6.3.26.3.36.3.4平面向量正交分解與坐標表示向量加減運算的坐標表示平面向量的數(shù)乘運算及坐標表示（8大題型）（原卷版）

平面向量正交分解及坐標表示、向量加、減運算的坐標表示、平面向量數(shù)乘運算的坐標表示1、借助平面直角坐標系，掌握平面向量的正角分解及坐標表示；2、掌握兩個向量加、減運算的坐標表示；3、掌握平面向量數(shù)乘運算的坐標表示；4、理解用坐標表示的平面向量共線的條件；5、能根據(jù)平面向量的坐標，判斷向量是否共線。一、平面向量正交分解1、平面向量的正交分解：把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.2、平面向量的坐標表示（1）在平面直角坐標系中，分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底.對于平面內的一個向量，有且只有一對實數(shù)、，使，把有序數(shù)對叫做向量的坐標，記作，其中叫做在軸上的坐標，叫做在軸上的坐標.在平面直角坐標系內，每一個平面向量都是可以用一對實數(shù)唯一表示.（2）向量坐標的求法：①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標；②設、，則，.（3）若是坐標原點，設，則向量的坐標就是終點的坐標，即若，則點坐標為，反之亦成立.（4）特殊向量的坐標：．【注意】1、在直角坐標平面內，以原點為起點的向量OA=a，點A的位置被向量此時點A的坐標與向量a的坐標統(tǒng)一為(x，y)．2、平面向量的坐標與該向量的起點、終點坐標有關；應把向量坐標與點坐標區(qū)別開來，只有起點在原點時，向量坐標才與終點坐標相等．3、符號(x，y)在直角坐標系中有兩重意義，它既可以表示一個固定的點，又可以表示一個向量．為了加以區(qū)分，在敘述中，就常說點(x，y)或向量(x，y)．特別注意：向量a＝(x，y)中間用等號連接，而點的坐標A(x，y)中間沒有等號．4、（1）平面向量的正交分解實質上是平面向量基本定理的一種應用形式，只是兩個基向量e1和e2互相垂直．（2）由向量坐標的定義，知兩向量相等的充要條件是它們的橫、縱坐標對應相等，即a＝b?x1＝x2且y1＝y(tǒng)2，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．（3）向量的坐標只與起點、終點的相對位置有關，而與它們的具體位置無關．（4）當向量確定以后，向量的坐標就是唯一確定的，因此向量在平移前后，其坐標不變．二、平面向量的坐標運算1、已知，則，．結論：兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差．2、若，則；結論：實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應坐標。3、已知，則向量，共線的充要條件是三、線段的定比分點及設、是直線上的兩點，是上不同于、的任一點，則一定存在實數(shù)，使，叫做點分所成的比.有三種情況：(內分)

(外分)()

(外分)()（1）定比分點坐標公式：若點，，為實數(shù)，且，則點坐標為，我們稱為點分所成的比.（2）點的位置與的范圍的關系：①當時，與同向共線，這時稱點為的內分點；②當()時，與反向共線，這時稱點為的外分點.（3）若分有向線段所成的比為，點為平面內的任一點，則；特別地為的中點.題型一用坐標表示平面向量【例1】（2023·天津河北·高一統(tǒng)考期中）已知，且點，則點B的坐標為（）A．B．C．D．【變式11】（2023·高一課時練習）已知，點，則點的坐標為（）A．B．C．D．【變式12】（2023·湖北武漢·高一武漢市第十一中學?？茧A段練習）設點A(1,2)，B(3,5)，將向量按向量＝(－1,－1)的方向平移后得到為（）A．(1,2)B．(2,3)C．(3,4)D．(4,7)【變式13】（2023·湖北黃岡·高一?？茧A段練習）已知平行四邊形中，，，則點的坐標為（）A．B．C．D．題型二向量線性運算的坐標表示【例2】（2023·河南周口·高一?？茧A段練習）已知，則（）A．B．C．D．【變式21】（2023·河北滄州·高一校聯(lián)考階段練習）已知向量，，那么（）A．B．C．D．【變式22】（2023·河南鄭州·高一鄭州市第二高級中學?？茧A段練習）若，則的坐標為（）A．B．C．D．【變式23】（2023·遼寧遼陽·高一統(tǒng)考期末）已知向量,，則（）A．B．C．D．題型三根據(jù)向量線性運算求參數(shù)【例3】（2023·廣東佛山·高一?？计谥校┰谡叫蜛BCD中，M是BC的中點．若，則的值為（）A．B．C．D．2【變式31】（2022·江西·高三金溪一中校聯(lián)考階段練習）已知向量，滿足，，，則（）A．－1B．0C．1D．2【變式32】（2022·河南平頂山·高一統(tǒng)考期末）已知向量，，，則可用與表示為（）A．B．C．D．【變式33】（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高一揚中市第二高級中學?？计谥校┤鐖D，已知，，，，，若，則（）A．B．C．D．題型四線段的定比分點問題【例4】（2023·上?！じ咭豢亟袑W?？计谀┮阎苯亲鴺似矫嫔蟽牲c、，若滿足，則點的坐標為.【變式41】（2023·廣東揭陽·高三統(tǒng)考期中）已知點，向量，，點是線段的三等分點，則點的坐標是（）A．B．C．或D．或【變式42】（2023·貴州·高一校聯(lián)考階段練習）已知，，點分所成的比為，則與的值分別為（）A．B．C．D．【變式43】（2023·山東棗莊·高一統(tǒng)考期末）（多選）已知點是的重心，點，，，點是上靠近點的三等分點，則（）A．B．C．D．題型五由坐標法判斷向量是否共線【例5】（2023·重慶渝中·高一重慶巴蜀中學?？茧A段練習）與共線的向量是（）A．B．C．D．【變式51】（2023·安徽阜陽·高一阜南實驗中學?？茧A段練習）已知向量，，則下列向量與平行的是（）A．B．C．D．【變式52】（2023·山西朔州·高一?？茧A段練習）（多選）下列向量組中，能作為平面內所有向量的基底的是（）A．B．C．D．【變式53】（2023·河北承德·高一雙灤區(qū)實驗中學?？茧A段練習）（多選）已知向量，，則下列結論正確的是（）A．B．與可以作為一組基底C．D．與方向相同題型六由向量共線(平行)求參數(shù)【例6】（2023·甘肅臨夏·高一統(tǒng)考期末）已知向量，,且，則（）A．B．C．0D．2【變式61】（2022·四川內江·高三資中縣第二中學?？茧A段練習）設向量，，則“與同向”的充要條件是（）A．B．C．D．【變式62】（2023上·遼寧葫蘆島·高一?？计谀┮阎蛄?，且與共線，則實數(shù)．【變式63】（2023·浙江紹興·高一?？计谥校┮阎蛄?，，且，則實數(shù)．題型七用坐標解決三點共線問題【例7】（2023·貴州貴陽·高一貴陽市民族中學校聯(lián)考階段練習）已知，三點、、共線，則．【變式71】（2023·江西贛州·高一?？茧A段練習）（多選）向量，，，若A，B，C三點共線，則k的值可能為（）A．2B．－2C．11D．－11【變式72】（2023·山東·高一濱州一中校聯(lián)考期中）某同學因興趣愛好，自己繪制了一個迷宮圖，其圖紙如圖所示，該同學為讓迷宮圖更加美觀，在繪制過程中，按單位長度給迷宮圖標記了刻度，該同學發(fā)現(xiàn)圖中A，B，C三點恰好共線，則（）A．7B．C．D．8【變式73】（2023·新疆烏魯木齊·高一烏魯木齊市第四中學?？计谀┮阎?）若三點共線，求與滿足的關系式；（2）若三點共線，，求點的坐標．題型八用坐標解決幾何問題【例8】（2022·遼寧沈陽·高一沈陽市第一二〇中學?？计谀ǘ噙x）已知點，，，則以，，為頂點的平行四邊形的第四個頂點的坐標為（）A．B．C．D．【變式81】（2