求和問題，如數(shù)列就是二階等差數(shù)列．數(shù)列的前3項和是_______．【答案】【解析】因為，所以．即．9．設{an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q的等比數(shù)列．已知數(shù)列{an+bn}的前n項和，則d+q的值是▲．【答案】【解析】設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意.等差數(shù)列的前項和公式為，等比數(shù)列的前項和公式為，依題意，即，通過對比系數(shù)可知，故.10．將數(shù)列{2n–1}與{3n–2}的公共項從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項和為________．【答案】【解析】因為數(shù)列是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，數(shù)列是以1首項，以3為公差的等差數(shù)列，所以這兩個數(shù)列的公共項所構成的新數(shù)列是以1為首項，以6為公差的等差數(shù)列，所以的前項和為，11．設等比數(shù)列{an}滿足，．（1）求{an}的通項公式；（2）記為數(shù)列{log3an}的前n項和．若，求m．【解析】（1）設的公比為，則.由已知得，解得.所以的通項公式為.（2）由（1）知故由得，即.解得（舍去），.12.已知公比大于的等比數(shù)列滿足．（1）求的通項公式；（2）記為在區(qū)間中的項的個數(shù)，求數(shù)列的前項和．【解析】（1）設的公比為．由題設得，．解得（舍去），．由題設得．所以的通項公式為．（2）由題設及（1）知，且當時，．所以．13.設是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項．（1）求的公比；（2）若，求數(shù)列的前項和．【解析】（1）設的公比為，由題設得即.所以解得（舍去），.故的公比為.（2）設為的前n項和.由（1）及題設可得，.所以，.可得所以.14．設數(shù)列{an}滿足a1=3，．（1）計算a2，a3，猜想{an}的通項