四川省綿陽市三臺(tái)中學(xué)校高三上學(xué)期第四次月考數(shù)學(xué)（理）試題

高中2021級(jí)高三第四學(xué)月測(cè)試?yán)砜茢?shù)學(xué)本試卷分為試題卷和答題卡兩部分，其中試題卷由第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）組成，共4頁；答題卡共6頁.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級(jí)、姓名用0.5毫米黑色簽字筆填寫清楚，同時(shí)用2B鉛筆將考號(hào)準(zhǔn)確填涂在“考號(hào)”欄目?jī)?nèi).2.選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡對(duì)應(yīng)題目標(biāo)號(hào)的位置上，如需改動(dòng)，用橡皮擦擦干凈后再選涂其它答案；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆書寫在答題卡的對(duì)應(yīng)框內(nèi)，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效.3.考試結(jié)束后將答題卡收回.第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題意要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式求出集合M，根據(jù)集合的交集運(yùn)算，即可得答案.詳解】解，得：，所以，，所以.故選：B.2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】通過復(fù)數(shù)的運(yùn)算求出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，然后再進(jìn)行判斷即可．【詳解】由題意得，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第四象限．故選D．【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是將復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，然后再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義進(jìn)行判斷，屬于基礎(chǔ)題．3.設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和，若＝，則等于（）A.1 B.－1 C.2 D.【答案】A【解析】【分析】利用等差數(shù)列的求和公式計(jì)算即可.【詳解】＝＝＝1.故選：A.4.已知向量，不共線，向量，，且，則（）A.－3 B.3 C.－6 D.6【答案】D【解析】【分析】設(shè)，從而得到，得到方程，求出的值.【詳解】設(shè)，則，故．故選：D5.南山中學(xué)某學(xué)習(xí)小組有名男同學(xué)，名女同學(xué)，現(xiàn)從該學(xué)習(xí)小組選出名同學(xué)參加數(shù)學(xué)知識(shí)比賽，則選出的名同學(xué)中男女生均有的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先計(jì)算出基本事件總數(shù)，依題意選出的名同學(xué)中男女生均有，分為兩種情況：①1名男同學(xué)，2名女同學(xué)；②2名男同學(xué)，1名女同學(xué)，計(jì)算出所有可能情況，再根據(jù)古典概型的概率公式計(jì)算可得；【詳解】解：從有名男同學(xué)，名女同學(xué)，現(xiàn)從該學(xué)習(xí)小組選出名同學(xué)參加數(shù)學(xué)知識(shí)比賽，則有；依題意選出的名同學(xué)中男女生均有，分為兩種情況：①1名男同學(xué)，2名女同學(xué)，有（種）；②2名男同學(xué)，1名女同學(xué)，（種）；故概率為故選：【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的組合問題，古典概型的概率問題，屬于基礎(chǔ)題.6.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將已知等式平方后相加，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系以及兩角和的正弦公式，即可求得答案.【詳解】由題意得，，兩式相加得，得，故選：C7.在2022年某省普通高中學(xué)業(yè)水平考試（合格考）中，對(duì)全省所有考生的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，可得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中分組的區(qū)間為分以上為優(yōu)秀，則下列說法中不正確的是（）A.該省考生數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)為75分B.若要全省的合格考通過率達(dá)到，則合格分?jǐn)?shù)線約為44分C.從全體考生中隨機(jī)抽取1000人，則其中得優(yōu)秀考試約有100人D.若同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中間值作代表值，可得考試數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分約為70.5.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算中位數(shù)、平均分，由不合格率為4%求得合格線，利用優(yōu)秀率估算抽取的1000人中的優(yōu)秀從數(shù)，從而判斷各選項(xiàng)．【詳解】由頻率分布直方圖知中位數(shù)在上，設(shè)其為，則，解得，A錯(cuò)；要全省的合格考通過率達(dá)到，設(shè)合格分?jǐn)?shù)線為，則，，B正確；由頻率分布直方圖優(yōu)秀的頻率為，因此人數(shù)為，C正確；由頻率分布直方圖得平均分為，考試數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分約為70.5,D正確．故選：A.8.在上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，則事件“直線與圓有公共點(diǎn)”發(fā)生的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直線與圓有公共點(diǎn)，求出的范圍，再根據(jù)幾何概型的概率公式計(jì)算即可.【詳解】若直線，即與圓有公共點(diǎn)，則圓心到直線距離，故解得或，由幾何概型的概率公式，得事件“直線與圓有公共點(diǎn)”發(fā)生的概率為.故選：A.9.已知函數(shù)的最小正周期為，且時(shí)，函數(shù)取最小值，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的最大值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由周期求得，再由最小值求得函數(shù)解析式，然后由單調(diào)性可得的范圍，從而得最大值．【詳解】由題意，，，又，∴，，時(shí)，，又在上單調(diào)遞減，所以，，即，的最大值是．故選：D．10.點(diǎn)是以為焦點(diǎn)的的橢圓上一點(diǎn)，過焦點(diǎn)作外角平分線的垂線，垂足為，則點(diǎn)的軌跡是（）A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線【答案】A【解析】【分析】是以，為焦點(diǎn)的橢圓上一點(diǎn)，過焦點(diǎn)作外角平分線的垂線，垂足為，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于，可證得，且是的中點(diǎn)，由此可求得的長(zhǎng)度是定值，即可求點(diǎn)的軌跡的幾何特征．【詳解】解：由題意，是以，為焦點(diǎn)的橢圓上一點(diǎn)，過焦點(diǎn)作外角平分線的垂線，垂足為，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于，得，由橢圓的定義知，故有，連接，知是三角形的中位線，即點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是定值，由此知點(diǎn)的軌跡是圓故選：．【點(diǎn)睛】本題在橢圓中求動(dòng)點(diǎn)的軌跡，著重考查了橢圓的定義、等腰三角形的判定和三角形中位線定理等知識(shí)，屬于中檔題．11.已知直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，若,則k=A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】將y=k(x+2)代入y2=8x,得k2x2+(4k28)x+4k2=0.設(shè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為xA,xB,則xA+xB=4,①xA·xB=4.又|FA|=xA+2,|FB|=xB+2,|FA|=2|FB|,∴2xB+4=xA+2.∴xA=2xB+2.②∴將②代入①得xB=2,xA=4+2=2.故xA·xB==4.解之得k2=.而k>0,∴k=,滿足Δ>0.故選D.12.已知函數(shù)，其中、，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若，是的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由可得，作出函數(shù)函數(shù)與的圖象在上有兩個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，則，可得，所以，，則，由可得，因函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，所以，函數(shù)與的圖象在上有兩個(gè)交點(diǎn)，作出與的函數(shù)圖象，如圖所示：若直線經(jīng)過點(diǎn)，則，若直線經(jīng)過點(diǎn)，則，結(jié)合圖形可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A．第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案直接填答題卷的橫線上.13.若一組數(shù)據(jù)的方差為10，則另一組數(shù)據(jù)的方差為______．【答案】40【解析】【分析】由題意先設(shè)出兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，然后根據(jù)已知方差、方差公式運(yùn)算即可得解.【詳解】由題意設(shè)的平均數(shù)為，則的平均數(shù)為，由題意的方差為，從而的方差為.故答案為：40.14.若二項(xiàng)式的展開式中第項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為__________.【答案】【解析】【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出展開式的第五項(xiàng)，令的指數(shù)為0，求出的值，令，可得展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和．【詳解】解：展開式的第項(xiàng)為二項(xiàng)式的展開式中第5項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng)，，二項(xiàng)式為令，可得展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查展開式的特殊項(xiàng)，正確運(yùn)用二項(xiàng)展開式是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．15.在平面直角坐標(biāo)系中，A,B分別是x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，若以AB為直徑的圓C與直線相切，則圓C面積的最小值為___．【答案】【解析】【詳解】由題意，圓心到原點(diǎn)距離與到直線的距離相等，所以面積最小時(shí)，圓心在原點(diǎn)到直線的垂線中點(diǎn)上，則，則，．點(diǎn)睛：本題考查直線和圓的位置關(guān)系．本題中，由分別是軸和軸上的動(dòng)點(diǎn)，若以為直徑的圓，則半徑就是圓心到原點(diǎn)的距離，所以圓心到原點(diǎn)的距離與到直線的距離相等，得到解答情況．16.過雙曲線的左焦點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為E，延長(zhǎng)FE交拋物線于點(diǎn)P，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為_________．【答案】【解析】【詳解】試題分析：因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以為的中點(diǎn)，，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，所以，因?yàn)閽佄锞€的方程為，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，即拋物線和雙曲線的右焦點(diǎn)相同，過點(diǎn)作的垂線，過點(diǎn)作，則為拋物線的準(zhǔn)線，所以，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，設(shè),在中，，即，解得.考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì).【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、以及誰去下的簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，同時(shí)考查了雙曲線的定義及性質(zhì)，著重考查了學(xué)生推理與運(yùn)算能力、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，屬于中檔試題，本題的解答中，根據(jù)題意得到拋物線和雙曲線的右焦點(diǎn)相同，得出點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，再根據(jù)在中，得出是解答的關(guān)鍵.三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第1721題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)求得.（2）根據(jù)分組求和法求得正確答案.【小問1詳解】依題意，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，也符合.所以.【小問2詳解】由（1）得，所以.18.某水果種植戶對(duì)某種水果進(jìn)行網(wǎng)上銷售，為了合理定價(jià)，現(xiàn)將該水果按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：?jiǎn)蝺r(jià)x（元）789111213銷量y（kg）120118112110108104（1）已知銷量與單價(jià)之間存在線性相關(guān)關(guān)系求y關(guān)于x的線性回歸方程；（2）若在表格中的6種單價(jià)中任選3種單價(jià)作進(jìn)一步分析，求銷量恰在區(qū)間[110，118]內(nèi)的單價(jià)種數(shù)ξ的分布列和期望．附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為：=，．【答案】（1）；（2）見解析【解析】【分析】（1）由已知表格中數(shù)據(jù)求得與，則可求得線性回歸方程；（2）求出ξ的所有可能取值為0，1，2，3，求出概率，可得分布列與期望．【詳解】解：（1），=112．=═，．∴y關(guān)于x的線性回歸方程為；（2）6種單價(jià)中銷售量在[110，118]內(nèi)的單價(jià)種數(shù)有3種．∴銷量恰在區(qū)間[110，118]內(nèi)的單價(jià)種數(shù)ξ的取值為0，1，2，3，P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=．∴ξ的分布列為：

ξ

0123

P

期望為E（ξ）=．【點(diǎn)睛】本題考查線性回歸方程的求法，考查離散型隨機(jī)變量的期望，考查計(jì)算能力，求離散型隨機(jī)變量的分布列與均值的方法：（1）理解離散型隨機(jī)變量的意義，寫出的所有可能取值；（2）求取每個(gè)值的概率；（3）寫出的分布列；（4）根據(jù)均值的定義求19.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知且.（1）求證：；（2）求的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理和余弦定理可把題設(shè)中的邊角關(guān)系化簡(jiǎn)為，結(jié)合誘導(dǎo)公式及可證.（2）根據(jù)及，結(jié)合誘導(dǎo)公式和二倍角余弦公式將化為，先求出角A的范圍，然后利用余弦函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【小問1詳解】因?yàn)?，由正弦定理得，，由余弦定理得，所以，又，所?又，，所以或，所以或，又，所以，所以，得證.【小問2詳解】由（1）知，所以，又，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞增，所以，所以的取值范圍為.20.橢圓有兩個(gè)頂點(diǎn)過其焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，并與軸交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，求直線的方程；（2）當(dāng)點(diǎn)異于兩點(diǎn)時(shí)，證明：為定值．【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】【分析】（1）先由題意求出橢圓方程，直線不與兩坐標(biāo)軸垂直，設(shè)的方程為，然后將直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，消去，利用根與系數(shù)的關(guān)系，再由弦長(zhǎng)公式列方程可求出的值，從而可得直線方程；（2）表示直線，的方程，聯(lián)立方程組可得而代入化簡(jiǎn)可得，而，則可得的結(jié)果【詳解】（1）由題意，橢圓方程為易得直線不與兩坐標(biāo)軸垂直，故可設(shè)的方程為，設(shè)，由消去整理得，判別式由韋達(dá)定理得，①故，解得，即直線的方程為．（2）證明：直線的斜率為，故其方程為，直線的斜率為，故其方程為，由兩式相除得即由（1）知，故解得．易得，故，所以為定值121.已知函數(shù)．（1）若，求在上的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在區(qū)間上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為（2）【解析】【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得到，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系即可求出結(jié)果；（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，令，將問題轉(zhuǎn)化為在內(nèi)有兩個(gè)交點(diǎn)，再應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性并確定其區(qū)間最值及邊界值，進(jìn)而可得的范圍.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?，則，所以，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增,所以在上的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．【小問2詳解】由（1）知，當(dāng)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時(shí)在上不存在極值點(diǎn)，不符合題意，所以，設(shè)，，所以，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，故在上不存在極值點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的最小值為，若函數(shù)在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則，即解得．綜上，a的取值范圍為．選考題：共10分.請(qǐng)考生在22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題記分.[選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.已知曲線的參數(shù)方程分別為（為參數(shù)），（為參數(shù)）．（1）將的參數(shù)方程化為普通方程；（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的非負(fù)半軸為極