數(shù)學(xué)建模AHP方法

§8.2決策問題人們在處理問題時(shí)，常常會面臨幾種可能出現(xiàn)的自然情況，同時(shí)又存在著幾種可供選擇的行動方案。此時(shí)，需要決策者根據(jù)已知信息作決策，即選擇出最佳的行動方案，這樣的問題稱為決策問題。面臨的幾種自然情況叫做自然狀態(tài)或簡稱狀態(tài)。狀態(tài)是客觀存在的，是不可控因素?？晒┻x擇的行動方案叫做策略，這是可控因素，選擇哪一方案由決策者決定。

例8.8

在開采石油時(shí)，會遇到是否在某處鉆井的問題。盡管勘探隊(duì)已作了大量調(diào)研分析，但由于地下結(jié)構(gòu)極為復(fù)雜，仍無法準(zhǔn)確預(yù)測開采的結(jié)果，決策者可以決定鉆井，也可以決定不鉆井。設(shè)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)和勘探資料，決策者已掌握一定的信息并列出表8.7。表8.7000不鉆井（2）

4020－30鉆井（1）

P(3)=0.3

P(2)=0.5

P(1)=0.2

（億元）高產(chǎn)油井（3）

一般（2）

無油（1）

自然狀態(tài)概率

收益方案問：決策者應(yīng)如何作出決策？解：由題意可以看出，決策問題應(yīng)包含三方面信息：狀態(tài)集合Q={1,…,n}、策略集合A={1,…,m}及收益R={aij}，其中aij表示如果決策者選取策略i而出現(xiàn)的狀態(tài)為j，則決策者的收益值為aij（當(dāng)aij為負(fù)值時(shí)表示損失值）。決策問題按自然狀態(tài)的不同情況，常被分為三種類型：確定型、風(fēng)險(xiǎn)型（或隨機(jī)型）和不確定型。確定型決策是只存在一種可能自然狀態(tài)的決策問題。這種決策問題的結(jié)構(gòu)較為簡單，決策者只需比較各種方案，確定哪一方案最優(yōu)即可。值得一提的是策略集也可以是無限集，例如，線性規(guī)劃就可行看成一個(gè)策略集是限集的確定型決策，問題要求決策者從可行解集合（策略集）中挑選出最優(yōu)解。確定型決策的求解并非全是簡單的，但由于這些問題一般均有其自己的專門算法，本節(jié)不準(zhǔn)備再作介紹。在本節(jié)中，我們主要討論風(fēng)險(xiǎn)型與不確定型決策，并介紹它們的求解方法。一、風(fēng)險(xiǎn)型決策問題

在風(fēng)險(xiǎn)型決策問題中存在著兩種以上可能出現(xiàn)的自然狀態(tài)。決策者不知道究竟會出現(xiàn)哪一種狀態(tài)，但知道各種狀態(tài)出現(xiàn)的概率有多大。例如，例8.8就是一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)型決策問題。對于風(fēng)險(xiǎn)型決策問題，最常用的決策方法是期望值法，即根據(jù)各方案的期望收益或期望損失來評估各方案的優(yōu)劣并據(jù)此作出決策。如對例1，分別求出方案1（鉆井）和2（不鉆井）的期望收益值：E（1）=0.2×（－30）+0.5×20+0.3×40=16（萬元）E（2）=0由于E（1）＞E（2），選取1作為最佳策略。風(fēng)險(xiǎn)型決策也可采用期望后悔值法求解。首先，求出采取方案i而出現(xiàn)狀態(tài)j時(shí)的后悔值。例如，如果不鉆井，但事實(shí)上該處可開出一口高產(chǎn)井，則后悔值為40。因?yàn)殂@井可收益40萬元，但決策者作了不鉆井的決策，未獲得本來可以獲得的40萬元收益。然后，比較各方案的期望后悔值，選取期望后悔最小的方案作為最佳策略。在例8.8中，如采用期望后悔值法，則E（1）=6，E（2）=22，取1為最佳策略。在選取策略i而出現(xiàn)狀態(tài)j時(shí)后悔值為的理由是在出現(xiàn)狀態(tài)j情況下的最大可能收益為。定理8.6

最大期望收益法與最小期望后悔值法等價(jià)，即兩者選出的最佳策略相同。證明：由得故

等式（8.4）的右端項(xiàng)為一常數(shù)，其左端項(xiàng)為采取策略i時(shí)期后悔值與期望收益值之和，從而，若某策略使期望收益最大，則該策略必使期望后悔值最小，定理得證。對于較為復(fù)雜的決策問題，尤其是需要作多階段決策的問題，常采用較直觀的決策樹方法，但從本質(zhì)上講，決策樹方法仍然是一種期望值法。

例8.9

某工程按正常速度施工時(shí)，若無壞天氣影響可確保在30天內(nèi)按期完工。但根據(jù)天氣預(yù)報(bào)，15天后天氣肯定變壞。有40%的可能會出現(xiàn)陰雨天氣而不影響工期，在50%的可能會遇到小風(fēng)暴而使工期推遲15天，另有10%的可能會遇到大風(fēng)暴而使工期推遲20天。對于可能出現(xiàn)的情況，考慮兩種方案：（1）提前緊急加班，在15天內(nèi)完成工程，實(shí)施此方案需增加開支18000元。

（2）先按正常速度施工，15天后根據(jù)實(shí)際出現(xiàn)的天氣狀況再作決策。如遇到陰雨天氣，則維持正常速度，不必支付額外費(fèi)用。如遇到小風(fēng)暴，有兩個(gè)備選方案：（i）維持正常速度施工，支付工程延期損失費(fèi)20000元。（ii）采取應(yīng)急措施。實(shí)施此應(yīng)急措施有三種可能結(jié)果：有50%可能減少誤工期1天，支付應(yīng)急費(fèi)用和延期損失費(fèi)共24000元；有30%可能減少誤工期2天，支付應(yīng)急費(fèi)用和延期損失費(fèi)共18000元；有20%可能減少誤工期3天，支付應(yīng)急費(fèi)用和延期損失費(fèi)共12000元。如遇大風(fēng)暴，也有兩個(gè)方案可供選擇：（i）維持正常速度施工，支付工程延期損失費(fèi)50000元。（ii）采取應(yīng)急措施。實(shí)施此應(yīng)急措施也有三種可能結(jié)果：有70%可能減少誤工期2天，支付應(yīng)急費(fèi)及誤工費(fèi)共54000元；有20%可能減少誤工期3天，支付應(yīng)急費(fèi)及誤工費(fèi)共46000元；有10%可能減少誤工期4天，支付應(yīng)急費(fèi)和誤工費(fèi)共38000元。根據(jù)上述情況，試作出最佳決策使支付的額外費(fèi)用最少。解：由于未來的天氣狀態(tài)未知，但各種天氣狀況出現(xiàn)的概率已知，本例是一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)型決策問題，所謂的額外費(fèi)用應(yīng)理解為期望值。

本例要求作多次決策，工程初期應(yīng)決定是按正常速度施工還是提前緊急加班。如按正常速度施工，則15天后還需根據(jù)天氣狀況再作一次決策，以決定是否采取應(yīng)急措施，故本例為多階段（兩階段）決策問題。為便于分析和決策，采用決策樹方法。根據(jù)題意，作決策樹如圖8.6圖8.6中，□表示決策點(diǎn)，從它分出的分枝稱為方案分枝，分枝的數(shù)目就是方案的個(gè)數(shù)?！鸨硎緳C(jī)會節(jié)點(diǎn)，從它分出的分枝稱為概率分枝，一條概率分枝對應(yīng)一條自然狀態(tài)并標(biāo)有相應(yīng)的發(fā)生概率?！鞣Q為未梢節(jié)點(diǎn)，右邊的數(shù)字表示相應(yīng)的收益值或損失值。在決策樹上由右向左計(jì)算各機(jī)會節(jié)點(diǎn)處的期望值，并將結(jié)果標(biāo)在節(jié)點(diǎn)旁。遇到?jīng)Q策點(diǎn)則比較各方案分枝的效益期望值以決定方案的優(yōu)劣，并且用雙線劃去淘汰掉的方案分枝，在決策點(diǎn)旁標(biāo)上最佳方案的效益期望值，計(jì)算步驟如下：（1）在機(jī)會節(jié)點(diǎn)E、F處計(jì)算它們的效益期望值E(E)=0.5×（－24000）＋0.3×（－18000）＋0.2×（－12000）=－19800E(F)=0.7×（－54000）＋0.2×（－46000）＋0.1×（－38000）=－50800（2）在第一級決策點(diǎn)C、D處進(jìn)行比較，在C點(diǎn)處劃去正常速度分枝，在D處劃去應(yīng)急分枝。

（3）計(jì)算第二級機(jī)會節(jié)點(diǎn)B處的效益期望值E(B)=0.4×0＋0.5×（－19800）＋0.1×（－50000）=－14900并將－14900標(biāo)在B點(diǎn)旁。（4）在第二級決策點(diǎn)A處進(jìn)行方案比較，劃去提前緊急加班，將－14900標(biāo)在A點(diǎn)旁。

結(jié)論最佳決策為前15天按正常速度施工，15天后按實(shí)際出現(xiàn)的天氣狀況再作決定。如出現(xiàn)陰雨天氣，仍維持正常速度施工；如出現(xiàn)小風(fēng)暴，則采取應(yīng)急措施；如出現(xiàn)大風(fēng)暴，也按正常速度施工，整個(gè)方案總損失的期望值為－14900元。

根據(jù)期望值大小決策是隨機(jī)型決策問題最常用的辦法之一。實(shí)際應(yīng)用時(shí)應(yīng)根據(jù)具體情況作出分析，選取期望收益最大或期望損失最小的方案。例8.12

某燒雞店每賣出一只燒雞可賺5元，如出現(xiàn)過剩將于下午5點(diǎn)另作處理，每剩一只將損失2.5元。該店根據(jù)平時(shí)銷售情況列出下表，試根據(jù)表8.9中提供的信息確定制作燒雞的最佳數(shù)量并求該店銷售燒雞的最佳平均利潤。表8.90.10.180.20.220.20.1概率P()

302928272625需求量

解：根據(jù)題意，單位過剩損失k0=2.5，單位不足損失ku=5，。

因?yàn)椋?/p>

但。故燒雞的最佳制作量為28只。

最佳平均利潤為

（元）

§8.3層次分析法建模層次分析法是對一些較為復(fù)雜、較為模糊的問題作出決策的簡易方法，它特別適用于那些難于完全定量分析的問題。社會的發(fā)展導(dǎo)致了社會結(jié)構(gòu)、經(jīng)濟(jì)體系及人們之間相互關(guān)系的日益復(fù)雜，人們希望能在錯(cuò)綜復(fù)雜的情況下，利用各種信息，通過理智的、科學(xué)的分析，作出最佳決策。例如，生產(chǎn)者面對消費(fèi)者的各種喜好或競爭對手的策略要作出最佳決策；消費(fèi)者面對琳瑯滿目的商品要根據(jù)它們的性能質(zhì)量的好壞、價(jià)格的高低、外形的美觀程度等選擇自己最為滿意的商品；畢業(yè)生要根據(jù)自己的專業(yè)特長、社會的需求情況、福利待遇的好壞等挑選最為合意的工作；科研單位要根據(jù)項(xiàng)目的科學(xué)意義和實(shí)用價(jià)值的大小、項(xiàng)目的可行性、項(xiàng)目的資助情況及周期長短等選擇最合適的研究課題……。當(dāng)我們面對這類決策問題時(shí)，容易發(fā)現(xiàn)，影響我們作決策的因素很多，其中某些因素存在定量指標(biāo)，可以給以度量，但也有些因素不存在定量指標(biāo)，只能定性地比較它們的強(qiáng)弱。在處理這類比較復(fù)雜而又比較模糊的問題時(shí)，如何盡可能克服因主觀臆斷而造成的片面性，較系統(tǒng)、全面地比較分析并作出較為明智的決策呢？Saaty.T.L等人在70年代提出了一種以定性與定量相結(jié)合，系統(tǒng)化、層次化分析問題的方法，稱為層次分析法（AnalyticHiearchyProcess，簡稱AHP）。層次分析法將人們的思維過程層次化，逐層比較其間的相關(guān)因素并逐層檢驗(yàn)比較結(jié)果是否合理，從而為分析決策提供了較具說服力的定量依據(jù)，層次分析法的提出不僅為處理這類問題提供了一種實(shí)用的決策方法，而且也提供了一個(gè)在處理機(jī)理比較模糊的問題時(shí)，如何通過科學(xué)分析，在系統(tǒng)全面分析機(jī)理及因果關(guān)系的基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型的范例。

一、層次分析的基本步驟

層次分析過程可分為四個(gè)基本步驟：（1）建立層次結(jié)構(gòu)模型；（2）構(gòu)造出各層次中的所有判斷矩陣；（3）層次單排序及一致性檢驗(yàn)；（4）層次總排序及一致性檢驗(yàn)。下面通過一個(gè)簡單的實(shí)例來說明各步驟中所做的工作。例8.13

某工廠有一筆企業(yè)留成利潤要由廠領(lǐng)導(dǎo)決定如何使用?？晒┻x擇的方案有：給職工發(fā)獎金、擴(kuò)建企業(yè)的福利設(shè)施（改善企業(yè)環(huán)境、改善食堂等）和引進(jìn)新技術(shù)新設(shè)備。工廠領(lǐng)導(dǎo)希望知道按怎樣的比例來使用這筆資金較為合理。步1建立層次結(jié)構(gòu)模型在用層次分析法研究問題時(shí)，首先要根據(jù)問題的因果關(guān)系并將這些關(guān)系分解成若干個(gè)層次。較簡單的問題通?？煞纸鉃槟繕?biāo)層（最高層）、準(zhǔn)則層（中間層）和方案措施層（最低層）。與其他決策問題一樣，研究分析者不一定是決策者，不應(yīng)自作主張地作出決策。對于本例，如果分析者自行決定分配比例，廠領(lǐng)導(dǎo)必定會詢問為什么要按此比例分配，符合決策者要求的決策來自于對決策者意圖的真實(shí)了解。經(jīng)過雙方溝通，分析者了解到如下信息：決策者的目的是合理利用企業(yè)的留成利潤，而利潤的利用是否合理，決策者的主要標(biāo)準(zhǔn)為：（1）是否有利于調(diào)動企業(yè)職工的積極性，（2）是否有利于提高企業(yè)的生產(chǎn)能力，（3）是否有利于改善職工的工作、生活環(huán)境。分析者可以提出自己的看法，但標(biāo)準(zhǔn)的最終確定將由決策者決定。根據(jù)決策者的意圖，可以建立起本問題的層次結(jié)構(gòu)模型如圖8.7所示。合理利用企業(yè)利潤調(diào)動職工積極性C1提高企業(yè)技術(shù)水平C2改善職工工作生活條件C3發(fā)獎金P1擴(kuò)建福利事業(yè)P2引進(jìn)新設(shè)備P3目標(biāo)層O準(zhǔn)則層C措施層P圖中的連線反映了因素間存在的關(guān)聯(lián)關(guān)系，哪些因素存在關(guān)聯(lián)關(guān)系也應(yīng)由決策者決定。對于因果關(guān)系較為復(fù)雜的問題也可以引進(jìn)更多的層次。例如，在選購電冰箱時(shí)，如以質(zhì)量、外觀、價(jià)格、品牌及信譽(yù)等為準(zhǔn)則，也許在衡量質(zhì)量優(yōu)劣時(shí)又可分出若干個(gè)不同的子準(zhǔn)則，如制冷性能、結(jié)霜情況、耗電量大小等等。建立層次結(jié)構(gòu)模型是進(jìn)行層次分析的基礎(chǔ)，它將思維過程結(jié)構(gòu)化、層次化，為進(jìn)一步分析研究創(chuàng)造了條件。步2構(gòu)造判斷矩陣層次結(jié)構(gòu)反映了因素之間的關(guān)系，例如圖10.7中目標(biāo)層利潤利用是否合理可由準(zhǔn)則層中的各準(zhǔn)則反映出來。但準(zhǔn)則層中的各準(zhǔn)則在目標(biāo)衡量中所占的比重并不一定相同，在決策者的心目中，它們各占有一定的比例。在確定影響某因素的諸因子在該因素中所占的比重時(shí)，遇到的主要困難是這些比重常常不易定量化。雖然你必須讓決策者根據(jù)經(jīng)驗(yàn)提供這些數(shù)據(jù)，但假如你提出“調(diào)動職工積極性在判斷利潤利用是否合理中占百分之幾的比例”之類的問題，不僅會讓人感到難以精確回答，而且還會使人感到你書生氣十足，不能勝任這一工作。此外，當(dāng)影響某因素的因子較多時(shí)，直接考慮各因子對該因素有多大程度的影響時(shí)，常常會因考慮不周全、顧此失彼而使決策者提出與他實(shí)際認(rèn)為的重要性程度不相一致的數(shù)據(jù)，甚至有可能提出一組隱含矛盾的數(shù)據(jù)。為看清這一點(diǎn)，可作如下設(shè)想：將一塊重為1千克的石塊砸成n小塊，你可以精確稱出它們的質(zhì)量，設(shè)為w1,…,wn?，F(xiàn)在，請人估計(jì)這n小塊的重量占總重量的比例（不能讓他知道各小石塊的重量），此人不僅很難給出精確的比值，而且完全可能因顧此失彼而提供彼此矛盾的數(shù)據(jù)。

設(shè)現(xiàn)在要比較n個(gè)因子X={x1,…,xn}對某因素Z的影響大小，怎樣比較才能提供可信的數(shù)據(jù)呢？Saaty等人建議可以采取對因子進(jìn)行兩兩比較建立成對比較矩陣的辦法。即每次取兩個(gè)因子xi和xj，以aij表示xi和xj對Z的影響大小之比，全部比較結(jié)果用矩陣A=(aij)n×n表示，稱A為Z－X之間的成對比較判斷矩陣（簡稱判斷矩陣）。容易看出，若xi和xj對Z的影響之比為aij，則xj和xi對Z的影響之比應(yīng)為。定義8.4

若矩陣A=(aij)n×n滿足（i）aij>0，（ii）（i,j=1,2,…,n），則稱之為正互反矩陣（易見aii=1,i=1,…,n）。關(guān)于如何確定aij的值，Saaty等建議引用數(shù)字1~9及其倒數(shù)作為標(biāo)度。他們認(rèn)為，人們在成對比較差別時(shí)，用5種判斷級較為合適。即使用相等、較強(qiáng)、強(qiáng)、很強(qiáng)、絕對地強(qiáng)表示差別程度，aij相應(yīng)地取1,3,5,7和9。在成對事物的差別介于兩者之間難以定奪時(shí)，aij可分別取值2、4、6、8。從心理學(xué)觀點(diǎn)來看，分級太多會超越人們的判斷能力，既增加了作判斷的難度，又容易因此而提供虛假數(shù)據(jù)。Saaty等人還用實(shí)驗(yàn)方法比較了在各種不同標(biāo)度下人們判斷結(jié)果的正確性，實(shí)驗(yàn)結(jié)果也表明，采用1~9標(biāo)度最為合適。如果在構(gòu)造成對比較判斷矩陣時(shí)，確實(shí)感到僅用1~9及其倒數(shù)還不夠理想時(shí)，可以根據(jù)情況再采用因子分解聚類的方法，先比較類，再比較每一類中的元素。步3層次單排序及一致性檢驗(yàn)上述構(gòu)造成對比較判斷矩陣的辦法雖能減少其他因素的干擾影響，較客觀地反映出一對因子影響力的差別。但綜合全部比較結(jié)果時(shí)，其中難免包含一定程度的非一致性。如果比較結(jié)果是前后完全一致的，則矩陣A的元素還應(yīng)當(dāng)滿足：

i、j、k=1,2,…,n

定義8.5滿足（8.5）關(guān)系式的正互反矩陣稱為一致矩陣。如前所述，如果判斷者前后完全一致，則構(gòu)造出的成對比較判斷矩陣應(yīng)當(dāng)是一個(gè)一致矩陣。但構(gòu)造成對比較判斷矩陣A共計(jì)要作次比較（設(shè)有n個(gè)因素要兩兩比較），保證A是正互反矩陣是較容易辦到的，但要求所有比較結(jié)果嚴(yán)格滿足一致性，在n較大時(shí)幾乎可以說是無法辦到的，其中多少帶有一定程度的非一致性。更何況比較時(shí)采用了1~9標(biāo)度，已經(jīng)接受了一定程度的誤差，就不應(yīng)再要求最終判斷矩陣的嚴(yán)格一致性。如何檢驗(yàn)構(gòu)造出來的（正互反）判斷矩陣A是否嚴(yán)重地非一致，以便確定是否接受A，并用它作為進(jìn)一步分析研究的工具？Saaty等人在研究正互反矩陣和一致矩陣性質(zhì)的基礎(chǔ)上，找到了解決這一困難的辦法，給出了確定矩陣A中的非一致性是否可以允忍的檢驗(yàn)方法。定理8.7

正互反矩陣A的最大特征根λmax必為正實(shí)數(shù)，其對應(yīng)特征向量的所有分量均為正實(shí)數(shù)。A的其余特征根的模均嚴(yán)格小于λmax。（證明從略）現(xiàn)在來考察一致矩陣A的性質(zhì)，回復(fù)到將單位重量的大石塊剖分成重量為

1,…,n的n塊小石塊的例子，如果判斷者的判斷結(jié)果完全一致，則構(gòu)造出來的一致矩陣為容易看出，一致矩陣A具有以下性質(zhì)：定理8.8

若A為一致矩陣，則（1）A必為正互反矩陣。（2）A的轉(zhuǎn)置矩陣AT也是一致矩陣。（3）A的任意兩行成比例，比例因子（即wi/wj）大于零，從而rank（A）=1（同樣，A的任意兩列也成比例）。（4）A的最大特征根λmax=n，其中n為矩陣A的階。A的其余特征根均為零。（5）若A的最大特征根λmax對應(yīng)的特征向量為W=（w1,…,wn）I，則aij=wi/wj，i,j=1,2,…,n。（注：（1）、（2）可由一致矩陣定義得出，（3）—（5）均容易由線性代數(shù)知識得到，證明從略）。定理8.9

n階正互反矩陣A為一致矩陣當(dāng)且僅當(dāng)其最大特征根

λmax=n，且當(dāng)正互反矩陣A非一致時(shí)，必有λmax>n。證明：設(shè)正互反矩陣A的最大特征根為λmax，對應(yīng)的特征向量為W=（w1,…,wn）T。

由定理，λmax>0且wi>0，i=1，…，n。又由特征根和特征向量的性質(zhì)知，AW=λmax

W,

故

,i=1,…,n(8.7)（8.7）式兩邊同除wi且關(guān)于i從1到n相加，得到即（8.8）式的括號內(nèi)共有項(xiàng)。

（8.8）

現(xiàn)證明必要性，由一致矩陣性質(zhì)（5），有，故由（8.8）式，得λmax=n。再證明充分性。由于(8.9)

當(dāng)且僅當(dāng)=1（即）時(shí)（8.9）式中的等號成立，故由（8.8）式λmax=n。因而當(dāng)λmax=n時(shí)必有=1，于是aijajk=aiki,j,k=1,2,…,n成立，A為一致矩陣。當(dāng)A非一致矩陣時(shí)，（8.9）式中的等號不能對一切i，j成立，從而必有λmax>n。

根據(jù)定理8.9，我們可以由λmax是否等于n來檢驗(yàn)判斷矩陣A是否為一致矩陣。由于特征根連續(xù)地依賴于aij，故λmax比n大得越多，A的非一致性程度也就越為嚴(yán)重，λmax對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)化特征向量也就越不能真實(shí)地反映出X={x1,…,xn}在對因素Z的影響中所占的比重。因此，對決策者提供的判斷矩陣有必要作一次一致性檢驗(yàn)，以決定是否能接受它。

為確定多大程度的非一致性是可以允忍的，Saaty等人采用了如下辦法：（1）求出，稱CI為A的一致性指標(biāo)。容易看出，當(dāng)且僅當(dāng)A為一致矩陣時(shí)，CI=0。CI的值越大，A的非一致性越嚴(yán)重。利用線性代數(shù)知識可以證明，A的n個(gè)特征根之和等于其對角線元素之和（即n）故CI事實(shí)上是A的除λmax以外其余n－1個(gè)特征根的平均值的絕對值。若A是一致矩陣，其余n－1個(gè)特征根均為零，故CI=0；否則，CI>0，其值隨A非一致性程度的加重而連續(xù)地增大。當(dāng)CI略大于零時(shí)（對應(yīng)地，λmax稍大于n），A具有較為滿意的一致性；否則，A的一致性就較差。（2）上面定義的CI值雖然能反映出非一致性的嚴(yán)重程度，但仍未能指明該非一致性是否應(yīng)當(dāng)被認(rèn)為是可以允許的。事實(shí)上，我們還需要一個(gè)度量標(biāo)準(zhǔn)。為此，Saaty等人又研究了他們認(rèn)為最不一致的矩陣——用從1~9及其倒數(shù)中隨機(jī)抽取的數(shù)字構(gòu)造的正互反矩陣，取充分大的子樣，求得最大特征根的平均值，并定義稱RI為平均隨機(jī)一致性指標(biāo)。對n=1,…,11,，Saaty給出了RI的值，如表8.10所示。表8.10N1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51（3）將CI與RI作比較，定義稱CR隨機(jī)一致性比率。經(jīng)大量實(shí)例比較，Saaty認(rèn)為，在CR<0.10時(shí)可以認(rèn)為判斷矩陣具有較為滿意的一致性，否則就應(yīng)當(dāng)重新調(diào)整判斷矩陣，直至具有滿意的一致性為止。綜上所述，在步3中應(yīng)先求出A的最大特征根λmax及λmax對應(yīng)的特征向量W=（w1,…,wn）T，進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，使得。再對A作一致性檢驗(yàn)：計(jì)算，查表得到對應(yīng)于n的RI值，求，若CR<0.1，則一致性較為滿意，以i作為因子xi在上層因子Z中所具有的權(quán)值。否則必需重新作比較，修正A中的元素。只有在一致性較為滿意時(shí)，W的分量才可用作層次單排序的權(quán)重?，F(xiàn)對本節(jié)例8.13（即合理利用利潤問題的例子）進(jìn)行層次單排序。為求出C1、C2、C3在目標(biāo)層A中所占的權(quán)值，構(gòu)造O－C層的成對比較矩陣，設(shè)構(gòu)造出的成對比較判斷知陣A=311153C1C2C3C1C2C30于是經(jīng)計(jì)算，A的最大特征根λmax=3.038，CI=0.019，查表得RI=0.58，故CR=0.033。因CR<0.1，接受矩陣A，求出A對應(yīng)于λmax的標(biāo)準(zhǔn)化特征向量W=(0.105,0.637，0.258)T，以W的分量作為C1、C2、C3在目標(biāo)O中所占的權(quán)重。類似求措施層中的P1、P2在C1中的權(quán)值，P2、P3在

C2中的權(quán)值及P1、P2在C1中的權(quán)值：

1P231P1P2P1C113λmax=2，CI=CR=0W=(0.75,0.25)T15P31P2P3P2C215λmax=2，CI=CR=0W=(0.167,0.833)T1P221P1P2P1C312λmax=2，CI=CR=0W=(0.66,0.333)T經(jīng)層次單排序，得到圖8.8。合理利用企業(yè)利潤調(diào)動職工積極性C1提高企業(yè)技術(shù)水平C2改善職工工作生活條件C3發(fā)獎金P1擴(kuò)建福利事業(yè)P2引進(jìn)新設(shè)備P3目標(biāo)層O準(zhǔn)則層C措施層P0.1050.6370.2580.750.250.1670.8330.6670.3332設(shè)上一層次（A層）包含A1,…,Am共m個(gè)因素，它們的層次總排序權(quán)值分別為a1,…,am。又設(shè)其后的下一層次（B層）包含n個(gè)因素B1,…,Bn，它們關(guān)于Aj的層次單排序權(quán)值分別為b1j,…,bnj（當(dāng)Bi與Aj無關(guān)聯(lián)系時(shí)，bij=0）?，F(xiàn)求B層中各因素關(guān)于總目標(biāo)的權(quán)值，即求B層各因素的層次總排序權(quán)值b1,…,bn，計(jì)算按表8.11所示方式進(jìn)行,即，i=1,…,n。表8.11bnm…bn2bn1Bn………………B2m…b22b21B2B1m…b12b11B1B層總排序權(quán)值A(chǔ)mAm……A2a2A1a1層A層B步4

層次總排序及一致性檢驗(yàn)最后，在步驟（4）中將由最高層到最低層，逐層計(jì)算各層次中的諸因素關(guān)于總目標(biāo)（最高層）的相對重要性權(quán)值。例如，對于前面考察的工廠合理利用留成利潤的例子，措施層層次單排序權(quán)值的計(jì)算如表8.12所示。

層C層PC1C2C3層P的總排序權(quán)值0.1050.6370.258P10.7500.6670.251P20.250.1670.3330.218P300.83300.531對層次總排序也需作一致性檢驗(yàn)，檢驗(yàn)仍象層次總排序那樣由高層到低層逐層進(jìn)行。這是因?yàn)殡m然各層次均已經(jīng)過層次單排序的一致性檢驗(yàn)，各成對比較判斷矩陣都已具有較為滿意的一致性。但當(dāng)綜合考察時(shí)，各層次的非一致性仍有可能積累起來，引起最終分析結(jié)果較嚴(yán)重的非一致性。設(shè)B層中與Aj相關(guān)的因素的成對比較判斷矩陣在單排序中經(jīng)一致性檢驗(yàn)，求得單排序一致性指標(biāo)為CI(j)，(j=1,…,m)，相應(yīng)的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)為RI(j)(CI(j)、RI(j)已在層次單排序時(shí)求得)，則B層總排序隨機(jī)一致性比率為CR=

當(dāng)CR<0.10時(shí)，認(rèn)為層次總排序結(jié)果具有較滿意的一致性并接受該分析結(jié)果。對于表8.11中的P層總排序，由于C—P層間的三個(gè)判斷矩陣的一致性指標(biāo)（即CI(j)，j=1，2，3）均為0，故P層總排序的隨機(jī)一致性比率CR=0，接受層次分析結(jié)果，將留成利潤的25.1%用于發(fā)獎金，21.8%用于擴(kuò)建福利事業(yè)，余下的53.1%用于引進(jìn)新技術(shù)新設(shè)備。二、最大特征根及對應(yīng)特征向量的近似計(jì)算法眾所周知，求矩陣A的特征根與特征向量在n較大時(shí)是非常麻煩的，需要求解高次代數(shù)方程及高階線性方程組。由于判斷矩陣中aij的給出方法是比較粗糙的，它只是決策者主觀看法在一定精度內(nèi)的定量化反映，也就是說，建模本身存在著較大的模型誤差。因而，在計(jì)算特征根和特征向量時(shí)，沒有必要化費(fèi)太多的時(shí)間和精力去求A的特征根與特征向量的精確值。事實(shí)上，在應(yīng)用層次分析法決策時(shí)，這些量的計(jì)算通常采用較為簡便的近似方法。1、方根法在應(yīng)用小型計(jì)算器求判斷矩陣A的最大特征根與對應(yīng)特征向量時(shí)可采用方根法。其計(jì)算步驟如下：（1）求判斷矩陣每行元素的乘積，i=1,2,…,n（2）求Mi的n次方根

（3）對進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，求特征向量各分量的近似值。（4）求A的最大特征根的近似值從（8.6）式中不難看出，當(dāng)A為一致矩陣時(shí)，由A中各行乘積的n次方根組成的向量與A的特征向量成比例。因而當(dāng)A的非一致性不太嚴(yán)重時(shí)，方根法求得的Wi（i=1,…,n）可近似用于層次單排序的權(quán)值。對前面例子中的O—C判斷陣，有每行元素相乘求，得2、冪法計(jì)算步驟：（步1）任取一標(biāo)準(zhǔn)化向量W(0)，指定一精度要求ε>0，k=0。（步2）迭代計(jì)算，k=0,1,…。若，i=1,…,n，則取W=為A的對應(yīng)于λmax的特征向量的近似，否則轉(zhuǎn)步2。（步3）將標(biāo)準(zhǔn)化，即求

其中為的第i個(gè)分量。（步4）求λmax的近似值對前面例子中的O—C判斷矩陣，若取，=0.001，利用冪法求近似特征向量如下：（第一次迭代）

(0)=(0.511,3,1.444)T，=4.955，求得W(1)=(0.103,0.605,2.91)T（第二次迭代）

(2)=(0.321,1.993,0.802)T，=3.116，求得W(2)=(0.103,0.639,0.257)T（第三次迭代）

(3)=(0.316,1.925,0.779)T，=3.02，求得W(3)=(0.105,0.637,0.258)T（第四次迭代）

(4)=(0.318,1.936,0.785)T，=3.04，求得W(4)=(0.105,0.637,0.258)T因，取W=W(4)。進(jìn)而，可求得。3、和積法（步1）將判斷矩陣A的每一列標(biāo)準(zhǔn)化，即令,i,j=1,…,n令。（步2）將中元素按行相加得到向量，其分量，i=1,…,n。（步3）將標(biāo)準(zhǔn)化，得到W，即

，i=1,…,nW即為A的（對應(yīng)于λmax的）近似特征向量。（步4）求最大特征根近似值。仍以前面例子中的O—C判斷矩陣為例：按列標(biāo)準(zhǔn)化

標(biāo)準(zhǔn)化，以上近似方法計(jì)算都很簡單，計(jì)算結(jié)果與實(shí)際值相差很小，且A的非一致性越弱相差越小，而當(dāng)A為一致矩陣時(shí)兩者完全相同。按行相加三、層次分析法應(yīng)用舉例在應(yīng)用層次分析法研究問題時(shí)，遇到的主要困難有兩個(gè)：（1）如何根據(jù)實(shí)際情況抽象出較為貼切的層次結(jié)構(gòu)；（2）如何將某些定性的量作比較接近實(shí)際的定量化處理。層次分析法對人們的思維過程進(jìn)行了加工整理，提出了一套系統(tǒng)分析問題的方法，為科學(xué)管理和決策提供了較有說服力的依據(jù)。但層次分析法也有其局限性，主要表現(xiàn)在：（1）它在很大程度上依賴于人們的經(jīng)驗(yàn)，主觀因素的影響很大，它至多只能排除思維過程中的嚴(yán)重非一致性（即矛盾性），卻無法排除決策者個(gè)人可能存在的嚴(yán)重片面性。（2）比較、判斷過程較為粗糙，不能用于精度要求較高的決策問題。AHP至多只能算是一種半定量（或定性與定量結(jié)合）的方法，如何用更科學(xué)、更精確的方法來研究問題并作出決策，還有待于進(jìn)一步的探討研究。在應(yīng)用層次分析法時(shí)，建立層次結(jié)構(gòu)模型是十分關(guān)鍵的一步?，F(xiàn)再分析若干實(shí)例，以便說明如何從實(shí)際問題中抽象出相應(yīng)的層次結(jié)構(gòu)。例8.14

招聘工作人員某單位擬從應(yīng)試者中挑選外銷工作人員若干名，根據(jù)工作需要，單位領(lǐng)導(dǎo)認(rèn)為招聘來的人員應(yīng)具備某些必要的素質(zhì)，由此建立層次結(jié)構(gòu)如圖8.9所示。招聘人員綜合情況知識能力外表經(jīng)濟(jì)知識外語知識法律知識組織能力公關(guān)能力計(jì)算機(jī)操作氣質(zhì)身高體形C層B層A層0.250.50.25B1B2B30.1860.7370.0770.3330.3330.3330.7380.1680.094C1C2C3C4C5C6C7C8C9該單位領(lǐng)導(dǎo)認(rèn)為，作為外銷工作人員，知識面與外觀形象同樣重要，而在能力方面則應(yīng)有稍強(qiáng)一些的要求。根據(jù)以上看法，建立A—B層成對比較判斷矩陣→

求得λmax=3，CR=0。1211121B1B2B3B3B2B1A類似建立B—C層之間的三個(gè)成對比較矩陣:

注：權(quán)系數(shù)是根據(jù)后面的計(jì)算添加上去的

1C3815C231C1C3C2C1B1111C6111C5111C4C6C5C4B21C921C8751C7C9C8C7B3W=(0.186,0.737,0.077)T

=3.047,CR=0.08W=(,,)TW

=(0.738,0.168,0.094)T

=3.017,CR=0.08經(jīng)層次總排序，可求得C層中各因子Ci在總目標(biāo)中的權(quán)重分別為：0.047,0.184,0.019，0.167,0.167,0.167,0.184,0.042,0.024招聘工作可如下進(jìn)行，根據(jù)應(yīng)試者的履歷、筆試與面試情況，對他們的九項(xiàng)指標(biāo)作1—9級評分。設(shè)其得分為X=(x1,…,x9)T，用公式y(tǒng)=0.047x1+0.184x2+0.019x3+0.167(x4+x5+x6)+0.184x7+0.042x8+0.024x9

計(jì)算總得分，以y作為應(yīng)試者的綜合指標(biāo)，按高到低順序錄用。例8.15

（挑選合適的工作）經(jīng)雙方懇談，已有三個(gè)單位表示愿意錄用某畢業(yè)生。該生根據(jù)已有信息建立了一個(gè)層次結(jié)構(gòu)模型，如圖8.10所示。工作滿意程度研究課題發(fā)展前途待遇同事情況地理位置單位名氣工作1工作2工作3目標(biāo)層A準(zhǔn)則層B方案層CB1B2B3B4B5B6C1C2C3該