《4.4 數(shù)學(xué)歸納法》課堂同步練習(xí)

《4.4數(shù)學(xué)歸納法》課堂同步練習(xí)基礎(chǔ)練一、單選題1．如果f(n)=1++…+(n∈N+),那么f(n+1)-f(n)等于（）A． B．C． D．2．觀察下列式子:1+,1+,1+,…,則可歸納出1++…+小于（）A． B． C． D．3．設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù),且f(x)滿足“當(dāng)f(k)≥k2成立時(shí)總可推出f(k+1)≥(k+1)2成立．”則下列命題總成立的是（）A．若f(3)≥9成立,則當(dāng)k≥1時(shí),均有f(k)≥k2成立B．若f(5)≥25成立,則當(dāng)k≤5時(shí),均有f(k)≥k2成立C．若f(7)<49成立,則當(dāng)k≥8時(shí),均有f(k)<k2成立D．若f(4)=25成立,則當(dāng)k≥4時(shí),均有f(k)≥k2成立4．已知n為正偶數(shù),用數(shù)學(xué)歸納法證明1-+…+=2時(shí),若已假設(shè)n=k(k≥2,k為偶數(shù))時(shí)命題成立,則還需要用歸納假設(shè)證（）A．n=k+1時(shí)等式成立 B．n=k+2時(shí)等式成立C．n=2k+2時(shí)等式成立 D．n=2(k+2)時(shí)等式成立5．在數(shù)列{an}中,a1=,且Sn=n(2n-1)an,通過(guò)求a2,a3,a4,猜想an的表達(dá)式為（）A． B． C． D．6．已知f(n)=+…+,則（）A．f(n)中共有n項(xiàng),當(dāng)n=2時(shí),f(2)=B．f(n)中共有(n+1)項(xiàng),當(dāng)n=2時(shí),f(2)=1+C．f(n)中共有(n2-n+2)項(xiàng),當(dāng)n=2時(shí),f(2)=1+D．f(n)中共有(n2-n+1)項(xiàng),當(dāng)n=2時(shí),f(2)=1+二、填空題7．用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“1++…+(n∈N+,且n≥2)”時(shí),第一步要證明的結(jié)論是.8．用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于n的恒等式,當(dāng)n=k時(shí),表達(dá)式為1×4+2×7+…+k(3k+1)=k(k+1)2,則當(dāng)n=k+1時(shí),表達(dá)式為.9．用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于n的不等式+…+(n∈N+),由n=k遞推到n=k+1時(shí),不等式的左邊的變化為.三、解答題10．用數(shù)學(xué)歸納法證明12+22+32+…+n2=(n∈N+).參考答案1．【答案】D【解析】∵f(n+1)=1++…+,f(n)=1++…+,∴f(n+1)-f(n)==.故選D2．【答案】C【解析】所猜測(cè)的分式的分母為n+1,而分子3,5,7,…,恰好是第(n+1)個(gè)正奇數(shù),即2n+1.故選C3．【答案】D【解析】由數(shù)學(xué)歸納法原理可得,若f(3)≥9成立,則當(dāng)k≥3時(shí),均有f(k)≥k2成立,即A不正確.若f(5)≥25成立,則當(dāng)k≥5時(shí),均有f(k)≥k2成立,即B不正確.若f(7)<49成立,則當(dāng)k≤6時(shí),均有f(k)<k2成立,即C不正確.若f(4)=25>42成立,則當(dāng)k≥4時(shí),均有f(k)≥k2成立.故選D4．【答案】B【解析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟,若已假設(shè)n=k(k≥2,k為偶數(shù))時(shí)命題成立,則還需要用歸納假設(shè)證下一個(gè)偶數(shù),即n=k+2時(shí)等式成立.故選B5．【答案】C【解析】∵由a1=,Sn=n(2n-1)an,得S2=2(2×2-1)a2,即a1+a2=6a2，∴a2=.∵S3=3(2×3-1)a3,即+a3=15a3,∴a3=.同理可得a4=.據(jù)此可猜想an=.故選C6．【答案】C【解析】f(n)中共有n2-(n-1)+1=n2-n+2項(xiàng),當(dāng)n=2時(shí),f(n)=1+.故選C7．【答案】【解析】因?yàn)閚≥2,所以第一步要證的是當(dāng)n=2時(shí)結(jié)論成立,即1+12故填8．【答案】1×4+2×7+…+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)2【解析】1×4+2×7+…+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)2故填1×4+2×7+…+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)29．【答案】增加【解析】假設(shè)n=k時(shí),不等式成立,即+…+,則當(dāng)n=k+1時(shí),不等式左邊=+…+=+…+=+…+=+…+.故填增加10．【答案】證明略【解析】證明：(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=12=1,右邊==1,等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1,k∈N+)時(shí)等式成立,即12+22+…+k2=,則當(dāng)n=k+1時(shí),12+22+…+k2+(k+1)2=+(k+1)2===,即當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立.由(1)和(2),可知等式對(duì)任何n∈N+都成立.《4.4數(shù)學(xué)歸納法》課堂同步練習(xí)提高練一、單選題1．用數(shù)學(xué)歸納法證明“5n-2n能被3整除”的第二步中,n=k+1時(shí),為了使用假設(shè),應(yīng)將5k+1-2k+1變形為（）A．(5k-2k)+4×5k-2k B．5(5k-2k)+3×2k C．(5-2)(5k-2k) D．2(5k-2k)-3×5k2．已知1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=3n(na-b)+c對(duì)一切n∈N+都成立,則a,b,c的值為（）A．a(chǎn)=,b=c= B．a(chǎn)=b=c=C．a(chǎn)=0,b=c= D．不存在這樣的a,b,c3．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式()時(shí)，以下說(shuō)法正確的是（）A．第一步應(yīng)該驗(yàn)證當(dāng)時(shí)不等式成立B．從“到”左邊需要增加的代數(shù)式是C．從“到”左邊需要增加項(xiàng)D．從“到”左邊需要增加的代數(shù)式是4．已知數(shù)列滿足，，若對(duì)于任意，都有，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題5．用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n∈N+時(shí),1+2+22+23+…+25n-1是31的倍數(shù)”,當(dāng)n=1時(shí),原式為,從k到k+1時(shí)需增添的項(xiàng)是.6．已知函數(shù)，對(duì)于，定義，則的解析式為_(kāi)_______.三、解答題7．1·22+2·32+3·42+…+n·(n+1)2=·(an2+bn+c)對(duì)于一切正整數(shù)n都成立?并說(shuō)明你的結(jié)論.答案解析1．【答案】B【解析】假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),5k-2k能被3整除,當(dāng)n=k+1時(shí),作如下變形:5k+1-2k+1=5×5k-2×2k=5×5k-5×2k+3×2k=5(5k-2k)+3×2k,就可以應(yīng)用假設(shè).故選B.故選B2．【答案】A【解析】∵等式對(duì)一切n∈N+都成立,∴當(dāng)n=1,2,3時(shí)等式成立,將其分別代入等式,得解得a=,b=c=.故選A3．【答案】D【解析】第一步應(yīng)該驗(yàn)證當(dāng)時(shí)不等式成立,所以不正確；因?yàn)?，所以從“到”左邊需要增加的代?shù)式是，所以不正確；所以從“到”左邊需要增加項(xiàng)，所以不正確。故選D4．【答案】B【解析】用排除法：當(dāng)時(shí)，，明顯有，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明，當(dāng)時(shí)，，成立；假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，則當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，成立，綜上：對(duì)任意，都有；另外，所以，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，排除CD；當(dāng)時(shí)，，若，則，因?yàn)?，此時(shí)是有可能的，故排除A，故選B.5．【答案】1+2+22+23+24，25k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+4【解析】∵當(dāng)n=1時(shí),原式應(yīng)加到25×1-1=24,∴原式為1+2+22+23+24.從k到k+1時(shí)需添上25k+25k+1+…+25(k+1)-1.故填1+2+22+23+24，25k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+46．【答案】【解析】函數(shù)對(duì)于，定義，．，，由此可以猜想以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，，顯然成立；假設(shè)時(shí)成立，即，則時(shí)，也成立故故填．7．【答案】存在a=3,b=11,c=10使等式對(duì)一切正整數(shù)n都成立，證明略【解析】假設(shè)存在常數(shù)a,b,c,使等式對(duì)于一切正整數(shù)n成立,令n=1,2,3得整理得解得令Sn=1·22+2·32+3·42+…+n·(n+1)2.于是對(duì)于n=1,2,3,等式Sn=(3n2+11n+10)成立.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式對(duì)于一切n∈N+都成立,過(guò)程如下:①當(dāng)n=1時(shí),已得等式成立.②假設(shè)n=k(k≥1,k∈N+)時(shí),等式成立,即Sk=(3k2+11k+10),則n=k+1時(shí),Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=(3k2+11k+10)+(k+1)(k+2)2=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2=[k(3k+5)+12(k+2)]=[3(k+1)2+11(k+1)+10],∴當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立.根據(jù)①②可以斷定,對(duì)于一切n∈N+等式都成立,即存在a=3,b=11,c=10使等式對(duì)一切正整數(shù)n都成立.《4.4數(shù)學(xué)歸納法》課堂同步檢測(cè)試卷一、單選題1．用數(shù)學(xué)歸納法證明，成立.那么，“當(dāng)時(shí)，命題成立”是“對(duì)時(shí)，命題成立”的（）A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要2．用數(shù)學(xué)歸納法證明“”，在驗(yàn)證是否成立時(shí)，左邊應(yīng)該是（）A． B． C． D．3．某個(gè)命題與自然數(shù)有關(guān)，若時(shí)命題成立，那么可推得當(dāng)時(shí)該命題也成立，現(xiàn)已知時(shí)，該命題不成立，那么可以推得（）A．時(shí)該命題不成立 B．時(shí)該命題成立C．時(shí)該命題不成立 D．時(shí)該命題成立4．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)，以下說(shuō)法正確的是（）A．第一步應(yīng)該驗(yàn)證當(dāng)時(shí)不等式成立B．從“到”左邊需要增加的代數(shù)式是C．從“到”左邊需要增加項(xiàng)D．以上說(shuō)法都不對(duì)5．用數(shù)學(xué)歸納法證明，則當(dāng)時(shí)，左端應(yīng)在的基礎(chǔ)上加上（）A． B．C． D．6．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，時(shí)，由到時(shí)，等式左邊應(yīng)添加的項(xiàng)是（）A． B．C． D．7．用數(shù)學(xué)歸納法證：（時(shí)）第二步證明中從“到”左邊增加的項(xiàng)數(shù)是（）A．項(xiàng) B．項(xiàng) C．項(xiàng) D．項(xiàng)8．已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，若已假設(shè)為偶數(shù))時(shí)命題為真，則還需要用歸納假設(shè)再證（）時(shí)等式成立A． B． C． D．9．用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，從到，不等式左邊需添加的項(xiàng)是（）A． B．C． D．10．用數(shù)學(xué)歸納法證明，則當(dāng)時(shí)，左端應(yīng)在的基礎(chǔ)上加上（）A． B．C． D．11．用數(shù)學(xué)歸納法證明“”能被整除”的第二步中時(shí)，為了使用假設(shè)，應(yīng)將變形為（）A． B．C． D．12．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列滿足，是數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則與的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．二、填空題13．用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時(shí)，由不等式成立，推證時(shí)，則不等式左邊增加的項(xiàng)數(shù)共______項(xiàng)14．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，時(shí)，由到時(shí)，等式左邊應(yīng)添加的項(xiàng)是_______________.15．凸n邊形的對(duì)角線的條數(shù)為，則凸邊形有對(duì)角線條數(shù)為_(kāi)_________.16．用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，從到，不等式左邊需添加的項(xiàng)是______________.17．已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，前項(xiàng)和滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)_____________．18．已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)積為，若，則數(shù)列中最接近2019的是第______項(xiàng)三、解答題19．求證：.20．用數(shù)學(xué)歸納法證明：.21．已知數(shù)列，，且．（1）若的前項(xiàng)和為，求和的通項(xiàng)公式（2）若，求證：22．設(shè)數(shù)列為前項(xiàng)和為，，數(shù)列是以2為公比的等比數(shù)列．（1）求；（2）抽去數(shù)列中的第1項(xiàng)，第4項(xiàng)，第7項(xiàng)，…，第項(xiàng)，余下的項(xiàng)順序不變，組成一個(gè)新數(shù)列，若的前項(xiàng)和為，求證：．答案解析一、單選題1．用數(shù)學(xué)歸納法證明，成立.那么，“當(dāng)時(shí)，命題成立”是“對(duì)時(shí)，命題成立”的（）A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】B【解析】“當(dāng)時(shí)，命題成立”不能推出“對(duì)時(shí)，命題成立”，“對(duì)時(shí)，命題成立”可以推出“當(dāng)時(shí)，命題成立”，所以“當(dāng)時(shí)，命題成立”是“對(duì)時(shí)，命題成立”的必要不充分/故選B2．用數(shù)學(xué)歸納法證明“”，在驗(yàn)證是否成立時(shí)，左邊應(yīng)該是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】用數(shù)學(xué)歸納法證明“”，在驗(yàn)證時(shí)，把代入，左邊.故選C.3．某個(gè)命題與自然數(shù)有關(guān)，若時(shí)命題成立，那么可推得當(dāng)時(shí)該命題也成立，現(xiàn)已知時(shí)，該命題不成立，那么可以推得（）A．時(shí)該命題不成立 B．時(shí)該命題成立C．時(shí)該命題不成立 D．時(shí)該命題成立【答案】C【解析】假設(shè)時(shí)該命題成立，由題意可得時(shí)，該命題成立，而時(shí)，該命題不成立，所以時(shí)，該命題不成立.而時(shí)，該命題不成立，不能推得該命題是否成立．故選C．4．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)，以下說(shuō)法正確的是（）A．第一步應(yīng)該驗(yàn)證當(dāng)時(shí)不等式成立B．從“到”左邊需要增加的代數(shù)式是C．從“到”左邊需要增加項(xiàng)D．以上說(shuō)法都不對(duì)【答案】D【解析】第一步應(yīng)該驗(yàn)證當(dāng)時(shí)不等式成立,所以不正確；因?yàn)?，所以從“到”左邊需要增加的代?shù)式是，所以不正確；所以從“到”左邊需要增加項(xiàng)，所以不正確。故選D5．用數(shù)學(xué)歸納法證明，則當(dāng)時(shí)，左端應(yīng)在的基礎(chǔ)上加上（）A． B．C． D．【答案】C【解析】當(dāng)n=k時(shí)，等式左端=1+2+…+k2，當(dāng)n=k+1時(shí)等式左端=1+2+…+k2+k2+1+k2+2+…+（k+1）2增加了項(xiàng)（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2．故選C．6．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，時(shí)，由到時(shí)，等式左邊應(yīng)添加的項(xiàng)是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)橐C明等式的左邊是連續(xù)正整數(shù)，所以當(dāng)由到時(shí)，等式左邊增加了，故選C.7．用數(shù)學(xué)歸納法證：（時(shí)）第二步證明中從“到”左邊增加的項(xiàng)數(shù)是（）A．項(xiàng) B．項(xiàng) C．項(xiàng) D．項(xiàng)【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，左邊，易知分母為連續(xù)正整數(shù)，所以，共有項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，左邊，共有項(xiàng)；所以從“到”左邊增加的項(xiàng)數(shù)是項(xiàng).故選D8．已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，若已假設(shè)為偶數(shù))時(shí)命題為真，則還需要用歸納假設(shè)再證（）時(shí)等式成立A． B． C． D．【答案】B【解析】若已假設(shè)n=k(k≥2，k為偶數(shù))時(shí)命題為真，因?yàn)閚只能取偶數(shù)，所以還需要證明n=k+2成立.、故選B.9．用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，從到，不等式左邊需添加的項(xiàng)是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，所假設(shè)的不等式為，當(dāng)時(shí)，要證明的不等式為，故需添加的項(xiàng)為：，故選B.10．用數(shù)學(xué)歸納法證明，則當(dāng)時(shí)，左端應(yīng)在的基礎(chǔ)上加上（）A． B．C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，等式左端，當(dāng)時(shí)，等式左端，增加了項(xiàng)．故選C．11．用數(shù)學(xué)歸納法證明“”能被整除”的第二步中時(shí)，為了使用假設(shè)，應(yīng)將變形為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，當(dāng)時(shí)，應(yīng)將變形為，此時(shí)，和都可以被3整除.故該變形是合理的.故選.12．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列滿足，是數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則與的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以適合n=1,所以.所以，所以，下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式（1）當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，左邊右邊，不等式成立，（2），即．即，，，假設(shè)當(dāng)時(shí)，原式成立，即，那么當(dāng)時(shí)，即，即時(shí)結(jié)論成立．根據(jù)（1）和（2）可知不等式對(duì)任意正整數(shù)都成立．所以，因?yàn)?＜a＜1，所以，所以.故選C二、填空題13．用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時(shí)，由不等式成立，推證時(shí)，則不等式左邊增加的項(xiàng)數(shù)共______項(xiàng)【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，不等式左邊為，當(dāng)時(shí)，不等式左邊為，則由不等式成立，推證時(shí)，則不等式左邊增加的項(xiàng)數(shù)共項(xiàng)，故填.14．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，時(shí)，由到時(shí)，等式左邊應(yīng)添加的項(xiàng)是_______________.【答案】【解析】因?yàn)橐C明等式的左邊是連續(xù)正整數(shù)，所以當(dāng)由到時(shí)，等式左邊增加了，故填.15．凸n邊形的對(duì)角線的條數(shù)為，則凸邊形有對(duì)角線條數(shù)為_(kāi)_________.【答案】【解析】在凸n邊形的一邊外加一點(diǎn)，此點(diǎn)與該邊的兩點(diǎn)連接可得到凸邊形，因此原凸n邊形的這條邊變?yōu)閷?duì)角線，增加的第個(gè)頂點(diǎn)與原來(lái)凸n邊形的頂點(diǎn)的連線也是增加的對(duì)角線，共增加了條，所以．故填．16．用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，從到，不等式左邊需添加的項(xiàng)是______________.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，所假設(shè)的不等式為，當(dāng)時(shí)，要證明的不等式為，故需添加的項(xiàng)為：，故填.17．已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，前項(xiàng)和滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)_____________．【答案】【解