2024年2024年2024年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題及參考答案

2024年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說明：評(píng)閱試卷時(shí)，請(qǐng)依據(jù)本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn).第一試，選擇題和填空題只設(shè)7分和0分兩檔；第二試各題，請(qǐng)按照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的評(píng)分檔次給分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步驟正確，在評(píng)卷時(shí)請(qǐng)參照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)劃分的檔次，給予相應(yīng)的分?jǐn)?shù).第一試一、選擇題〔此題總分值42分，每題7分〕此題共有6小題，每題均給出了代號(hào)為的四個(gè)答案，其中有且僅有一個(gè)是正確的.將你所選擇的答案的代號(hào)填在題后的括號(hào)內(nèi).每題選對(duì)得7分；不選、選錯(cuò)或選出的代號(hào)字母超過一個(gè)〔不管是否寫在括號(hào)內(nèi)〕，一律得0分.1．設(shè)，，且，那么代數(shù)式的值為〔〕5.7.9.11.【答】.解由題設(shè)條件可知，，且，所以是一元二次方程的兩根，故，，因此.應(yīng)選.2．如圖，設(shè)，，為三角形的三條高，假設(shè)，，，那么線段的長為〔〕.4...【答】.解因?yàn)?，，為三角形的三條高，易知四點(diǎn)共圓，于是△∽△，故，即，所以.在Rt△中，.應(yīng)選.3．從分別寫有數(shù)字1，2，3，4，5的5張卡片中任意取出兩張，把第一張卡片上的數(shù)字作為十位數(shù)字，第二張卡片上的數(shù)字作為個(gè)位數(shù)字，組成一個(gè)兩位數(shù)，那么所組成的數(shù)是3的倍數(shù)的概率是〔〕....【答】.解能夠組成的兩位數(shù)有12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54，共20個(gè)，其中是3的倍數(shù)的數(shù)為12，15，21，24，42，45，51，54，共8個(gè).2024年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第1頁〔共9頁〕所以所組成的數(shù)是3的倍數(shù)的概率是.應(yīng)選.2024年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第1頁〔共9頁〕4．在△中，，，和分別是這兩個(gè)角的外角平分線，且點(diǎn)分別在直線和直線上，那么〔〕...和的大小關(guān)系不確定.【答】.解∵，為的外角平分線，∴.又，∴，∴.又，∴，∴.因此，.應(yīng)選.5．現(xiàn)有價(jià)格相同的5種不同商品，從今天開始每天分別降價(jià)10％或20％，假設(shè)干天后，這5種商品的價(jià)格互不相同，設(shè)最高價(jià)格和最低價(jià)格的比值為，那么的最小值為〔〕....【答】.解容易知道，4天之后就可以出現(xiàn)5種商品的價(jià)格互不相同的情況.設(shè)5種商品降價(jià)前的價(jià)格為，過了天.天后每種商品的價(jià)格一定可以表示為，其中為自然數(shù)，且.要使的值最小，五種商品的價(jià)格應(yīng)該分別為：，，，，，其中為不超過的自然數(shù).所以的最小值為.應(yīng)選.6．實(shí)數(shù)滿足，那么的值為〔〕.2024..1.2024年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第2頁〔共9頁〕【答】.2024年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第2頁〔共9頁〕解∵，∴，，由以上兩式可得.所以，解得，所以.應(yīng)選.二、填空題〔此題總分值28分，每題7分〕1．設(shè)，那么.解∵，∴，∴.2．如圖，正方形的邊長為1，為所在直線上的兩點(diǎn)，且，，那么四邊形的面積為解設(shè)正方形的中心為，連，那么，,,∴.又，2024年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第3頁〔共9頁〕，2024年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第3頁〔共9頁〕所以△∽△，故，從而.根據(jù)對(duì)稱性可知，四邊形的面積.3．二次函數(shù)的圖象與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，，且.設(shè)滿足上述要求的的最大值和最小值分別為，，那么解根據(jù)題意，是一元二次方程的兩根，所以，.∵，∴，.∵方程的判別式，∴.，故，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得；，故，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得.所以，，于是.4．依次將正整數(shù)1，2，3，…的平方數(shù)排成一串：149162536496481100121144…，排在第1個(gè)位置的數(shù)字是1，排在第5個(gè)位置的數(shù)字是6，排在第10個(gè)位置的數(shù)字是4，排在第2024個(gè)位置的數(shù)字是1.解到，結(jié)果都只各占1個(gè)數(shù)位，共占個(gè)數(shù)位；到，結(jié)果都只各占2個(gè)數(shù)位，共占個(gè)數(shù)位；到，結(jié)果都只各占3個(gè)數(shù)位，共占個(gè)數(shù)位；到，結(jié)果都只各占4個(gè)數(shù)位，共占個(gè)數(shù)位；到，結(jié)果都只各占5個(gè)數(shù)位，共占個(gè)數(shù)位；此時(shí)還差個(gè)數(shù)位.到，結(jié)果都只各占6個(gè)數(shù)位，共占個(gè)數(shù)位.2024年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第4頁〔共9頁〕所以，排在第2024個(gè)位置的數(shù)字恰好應(yīng)該是的個(gè)位數(shù)字，即為1.2024年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第4頁〔共9頁〕第二試〔A〕一．〔此題總分值20分〕，對(duì)于滿足條件的一切實(shí)數(shù)，不等式〔1〕恒成立.當(dāng)乘積取最小值時(shí)，求的值.解整理不等式〔1〕并將代入，得〔2〕在不等式〔2〕中，令，得；令，得.易知，，故二次函數(shù)的圖象〔拋物線〕的開口向上，且頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)在0和1之間.由題設(shè)知，不等式〔2〕對(duì)于滿足條件的一切實(shí)數(shù)恒成立，所以它的判別式，即.由方程組〔3〕消去，得，所以或.又因?yàn)?，所以或，于是方程組〔3〕的解為或所以的最小值為，此時(shí)的值有兩組，分別為和.2024年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第5頁〔共9頁〕2024年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第5頁〔共9頁〕二．〔此題總分值25分〕如圖，圓與圓相交于兩點(diǎn)，為圓的切線，點(diǎn)在圓上，且.〔1〕證明：點(diǎn)在圓的圓周上.〔2〕設(shè)△的面積為，求圓的的半徑的最小值.解〔1〕連，因?yàn)闉閳A心，，所以△∽△，從而.因?yàn)?，所以，所以，因此點(diǎn)在圓的圓周上.〔2〕設(shè)圓的半徑為，的延長線交于點(diǎn)，易知.設(shè)，，，那么，，.因?yàn)?,，所以△∽△，所以，即，故.所以，即，其中等號(hào)當(dāng)時(shí)成立，這時(shí)是圓的直徑.所以圓的的半徑的最小值為.三．〔此題總分值25分〕設(shè)為質(zhì)數(shù)，為正整數(shù)，且〔1〕求，的值.解〔1〕式即，設(shè)，那么〔2〕故，又，所以〔3〕2024年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第6頁〔共9頁〕由〔1〕式可知，能被509整除，而509是質(zhì)數(shù)，于是能被509整除，故為整數(shù)，即關(guān)于的一元二次方程〔3〕有整數(shù)根，所以它的判別式為完全平方數(shù).2024年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第6頁〔共9頁〕不妨設(shè)〔為自然數(shù)〕，那么.由于和的奇偶性相同，且，所以只可能有以下幾種情況：①兩式相加，得，沒有整數(shù)解.②兩式相加，得，沒有整數(shù)解.③兩式相加，得，沒有整數(shù)解.④兩式相加，得，沒有整數(shù)解.⑤兩式相加，得，解得.⑥兩式相加，得，解得，而不是質(zhì)數(shù)，故舍去.綜合可知.此時(shí)方程〔3〕的解為或〔舍去〕.把，代入〔2〕式，得.第二試〔B〕一．〔此題總分值20分〕，對(duì)于滿足條件的一切實(shí)數(shù)對(duì)，不等式〔1〕恒成立.當(dāng)乘積取最小值時(shí)，求的值.解由可知.在〔1〕式中，令，得；令，得.2024年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第7頁〔共9頁〕將代入〔1〕式，得，即2024年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第7頁〔共9頁〕〔2〕易知，，故二次函數(shù)的圖象〔拋物線〕的開口向上，且頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)在0和1之間.由題設(shè)知，不等式〔2〕對(duì)于滿足條件的一切實(shí)數(shù)恒成立，所以它的判別式，即.由方程組〔3〕消去，得，所以或，又因?yàn)?，所以?于是方程組〔3〕的解為或所以滿足條件的的值有兩組，分別為和.二．〔此題總分值25分〕題目和解答與〔A〕卷第二題相同.三．〔此題總分值25分〕題目和解答與〔A〕卷第三題相同. 第二試〔C〕一．〔此題總分值20分〕題目和解答與〔B〕卷第一題相同.二．〔此題總分值25分〕題目和解答與〔A〕卷第二題相同.三．〔此題總分值25分〕設(shè)為質(zhì)數(shù)，為正整數(shù)，且滿足2024年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第8頁〔共9頁〕求的值.2024年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第8頁〔共9頁〕解〔1〕式即，設(shè)，那么〔3〕故，又，所以〔4〕由〔1〕式可知，能被509整除，而509是質(zhì)數(shù)，于是能被509整除，故為整數(shù)，即關(guān)于的一元二次方程〔4〕有整數(shù)根，所以它的判別式為完全平方數(shù).不妨設(shè)〔為自然數(shù)〕，那么.由于和的奇偶性相同，且，所以只可能有以下幾種情況：①兩式相加，得，沒有整數(shù)解.②兩式相加，得，沒有整數(shù)解.③兩式相加，得，沒有整數(shù)解.④兩式相加，得，沒有整數(shù)解.⑤兩式相加，得，解得.⑥兩式相加，得，解得，而不是質(zhì)數(shù)，故舍去.綜合可知，此時(shí)方程〔4〕的解為或〔舍去〕.把，代入〔3〕式，得，即.代入〔2〕式得，所以，，因此.2024年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第9頁〔共9頁〕2024年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第9頁〔共9頁〕2024年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案第一試一、選擇題〔此題總分值42分，每題7分〕1.設(shè)，那么〔A〕A.24.B.25.C..D..2．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的兩倍，且AB＝7，AC＝8，那么BC＝〔C〕A..B..C..D..3．用表示不大于的最大整數(shù)，那么方程的解的個(gè)數(shù)為〔C〕A.1.B.2.C.3.D.4.4．設(shè)正方形ABCD的中心為點(diǎn)O，在以五個(gè)點(diǎn)A、B、C、D、O為頂點(diǎn)所構(gòu)成的所有三角形中任意取出兩個(gè)，它們的面積相等的概率為〔B〕A..B..C..D..5．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC為直徑在矩形內(nèi)作半圓，自點(diǎn)A作半圓的切線AE，那么CBE＝〔D〕A..B..C..D..6．設(shè)是大于1909的正整數(shù)，使得為完全平方數(shù)的的個(gè)數(shù)是〔B〕A.3.B.4.C.5.D.6.二、填空題〔此題總分值28分，每題7分〕1．是實(shí)數(shù)，假設(shè)是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)非負(fù)實(shí)根，那么的最小值是____________.2．設(shè)D是△ABC的邊AB上的一點(diǎn)，作DE//BC交AC于點(diǎn)E，作DF//AC交BC于點(diǎn)F，△ADE、△DBF的面積分別為和，那么四邊形DECF的面積為______.3．如果實(shí)數(shù)滿足條件，，那么______.4．是正整數(shù)，且滿足是整數(shù)，那么這樣的有序數(shù)對(duì)共有___7__對(duì).第二試一．〔此題總分值20分〕二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)分別為A、B，與軸的交點(diǎn)為C.設(shè)△ABC的外接圓的圓心為點(diǎn)P.〔1〕證明：⊙P與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為定點(diǎn).〔2〕如果AB恰好為⊙P的直徑且，求和的值.解〔1〕易求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)，，那么，.設(shè)⊙P與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，由于AB、CD是⊙P的兩條相交弦，它們的交點(diǎn)為點(diǎn)O，所以O(shè)A×OB＝OC×OD，那么.因?yàn)?，所以點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，從而點(diǎn)D在軸的正半軸上，所以點(diǎn)D為定點(diǎn)，它的坐標(biāo)為(0,1).〔2〕因?yàn)锳B⊥CD，如果AB恰好為⊙P的直徑，那么C、D關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，即.又，所以，解得.二．〔此題總分值25分〕△ABC中，∠ACB＝90°，AB邊上的高線CH與△ABC的兩條內(nèi)角平分線AM、BN分別交于P、Q兩點(diǎn).PM、QN的中點(diǎn)分別為E、F.求證：EF∥AB.解因?yàn)锽N是∠ABC的平分線，所以.又因?yàn)镃H⊥AB，所以，因此.又F是QN的中點(diǎn)，所以CF⊥QN，所以，因此C、F、H、B四點(diǎn)共圓.又，所以FC＝FH，故點(diǎn)F在CH的中垂線上.同理可證，點(diǎn)E在CH的中垂線上.因此EF⊥CH.又AB⊥CH，所以EF∥AB.三．〔此題總分值25分〕為正數(shù)，滿足如下兩個(gè)條件：①②是否存在以為三邊長的三角形？如果存在，求出三角形的最大內(nèi)角.解法1將①②兩式相乘，得，即，即，即，即，即，即，即，即，所以或或，即或或.因此，以為三邊長可構(gòu)成一個(gè)直角三角形，它的最大內(nèi)角為90°.解法2結(jié)合①式，由②式可得，變形，得③又由①式得，即，代入③式，得，即.，所以或或.結(jié)合①式可得或或.因此，以為三邊長可構(gòu)成一個(gè)直角三角形，它的最大內(nèi)角為90°.2024年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案第一試一、選擇題：〔此題總分值42分，每題7分〕1.假設(shè)均為整數(shù)且滿足，那么〔B〕A．1.B．2.C．3.D．4.2．假設(shè)實(shí)數(shù)滿足等式，，那么可能取的最大值為〔C〕A．0.B．1.C．2.D．3.3．假設(shè)是兩個(gè)正數(shù)，且那么〔C〕A．.B．.C．.D．.4．假設(shè)方程的兩根也是方程的根，那么的值為〔A〕A．－13.B．－9.C．6.D．0.5．在△中，，D，E分別是邊AB，AC上的點(diǎn)，且，，,那么(B)A．15°.B．20°.C．25°.D．30°.6．對(duì)于自然數(shù)，將其各位數(shù)字之和記為，如，，那么〔D〕A．28062.B．28065.C．28067.D．28068.二、填空題：〔此題總分值28分，每題7分〕1．實(shí)數(shù)滿足方程組那么13.2．二次函數(shù)的圖象與軸正方向交于A，B兩點(diǎn)，與軸正方向交于點(diǎn)C．，，那么．3．在等腰直角△ABC中，AB＝BC＝5，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且PA＝，PC＝5，那么PB＝______．4．將假設(shè)干個(gè)紅、黑兩種顏色的球擺成一行，要求兩種顏色的球都要出現(xiàn)，且任意中間夾有5個(gè)或10個(gè)球的兩個(gè)球必為同一種顏色的球.按這種要求擺放，最多可以擺放_(tái)___15___個(gè)球.第二試〔A〕一．〔此題總分值20分〕設(shè)整數(shù)〔〕為三角形的三邊長，滿足，求符合條件且周長不超過30的三角形的個(gè)數(shù).解由等式可得①令，那么，其中均為自然數(shù).于是，等式①變?yōu)?，即②由于均為自然?shù)，判斷易知，使得等式②成立的只有兩組：和〔1〕當(dāng)時(shí)，，.又為三角形的三邊長，所以，即，解得.又因?yàn)槿切蔚闹荛L不超過30，即，解得.因此，所以可以取值4，5，6，7，8，對(duì)應(yīng)可得到5個(gè)符合條件的三角形.〔2〕當(dāng)時(shí)，，.又為三角形的三邊長，所以，即，解得.又因?yàn)槿切蔚闹荛L不超過30，即，解得.因此，所以可以取值2，3，4，5，6，7，對(duì)應(yīng)可得到6個(gè)符合條件的三角形.綜合可知：符合條件且周長不超過30的三角形的個(gè)數(shù)為5＋6＝11.二．〔此題總分值25分〕等腰三角形△ABC中，AB＝AC，∠C的平分線與AB邊交于點(diǎn)P，M為△ABC的內(nèi)切圓⊙I與BC邊的切點(diǎn)，作MD//AC，交⊙I于點(diǎn)D.證明：PD是⊙I的切線.證明過點(diǎn)P作⊙I的切線PQ〔切點(diǎn)為Q〕并延長，交BC于點(diǎn)N.因?yàn)镃P為∠ACB的平分線，所以∠ACP＝∠BCP.又因?yàn)镻A、PQ均為⊙I的切線，所以∠APC＝∠NPC.又CP公共，所以△ACP≌△NCP，所以∠PAC＝∠PNC.由NM＝QN，BA＝BC，所以△QNM∽△BAC，故∠NMQ＝∠ACB，所以MQ//AC.又因?yàn)镸D//AC，所以MD和MQ為同一條直線.又點(diǎn)Q、D均在⊙I上，所以點(diǎn)Q和點(diǎn)D重合，故PD是⊙I的切線.三．〔此題總分值25分〕二次函數(shù)QUOTE的圖象經(jīng)過兩點(diǎn)P，Q.〔1〕如果都是整數(shù)，且，求的值.〔2〕設(shè)二次函數(shù)QUOTE的圖象與軸的交點(diǎn)為A、B，與軸的交點(diǎn)為C.QUOTE如果關(guān)于的方程的兩個(gè)根都是整數(shù)，求△ABC的面積.解點(diǎn)P、Q在二次函數(shù)QUOTE的圖象上，故，，解得，.〔1〕由知解得.又為整數(shù)，所以，，.(2)設(shè)QUOTE是方程的兩個(gè)整數(shù)根，且.由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，消去，得，兩邊同時(shí)乘以9，得，分解因式，得.所以或或或解得或或或又是整數(shù)，所以后面三組解舍去，故.因此，，，二次函數(shù)的解析式為.易求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為〔1,0〕和〔2,0〕，點(diǎn)C的坐標(biāo)為〔0,2〕，所以△ABC的面積為.第二試〔B〕一．〔此題總分值20分〕設(shè)整數(shù)為三角形的三邊長，滿足，求符合條件且周長不超過30的三角