高中數(shù)學(xué)《數(shù)學(xué)歸納法》同步練習(xí)與同步檢測試卷及答案解析

選擇性必修二《4.4數(shù)學(xué)歸納法》同步練習(xí)（基礎(chǔ)篇）一．選擇題（共10小題，滿分50分，每小題5分）1．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，時(shí)，由到時(shí)，等式左邊應(yīng)添加的項(xiàng)是（）A． B．C． D．2．用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證的不等式是（）A． B．C． D．3．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時(shí)，當(dāng)時(shí)，左邊等于（）A．1 B． C． D．4．用數(shù)學(xué)歸納法證明，則當(dāng)時(shí)，左端應(yīng)在的基礎(chǔ)上加上（）A． B．C． D．5．用數(shù)學(xué)歸納法證明，成立.那么，“當(dāng)時(shí)，命題成立”是“對時(shí)，命題成立”的（）A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要6．用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，從到，不等式左邊需添加的項(xiàng)是（）A． B．C． D．7．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過程中，由遞推到時(shí)，不等式左邊（）A．增加了一項(xiàng)B．增加了兩項(xiàng)，C．增加了A中的一項(xiàng)，但又減少了另一項(xiàng)D．增加了B中的兩項(xiàng)，但又減少了另一項(xiàng)8．已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，若已假設(shè)為偶數(shù))時(shí)命題為真，則還需要用歸納假設(shè)再證（）時(shí)等式成立（）A． B． C． D．9．用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，能被整除”，在證明正確后，歸納假設(shè)應(yīng)寫成（）．A．假設(shè)時(shí)命題成立B．假設(shè)時(shí)命題成立C．假設(shè)時(shí)命題成立D．假設(shè)時(shí)命題成立10．在用數(shù)學(xué)歸納法求證：的過程中，從“到”左邊需增乘的代數(shù)式為（）．A． B． C． D．二．填空題（共7小題，單空每小題4分，兩空每小題6分，共36分）11．用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“1++…+(n∈N+，且n≥2)”時(shí)，第一步要證明的結(jié)論是________.12．用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于的恒等式，當(dāng)時(shí)，表達(dá)式為，則當(dāng)時(shí)，表達(dá)式為_______.13．用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證的等式是________．14．用數(shù)學(xué)歸納法證明：，第一步應(yīng)驗(yàn)證的等式是__________；從“”到“”左邊需增加的等式是_________.15．用數(shù)學(xué)歸納法證明：“對任意奇數(shù)n，命題成立”時(shí)，第二步論證應(yīng)該是假設(shè)______命題成立，再證______時(shí)，命題也成立.16．已知為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時(shí)，第一步的驗(yàn)證為________________________；若已假設(shè)（且為偶數(shù)）時(shí)等式成立，則還需要用歸納假設(shè)證________時(shí)等式成立.17．在數(shù)列中，a1=1，，則a3=______，an=_______.三．解答題（共5小題，滿分64分，18--20每小題12分，21,22每小題14分）18．在證明，由到的變化過程中，左邊增加的部分是什么，右邊增加的部分是什么？19．用數(shù)學(xué)歸納法證明：對任意正整數(shù)能被9整除．20．已知數(shù)列滿足，.（1）求、；（2）猜想數(shù)列通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法給出證明.21．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，并且滿足．猜想的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．22．在數(shù)列{an}中，a1=1且（1）求出，，；（2）歸納出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明歸納出的結(jié)論．答案解析一．選擇題（共10小題，滿分50分，每小題5分）1．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，時(shí)，由到時(shí)，等式左邊應(yīng)添加的項(xiàng)是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)橐C明等式的左邊是連續(xù)正整數(shù)，所以當(dāng)由到時(shí)，等式左邊增加了，故選C.2．用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證的不等式是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】∵，，∴所取的第一個(gè)正整數(shù)為2，又，故第一步應(yīng)驗(yàn)證．故選：B3．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時(shí)，當(dāng)時(shí)，左邊等于（）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】用數(shù)學(xué)歸納法證明：，在驗(yàn)證時(shí)，令代入左邊的代數(shù)式，得到左邊.故選：C4．用數(shù)學(xué)歸納法證明，則當(dāng)時(shí)，左端應(yīng)在的基礎(chǔ)上加上（）A． B．C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，等式左端，當(dāng)時(shí)，等式左端，增加了項(xiàng)．故選：C．5．用數(shù)學(xué)歸納法證明，成立.那么，“當(dāng)時(shí)，命題成立”是“對時(shí)，命題成立”的（）A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】B【解析】“當(dāng)時(shí)，命題成立”不能推出“對時(shí)，命題成立”，“對時(shí)，命題成立”可以推出“當(dāng)時(shí)，命題成立”，所以“當(dāng)時(shí)，命題成立”是“對時(shí)，命題成立”的必要不充分/故選：B6．用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，從到，不等式左邊需添加的項(xiàng)是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，所假設(shè)的不等式為，當(dāng)時(shí)，要證明的不等式為，故需添加的項(xiàng)為：，故選：B.7．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過程中，由遞推到時(shí)，不等式左邊（）A．增加了一項(xiàng)B．增加了兩項(xiàng)，C．增加了A中的一項(xiàng)，但又減少了另一項(xiàng)D．增加了B中的兩項(xiàng)，但又減少了另一項(xiàng)【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，左邊，當(dāng)時(shí)，左邊，所以，由遞推到時(shí)，不等式左邊增加了，；減少了；故選D8．已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，若已假設(shè)為偶數(shù))時(shí)命題為真，則還需要用歸納假設(shè)再證（）時(shí)等式成立（）A． B． C． D．【答案】B【解析】若已假設(shè)n=k(k≥2，k為偶數(shù))時(shí)命題為真，因?yàn)閚只能取偶數(shù)，所以還需要證明n=k+2成立.、故選B.9．用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，能被整除”，在證明正確后，歸納假設(shè)應(yīng)寫成（）．A．假設(shè)時(shí)命題成立B．假設(shè)時(shí)命題成立C．假設(shè)時(shí)命題成立D．假設(shè)時(shí)命題成立【答案】D【解析】此題所成立的數(shù)是所有的正奇數(shù)，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟要求，第二步所取的值的范圍應(yīng)從開始取值所有奇數(shù)，即．故選：D．10．在用數(shù)學(xué)歸納法求證：的過程中，從“到”左邊需增乘的代數(shù)式為（）．A． B． C． D．【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，左邊，當(dāng)時(shí)，左邊，則.故選：D.二．填空題（共7小題，單空每小題4分，兩空每小題6分，共36分）11．用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“1++…+(n∈N+，且n≥2)”時(shí)，第一步要證明的結(jié)論是________.【答案】【解析】因?yàn)閚≥2，所以第一步要證的是當(dāng)n=2時(shí)結(jié)論成立，即1+.故答案為：12．用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于的恒等式，當(dāng)時(shí)，表達(dá)式為，則當(dāng)時(shí)，表達(dá)式為_______.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，表達(dá)式左側(cè)為：，表達(dá)式右側(cè)為：，則當(dāng)時(shí)，表達(dá)式為.故答案為：.13．用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證的等式是________．【答案】【解析】由題知等式的左邊有項(xiàng)，右邊有項(xiàng)，且，因此第一步應(yīng)驗(yàn)證時(shí)的等式，此時(shí)左邊，右邊，故答案為：．14．用數(shù)學(xué)歸納法證明：，第一步應(yīng)驗(yàn)證的等式是__________；從“”到“”左邊需增加的等式是_________.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，應(yīng)當(dāng)驗(yàn)證的第一個(gè)式子是，從“”到“”左邊需增加的式子是15．用數(shù)學(xué)歸納法證明：“對任意奇數(shù)n，命題成立”時(shí)，第二步論證應(yīng)該是假設(shè)______命題成立，再證______時(shí)，命題也成立.【答案】【解析】依題意用數(shù)學(xué)歸納法證明：“對任意奇數(shù)n，命題成立”，由于為奇數(shù)，所以第二步論證應(yīng)該是假設(shè)命題成立，再證時(shí)命題也成立.故答案為：；16．已知為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時(shí)，第一步的驗(yàn)證為________________________；若已假設(shè)（且為偶數(shù)）時(shí)等式成立，則還需要用歸納假設(shè)證________時(shí)等式成立.【答案】當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，等式成立；【解析】對在為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明歸納基礎(chǔ)，因?yàn)闉檎紨?shù)，則基礎(chǔ)，當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，等式成立；歸納假設(shè)，當(dāng)（且為偶數(shù)）時(shí)，成立由于是所有正偶數(shù)，則歸納推廣，應(yīng)到下一個(gè)數(shù)為時(shí)，等式成立故答案為：(1).當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，等式成立；(2).17．在數(shù)列中，a1=1，，則a3=______，an=_______.【答案】【解析】第一空：因?yàn)?，，所以，；第二空：由第一空可知：，所以可得，因?yàn)?，，，，所以猜想，?shù)學(xué)歸納法證明如下：（1）當(dāng)時(shí)，顯然；（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，即，當(dāng)時(shí)，綜合（1）（2），所以，故答案為：；三．解答題（共5小題，滿分64分，18--20每小題12分，21,22每小題14分）18．在證明，由到的變化過程中，左邊增加的部分是什么，右邊增加的部分是什么？【答案】；【解析】時(shí)，左邊為，時(shí)，變?yōu)?，故由到的變化過程中，左邊增加的都分是；時(shí)，右邊為，時(shí)，變?yōu)?，右邊增加的部分?故答案為：；.19．用數(shù)學(xué)歸納法證明：對任意正整數(shù)能被9整除．【答案】見解析【解析】證明：（1）當(dāng)時(shí)，，能被9整除，故當(dāng)時(shí)，能被9整除．（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，即能被9整除，則當(dāng)時(shí)，也能被9整除.綜合(1)(2)可得,對任意正整數(shù)能被9整除．20．已知數(shù)列滿足，.（1）求、；（2）猜想數(shù)列通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法給出證明.【答案】（1），；（2）,證明見解析.【解析】（1），；（2）猜想數(shù)列通項(xiàng)公式，證明如下：當(dāng)時(shí)，，，所以成立；假設(shè)時(shí)成立，即，當(dāng)時(shí)，，∴時(shí)，成立，綜上，由①②得：.21．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，并且滿足．猜想的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．【答案】【解析】（1）解：分別令，得，∵，∴，猜想：，由①可知，當(dāng)時(shí)②①-②得，即當(dāng)時(shí)∵，∴，（ii）假設(shè)當(dāng)時(shí)，，那么當(dāng)時(shí)，,∵，∴，∴，即當(dāng)時(shí)也成立．∴，顯然時(shí)，也成立，故對于一切，均有．22．在數(shù)列{an}中，a1=1且（1）求出，，；（2）歸納出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明歸納出的結(jié)論．【答案】（1），，；（2）．【解析】（1）由a1=1且知：，，（2）猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式為，證明如下：（i）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=，右邊=左邊=右邊即猜想成立；（ii）假設(shè)當(dāng)n=時(shí)，猜想成立，即有那么當(dāng)n=時(shí)，從而猜想對n=也成立；由（i）（ii）可知，猜想對任意的都成立，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為《4.4數(shù)學(xué)歸納法》同步練習(xí)（提高練）一．選擇題（共10小題，滿分50分，每小題5分）1．已知，則（）A．中共有項(xiàng)，當(dāng)n=2時(shí)，B．中共有項(xiàng)，當(dāng)n=2時(shí)，C．中共有項(xiàng)，當(dāng)n=2時(shí)，D．中共有項(xiàng)，當(dāng)n=2時(shí)，2．已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明1-+…+=2時(shí)，若已假設(shè)n=k(k≥2，k為偶數(shù))時(shí)命題成立，則還需要用歸納假設(shè)證（）A．n=k+1時(shí)等式成立B．n=k+2時(shí)等式成立C．n=2k+2時(shí)等式成立D．n=2(k+2)時(shí)等式成立3．平面內(nèi)有個(gè)圓，其中每兩個(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，且每三個(gè)圓都無公共點(diǎn)，用表示這個(gè)圓把平面分割的區(qū)域數(shù)，那么與之間的關(guān)系為（）A．B．C．D．4．用數(shù)學(xué)歸納法證明“對于的正整數(shù)成立”時(shí)，第一步證明中的起始值應(yīng)取（）A．B．C．D．5．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式：，從到，不等式左邊需要（）A．增加一項(xiàng)B．增加兩項(xiàng)、C．增加，且減少一項(xiàng)D．增加、，且減少一項(xiàng)6．用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時(shí)，由的假設(shè)證明時(shí)，不等式左邊需增加的項(xiàng)數(shù)為（）A．B．C．D．7．已知，證明不等式時(shí)，比多的項(xiàng)數(shù)是（）A．項(xiàng)B．項(xiàng)C．項(xiàng)D．以上都不對8．用數(shù)學(xué)歸納法證：（時(shí)）第二步證明中從“到”左邊增加的項(xiàng)數(shù)是（）A．項(xiàng)B．項(xiàng)C．項(xiàng)D．項(xiàng)9．用數(shù)學(xué)歸納法證明“能被9整除”，在假設(shè)時(shí)命題成立之后，需證明時(shí)命題也成立，這時(shí)除了用歸納假設(shè)外，還需證明的是余項(xiàng)（）能被9整除.A．B．C．D．10．?dāng)?shù)列滿足：，，數(shù)列前項(xiàng)和為，則以下說法正確個(gè)數(shù)是（）①；②；③；④.A．1B．2C．3D．4二．填空題（共7小題，單空每小題4分，兩空每小題6分，共36分）11．已知，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，_________．12．用數(shù)學(xué)歸納法證明能被整除時(shí)，從到添加的項(xiàng)數(shù)共有__________________項(xiàng)（填多少項(xiàng)即可）．13．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，，則___________.14．在證明是的倍數(shù)時(shí)，時(shí)驗(yàn)證的表達(dá)式是_______；到增加的表達(dá)式是______________．15．若，用數(shù)學(xué)歸納法驗(yàn)證關(guān)于的命題時(shí)，第一步計(jì)算________；第二步“從到時(shí)”，________．16．探索表達(dá)式A=(n-1)(n-1)!+(n-2)(n-2)!+…+2·2!+1·1!(n>1,且n∈N*)的結(jié)果時(shí),第一步當(dāng)n=____時(shí),A=____.17．（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明“對于的自然數(shù)都成立”時(shí)，第一步證明中的起始值應(yīng)取________________；（2）利用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時(shí)，在驗(yàn)證成立時(shí)，左邊應(yīng)該是________________．三．解答題（共5小題，滿分64分，18--20每小題12分，21,22每小題14分）18．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求證：對任意的，不等式都成立．19．觀察下列等式：．．．．．．按照以上式子的規(guī)律：（1）寫出第5個(gè)等式，并猜想第個(gè)等式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明上述所猜想的第個(gè)等式成立．20．設(shè)數(shù)列滿足，.（1）計(jì)算，.猜想的通項(xiàng)公式并利用數(shù)學(xué)歸納法加以證明；（2）記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.21．已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．22．已知函數(shù).（1）當(dāng)，時(shí)，若存在，，使得，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；（2）若二次函數(shù)對一切恒有成立，且，求)的值；（3）是否存在一個(gè)二次函數(shù)，使得對任意正整數(shù)k，當(dāng)時(shí)，都有成立，請給出結(jié)論，并加以證明.答案解析一．選擇題（共10小題，滿分50分，每小題5分）1．已知，則（）A．中共有項(xiàng)，當(dāng)n=2時(shí)，B．中共有項(xiàng)，當(dāng)n=2時(shí)，C．中共有項(xiàng)，當(dāng)n=2時(shí)，D．中共有項(xiàng)，當(dāng)n=2時(shí)，【答案】C【解析】中共有項(xiàng)，當(dāng)n=2時(shí)，.故選：C2．已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明1-+…+=2時(shí)，若已假設(shè)n=k(k≥2，k為偶數(shù))時(shí)命題成立，則還需要用歸納假設(shè)證（）A．n=k+1時(shí)等式成立B．n=k+2時(shí)等式成立C．n=2k+2時(shí)等式成立D．n=2(k+2)時(shí)等式成立【答案】B【解析】由數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟可知，假設(shè)為偶數(shù)）時(shí)命題為真，則還需要用歸納假設(shè)再證下一個(gè)偶數(shù)，即時(shí)等式成立，不是，因?yàn)槭桥紨?shù)，是奇數(shù)，故選：．3．平面內(nèi)有個(gè)圓，其中每兩個(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，且每三個(gè)圓都無公共點(diǎn)，用表示這個(gè)圓把平面分割的區(qū)域數(shù)，那么與之間的關(guān)系為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】依題意得，由個(gè)圓增加到個(gè)圓，增加了個(gè)交點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)將新增的圓分成段弧，而每一段弧都將原來的一塊區(qū)域分成了2塊，故增加了塊區(qū)域，因此．故選：B．4．用數(shù)學(xué)歸納法證明“對于的正整數(shù)成立”時(shí)，第一步證明中的起始值應(yīng)?。ǎ〢．B．C．D．【答案】D【解析】根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟，首先要驗(yàn)證當(dāng)取第一個(gè)值時(shí)命題成立，結(jié)合本題，當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，不成立；當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，不成立；當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，不成立；當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，不成立；當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，成立.因此當(dāng)時(shí)，命題成立．所以第一步證明中的起始值應(yīng)?。蔬x：D．5．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式：，從到，不等式左邊需要（）A．增加一項(xiàng)B．增加兩項(xiàng)、C．增加，且減少一項(xiàng)D．增加、，且減少一項(xiàng)【答案】D【解析】由數(shù)學(xué)歸納法知：若時(shí)，不等式成立，則有：成立，那么時(shí)，有：，∴，綜上知：不等式左邊需要增加、，且減少一項(xiàng)故選：D6．用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時(shí)，由的假設(shè)證明時(shí)，不等式左邊需增加的項(xiàng)數(shù)為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，左邊，當(dāng)時(shí)，左邊，所以左邊增加分母是連續(xù)的正整數(shù)，所以共增加了項(xiàng)，所以的假設(shè)證明時(shí)，不等式左邊需增加的項(xiàng)數(shù)為，故選：C7．已知，證明不等式時(shí)，比多的項(xiàng)數(shù)是（）A．項(xiàng)B．項(xiàng)C．項(xiàng)D．以上都不對【答案】C【解析】因?yàn)?，，所以，所以比多的?xiàng)數(shù)是.故選：C.8．用數(shù)學(xué)歸納法證：（時(shí)）第二步證明中從“到”左邊增加的項(xiàng)數(shù)是（）A．項(xiàng)B．項(xiàng)C．項(xiàng)D．項(xiàng)【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，左邊，易知分母為連續(xù)正整數(shù)，所以，共有項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，左邊，共有項(xiàng)；所以從“到”左邊增加的項(xiàng)數(shù)是項(xiàng).故選D9.用數(shù)學(xué)歸納法證明“能被9整除”，在假設(shè)時(shí)命題成立之后，需證明時(shí)命題也成立，這時(shí)除了用歸納假設(shè)外，還需證明的是余項(xiàng)（）能被9整除.A．B．C．D．【答案】B【解析】假設(shè)時(shí)命題成立，即能被9整除，當(dāng)時(shí)，能被9整除要證上式能被9整除，還需證明也能被9整除故選：10．?dāng)?shù)列滿足：，，數(shù)列前項(xiàng)和為，則以下說法正確個(gè)數(shù)是（）①；②；③；④.A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】在①中，用數(shù)學(xué)歸納法求證：當(dāng)時(shí)，，成立，假設(shè)，則一方面，另一方面由于時(shí)，，∴，∴，故①正確；在②中，由于當(dāng)時(shí)，令，則，由于時(shí)，，故，在單調(diào)遞增，，所以在上單調(diào)遞增，故，所以，即，則，∴，故②正確；在③中，由于，∴，∴，∴，∴，故③正確；在④中，，，故④正確.故選：.二．填空題（共7小題，單空每小題4分，兩空每小題6分，共36分）11．已知，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，_________．【答案】【解析】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以．故答案為：．12．用數(shù)學(xué)歸納法證明能被整除時(shí)，從到添加的項(xiàng)數(shù)共有_________項(xiàng)（填多少項(xiàng)即可）．【答案】5【解析】當(dāng)時(shí)，原式為：，當(dāng)時(shí)，原式為，比較后可知多了，共5項(xiàng).故答案為：513．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，，則___________.【答案】【解析】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有，因此由，可得，化簡得：，因?yàn)?所以，，由此猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，現(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，，顯然成立；假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，即，當(dāng)時(shí)，，綜上所述：.故答案為：14．在證明是的倍數(shù)時(shí)，時(shí)驗(yàn)證的表達(dá)式是_______；到增加的表達(dá)式是______________．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，原式，當(dāng)時(shí)，原式，當(dāng)時(shí)，原式.則從到增加的表達(dá)式是.故答案為：；.15．若，用數(shù)學(xué)歸納法驗(yàn)證關(guān)于的命題時(shí)，第一步計(jì)算______；第二步“從到時(shí)”，_____．【答案】【解析】，；，故答案為：；.16．探索表達(dá)式A=(n-1)(n-1)!+(n-2)(n-2)!+…+2·2!+1·1!(n>1,且n∈N*)的結(jié)果時(shí),第一步當(dāng)n=____時(shí),A=____.【答案】21【解析】∵n>1,且n∈N*∴n=2,時(shí)，A=(2-1)(2-1)!=1故答案為2,117．（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明“對于的自然數(shù)都成立”時(shí)，第一步證明中的起始值應(yīng)取________________；（2）利用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時(shí)，在驗(yàn)證成立時(shí)，左邊應(yīng)該是________________．【答案】5【解析】（1）由于時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，成立．故第一步證明中的起始值應(yīng)取5．（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明“()”時(shí)，在驗(yàn)證成立時(shí)，將代入，左邊以1即開始、以結(jié)束，所以左邊應(yīng)該是．三．解答題（共5小題，滿分64分，18--20每小題12分，21,22每小題14分）18．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求證：對任意的，不等式都成立．【答案】證明見解析.【解析】由，得，所以,用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式成立，證明如下：①當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，因?yàn)?，所以不等式成立．②假設(shè)當(dāng)時(shí)不等式成立，即成立，則當(dāng)時(shí)，左邊,,右邊．所以當(dāng)時(shí)，不等式也成立．由①②可得不等式對任意的都成立，即原不等式成立．19．觀察下列等式：．．．．．．按照以上式子的規(guī)律：（1）寫出第5個(gè)等式，并猜想第個(gè)等式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明上述所猜想的第個(gè)等式成立．【答案】（1）；，；（2）證明見解析.【解析】（1）第5個(gè)等式為．第個(gè)等式為，．（2）證明：①當(dāng)時(shí)，等式左邊，等式右邊，所以等式成立．②假設(shè)時(shí)，命題成立，即，則當(dāng)時(shí)，，即時(shí)等式成立．根據(jù)①和②，可知對任意等式都成立．20．設(shè)數(shù)列滿足，.（1）計(jì)算，.猜想的通項(xiàng)公式并利用數(shù)學(xué)歸納法加以證明；（2）記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1），，；證明見解析；（2）.【解析】（1）由題意可得，，由數(shù)列的前三項(xiàng)可猜想數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，即，證明如下：當(dāng)時(shí)，成立；假設(shè)時(shí)，成立.那么時(shí)，也成立.則對任意的，都有成立；（2）因?yàn)?∴，①，②①-②得：.∴.21．已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．【答案】（1），；（2）證明見解析.【解析】（1）由題可得，，，，從而猜想．用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：①當(dāng)時(shí)，有，猜想成立；②假設(shè)當(dāng)時(shí)猜想成立，即，則當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，猜想也成立．由①②可知，對任意都成立．∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為，．（2）證明：，由基本不等式可得，所以，所以．22．已知函數(shù).（1）當(dāng)，時(shí)，若存在，，使得，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；（2）若二次函數(shù)對一切恒有成立，且，求)的值；（3）是否存在一個(gè)二次函數(shù)，使得對任意正整數(shù)k，當(dāng)時(shí)，都有成立，請給出結(jié)論，并加以證明.【答案】（1）；（2）；（3）存在，；證明見解析.【解析】（1）當(dāng)，時(shí)，由題意可知，在，上有兩個(gè)不等實(shí)根，或在，上有兩個(gè)不等實(shí)根，則或，解得或即實(shí)數(shù)的取值范圍是或．（2）二次函數(shù)對一切恒有成立，可得，解得，（1），函數(shù)的對稱軸為，設(shè)函數(shù)，由（1），（5），可得，，解得，，，．（3）存在符合條件的二次函數(shù)．設(shè)，則當(dāng)，2，3時(shí)有：（5）①；②；③．聯(lián)立①、②、③，解得，，．于是，．下面證明二次函數(shù)符合條件．因?yàn)椋恚?；，所求的二次函?shù)符合條件．《4.4數(shù)學(xué)歸納法》同步檢測試卷一、單選題1．利用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，第一步應(yīng)證明（）A．B．C．D．2．某個(gè)命題與自然數(shù)有關(guān)，若時(shí)命題成立，那么可推得當(dāng)時(shí)該命題也成立，現(xiàn)已知時(shí)，該命題不成立，那么可以推得A．時(shí)該命題不成立B．時(shí)該命題成立C．時(shí)該命題不成立D．時(shí)該命題成立3．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過程中，由遞推到時(shí)，不等式左邊（）A．增加了一項(xiàng)B．增加了兩項(xiàng)，C．增加了A中的一項(xiàng)，但又減少了另一項(xiàng)D．增加了B中的兩項(xiàng)，但又減少了另一項(xiàng)4．用數(shù)學(xué)歸納法證：（時(shí)）第二步證明中從“到”左邊增加的項(xiàng)數(shù)是（）A．項(xiàng)B．項(xiàng)C．項(xiàng)D．項(xiàng)5．用數(shù)學(xué)歸納法證明“”，在驗(yàn)證是否成立時(shí)，左邊應(yīng)該是()A．B．C．D．6．用數(shù)學(xué)歸納法證明，則當(dāng)時(shí)，左端應(yīng)在的基礎(chǔ)上加上（）A．B．C．D．7.對于不等式<n+1(n∈N*),某同學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的證明過程如下:(1)當(dāng)n=1時(shí),<1+1,不等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí),不等式成立,即<k+1.那么當(dāng)n=k+1時(shí),=(k+1)+1,所以當(dāng)n=k+1時(shí),不等式也成立.根據(jù)(1)和(2),可知對于任何n∈N*,不等式均成立.則上述證法（）A．過程全部正確B．n=1驗(yàn)得不正確C．歸納假設(shè)不正確D．從n=k到n=k+1的證明過程不正確8．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過程中，由遞推到時(shí)不等式左邊（）A．增加了B．增加了C．增加了，但減少了D．以上各種情況均不對9．用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，由“”等式兩邊需同乘一個(gè)代數(shù)式，它是（）A．B．C．D．10．在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對角線為n(n－3)條時(shí)，第一步驗(yàn)證n等于()A．1B．2C．3D．011．利用數(shù)學(xué)歸納法證明“，”時(shí)，從””變到“”時(shí)，左邊應(yīng)增加的因式是（）A．B．C．D．12．已知,存在自然數(shù),使得對任意,都能使整除,則最大的的值為()A．30B．9C．36D．6二、填空題13．用數(shù)學(xué)歸納法證明且，第一步要證的不等式是_________．14．用數(shù)學(xué)歸納法證明“”，在驗(yàn)證成立時(shí)，等號左邊的式子是______.15．利用數(shù)學(xué)歸納法證明“”時(shí)從“”變到“”時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)是______________.16．用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)時(shí)，能被31整除”時(shí)，從到時(shí)需添加的項(xiàng)是______.三、解答題17．用數(shù)學(xué)歸納法證明：．18．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，（1）求，，，并猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想．19．已知數(shù)列，，，…，，…，（1）計(jì)算；（2）由以上結(jié)果推測計(jì)算的公式，并用數(shù)學(xué)歸納法給出證明.20．已知數(shù)列滿足，．（1）計(jì)算，，的值，并猜想數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中的猜想．21．已知數(shù)列，首項(xiàng)，前項(xiàng)和足.（1）求出，并猜想的表達(dá)式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.22．已知是等差數(shù)列,是等比數(shù)列,．設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和．(1)求；(2)試用數(shù)學(xué)歸納法證明：．答案解析一、單選題1．利用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，第一步應(yīng)證明（）A．B．C．D．【答案】D【解析】的初始值應(yīng)為1，而.故選D2．某個(gè)命題與自然數(shù)有關(guān)，若時(shí)命題成立，那么可推得當(dāng)時(shí)該命題也成立，現(xiàn)已知時(shí)，該命題不成立，那么可以推得A．時(shí)該命題不成立B．時(shí)該命題成立C．時(shí)該命題不成立D．時(shí)該命題成立【答案】C【解析】假設(shè)時(shí)該命題成立，由題意可得時(shí)，該命題成立，而時(shí)，該命題不成立，所以時(shí)，該命題不成立.而時(shí)，該命題不成立，不能推得該命題是否成立．故選C．3．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過程中，由遞推到時(shí)，不等式左邊（）A．增加了一項(xiàng)B．增加了兩項(xiàng)，C．增加了A中的一項(xiàng)，但又減少了另一項(xiàng)D．增加了B中的兩項(xiàng)，但又減少了另一項(xiàng)【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，左邊，當(dāng)時(shí)，左邊，所以，由遞推到時(shí)，不等式左邊增加了，；減少了；故選：D4．用數(shù)學(xué)歸納法證：（時(shí)）第二步證明中從“到”左邊增加的項(xiàng)數(shù)是（）A．項(xiàng)B．項(xiàng)C．項(xiàng)D．項(xiàng)【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，左邊，易知分母為連續(xù)正整數(shù)，所以，共有項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，左邊，共有項(xiàng)；所以從“到”左邊增加的項(xiàng)數(shù)是項(xiàng).故選D5．用數(shù)學(xué)歸納法證明“”，在驗(yàn)證是否成立時(shí)，左邊應(yīng)該是()A．B．C．D．【答案】C【解析】用數(shù)學(xué)歸納法證明“”，在驗(yàn)證時(shí)，把代入，左邊.故選：C.6．用數(shù)學(xué)歸納法證明，則當(dāng)時(shí)，左端應(yīng)在的基礎(chǔ)上加上（）A．B．C．D．【答案】C【解析】當(dāng)n=k時(shí)，等式左端=1+2+…+k2，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式左端=1+2+…+k2+k2+1+k2+2+…+（k+1）2，增加了項(xiàng)（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2．故選：C．7.對于不等式<n+1(n∈N*),某同學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法的證明過程如下:(1)當(dāng)n=1時(shí),<1+1,不等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí),不等式成立,即<k+1.那么當(dāng)n=k+1時(shí),=(k+1)+1,所以當(dāng)n=k+1時(shí),不等式也成立.根據(jù)(1)和(2),可知對于任何n∈N*,不等式均成立.則上述證法（）A．過程全部正確B．n=1驗(yàn)得不正確C．歸納假設(shè)不正確D．從n=k到n=k+1的證明過程不正確【答案】D【解析】題目中當(dāng)n=k+1時(shí)不等式的證明沒有用到n=k時(shí)的不等式，正確的證明過程如下：在（2）中假設(shè)時(shí)有成立，即成立，即時(shí)成立，故選D．8．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過程中，由遞推到時(shí)不等式左邊（）A．增加了B．增加了C．增加了，但減少了D．以上各種情況均不對【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故增加了，但減少了.故選：.9．用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，由“”等式兩邊需同乘一個(gè)代數(shù)式，它是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題意有，假設(shè)時(shí)，成立，則當(dāng)時(shí)，左邊右邊∴由數(shù)學(xué)歸納法可知上式成立∴顯然等式兩邊需同乘故選：D.10．在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對角線為n(n－3)條時(shí)，第一步驗(yàn)證n等于()A．1B．2C．3D．0【答案】C【解析】因?yàn)槎噙呅蔚倪厰?shù)最少是，即三角形，在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對角線為條時(shí)，第一步驗(yàn)證等于，故選C.11．利用數(shù)學(xué)歸納法證明“，”時(shí)，從””變到“”時(shí)，左邊應(yīng)增加的因式是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題意“”時(shí)，左邊為，“”時(shí)，左邊為，從而可得增加兩項(xiàng)為，且減少項(xiàng)為，故選D.12．已知,存在自然數(shù),使得對任意,都能使整除,則最大的的值為()A．30B．9C．36D．6【答案】C【解析】由，得，，，，由此猜想.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1)當(dāng)時(shí)，顯然成立。(2)假設(shè)時(shí)，能被36整除，即能被36整除；當(dāng)時(shí)