2024年中考數(shù)學(xué)專(zhuān)題訓(xùn)練 專(zhuān)題04“一線(xiàn)三垂直”模型及其變形的應(yīng)用（知識(shí)解讀）

專(zhuān)題04“一線(xiàn)三垂直”模型及其變形的應(yīng)用（知識(shí)解讀）【專(zhuān)題說(shuō)明】一線(xiàn)三垂直問(wèn)題，通常問(wèn)題中有一線(xiàn)段繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°，或者問(wèn)題中有矩形或正方形的情況下考慮，作輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形形或相似三角形，建立數(shù)量關(guān)系使問(wèn)題得到解決?！痉椒记伞磕Ｐ?“全等型”一線(xiàn)三垂直模型如圖一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。結(jié)論：Rt△BDC≌Rt△CEA圖1應(yīng)用：（1）通過(guò)證明全等實(shí)現(xiàn)邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化，便于解決對(duì)應(yīng)的幾何問(wèn)題；（2）平面直角坐標(biāo)系中有直角求點(diǎn)的坐標(biāo)，可以考慮作輔助線(xiàn)構(gòu)造“三垂直”作輔助線(xiàn)的程序：過(guò)直角頂點(diǎn)再直角外部作水平線(xiàn)或豎直線(xiàn)，過(guò)另外兩個(gè)頂點(diǎn)向上述直線(xiàn)作垂線(xiàn)段，即可得到“三垂直”模型。如下圖所示模型2“相似型”一線(xiàn)三垂直模型如圖，∽（一線(xiàn)三直角）應(yīng)用：（1）“相似型”三垂直基本應(yīng)用平面直角坐標(biāo)系中構(gòu)造“相似型”三垂直。作輔助線(xiàn)方法和模型1一樣（3）平面直角坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)成直角【典例分析】【應(yīng)用1“全等型”三垂直基本應(yīng)用】【典例1】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線(xiàn)MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；（2）當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，說(shuō)明理由．【變式1-1】如圖，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，則BD等于（）A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm【變式1-2】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)B、C分別作l的垂線(xiàn)，垂足分別為點(diǎn)D、E．（1）特例體驗(yàn)：如圖①，若直線(xiàn)l∥BC，AB＝AC＝，分別求出線(xiàn)段BD、CE和DE的長(zhǎng)；（2）規(guī)律探究：（Ⅰ）如圖②，若直線(xiàn)l從圖①狀態(tài)開(kāi)始繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)α（0＜α＜45°），請(qǐng)?zhí)骄烤€(xiàn)段BD、CE和DE的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；（Ⅱ）如圖③，若直線(xiàn)l從圖①狀態(tài)開(kāi)始繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（45°＜α＜90°），與線(xiàn)段BC相交于點(diǎn)H，請(qǐng)?jiān)偬骄€(xiàn)段BD、CE和DE的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；（3）嘗試應(yīng)用：在圖③中，延長(zhǎng)線(xiàn)段BD交線(xiàn)段AC于點(diǎn)F，若CE＝3，DE＝1，求S△BFC．【應(yīng)用2平面直角坐標(biāo)系中構(gòu)造“全等型”三垂直】【典例2】已知：在平面直角坐標(biāo)系中，A為x軸負(fù)半軸上的點(diǎn)，B為y軸負(fù)半軸上的點(diǎn)．（1）如圖1，以A點(diǎn)為頂點(diǎn)、AB為腰在第三象限作等腰Rt△ABC，若OA＝2，OB＝4，求C點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖2，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，﹣m），點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為n，以B為頂點(diǎn)，BA為腰作等腰Rt△ABD．當(dāng)B點(diǎn)沿y軸負(fù)半軸向下運(yùn)動(dòng)且其他條件都不變時(shí)，整式4m+4n﹣9的值是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，請(qǐng)求出其值；若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖3，若OA＝OB，OF⊥AB于點(diǎn)F，以O(shè)B為邊作等邊△OBM，連接AM交OF于點(diǎn)N，若AN＝m，ON＝n，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段AM的長(zhǎng)．【變式2-1】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰Rt△ABC的直角頂點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)A在y軸上，若點(diǎn)B坐標(biāo)為（6，1），則點(diǎn)A坐標(biāo)為（）A．（4，0） B．（5，0） C．（0，4） D．（0，5）【變式2-2】如圖，在△PMN中，PM＝PN，PM⊥PN，P（0，2），N（2，﹣2），則M的坐標(biāo)是（）A．（﹣2，0） B．（﹣2，0） C．（﹣2，0） D．（﹣4，0）【應(yīng)用3“相似型”三垂直基本應(yīng)用】【典例3】已知矩形ABCD的一條邊AD＝8，將矩形ABCD折疊，使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處．如圖，已知折痕與邊BC交于點(diǎn)O，連接AP、OP、OA．（1）求證：＝；（2）若OP與PA的比為1：2，求邊AB的長(zhǎng)．【變式3】如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)，G分別在AB，BC，CD上，DE⊥EF，EF⊥FG，BE＝3，BF＝2，F(xiàn)C＝6，則DG的長(zhǎng)是（）A．4 B． C． D．5【應(yīng)用4平面直角坐標(biāo)系中構(gòu)造“相似型”三垂直】【典例4】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)y＝kx+2與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B，且OB＝2OA．（1）如圖1，求直線(xiàn)的解析式；（2）如圖2，點(diǎn)P在第三象限的直線(xiàn)AB上，點(diǎn)C在點(diǎn)A上方的y軸上，連接PC、BC，PC交x軸于點(diǎn)N，且tan∠APC＝，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，△ABC的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系；（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)D在y軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，連接DE、PD，AD＝ON，當(dāng)∠PDE＝∠PCD時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．【變式4】（2022?禪城區(qū)二模）如圖，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝2且與x軸交于點(diǎn)D，直線(xiàn)l：y＝﹣2x﹣1與y軸交于點(diǎn)A，與拋物線(xiàn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)B，并且點(diǎn)B在第四象限，直線(xiàn)l與直線(xiàn)x＝2交于點(diǎn)C．（1）連接AD，求證：AD⊥AC．（2）求拋物線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式．（3）在直線(xiàn)l上有一點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)P，拋物線(xiàn)上有一動(dòng)點(diǎn)Q，當(dāng)△PBQ是以PQ為斜邊的等腰直角三角形時(shí)，直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．【應(yīng)用5平面直角坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)成直角】【典例5】如圖，已知拋物線(xiàn)y＝﹣x2+與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C．（1）則點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為；（2）設(shè)點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2）（其中x1＞x2）都在拋物線(xiàn)上，若x1+x2＝1，請(qǐng)證明：y1＞y2；（3）已知點(diǎn)M是線(xiàn)段BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是線(xiàn)段BC上方拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，若∠CNM＝90°，且△CMN與△OBC相似，試求此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)．【變式5】（2022?碑林區(qū)校級(jí)四模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)C1：y＝ax2+bx+c交x軸于點(diǎn)A（﹣5，0），B（﹣1，0），交y軸于點(diǎn)C（0，5）．（1）求拋物線(xiàn)C1的表達(dá)式和頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．（2）將拋物線(xiàn)C1關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的拋物線(xiàn)記作C2，點(diǎn)E為拋物線(xiàn)C2上一點(diǎn)若△DOE是以DO為直角邊的直角三角形，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．專(zhuān)題04“一線(xiàn)三垂直”模型及其變形的應(yīng)用（知識(shí)解讀）【專(zhuān)題說(shuō)明】一線(xiàn)三垂直問(wèn)題，通常問(wèn)題中有一線(xiàn)段繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°，或者問(wèn)題中有矩形或正方形的情況下考慮，作輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形形或相似三角形，建立數(shù)量關(guān)系使問(wèn)題得到解決?！痉椒记伞磕Ｐ?“全等型”一線(xiàn)三垂直模型如圖一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。結(jié)論：Rt△BDC≌Rt△CEA圖1應(yīng)用：（1）通過(guò)證明全等實(shí)現(xiàn)邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化，便于解決對(duì)應(yīng)的幾何問(wèn)題；（2）平面直角坐標(biāo)系中有直角求點(diǎn)的坐標(biāo)，可以考慮作輔助線(xiàn)構(gòu)造“三垂直”作輔助線(xiàn)的程序：過(guò)直角頂點(diǎn)再直角外部作水平線(xiàn)或豎直線(xiàn)，過(guò)另外兩個(gè)頂點(diǎn)向上述直線(xiàn)作垂線(xiàn)段，即可得到“三垂直”模型。如下圖所示模型2“相似型”一線(xiàn)三垂直模型如圖，∽（一線(xiàn)三直角）應(yīng)用：（1）“相似型”三垂直基本應(yīng)用平面直角坐標(biāo)系中構(gòu)造“相似型”三垂直。作輔助線(xiàn)方法和模型1一樣（3）平面直角坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)成直角【典例分析】【應(yīng)用1“全等型”三垂直基本應(yīng)用】【典例1】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線(xiàn)MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；（2）當(dāng)直線(xiàn)MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，說(shuō)明理由．【解答】（1）證明：①∵∠ACD+∠BCE＝90°∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠BCE．又AC＝BC，∠ADC＝∠BEC＝90°，∴△ADC≌△CEB．②∵△ADC≌△CEB，∴CD＝BE，AD＝CE．∴DE＝CE+CD＝AD+BE．（2）△ADC≌△CEB成立，DE＝AD+BE．不成立，此時(shí)應(yīng)有DE＝AD﹣BE．證明：∵∠ACD+∠BCE＝90°∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠BCE．又AC＝BC，∠ADC＝∠BEC＝90°，∴△ADC≌△CEB．∴CD＝BE，AD＝CE．∴DE＝AD﹣BE．【變式1-1】如圖，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，則BD等于（）A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm【答案】B【解答】解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，∴∠BAC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠ECD＝90°，∴∠BAC＝∠ECD，∵在Rt△ABC與Rt△CDE中，，∴Rt△ABC≌Rt△CDE（AAS），∴BC＝DE＝2cm，CD＝AB＝6cm，∴BD＝BC+CD＝2+6＝8cm，故選：B．【變式1-2】在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)B、C分別作l的垂線(xiàn)，垂足分別為點(diǎn)D、E．（1）特例體驗(yàn)：如圖①，若直線(xiàn)l∥BC，AB＝AC＝，分別求出線(xiàn)段BD、CE和DE的長(zhǎng)；（2）規(guī)律探究：（Ⅰ）如圖②，若直線(xiàn)l從圖①狀態(tài)開(kāi)始繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)α（0＜α＜45°），請(qǐng)?zhí)骄烤€(xiàn)段BD、CE和DE的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；（Ⅱ）如圖③，若直線(xiàn)l從圖①狀態(tài)開(kāi)始繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（45°＜α＜90°），與線(xiàn)段BC相交于點(diǎn)H，請(qǐng)?jiān)偬骄€(xiàn)段BD、CE和DE的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；（3）嘗試應(yīng)用：在圖③中，延長(zhǎng)線(xiàn)段BD交線(xiàn)段AC于點(diǎn)F，若CE＝3，DE＝1，求S△BFC．【解答】解：（1）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵l∥BC，∴∠DAB＝∠ABC＝45°，∠CAE＝∠ACB＝45°，∴∠DAB＝∠ABD＝45°，∠EAC＝∠ACE＝45°，∴AD＝BD，AE＝CE，∵AB＝AC＝，∴AD＝BD＝AE＝CE＝1，∴DE＝2；（2）（Ⅰ）DE＝BD+CE．理由如下：在Rt△ADB中，∠ABD+∠BAD＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）；∴CE＝AD，BD＝AE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE．（Ⅱ）DE＝BD﹣CE．理由如下：在Rt△ADB中，∠ABD+∠BAD＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS）；∴CE＝AD，BD＝AE，∴DE＝AE﹣AD＝BD﹣CE．（3）由（2）可知，∠ABD＝∠CAE，DE＝AE﹣AD＝BD﹣CE∵∠BAC＝∠ADB＝90°，∴△ABD∽△FBA，∴AB：FB＝BD：AB，∵CE＝3，DE＝1，∴AE＝BD＝4，∴AB＝5．∴BF＝．∴S△BFC＝S△ABC﹣S△ABF＝×52﹣×3×＝．【應(yīng)用2平面直角坐標(biāo)系中構(gòu)造“全等型”三垂直】【典例2】已知：在平面直角坐標(biāo)系中，A為x軸負(fù)半軸上的點(diǎn)，B為y軸負(fù)半軸上的點(diǎn)．（1）如圖1，以A點(diǎn)為頂點(diǎn)、AB為腰在第三象限作等腰Rt△ABC，若OA＝2，OB＝4，求C點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）如圖2，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，﹣m），點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為n，以B為頂點(diǎn)，BA為腰作等腰Rt△ABD．當(dāng)B點(diǎn)沿y軸負(fù)半軸向下運(yùn)動(dòng)且其他條件都不變時(shí)，整式4m+4n﹣9的值是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，請(qǐng)求出其值；若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖3，若OA＝OB，OF⊥AB于點(diǎn)F，以O(shè)B為邊作等邊△OBM，連接AM交OF于點(diǎn)N，若AN＝m，ON＝n，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段AM的長(zhǎng)．【解答】解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)C作CQ⊥OA于點(diǎn)Q，∴∠AQC＝90°∵△ABC等腰直角三角形，∴AC＝AB，∠CAB＝90°，∴∠ACQ＝∠BAO．∴△AQC≌△BOA（AAS），∴CQ＝AO，AQ＝BO．∵OA＝2，OB＝4，∴CQ＝2，AQ＝4，∴OQ＝6，∴C（﹣6，﹣2）．（2）整式4m+4n﹣9的值不會(huì)變化．理由如下：如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DP⊥OB于點(diǎn)P，∴∠BPD＝90°，∵△ABD等腰Rt△，∴AB＝BD，∠ABD＝∠ABO+∠OBD＝90°，∴∠ABO＝∠BDP，∴△AOB≌△BPD（AAS），∴AO＝BP，∵BP＝OB﹣PO＝m﹣（﹣n）＝m+n，∴A（﹣2，0），∴OA＝2，∴m+n＝2，∴當(dāng)B點(diǎn)沿y軸負(fù)半軸向下運(yùn)動(dòng)時(shí)AO＝BP＝m+n＝2，∴4m+4n﹣9＝4×﹣9＝﹣，∴整式4m+4n﹣9的值不變，為﹣．（3）AM＝2m+n．證明：如圖3，在MA上截取MG＝ON，連接BG，∵△OBM是等邊三角形，∴BO＝BM＝MO，∠OBM＝∠OMB＝∠BOM＝60°，∴AO＝MO，∠ABM＝105°，∠HOM＝30°，∵OA＝OB，∴OA＝OM＝BM．∴∠OAN＝∠AMO＝15°，∴∠BAM＝30°，∠BMA＝45°，∵OF⊥AB，∴∠AOF＝45°，∴∠AOF＝∠BMA．∴△ANO≌△BGM（AAS），∴BG＝AN．∵ON＝MG，∴∠GBM＝∠OAN，∴∠GBM＝15°，∴∠ABG＝90°∴2BG＝AG，∴2AN＝AG，∵AG＝AM﹣GM，∴2AN+ON＝AM，即AM＝2m+n．【變式2-1】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰Rt△ABC的直角頂點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)A在y軸上，若點(diǎn)B坐標(biāo)為（6，1），則點(diǎn)A坐標(biāo)為（）A．（4，0） B．（5，0） C．（0，4） D．（0，5）【答案】D【解答】解：作BD⊥x軸于D，∵B（6，1），∴BD＝1，OD＝6，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠BCD＝90°，∵∠ACO+∠OAC＝90°，∴∠BCD＝∠OAC，∵∠AOC＝∠BDO，∴△ACO≌△CBD（AAS），∴OC＝BD＝1，CD＝OA＝5，∴A（0，5），故選：D．【變式2-2】如圖，在△PMN中，PM＝PN，PM⊥PN，P（0，2），N（2，﹣2），則M的坐標(biāo)是（）A．（﹣2，0） B．（﹣2，0） C．（﹣2，0） D．（﹣4，0）【答案】D【解答】解：過(guò)點(diǎn)N作ND⊥y軸于點(diǎn)D，∵P（0，2），N（2，﹣2），∴OP＝2，OD＝2，DN＝2，∴PD＝4，∵PM⊥PN，∴∠MPN＝90°，∴∠MPO+∠DPN＝90°，又∵∠DPN+∠PND＝90°，∴∠MPO＝∠PND，又∵∠MOP＝∠PDN＝90°，∴△MOP≌△PDN（AAS），∴OM＝PD＝4，∴M（﹣4，0），故選：D．【應(yīng)用3“相似型”三垂直基本應(yīng)用】【典例3】已知矩形ABCD的一條邊AD＝8，將矩形ABCD折疊，使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處．如圖，已知折痕與邊BC交于點(diǎn)O，連接AP、OP、OA．（1）求證：＝；（2）若OP與PA的比為1：2，求邊AB的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：由折疊的性質(zhì)可知，∠APO＝∠B＝90°，∴∠APD+∠OPC＝90°，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠D＝∠C＝90°，∴∠POC+∠OPC＝90°，∴∠APD＝∠POC，∴△OCP∽△PDA，∴＝；（2）解：∵△OCP∽△PDA，∴，∵OP與PA的比為1：2，AD＝8，∴，∴PC＝4，設(shè)AB＝x，則DC＝x，AP＝x，DP＝x﹣4，在Rt△APD中，AP2＝AD2+PD2，∴x2＝82+（x﹣4）2，解得：x＝10，∴AB＝10．【變式3】如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)，G分別在AB，BC，CD上，DE⊥EF，EF⊥FG，BE＝3，BF＝2，F(xiàn)C＝6，則DG的長(zhǎng)是（）A．4 B． C． D．5【解答】解：∵EF⊥FG，∴∠EFB+∠GFC＝90°，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD，∴∠GFC+∠FGC＝90°，∴∠EFB＝∠FGC，∴△EFB∽△FGC，∴，∵BE＝3，BF＝2，F(xiàn)C＝6，∴，∴CG＝4，同理可得△DAE∽△EBF，∴，∴，∴AE＝，∴BA＝AE+BE＝+3＝，∴DG＝CD﹣CG＝﹣4＝．故選：B．【應(yīng)用4平面直角坐標(biāo)系中構(gòu)造“相似型”三垂直】【典例4】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)y＝kx+2與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B，且OB＝2OA．（1）如圖1，求直線(xiàn)的解析式；（2）如圖2，點(diǎn)P在第三象限的直線(xiàn)AB上，點(diǎn)C在點(diǎn)A上方的y軸上，連接PC、BC，PC交x軸于點(diǎn)N，且tan∠APC＝，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，△ABC的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系；（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)D在y軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，連接DE、PD，AD＝ON，當(dāng)∠PDE＝∠PCD時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵直線(xiàn)y＝kx+2與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B，令x＝0，則y＝2，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），∴OA＝2，∵OB＝2OA，∴OB＝4，∴B（﹣4，0），將（﹣4，0）代入y＝kx+2得：0＝﹣4k+2，解得：k＝，∴直線(xiàn)的解析式為：y＝；（2）過(guò)點(diǎn)A作EA⊥AB交PC于點(diǎn)E，過(guò)E點(diǎn)作EG⊥y軸，垂足為G，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥y軸，垂足為F，∵∠PAE＝90°，∴∠PAF+∠EAG＝90°，∵∠PAF+∠APF＝90°，∴∠APF＝∠EAG，∵∠EGA＝∠AFP＝90°，∴△AEG∽△PAF，∵tan∠APC＝，∴＝＝，設(shè)P（t，），則PF＝﹣t，AF＝﹣，∴AG＝＝﹣，EG＝＝﹣，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為：（0，2），∴E（），設(shè)PE的解析式為：y＝ax+b，由P（t，），E（）可得：，解得：，∴C（0，2﹣），∴AC＝2﹣﹣2＝﹣，∵BO＝4，∴S＝＝﹣t，（3）作EF⊥DE交PD于F，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥y軸于點(diǎn)G，作FH⊥EG于H，由（2）得直線(xiàn)PC的解析式：y＝x+（2﹣），∴∠PCO＝45°，∴ON＝OC＝2﹣，∴AD＝ON＝2﹣，∴D（0，），∵∠PDE＝∠PCD＝45°，∴△DEG≌△EFH（AAS）．∴EG＝FH＝2，DG＝EH＝1﹣，∴F（），設(shè)PD的解析式為：y＝mx+n，由P（t，）、D（0，）可得：，解得：，∴PD的解析式為：y＝，把點(diǎn)F（﹣3+）代入y＝得：t1＝﹣6，t2＝2（舍去），∴D（0，﹣3）．【變式4】（2022?禪城區(qū)二模）如圖，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝2且與x軸交于點(diǎn)D，直線(xiàn)l：y＝﹣2x﹣1與y軸交于點(diǎn)A，與拋物線(xiàn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)B，并且點(diǎn)B在第四象限，直線(xiàn)l與直線(xiàn)x＝2交于點(diǎn)C．（1）連接AD，求證：AD⊥AC．（2）求拋物線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式．（3）在直線(xiàn)l上有一點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)P，拋物線(xiàn)上有一動(dòng)點(diǎn)Q，當(dāng)△PBQ是以PQ為斜邊的等腰直角三角形時(shí)，直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解答】解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥y軸于點(diǎn)E，則∠AEC＝∠DOA＝90°，∵直線(xiàn)y＝﹣2x﹣1與y軸交于點(diǎn)A，與直線(xiàn)x＝2交于點(diǎn)C，∴A（0，﹣1），C（2，﹣5），∴E（0，﹣5），∴OA＝1，OD＝2，CE＝2，AE＝4，∴＝，＝＝，∴＝，∵∠AEC＝∠DOA，∴△AEC∽△DOA，∴∠CAE＝∠ADO，∵∠ADO+∠DAO＝90°，∴∠CAE+∠DAO＝90°，∴∠DAC＝180°﹣（∠CAE+∠DAO）＝180°﹣90°＝90°，∴AD⊥AC．（2）設(shè)拋物線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式為y＝ax2+bx，∵對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝2，∴＝2，∴b＝﹣4a，∴y＝ax2﹣4ax，由ax2﹣4ax＝﹣2x﹣1，整理得ax2+（2﹣4a）x+1＝0，∵直線(xiàn)y＝﹣2x﹣1與拋物線(xiàn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)B，∴Δ＝（2﹣4a）2﹣4a＝0，解得：a1＝，a2＝1，當(dāng)a＝時(shí)，拋物線(xiàn)解析式為y＝x2﹣x，聯(lián)立得x2﹣x＝﹣2x﹣1，解得：x1＝x2＝﹣2，∴B（﹣2，3）與點(diǎn)B在第四象限矛盾，故a＝不符合題意，舍去，當(dāng)a＝1時(shí)，y＝x2﹣4x，聯(lián)立得x2﹣4x＝﹣2x﹣1，解得：x1＝x2＝1，∴B（1，﹣3），點(diǎn)B在第四象限符合題意，∴a＝1，∴該拋物線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式為y＝x2﹣4x．（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BQ⊥AB交拋物線(xiàn)于點(diǎn)Q，作GH∥x軸交y軸于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥GH，則∠AGB＝∠BHQ＝∠ABQ＝90°，∴∠ABG+∠QBH＝∠ABG+∠BAG＝90°，∴∠QBH＝∠BAG，∴△ABG∽△BQH，∴＝，設(shè)Q（t，t2﹣4t），∵A（0，﹣1），B（1，﹣3），∴AG＝2，BG＝1，BH＝t﹣1，QH＝t2﹣4t+3，∴＝，解得：t＝1（舍去）或t＝，∴BH＝﹣1＝，QH＝（）2﹣4×+3＝，過(guò)點(diǎn)B作EF∥y軸，過(guò)點(diǎn)P1作P1E⊥EF，過(guò)點(diǎn)P2作P2F⊥EF，∵△PBQ是以PQ為斜邊的等腰直角三角形，∴P1B＝BQ＝P2B，∵∠P1BE+∠EBQ＝∠EBQ+∠QBH＝90°，∴∠P1BE＝∠QBH，∵∠BEP1＝∠BHQ＝90°，∴△BEP1≌△BHQ（AAS），∴EP1＝QH＝，BE＝BH＝，∴P1（﹣，﹣），同理可得：P2（，﹣），綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1（﹣，﹣），P2（，﹣）．【應(yīng)用5平面直角坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)成直角】【典例5】如圖，已知拋物線(xiàn)y＝﹣x2+與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C．（1）則點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為；（2）設(shè)點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2）（其中x1＞x2）都在拋物線(xiàn)上，若x1+x2＝1，請(qǐng)證明：y1＞y2；（3）已知點(diǎn)M是線(xiàn)段BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是線(xiàn)段BC上方拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，若∠CNM＝90°，且△CMN與△OBC相似，試求此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)．【解答】（1）證明：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝2，∴點(diǎn)C（0，2），當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x2+＝0，解得：x＝﹣1或x＝4，∴點(diǎn)A（﹣1，0），B（4，0）．（2）證明：由題意得：y1﹣y2＝﹣x12+x1+2﹣（﹣x22+x2+2）＝x22﹣x12+x1﹣x2＝（x2+x1）（x2﹣x1）+（x1﹣x2），∵x1+x2＝1，∴y1﹣y2＝x1﹣x2，又∵x1＞x2，∴y1＞y2．（3）解：設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為y＝kx+b，則，解得：，∴直線(xiàn)BC的解析式為y＝﹣x+2，如圖