高考二輪復習理科數(shù)學試題（老高考舊教材）考點突破練6空間幾何體的結(jié)構(gòu)表面積與體積

考點突破練6空間幾何體的結(jié)構(gòu)、表面積與體積一、選擇題1.(2023廣西梧州一模)如圖,網(wǎng)格紙上繪制的是一個多面體的三視圖,網(wǎng)格小正方形的邊長為1,則該多面體的體積為()A.6 B.8 C.10 D.122.(2023遼寧名校聯(lián)考二)已知某圓錐的高為22cm,體積為22π3cm3,則該圓錐的側(cè)面積為A.3π2cm2 B.3πC.6πcm2 D.12πcm23.如圖所示是某幾何體的三視圖,則這個幾何體的側(cè)面積等于()A.10+26 B.6+2(3+C.6+2(2+6) D.10+2(4.(2023河南鄭州二模)設(shè)一個正四棱錐的側(cè)面等腰三角形的頂角為60°,則該正四棱錐的側(cè)面積與底面積的比為()A.34 B.33 C.325.(2023四川廣安二模)一個四棱臺的三視圖如圖所示,其中正視圖和側(cè)視圖均為上底長為2,下底長為4,腰長為2的等腰梯形,則該四棱臺的體積為()A.2833 B.C.283 D.566.(2022新高考Ⅰ,4)南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題,其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔148.5m時,相應(yīng)水面的面積為140.0km2;水位為海拔157.5m時,相應(yīng)水面的面積為180.0km2.將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺,則該水庫水位從海拔148.5m上升到157.5m時,增加的水量約為(7≈2.65)()A.1.0×109m3 B.1.2×109m3C.1.4×109m3 D.1.6×109m37.(2023河南鄭州二模)如圖,網(wǎng)格紙上繪制的是一個幾何體的三視圖,網(wǎng)格上小正方形的邊長為1,則該幾何體的體積為()A.23 B.4C.83 D.8.設(shè)半徑為R的球面上有A,B,C,D四點,且AB,AC,AD兩兩垂直,設(shè)△ABC,△ACD,△ABD的面積分別是S△ABC,S△ACD,S△ABD,若S△ABC+S△ACD+S△ABD=8,則球半徑R的最小值是()A.2 B.2 C.22 D.49.已知圓錐的頂點和底面圓周均在球O的球面上.若該圓錐的底面半徑為23,高為6,則球O的表面積為()A.32π B.48π C.64π D.80π10.(2023貴州統(tǒng)考模擬)在正三棱錐PABC中,側(cè)棱PA=PB=PC=1,在等邊三角形ABC中,AB=2,該三棱錐的外接球球心O到側(cè)面的距離為h1,到底面的距離為h2,則h1h2=A.22 B.3C.3 D.4311.(2023全國甲,理11)已知四棱錐PABCD的底面是邊長為4的正方形,PC=PD=3,∠PCA=45°,則△PBC的面積為()A.22 B.32 C.42 D.6212.在三棱錐PABC中,△PAC是等邊三角形,平面PAC⊥平面ABC,AB=3,AC=23,∠CAB=60°,則三棱錐PABC的外接球體積為()A.4π3 B.C.32π3 D13.(2023四川成都二模)若正三棱錐PABC的高PD為2,點D是點P在平面ABC上的射影,底面正三角形的邊長AB=26,其各頂點都在同一球面上,則該球的半徑為()A.5 B.6 C.22 D.3二、填空題14.(2023山東濟南一模)已知圓錐側(cè)面展開圖的周長為4+2π,面積為2π,則該圓錐的體積為.

15.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為.

16.已知正三棱柱ABCA1B1C1的各條棱長均為2,則以點A為球心、2為半徑的球與正三棱柱各個面的交線的長度之和為.

17.(2023新高考Ⅰ,14)在正四棱臺ABCDA1B1C1D1中,AB=2,A1B1=1,AA1=2,則該棱臺的體積為.

18.一個圓錐的軸截面是邊長為6的等邊三角形,在該圓錐內(nèi)放置一個棱長為m的正四面體,并且正四面體可以在該圓錐內(nèi)任意轉(zhuǎn)動,則實數(shù)m的最大值為.

19.(2023全國甲,理15)在正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F分別為AB,C1D1的中點,則以EF為直徑的球的球面與該正方體的棱共有個公共點.

考點突破練6空間幾何體的結(jié)構(gòu)、表面積與體積1.C解析由三視圖知該幾何體是底面為梯形的直棱柱,其體積為2+32×2×2=10.故選2.B解析設(shè)該圓錐的底面半徑與母線長分別為r,l,由πr23×22=22π3,得r=1,所以l=12+(23.C解析由三視圖可知,這個幾何體是底面為直角梯形的棱錐(如圖所示),因為PB=25,BC=22,PC=23,所以PC⊥BC,所以其側(cè)面積為12×(2×2+2×22+22×23+4×2)=6+22+264.D解析設(shè)底面正方形邊長為2a(a>0).因為正四棱錐的側(cè)面等腰三角形的頂角為60°,所以側(cè)面為等邊三角形,則該正四棱錐的側(cè)面積與底面積的比為34(25.A解析由三視圖可知該四棱臺為正四棱臺,且側(cè)面的高為2,則該棱臺的高為22-1=3,所以四棱臺的體積V=13×(4+166.C解析由題意可得,此棱臺的高h=157.5148.5=9(m).設(shè)水庫水位為海拔148.5m時,相應(yīng)水面的面積為S1,水庫水位為海拔157.5m時,相應(yīng)水面的面積為S2,則S1=140.0km2=1.4×108m2,S2=180.0km2=1.8×108m2,故該棱臺的體積V棱臺=13h(S1+S2+S1·S2)=13×9×(1.4×108+1.8×108+1.4×1即增加的水量約為1.4×109m3.故選C.7.B解析如圖所示,題中三視圖對應(yīng)的幾何體為圖中棱長為2的正方體中的三棱錐CABD,其體積V=13×12×2×2×28.A解析設(shè)AB=a,AC=b,AD=c.∵AB,AC,AD兩兩垂直,∴a2+b2+c2=4R2.∴S△ABC+S△ACD+S△ABD=12(ab+ac+bc)≤12(a2+b2+c2)=2R2,當且僅當a=b=c時,等號成立,即8≤2R2,∴R≥2.9.C解析當球心在圓錐外部時,設(shè)球的半徑為R,則(R6)2+(23)2=R2,解得R=4,不符合題意.故球心在圓錐的內(nèi)部且在高上,設(shè)球心到圓錐底面的距離為d,則有(6d)2d2=(23)2,解得d=2,則球的半徑R=6d=4,所以球的表面積S=4πR2=64π10.C解析由題意,PA2+PB2=AB2,所以PA⊥PB,同理可得PA⊥PC,PB⊥PC,即PA,PB,PC兩兩垂直,可把該三棱錐補成一個正方體,則該三棱錐的外接球就是正方體的外接球,球心O為正方體的體對角線的中點,直徑2R=3,所以球心O到側(cè)面的距離為h1=12.OP=R=32,球心O到底面的距離為h2=32-311.C解析在四棱錐PABCD中,由PC=PD=3,得△CDP是等腰三角形.設(shè)CD的中點為E,AB的中點為F,由幾何知識得,△CDP關(guān)于PE對稱,點P在平面PEF內(nèi),且PA=PB.在正方形ABCD中,AB=BC=CD=AD=4,由勾股定理得,AC=AB2+BC2=42.在△ACP中,∠PCA=45°,由余弦定理得,PA2=PC2+AC22AC·PC·cos∠PCA,解得PA=17,∴PB=PA=17.在△BCP中,由余弦定理得,PB2=PC2+BC22PC·BC·cos∠BCP,解得cos∠BCP=13,∴sin∠BCP=1-cos2∠BCP=212.C解析在△ABC中,BC=AC2+AB2-2AC·ABcos∠CAB=(23)2+(3)2-2×23×3×cos60°=3,所以AC2=AB2+BC2,則∠ABC=90°,設(shè)點D是AC的中點,則點D是△ABC的外心,又△PAC是等邊三角形,所以PD⊥AC,而平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,PD?平面PAC,所以PD⊥平面ABC,設(shè)△PAC的外心是點O,則點O到點P,A,C的距離都是213.D解析依題意,設(shè)三棱錐PABC的外接球的球心為O.若球心O在正三棱錐PABC內(nèi)部,如圖所示.其中點P在底面ABC的射影為點D,所以高為PD=2.延長AD交BC于點E,由題意知,△ABC為正三角形,點D為△ABC的重心,AE為△ABC的高,所以AE=32AB=32×26=32,AD=23AE=23×32=22.設(shè)外接球的半徑為R,則OP=OA=R.在△ADO中,AO2=OD2+AD2,即R2=(2R)2若球心O在正三棱錐PABC外部,如圖所示.當球心O在PD的延長線上時,在△ADO中,AO2=OD2+AD2,即R2=(R2)2+(22)2,解得R=3.故選D.14.3π3或4π4-43π2解析設(shè)圓錐的母線長為l,底面圓半徑為r,由題意得2l+2πr=4+2π,12×2πr×l=2π,即2l+2πr=4+2π,r×l=2,消去l,得2πr2(4+2π)15.30解析該幾何體為一個被切去一個角的三棱柱,體積為V=3×4×12×613×3×416.3π解析由圖知,球與△ABC和△A1B1C1沒有交線;與四邊形AA1B1B和四邊形AA1C1C的交線分別是以點A為圓心、2為半徑的14圓弧,長度分別為π;與四邊形BB1C1C的交線是以BC長為直徑的半圓,故長為π.因此,交線的長度之和為3π17.766解析(方法一直接法)如圖所示,正四棱臺中四邊形AA1C1C為等腰梯形.連接AC,A1C1,過點A1作A1G⊥AC,交AC于點G,則A1在正四棱臺中,∵AC=22,A1C1=2,∴AG=AC在Rt△A1AG中,A1G=A則棱臺體積V=13(S四邊形A1B1C1D1+S四邊形(方法二補形法)如圖,延長各側(cè)棱交于點O,連接AC,A1C1,過O作OG⊥AC,交AC于點G,交平面A1B1C1D1于點H,且點H恰為A1C1的中點,解得OA1=2,A1H=22,AG=2,OA=2在Rt△A1OH中,OH=(2)2-(22)

則棱臺體積V=V四棱錐OABCDV四棱錐O-A1B1C1D1=13(S四邊形ABCD·18.22解析如圖所示,設(shè)點O為該圓錐的底面圓心,頂點是S,則其高為SO=62-32=33.則該圓錐的內(nèi)切球的圓心在圓錐的高SO上,設(shè)為點O1,設(shè)內(nèi)切球