2024-2024高考全國(guó)卷Ⅰ文科數(shù)學(xué)立體幾何專(zhuān)題復(fù)習(xí)(附詳細(xì)解析)

2024-2024年新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ文科數(shù)學(xué)匯編立體幾何一、選擇題【2024，6】如圖，在以下四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，那么在這四個(gè)正方體中，直接AB與平面MNQ不平行的是〔〕【2024，7】如以下列圖，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條相互垂直的半徑．假設(shè)該幾何體的體積是，那么它的外表積是〔〕A．B．C．D．【2024，11】平面過(guò)正方體的頂點(diǎn)，平面，平面，平面，那么所成角的正弦值為〔〕A．B．C．D．【2024，6】?九章算術(shù)?是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺，問(wèn)〞積及為米幾何？〞其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米〔如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一〕，米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺，米堆的高為5尺，米堆的體積和堆放的米各位多少？〞1斛米的體積約為1．62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米有()A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛【2024，11】圓柱被一個(gè)平面截去一局部后與半球〔半徑為r〕組成一個(gè)幾何體，該幾何體的三視圖中的正視圖和俯視圖如以下列圖，假設(shè)該幾何體的外表積為16+20π，那么r=()BA．1B．2C．4D．8【2024，11】【2024，8】【2024，11】【2024，7】【2024，8】如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實(shí)線畫(huà)出的一個(gè)幾何體的三視圖，那么這個(gè)幾何體是()A．三棱錐B．三棱柱C．四棱錐D．四棱柱【2024，11】某幾何體的三視圖如以下列圖，那么該幾何體的體積為()．A．16＋8πB．8＋8πC．16＋16πD．8＋16π【2024，7】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，那么此幾何體的體積為A．6 B．9 C．12 D．15【2024，8】平面截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面的距離為，那么此球的體積為〔〕A． B． C． D．【2024，5】圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過(guò)直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，該圓柱的外表積為122πB. 12πC. 82πD. 10π【2024，9】某圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，其三視圖如右圖，圓柱外表上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，圓柱外表上的點(diǎn)N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，那么在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為A. 217B. 25C. 3D. 2【2024，10】在長(zhǎng)方形ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AC1與平面BB1C1C所成的角為30°，那么該長(zhǎng)方體的體積為A. 8B. 62C. 82D. 83二、填空題【2024，16】三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，是球的直徑．假設(shè)平面，，，三棱錐的體積為9，那么球的外表積為_(kāi)______．【2024，15】H是球O的直徑AB上一點(diǎn)，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H為垂足，α截球O所得截面的面積為π，那么球O的外表積為_(kāi)_____．三、解答題【2024，18】如圖，在四棱錐中，∥，且．〔1〕證明：平面平面；〔2〕假設(shè)，，且四棱錐的體積為，求該四棱錐的側(cè)面積．

【2024，18】如以下列圖，正三棱錐的側(cè)面是直角三角形，，頂點(diǎn)在平面內(nèi)的正投影為點(diǎn)，在平面內(nèi)的正投影為點(diǎn)．連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．〔1〕求證：是的中點(diǎn)；〔2〕在題圖中作出點(diǎn)在平面內(nèi)的正投影〔說(shuō)明作法及理由〕，并求四面體的體積．【2024，18】如圖四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD交點(diǎn)，BE⊥平面ABCD，(Ⅰ)證明：平面AEC⊥平面BED；(Ⅱ)假設(shè)∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱錐E-ACD的體積為，求該三棱錐的側(cè)面積．

【2024,19】如圖，三棱柱中，側(cè)面為菱形，的中點(diǎn)為，且平面.〔1〕證明：〔2〕假設(shè),求三棱柱的高.【2024，19】如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°．(1)證明：AB⊥A1C；(2)假設(shè)AB＝CB＝2，A1C＝，求三棱柱ABC－A1B1C1的體積．

【2024，19】如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱垂直底面，，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中點(diǎn)．〔1〕證明：平面BDC1⊥平面BDC；〔2〕平面BDC1分此棱柱為兩局部，求這兩局部體積的比．【2024，18】如圖，在平行四邊形ABCM中，AB=AC=3，∠ACM=90°，以AC為折痕將△ACM折起，使點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)D的位置，且AB⊥DA。證明：平面ACD⊥平面ABC；Q為線段AD上一點(diǎn)，P為線段BC上一點(diǎn)，且BP=DQ=23

解析一、選擇題【2024，6】如圖，在以下四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，那么在這四個(gè)正方體中，直接AB與平面MNQ不平行的是〔〕【解法】選A．由B，AB∥MQ，那么直線AB∥平面MNQ；由C，AB∥MQ，那么直線AB∥平面MNQ；由D，AB∥NQ，那么直線AB∥平面MNQ．故A不滿(mǎn)足，選A．【2024，7】如以下列圖，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條相互垂直的半徑．假設(shè)該幾何體的體積是，那么它的外表積是〔〕．A．B．C．D．解析：選A．由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)球截去球的，設(shè)球的半徑為，那么，解得．該幾何體的外表積等于球的外表積的，加上個(gè)截面的面積，每個(gè)截面是圓面的，所以該幾何體的外表積為．應(yīng)選A．【2024，11】平面過(guò)正方體的頂點(diǎn)，平面，平面，平面，那么所成角的正弦值為〔〕A．B．C．D．解析：選A．解法一：將圖形延伸出去，構(gòu)造一個(gè)正方體，如以下列圖．通過(guò)尋找線線平行構(gòu)造出平面，即平面，即研究與所成角的正弦值，易知，所以其正弦值為．應(yīng)選A．解法二〔原理同解法一〕：過(guò)平面外一點(diǎn)作平面，并使平面，不妨將點(diǎn)變換成，作使之滿(mǎn)足同等條件，在這樣的情況下容易得到，即為平面，如以下列圖，即研究與所成角的正弦值，易知，所以其正弦值為．應(yīng)選A．【2024，6】?九章算術(shù)?是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺，問(wèn)〞積及為米幾何？〞其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米〔如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一〕，米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺，米堆的高為5尺，米堆的體積和堆放的米各位多少？〞1斛米的體積約為1．62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米有()BA．14斛B．22斛C．36斛D．66斛解：設(shè)圓錐底面半徑為r，依題，所以米堆的體積為，故堆放的米約為÷1．62≈22，應(yīng)選B．【2024，11】圓柱被一個(gè)平面截去一局部后與半球〔半徑為r〕組成一個(gè)幾何體，該幾何體的三視圖中的正視圖和俯視圖如以下列圖，假設(shè)該幾何體的外表積為16+20π，那么r=()BA．1B．2C．4D．8解：該幾何體是半球與半個(gè)圓柱的組合體，圓柱的半徑與球的半徑都為r，圓柱的高為2r，其外表積為2πr2+πr×2r+πr2+2r×2r=5πr2+4r2=16+20π，解得r=2，應(yīng)選B．【2024，8】如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實(shí)線畫(huà)出的一個(gè)幾何體的三視圖，那么這個(gè)幾何體是()BA．三棱錐B．三棱柱C．四棱錐D．四棱柱解：幾何體是一個(gè)橫放著的三棱柱．應(yīng)選B【2024，11】某幾何體的三視圖如以下列圖，那么該幾何體的體積為()．A．16＋8πB．8＋8πC．16＋16πD．8＋16π解析：選A．該幾何體為一個(gè)半圓柱與一個(gè)長(zhǎng)方體組成的一個(gè)組合體．V半圓柱＝π×22×4＝8π，V長(zhǎng)方體＝4×2×2＝16．所以所求體積為16＋8π．應(yīng)選A．【2024，7】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，那么此幾何體的體積為〔〕A．6 B．9 C．12 D．15【解析】由三視圖可知，該幾何體為三棱錐A-BCD， 底面△BCD為底邊為6，高為3的等腰三角形， 側(cè)面ABD⊥底面BCD，AO⊥底面BCD，因此此幾何體的體積為，應(yīng)選擇B．【2024，8】8．平面截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面的距離為，那么此球的體積為〔〕A． B． C． D．【解析】如以下列圖，由，，在中，球的半徑，所以此球的體積，應(yīng)選擇B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考察球面的性質(zhì)及球的體積的計(jì)算．【2024，8】在一個(gè)幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如以下列圖，那么相應(yīng)的側(cè)視圖可以為〔〕【解析】由幾何體的正視圖和側(cè)視圖可知，該幾何體的底面為半圓和等腰三角形，其側(cè)視圖可以是一個(gè)由等腰三角形及底邊上的高構(gòu)成的平面圖形．應(yīng)選D．【2024，5】圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過(guò)直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，該圓柱的外表積為B【2024，9】某圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，其三視圖如右圖，圓柱外表上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，圓柱外表上的點(diǎn)N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，那么在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為BA. 217B. 25C. 3D. 2【2024，10】在長(zhǎng)方形ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AC1與平面BB1C1C所成的角為30°，那么該長(zhǎng)方體的體積為CA. 8B. 62C. 82D. 83二、填空題【2024，16】三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，是球的直徑．假設(shè)平面，，，三棱錐的體積為9，那么球的外表積為_(kāi)______．【解析】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，設(shè)，，所以，所以球的外表積為．【2024，15】H是球O的直徑AB上一點(diǎn)，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H為垂足，α截球O所得截面的面積為π，那么球O的外表積為_(kāi)_____．答案：解析：如圖，設(shè)球O的半徑為R，那么AH＝，OH＝．又∵π·EH2＝π，∴EH＝1．∵在Rt△OEH中，R2＝，∴R2＝．∴S球＝4πR2＝．【2024，16】?jī)蓚€(gè)圓錐由公共底面，且兩圓錐的頂點(diǎn)和底面的圓周都在同一個(gè)球面上．假設(shè)圓錐底面面積是這個(gè)球面面積的，那么這兩個(gè)圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為．【解析】設(shè)圓錐底面半徑為，球的半徑為，那么由，知．根據(jù)球的截面的性質(zhì)可知兩圓錐的高必過(guò)球心，且兩圓錐的頂點(diǎn)以及圓錐與球的交點(diǎn)是球的大圓上的點(diǎn)，因此．設(shè)，，那么．又，知．即．由及可得．那么這兩個(gè)圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比為．故答案為．三、解答題【2024，18】如圖，在四棱錐中，∥，且．〔1〕證明：平面平面；〔2〕假設(shè)，，且四棱錐的體積為，求該四棱錐的側(cè)面積．【解法】〔1〕，又∥又平面，平面，且平面平面，所以平面平面〔2〕由題意：設(shè)，因?yàn)?，所以為等腰直角三角形即取中點(diǎn)，連接，那么，．又因?yàn)槠矫嫫矫嫠云矫嬉驗(yàn)槠矫?，∥所以，又所以四邊形為矩形所以即?024，18】如以下列圖，正三棱錐的側(cè)面是直角三角形，，頂點(diǎn)在平面內(nèi)的正投影為點(diǎn)，在平面內(nèi)的正投影為點(diǎn)．連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．〔1〕求證：是的中點(diǎn)；〔2〕在題圖中作出點(diǎn)在平面內(nèi)的正投影〔說(shuō)明作法及理由〕，并求四面體的體積．解析：〔1〕由題意可得為正三角形，故．因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)的正投影為點(diǎn)，故平面．又平面，所以．因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)的正投影為點(diǎn)，故平面．又平面，所以．因?yàn)?，，，平面，所以平面．又平面，所以．因?yàn)?，所以是的中點(diǎn)．〔2〕過(guò)作交于，那么即為所要尋找的正投影．理由如下，因?yàn)椋?，故．同理，又，平面，所以平面，故即為點(diǎn)在平面內(nèi)的正投影．所以．在中，，，，故由等面積法知．由勾股定理知，由為等腰直角三角形知，故．【2024，18】如圖四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD交點(diǎn)，BE⊥平面ABCD，(Ⅰ)證明：平面AEC⊥平面BED；(Ⅱ)假設(shè)∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱錐E-ACD的體積為，求該三棱錐的側(cè)面積．解：(Ⅰ)∵BE⊥平面ABCD，∴BE⊥AC．∵ABCD為菱形，∴BD⊥AC，∴AC⊥平面BED，又AC平面AEC，∴平面AEC⊥平面BED．…6分(Ⅱ)設(shè)AB=x，在菱形ABCD中，由∠ABC=120°可得，AG=GC=，GB=GD=．在RtΔAEC中，可得EG=．∴在RtΔEBG為直角三角形，可得BE=．…9分∴，解得x=2．由BA=BD=BC可得AE=ED=EC=．∴ΔAEC的面積為3，ΔEAD的面積與ΔECD的面積均為．所以三棱錐E-ACD的側(cè)面積為．…12分18．解析〔1〕因?yàn)槠矫?，所以．又為菱形，所以．又因?yàn)?，，平面，所以平面．又平面，所以平面平面．?〕在菱形中，取，又，所以，．在中，，所以，所以在中，，所以，解得．在，，中，可得．所以三棱錐的側(cè)面積．【2024,19】如圖，三棱柱中，側(cè)面為菱形，的中點(diǎn)為，且平面.〔1〕證明：〔2〕假設(shè),求三棱柱的高.證明：(Ⅰ)連接BC1，那么O為B1C與BC1的交點(diǎn)，∵AO⊥平面BB1C1C.∴AO⊥B1C，…2分因?yàn)閭?cè)面BB1C1C為菱形，∴BC1⊥B1C，…4分∴BC1⊥平面ABC1，∵AB平面ABC1，故B1C⊥AB.…6分(Ⅱ)作OD⊥BC，垂足為D，連結(jié)AD，∵AO⊥BC，∴BC⊥平面AOD，又BC平面ABC，∴平面ABC⊥平面AOD，交線為AD，作OH⊥AD，垂足為H，∴OH⊥平面ABC.…9分∵∠CBB1=60°，所以ΔCBB1為等邊三角形，又BC=1，可得OD=，由于AC⊥AB1，∴，∴，由OH·AD=OD·OA，可得OH=，又O為B1C的中點(diǎn)，所以點(diǎn)B1到平面ABC的距離為，所以三棱柱ABC-A1B1C1的高高為?！?2分另解(等體積法)：∵∠CBB1=60°，所以ΔCBB1為等邊三角形，又BC=1，可得BO=，由于AC⊥AB1，∴，∴AB=1，AC=，…9分那么等腰三角形ABC的面積為，設(shè)點(diǎn)B1到平面ABC的距離為d，由VB1-ABC=VA-BB1C得，所以三棱柱ABC-A1B1C1的高高為。…12分【2024，19】如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°．(1)證明：AB⊥A1C；(2)假設(shè)AB＝CB＝2，A1C＝，求三棱柱ABC－A1B1C1的體積．證明：(1)取AB的中點(diǎn)O，連結(jié)OC，OA1，A1B．因?yàn)镃A＝CB，所以O(shè)C⊥AB．由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B為等邊三角形，所以O(shè)A1⊥AB．因?yàn)镺C∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C．又A1C?平面OA1C，故AB⊥A1C．(2)解：由題設(shè)知△ABC與△AA1B都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，所以O(shè)C＝OA1＝．又A1C＝，那么A1C2＝OC2＋，故OA1⊥OC．因?yàn)镺C∩AB＝O，所以O(shè)A1⊥平面ABC，OA1為三棱柱ABC－A1B1C1的高．又△ABC的面積