考研高數(shù)泰勒公式及其應(yīng)用典型例題_第1頁
考研高數(shù)泰勒公式及其應(yīng)用典型例題_第2頁
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泰勒公式及其應(yīng)用泰勒(Tayler)中值定理若函數(shù)在含有的某個(gè)開區(qū)間內(nèi)具有直到階導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)時(shí)，可以表示成這里是與之間的某個(gè)值。三、幾個(gè)概念1、此式稱為函數(shù)按的冪次展開到

階的泰勒公式；或者稱之為函數(shù)在點(diǎn)

處的

階泰勒展開式。當(dāng)

時(shí)，泰勒公式變?yōu)檫@正是拉格朗日中值定理的形式。因此，我們也稱泰勒公式中的余項(xiàng)。

為拉格朗日余項(xiàng)。2、對(duì)固定的，若

有

此式可用作誤差界的估計(jì)。故

表明：誤差是當(dāng)

時(shí)較

高階無窮小，這一余項(xiàng)表達(dá)式稱之為皮亞諾余項(xiàng)。3、若，則在

與

之間，它表示成形式

，泰勒公式有較簡(jiǎn)單的形式——

麥克勞林公式

近似公式誤差估計(jì)式【例1】求的麥克勞林公式。解：

，

于是

有近似公式

其誤差的界為

我們有函數(shù)

的一些近似表達(dá)式。(1)、

(2)、

(3)、【例2】求

的

階麥克勞林公式。解：它們的值依次取四個(gè)數(shù)值

。其中：

同樣，我們也可給出曲線

的近似曲線如下，并用matlab作出它們的圖象。

【例3】求的麥克勞林展開式的前四項(xiàng)，并給出皮亞諾余項(xiàng)。解：

于是：

利用泰勒展開式求函數(shù)的極限，可以說是求極限方法中的“終極武器”，

使用這一方法可求許多其它方法難以處理的極限?！纠?】利用泰勒展開式再求極限

。解：，

【注解】現(xiàn)在，我們

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