數(shù)學(xué)史歐洲文藝復(fù)興時(shí)期的數(shù)學(xué)

歐洲文藝復(fù)興時(shí)期的數(shù)學(xué)從15世紀(jì)中期到16世紀(jì)末，這段時(shí)期在歐洲稱為文藝復(fù)興時(shí)期。在這一時(shí)期，歐洲，特別是西歐，出現(xiàn)了思想大解放、生產(chǎn)大發(fā)展、社會(huì)大進(jìn)步的喜人景象，科學(xué)文化技術(shù)，其中包括數(shù)學(xué)，也隨之開(kāi)始復(fù)蘇并逐步繁榮起來(lái)。從此歐洲的數(shù)學(xué)開(kāi)始走到世界的前列，并長(zhǎng)期成為世界數(shù)學(xué)發(fā)展的中心。11歐洲中世紀(jì)的回顧2歐洲文藝復(fù)興時(shí)期的數(shù)學(xué)◎透視理論的創(chuàng)立與三角學(xué)的獨(dú)立◎三、四次方程的解法◎韋達(dá)與符號(hào)代數(shù)◎?qū)?shù)的發(fā)明

2歐洲中世紀(jì)的回顧

從5世紀(jì)中葉到15世紀(jì)，在科學(xué)史和哲學(xué)史上稱為歐洲的中世紀(jì)黑暗時(shí)期。在這1000年左右的時(shí)間內(nèi)，整個(gè)歐洲特別是西歐，生產(chǎn)停滯，經(jīng)濟(jì)凋敝，科學(xué)文化落后，既沒(méi)有象樣的發(fā)明創(chuàng)造，也沒(méi)有值得一提的科學(xué)著作。出現(xiàn)這一科學(xué)技術(shù)大倒退的原因是多方面的。3歐洲中世紀(jì)的回顧

5世紀(jì)，羅馬人占領(lǐng)了希臘本土后，他們依靠強(qiáng)權(quán)與軍隊(duì)來(lái)維持自己對(duì)異族的統(tǒng)治，熱衷于創(chuàng)立所謂“實(shí)業(yè)家的文化”，為其統(tǒng)治者豪華奢侈的生活服務(wù)。他們對(duì)抽象思維毫不關(guān)心，數(shù)學(xué)研究?jī)H限于簡(jiǎn)單的幾何和測(cè)量。另一方面，這一時(shí)期又是基督教絕對(duì)統(tǒng)治的時(shí)期，為了達(dá)到在精神上麻痹奴隸的目的，基督教竭力宣揚(yáng)“今生忍辱負(fù)重，來(lái)生進(jìn)入天堂”的謬論，用死后的幸福生活來(lái)欺騙被統(tǒng)治者，要他們安于被奴役的痛苦命運(yùn)。4歐洲中世紀(jì)的回顧

為了不使謊言被揭穿，基督教強(qiáng)烈反對(duì)研究和傳播自然科學(xué)知識(shí)，如當(dāng)時(shí)的教皇奧古斯丁就說(shuō)過(guò)這樣的話：“從圣經(jīng)以外獲得的任何知識(shí)，如果它是有害的，理應(yīng)加以排斥；如果它是有益的，那么它就已經(jīng)包含在圣經(jīng)里了。”言下之意，一切有益的知識(shí)都可以從也只能從圣經(jīng)中得到。于是，圣經(jīng)就成了這一時(shí)期人們唯一能夠?qū)W習(xí)、研究的“百科全書(shū)”。5歐洲中世紀(jì)的回顧

數(shù)學(xué)是這個(gè)時(shí)期受到最大排斥的學(xué)科之一，因?yàn)槿藗兂３０阉c異教徒的星相術(shù)混為一談，因此在這個(gè)時(shí)期的法典中甚至明文禁止學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)，如羅馬皇帝狄?jiàn)W多西的法典就規(guī)定：“任何人不得向占卜人與數(shù)學(xué)家請(qǐng)教。”而6世紀(jì)時(shí)查士丁尼的法典則更直截了當(dāng)?shù)胤Q：“徹底禁止應(yīng)受到譴責(zé)的數(shù)學(xué)技藝。”6歐洲中世紀(jì)的回顧

在這個(gè)時(shí)期，科學(xué)賴以發(fā)展的一些主要條件如自由的學(xué)術(shù)空氣、對(duì)物理世界的關(guān)注、研究抽象概念的興趣等均已消失。盡管如此，在這一時(shí)期也還是有一些堅(jiān)持學(xué)術(shù)研究的人物，博埃齊就是早期的代表人物之一。他是羅馬的一個(gè)貴族，曾不顧禁令用拉丁文從古希臘著作的片段中編譯了一些算術(shù)、幾何、音樂(lè)、天文的初級(jí)讀物，他把這些內(nèi)容稱為“四大科”，其中的數(shù)學(xué)著作還被教會(huì)學(xué)校作為標(biāo)準(zhǔn)課本使用了近千年之久，但博埃齊本人還是遭受政治迫害被捕入獄并死在獄中。7歐洲中世紀(jì)的回顧

7世紀(jì)，在英格蘭的北部出現(xiàn)了一位博學(xué)多才的神學(xué)家，這就是被稱為“英格蘭文化之父”的比德。在數(shù)學(xué)方面，比德曾寫(xiě)過(guò)一些算術(shù)著作，研究過(guò)歷法及指頭計(jì)算方法。當(dāng)時(shí)，對(duì)耶酥復(fù)活期的推算是教會(huì)討論最熱烈的課題之一，據(jù)說(shuō)，這位比德大師就是最先求得復(fù)活節(jié)的人。8歐洲中世紀(jì)的回顧

在1100年左右開(kāi)始的十字軍東征雖然給阿拉伯人帶來(lái)了苦難，但歐洲人也從阿拉伯人以及在拜占庭的希臘人那里學(xué)到了希臘、印度和阿拉伯人的文化，其中當(dāng)然包括數(shù)學(xué)。這些發(fā)現(xiàn)又進(jìn)一步激起他們的更大興趣。他們大力搜求古希臘的的著作，并把他們譯為拉丁文，在歐洲傳播，這就給歐洲大陸帶來(lái)了新鮮的學(xué)術(shù)思想。在這些思想的影響下，歐洲人開(kāi)始對(duì)自然現(xiàn)象進(jìn)行理性的探討。9歐洲中世紀(jì)的回顧

10歐洲中世紀(jì)的回顧

其中英國(guó)的哲學(xué)家培根可以說(shuō)是這種理性探討的先驅(qū)。培根是英格蘭的一個(gè)貴族，曾在牛津大學(xué)和巴黎大學(xué)任教，會(huì)多種語(yǔ)言，對(duì)當(dāng)時(shí)幾乎所有的知識(shí)都感興趣，號(hào)稱“萬(wàn)能博士”。他提倡科學(xué)，重視現(xiàn)實(shí)，反抗權(quán)威。他認(rèn)為，數(shù)學(xué)的思想方法是與生俱來(lái)的，并且是與自然規(guī)律相一致的。在他看來(lái)，數(shù)學(xué)是一切科學(xué)的基礎(chǔ)，科學(xué)真理之所以是珍貴的，是因?yàn)樗鼈兪窃跀?shù)學(xué)的形成中被反映出來(lái)的，即用數(shù)學(xué)數(shù)量和尺度刻畫(huà)的。11歐洲中世紀(jì)的回顧

特別令人欽佩的是，他懂得可靠的知識(shí)是怎么得來(lái)的，探討了使科學(xué)獲得進(jìn)步或者受阻的原因，并提出了許多改革研究方法的意見(jiàn)。他指出：“尋找和發(fā)現(xiàn)真理有兩條路，也只有兩條路，一種方法是通過(guò)感覺(jué)和特例飛躍到普遍的公理，然后通過(guò)這些原則及一勞永逸的真理發(fā)現(xiàn)和判斷派生的公理。另一種方法是從感覺(jué)和特例收集公理，不斷地逐步上升，這樣最后達(dá)到更普遍的公理。這后一種方法是真實(shí)的，但尚未有人試用過(guò)。”12歐洲中世紀(jì)的回顧

他號(hào)召人們面向自然，進(jìn)行有目的的試驗(yàn)，去了解自然，征服自然。雖然培根成為了那個(gè)時(shí)代的犧牲品，但他的吶喊還是在漫漫黑夜中點(diǎn)燃了人們復(fù)蘇的愿望。13歐洲中世紀(jì)的回顧

在這個(gè)時(shí)期最出色的數(shù)學(xué)家是意大利的列昂納多·斐波那契(約1170—1250)，他的父親是比薩駐阿爾及利亞的商業(yè)代表，故他隨父親在那里受到教育，并曾在埃及、敘利亞、希臘以及西西里島等地游歷，在這些地方，他獲得了許多數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)印度—阿拉伯計(jì)算方法的實(shí)用性尤為欣賞。14歐洲中世紀(jì)的回顧

1202年，斐波那契綜合阿拉伯和希臘資料著成一部重要著作《算經(jīng)》（LiberAbaci，亦譯作《算盤(pán)書(shū)》），這部著作共15章，主要介紹算術(shù)與代數(shù)，內(nèi)容十分豐富，包括：印度—阿拉伯?dāng)?shù)碼的讀法與寫(xiě)法；整數(shù)與分?jǐn)?shù)的計(jì)算；平方根與立方根的求法；線性方程組和二次方程的解法等，給出了數(shù)學(xué)在實(shí)物交易、合股、比例法和測(cè)量幾何中的應(yīng)用。15歐洲中世紀(jì)的回顧

《算經(jīng)》的最大功績(jī)是向歐洲人介紹了印度—阿拉伯?dāng)?shù)碼，斐波那契熟悉各國(guó)的算術(shù)系統(tǒng)，他發(fā)現(xiàn)印度—阿拉伯?dāng)?shù)碼的符號(hào)和記數(shù)法是最優(yōu)越的。該書(shū)一開(kāi)頭寫(xiě)道：“印度的九個(gè)數(shù)字是9、8、7、6、5、4、3、2、1，用這九個(gè)數(shù)字與阿拉伯人稱為零的符號(hào)0，任何數(shù)都可以表示了”。16歐洲中世紀(jì)的回顧

這部著作1228年的修訂版還給出一個(gè)有趣的所謂“兔子問(wèn)題”：假設(shè)大兔子每月生一對(duì)小兔，而小兔兩個(gè)月長(zhǎng)成大兔，那么問(wèn)，自一對(duì)兔子開(kāi)始，一年后可繁殖多少對(duì)兔子。17歐洲中世紀(jì)的回顧由這個(gè)問(wèn)題引出了著名的“斐波那契數(shù)列”：1,1,2,3,5,8,13,21,34,…即從第3項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)都是前相鄰兩項(xiàng)的和。你能寫(xiě)出通項(xiàng)公式嗎？18歐洲中世紀(jì)的回顧

遞推關(guān)系式為通項(xiàng)公式為這樣一個(gè)各項(xiàng)都是正整數(shù)的數(shù)列，其通項(xiàng)竟然要用無(wú)理數(shù)來(lái)表述，這是一個(gè)十分有趣的事情。斐波那契數(shù)列具有許多重要的性質(zhì)及應(yīng)用，尤其是當(dāng)項(xiàng)數(shù)n無(wú)限增大時(shí)，其前項(xiàng)和后項(xiàng)之，這便與被開(kāi)普勒說(shuō)成是幾何學(xué)寶藏之一的黃金分割聯(lián)系起來(lái)。

19歐洲中世紀(jì)的回顧

20歐洲中世紀(jì)的回顧21歐洲中世紀(jì)的回顧22歐洲中世紀(jì)的回顧

在18世紀(jì)創(chuàng)立的循環(huán)理論中，斐波那契數(shù)列成了主要內(nèi)容，直到現(xiàn)在，美國(guó)尚有《Fibonacci季刊》專門(mén)刊載這個(gè)數(shù)列性質(zhì)的最新成果。此外，斐波那契還寫(xiě)過(guò)一部純幾何著作《實(shí)用幾何》，書(shū)中運(yùn)用歐幾里得等人的方法介紹了直線形的面積、圓的度量、球和圓柱等。《算經(jīng)》可以看作是歐洲數(shù)學(xué)在經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的黑夜之后走向復(fù)蘇的號(hào)角。23歐洲中世紀(jì)的回顧

在這個(gè)時(shí)期像這樣的學(xué)者雖然還可以列舉出一些，但他們的成就與古希臘的大師們相比，實(shí)在是太微不足道了。他們的工作在那樣的黑暗時(shí)代沒(méi)有也不可能產(chǎn)生多大的影響，正象一朵朵小小的浪花，在狂熱的宗教洪流中很快就被淹沒(méi)了。24歐洲中世紀(jì)的回顧

但歷史總是要發(fā)展的，人們對(duì)長(zhǎng)達(dá)1000年之久的黑暗統(tǒng)治已經(jīng)忍無(wú)可忍，社會(huì)的、政治的、經(jīng)濟(jì)的和文化的種種原因，使得這一黑暗時(shí)期終于走到了盡頭，取而代之的是一場(chǎng)規(guī)模宏大的文藝復(fù)興運(yùn)動(dòng)。25歐洲文藝復(fù)興時(shí)期的數(shù)學(xué)

26歐洲文藝復(fù)興時(shí)期的數(shù)學(xué)

15世紀(jì)，隨著拜占庭帝國(guó)的瓦解，難民們帶著包括古希臘文化在內(nèi)的財(cái)富逃亡到意大利，使得意大利學(xué)者能直接學(xué)習(xí)與研究反映古希臘人杰出成就的原始經(jīng)典著作，而在此之前，他們所接觸的只是一些水平不高的阿拉伯譯本。這些古希臘大師們深刻的思想震撼了這個(gè)富有創(chuàng)造力的民族。27歐洲文藝復(fù)興時(shí)期的數(shù)學(xué)

從社會(huì)發(fā)展的角度來(lái)看，這個(gè)時(shí)期歐洲的封建制度開(kāi)始解體，新興的資產(chǎn)階級(jí)逐漸走上歷史舞臺(tái)。為了維護(hù)與發(fā)展自身的利益，他們首先在意識(shí)形態(tài)領(lǐng)域中展開(kāi)了反對(duì)封建宗教神學(xué)的文化斗爭(zhēng)。他們打出復(fù)興古典文化的旗幟，但決不是想回到古代去，而是要從古代文化中汲取那些適合資產(chǎn)階級(jí)需要的思想，造就一種新的世界觀和意識(shí)形態(tài)，以便與封建制度的精神支柱——宗教世界觀相抗衡。28歐洲文藝復(fù)興時(shí)期的數(shù)學(xué)

另外一方面，歐洲人由于受宗教禁錮的時(shí)間太久了，他們渴望了解外部的世界，這就使得他們的航海技術(shù)達(dá)到了前無(wú)古人的地步。1492年哥倫布發(fā)現(xiàn)了美洲大陸，1499年，衛(wèi)斯普奇橫渡大西洋，在同一世紀(jì)中麥哲倫又環(huán)航了地球，這些都給歐洲人打開(kāi)了一個(gè)個(gè)通向外界的窗口，異族豐富多彩的文化又給歐洲以強(qiáng)烈的刺激。29歐洲文藝復(fù)興時(shí)期的數(shù)學(xué)

所有這些都使得歐洲產(chǎn)生了史無(wú)前例的文藝復(fù)興運(yùn)動(dòng)。這一運(yùn)動(dòng)首先起始于意大利半島（作為文藝復(fù)興的前哨意大利，由于其特殊的地理位置和貿(mào)易聯(lián)系而成為東西方文化的熔爐）。繼而蔓延到整個(gè)歐洲。在這片沉寂了近千年的土地上，呈現(xiàn)出一派生機(jī)勃勃的景象，其直接后果是造成了歐洲近代科學(xué)和文化藝術(shù)的解放和繁榮。30歐洲文藝復(fù)興時(shí)期的數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)作為其他學(xué)科的基礎(chǔ)，加上她在古希臘文化中的尊崇地位，在歐洲的文藝復(fù)興中受到了廣泛的重視。15世紀(jì)歐洲的數(shù)學(xué)活動(dòng)多半是以意大利城市和中歐城市紐倫堡、維也納、布拉格等為中心展開(kāi)的。受商業(yè)、航海、天文和測(cè)量等影響，數(shù)學(xué)研究也集中在算術(shù)、代數(shù)和三角學(xué)方面。31歐洲文藝復(fù)興時(shí)期的數(shù)學(xué)

從地理位置與時(shí)間上看，歐洲數(shù)學(xué)首先在意大利和德國(guó)崛起，德國(guó)人的貢獻(xiàn)主要在天文學(xué)和三角學(xué)，而意大利人的卓越之處在于代數(shù)學(xué)的發(fā)展。法國(guó)直到16世紀(jì)末才顯示出她的力量，主要包括韋達(dá)、笛卡兒、帕斯卡和費(fèi)馬等人的工作。32透視理論的創(chuàng)立和三角學(xué)的獨(dú)立

文藝復(fù)興時(shí)期在數(shù)學(xué)方面的最初突破是由藝術(shù)大師們完成的。33透視理論的創(chuàng)立和三角學(xué)的獨(dú)立

當(dāng)他們開(kāi)始把自己創(chuàng)作的題材從宗教神學(xué)轉(zhuǎn)向大自然的時(shí)候，所遇到的第一個(gè)難題就是如何把三維的現(xiàn)實(shí)世界反映到二維的畫(huà)布上來(lái)。這一問(wèn)題的最初研究者是布魯內(nèi)利斯，他第一個(gè)認(rèn)真研究了透視法并試圖運(yùn)用幾何方法來(lái)進(jìn)行繪畫(huà)。但嘗試從數(shù)學(xué)的角度去研究這一方法的卻是阿爾貝蒂，他在《論繪畫(huà)》一書(shū)中指出，在眼睛和景物之間插進(jìn)一張直角的玻璃屏板，設(shè)想光線從眼睛或觀測(cè)點(diǎn)發(fā)射到景物本身的一個(gè)點(diǎn)上，稱這些光線叫光束棱錐或投影線，它們穿過(guò)屏板時(shí)所留下的集就構(gòu)成了截景。34透視理論的創(chuàng)立和三角學(xué)的獨(dú)立

這里已經(jīng)涉及到透視學(xué)中的一些基本概念。在此基礎(chǔ)上，阿爾貝蒂提出了一個(gè)十分重要的問(wèn)題：如果從兩個(gè)不同的位置去看同一個(gè)景物，而在每一種情況下，都插入一張玻璃屏板，那么得到的截景當(dāng)然是不相同的。這兩種截景之間有什么數(shù)學(xué)關(guān)系，或者它們有什么共同的數(shù)學(xué)性質(zhì)？雖然他沒(méi)能解決這一問(wèn)題，但這些正是射影幾何學(xué)研究的出發(fā)點(diǎn)。35透視理論的創(chuàng)立和三角學(xué)的獨(dú)立

第一個(gè)真正意義上對(duì)于透視法所產(chǎn)生的問(wèn)題從數(shù)學(xué)上直接給予解答的是德沙格（G.Desargues，1591—1661）。他出生于法國(guó)里昂，曾經(jīng)在陸軍任職，后成為工程師和建筑師。36透視理論的創(chuàng)立和三角學(xué)的獨(dú)立

為了證明阿波羅尼斯的那些有關(guān)圓錐曲線的定理，他開(kāi)始研究所謂“中心射影法”，并在1636年就已經(jīng)發(fā)表相關(guān)論文。但流傳下來(lái)的是他在1639年寫(xiě)的名為《論錐面截一平面所得結(jié)果的初稿》的小冊(cè)子。在這部傳世之作中，他從開(kāi)普勒的連續(xù)性理論出發(fā)，導(dǎo)出了許多關(guān)于對(duì)合、調(diào)和變程、透射、極軸、極點(diǎn)以及透視的基本原理。37透視理論的創(chuàng)立和三角學(xué)的獨(dú)立

盡管這部著作寫(xiě)作方式形式古怪，晦澀難懂，但恰恰充滿了創(chuàng)造性的思想。例如，他從焦點(diǎn)透視的投影和截影原理出發(fā)，對(duì)平行線引入無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)線的概念。不過(guò)，其中最引人注目的是所謂的德沙格定理。德沙格的研究的出發(fā)點(diǎn)是有關(guān)圓錐曲線的定理證明。38透視理論的創(chuàng)立和三角學(xué)的獨(dú)立德沙格定理：“如果兩個(gè)三角形（在同一平面內(nèi)或不在同一平面內(nèi)）對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線共點(diǎn)，則其對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)共線；反之亦然。”39透視理論的創(chuàng)立和三角學(xué)的獨(dú)立

德沙格的同僚帕斯卡也在射影幾何方面做出了杰出的貢獻(xiàn)。40透視理論的創(chuàng)立和三角學(xué)的獨(dú)立

據(jù)說(shuō)帕斯卡年幼時(shí)體質(zhì)很弱，為了不讓他累著，他的父親決定在其兒童時(shí)只能學(xué)習(xí)語(yǔ)言，禁止學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。但這反而激起了他的好奇心，在他的請(qǐng)求下，老師給他描述了這門(mén)學(xué)科，他由此開(kāi)始著迷于數(shù)學(xué)。通過(guò)自己的探索，他用折紙的方法找到了證明三角形的三個(gè)內(nèi)角之和等于一個(gè)平角的兩種方法：將三角形的頂點(diǎn)折到其內(nèi)切圓的圓心上或?qū)⒁粋€(gè)頂點(diǎn)折到其在對(duì)邊的垂足上。41透視理論的創(chuàng)立和三角學(xué)的獨(dú)立

他父親發(fā)現(xiàn)后，被他的幾何才能所感動(dòng)，送了他一部歐幾里得的《幾何原本》，從此帕斯卡走上了數(shù)學(xué)研究的道路。帕斯卡14歲時(shí)就開(kāi)始經(jīng)常參加法國(guó)數(shù)學(xué)家們的每周聚會(huì)。16歲時(shí)寫(xiě)了一篇關(guān)于圓錐曲線的論文，竟讓笛卡兒懷疑是其父親的作品。42透視理論的創(chuàng)立和三角學(xué)的獨(dú)立十七八歲時(shí)為了幫助其父親查帳方便而設(shè)計(jì)計(jì)算機(jī)，他曾經(jīng)制造了50多種計(jì)算機(jī)，有些至今還保存在巴黎藝術(shù)和技術(shù)博物館。另外他在物理學(xué)方面提出的流體動(dòng)力學(xué)原理，為每一個(gè)學(xué)過(guò)中學(xué)物理的人所熟知。43透視理論的創(chuàng)立和三角學(xué)的獨(dú)立

他是在16歲的時(shí)候開(kāi)始研究投影和取景法。在德沙格的建議下，他把圓錐曲線的性質(zhì)簡(jiǎn)化為幾個(gè)基本命題，并于1640年完成了著作《圓錐曲線論》。在這部著作中最重要的成就可能就是所謂“帕斯卡定理”：“如果一個(gè)六邊形內(nèi)接于一條圓錐曲線，則其三對(duì)對(duì)邊的交點(diǎn)共線；反之亦然?！睋?jù)說(shuō)，帕斯卡從這一定理出發(fā)，推出了400多個(gè)與圓錐曲線有關(guān)的結(jié)論。44透視理論的創(chuàng)立和三角學(xué)的獨(dú)立45透視理論的創(chuàng)立和三角學(xué)的獨(dú)立

對(duì)早期射影幾何學(xué)有所貢獻(xiàn)的還有畫(huà)家拉伊爾。德沙格等把這種投影分析的方法和所獲得的結(jié)果，視為歐幾里得幾何的一部分，從而在17世紀(jì)人們對(duì)二者不加區(qū)別。但我們應(yīng)該認(rèn)識(shí)到，當(dāng)時(shí)由于這一方法而誘發(fā)了一些新的思想和觀點(diǎn)：⑴一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象從一個(gè)形狀連續(xù)變化到另一形狀；⑵變換與變換不變性；⑶幾何新方法——僅關(guān)心幾何圖形的相交與結(jié)構(gòu)關(guān)系，不涉及度量。46透視理論的創(chuàng)立和三角學(xué)的獨(dú)立

不過(guò)17世紀(jì)數(shù)學(xué)家們的時(shí)尚是理解和控制自然，用代數(shù)方法處理數(shù)學(xué)問(wèn)題一般更為有效，也特別容易獲得實(shí)踐所需的定量結(jié)果。而射影幾何學(xué)家的方法是綜合的，而且得出的結(jié)果也是定性的，不那么有用。因此，射影幾何產(chǎn)生后不久，很快就讓位于代數(shù)、解析幾何和微積分，終由這些學(xué)科進(jìn)一步發(fā)展出在近代數(shù)學(xué)中占中心地位的其他學(xué)科，德沙格、帕斯卡、拉伊爾等人的工作與結(jié)果也漸被人們所遺忘，遲至19世紀(jì)才被人們重新發(fā)現(xiàn)。47透視理論的創(chuàng)立和三角學(xué)的獨(dú)立

航海、歷法推算以及天文觀測(cè)的需要，推動(dòng)了三角學(xué)的發(fā)展。早期三角學(xué)總是與天文學(xué)密不可分，這樣在1450年以前，三角學(xué)主要是球面三角，后來(lái)由于間接測(cè)量、測(cè)繪工作的需要而出現(xiàn)了平面三角。15、16世紀(jì)德國(guó)人開(kāi)始對(duì)三角學(xué)作出新的推進(jìn)，他們從意大利獲得了阿拉伯天文學(xué)著作中的三角學(xué)知識(shí)。在歐洲，第一部脫離天文學(xué)的三角學(xué)專著是雷瓊蒙塔努斯的《論各種三角形》（《三角全書(shū)》）。48透視理論的創(chuàng)立和三角學(xué)的獨(dú)立

在文藝復(fù)興之前，如在古希臘和印度、阿拉伯人眼里，三角學(xué)是天文學(xué)的附庸，它僅僅是為了天文學(xué)的研究而使用的一種工具。將三角學(xué)從天文學(xué)奴仆的地位解放出來(lái)的是15世紀(jì)的德國(guó)數(shù)學(xué)家穆勒，人們更多的是以他的出生地哥尼斯堡這個(gè)城市的拉丁文名字雷瓊蒙塔努斯來(lái)稱呼他。年輕時(shí)，他曾就學(xué)于波伊爾巴赫，在協(xié)助老師翻譯希臘數(shù)學(xué)著作的過(guò)程中，對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了濃厚的興趣，自己也獨(dú)立翻譯了阿波羅尼斯、海倫和阿基米德等人的著作，并由此走上了數(shù)學(xué)研究的道路。49透視理論的創(chuàng)立和三角學(xué)的獨(dú)立

穆勒在許多數(shù)學(xué)領(lǐng)域中都有建樹(shù)，其中對(duì)三角學(xué)的貢獻(xiàn)最為杰出。在1461—1464年間，他完成了《三角全書(shū)》，這部著作共5卷，將平面三角和球面三角放在一起處理，給出了球面三角的余弦定理和正弦定理，對(duì)于如何解平面與球面三角形作出了較為全面的論述。該書(shū)中還討論到一個(gè)新穎的極值問(wèn)題：天花板上掛下一根豎直的桿子，桿長(zhǎng)10英尺，下端離地面4英尺，在地面上求一點(diǎn)（或點(diǎn)的軌跡）使其對(duì)桿的視角最大。這是數(shù)學(xué)史上第一次明確討論極值的問(wèn)題。他還編制了一個(gè)五位數(shù)的正切函數(shù)表。50透視理論的創(chuàng)立和三角學(xué)的獨(dú)立

我們知道，過(guò)去希臘人僅把三角學(xué)看作是天文學(xué)的一個(gè)分支，通過(guò)穆勒的工作使三角學(xué)脫離了天文學(xué)而成為一個(gè)獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支。此外，穆勒還使用代數(shù)的方法研究過(guò)許多幾何問(wèn)題，為150年后笛卡兒的研究開(kāi)拓了方向。51三、四次方程的解法

16世紀(jì)最為壯觀的數(shù)學(xué)成就要數(shù)意大利的數(shù)學(xué)家們關(guān)于三、四次方程解法的研究。歐洲人在數(shù)學(xué)上的推進(jìn)是從代數(shù)學(xué)開(kāi)始的，它是文藝復(fù)興時(shí)期成果最突出、影響最深遠(yuǎn)的領(lǐng)域，拉開(kāi)了近代數(shù)學(xué)的序幕。主要包括三、四次方程求解與符號(hào)代數(shù)的引入兩個(gè)方面。大約在1515年，波倫那大學(xué)的數(shù)學(xué)教授費(fèi)羅(ferro,1465—1562)用代數(shù)方法求出了三次方程的解，他的工作據(jù)說(shuō)是以更早的阿拉伯資料為基礎(chǔ)的。他并沒(méi)有公開(kāi)發(fā)表他的成果，而是把這個(gè)秘密透露給他的學(xué)生菲奧。52三、四次方程的解法

威尼斯數(shù)學(xué)教授泰塔格利亞(NiccoloFontana,1500—1557，綽號(hào)Tartaglia意為口吃者)也是一位以研究三次方程的解法而聞名的數(shù)學(xué)家。盡管他青少年時(shí)代非常貧困，但是他通過(guò)自學(xué)，掌握了拉丁文、希臘文和數(shù)學(xué)。53三、四次方程的解法

據(jù)說(shuō)，他也慕名向費(fèi)羅討教過(guò)三次方程的解法，但遭到了拒絕，因此，他發(fā)憤自己來(lái)攻克這一難題。經(jīng)過(guò)不懈的努力，終于在1535年宣布掌握了一些三次方程的解法，然而費(fèi)羅的學(xué)生菲奧認(rèn)為此項(xiàng)聲明純屬欺騙，他向泰塔格利亞提出了挑戰(zhàn)，要求來(lái)一次解三次方程的公開(kāi)比賽。競(jìng)賽安排了兩種類型的三次方程，菲奧只能解其中的一種，而泰塔格利亞卻輕松地大獲全勝。競(jìng)賽后，泰塔格利亞名望大增，并由此取得了韋羅納的數(shù)學(xué)教席，但他并沒(méi)有陶醉，而是乘勝前進(jìn)，繼續(xù)研究更一般的問(wèn)題。1541年，他掌握了處理類型的方程的一般解法，但他卻沒(méi)有公開(kāi)發(fā)表這些成果。54三、四次方程的解法

在這期間，當(dāng)時(shí)最有天才的代數(shù)學(xué)家之一卡當(dāng)(CardanoGirolamo,1501—1576)也用了相當(dāng)多的時(shí)間研究這個(gè)問(wèn)題，但沒(méi)有成功。55三、四次方程的解法

卡當(dāng)是米蘭的一個(gè)醫(yī)生，精通數(shù)學(xué)，又嗜賭如命。據(jù)說(shuō)有一次他與別人打賭，預(yù)言自己將于某時(shí)會(huì)死去。到了這一天，他為了贏得這場(chǎng)豪賭，居然以自殺的方式，結(jié)束了自己的一生。卡當(dāng)找到泰塔格利亞，請(qǐng)求他教給自己解三次方程的方法，卡當(dāng)在做出保守秘密的莊嚴(yán)信誓后，從泰塔格利亞那里得到了一份渴望已久的解法手稿。然而卡當(dāng)并沒(méi)有完全遵守自己的諾言，1545年，他在德國(guó)紐倫堡出版了一部關(guān)于代數(shù)學(xué)的拉丁文巨著《大法》，書(shū)中詳細(xì)介紹了泰塔格利亞教給他的方法。56三、四次方程的解法

57三、四次方程的解法

58三、四次方程的解法59三、四次方程的解法60三、四次方程的解法

泰塔格利亞對(duì)卡當(dāng)?shù)男袨楦械椒浅嵟?，他向法庭提出了控告。也許卡當(dāng)畢竟理虧，不敢與泰塔格利亞對(duì)簿公堂，而派出他的學(xué)生斐拉里(LudovicoFerrari,1522—1565)代他出庭。斐拉里能言善辯，在法庭上倒打一耙，指控泰塔格利亞剽竊了費(fèi)羅的成果，平時(shí)說(shuō)話口吃的泰塔格利亞在激烈的舌戰(zhàn)中的處境是可想而知的，盡管他是受害者，但在這場(chǎng)官司中仍然敗訴了。從道義上講，卡當(dāng)?shù)男袨槭遣坏赖碌?，但如果每一個(gè)科學(xué)家都象費(fèi)羅、泰塔格利亞一樣，將自己的成果秘不示人，那么，科學(xué)發(fā)展到今天會(huì)是什么樣子就很難預(yù)料了。61三、四次方程的解法

在三次方程被解決后不久，一般四次方程的代數(shù)解法也就被發(fā)現(xiàn)了。1540年，意大利數(shù)學(xué)家達(dá)科伊向卡當(dāng)提出了一個(gè)可以導(dǎo)致四次方程求解的問(wèn)題（把10分成三個(gè)數(shù)，使它們成連比，且前兩數(shù)的乘積為6），這個(gè)問(wèn)題最終由卡當(dāng)?shù)膶W(xué)生斐拉里解決?？ó?dāng)在《大法》一書(shū)中也詳細(xì)地介紹了這個(gè)被稱為“斐拉里方法”的解法。62三、四次方程的解法

該即可。這樣就變?yōu)閦的三次方程。6364韋達(dá)與符號(hào)代數(shù)數(shù)學(xué)是思維的體操，同時(shí)，是一種符號(hào)的游戲。歷史的經(jīng)驗(yàn)表明，采用合理的符號(hào)，能使數(shù)學(xué)學(xué)科得到迅速發(fā)展，相反，沒(méi)有一套合理的符號(hào)，其進(jìn)展就會(huì)十分緩慢。眾所周知，印度人發(fā)明的0,1,2,…,這十個(gè)數(shù)碼及其十進(jìn)位值制記數(shù)法，由于簡(jiǎn)潔實(shí)用，受到阿拉伯人的青睞，并經(jīng)阿拉伯人之手傳入歐洲，進(jìn)而成為當(dāng)今科學(xué)世界的通用語(yǔ)言，對(duì)數(shù)學(xué)的迅速發(fā)展所起的作用是無(wú)法估量的。65韋達(dá)與符號(hào)代數(shù)

而在13—14世紀(jì)的歐洲，由于采用的是繁瑣冗長(zhǎng)的羅馬記數(shù)法，以至于當(dāng)時(shí)最杰出的數(shù)學(xué)工作者，也把當(dāng)今小學(xué)生就已十分熟練的乘除運(yùn)算看做是人世間最麻煩的事情。歐洲人至今仍用“掉進(jìn)乘除里”這樣一句習(xí)語(yǔ)來(lái)形容某人陷入了困境，就是一個(gè)極為典型的例證。雖然我們無(wú)法對(duì)每一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)的產(chǎn)生做系統(tǒng)的介紹，但符號(hào)對(duì)數(shù)學(xué)乃至整個(gè)科學(xué)發(fā)展的重要促進(jìn)作用卻是不容置疑的。66韋達(dá)與符號(hào)代數(shù)用字母表示數(shù)，盡管在今天已是初中代數(shù)的一個(gè)最基本的內(nèi)容，但在數(shù)學(xué)發(fā)展史上卻是一件劃時(shí)代的大事，它給數(shù)學(xué)思維插上了翅膀，使得原來(lái)在算術(shù)中許多需要極高技巧的算法變成了簡(jiǎn)單的機(jī)械性的操作，也為數(shù)學(xué)研究開(kāi)拓了壯觀的空間。因此，從某種意義上來(lái)說(shuō)，用字母表示數(shù)標(biāo)志著代數(shù)從算術(shù)脫胎而出，成為一門(mén)獨(dú)立的學(xué)科。67韋達(dá)與符號(hào)代數(shù)事實(shí)上，代數(shù)學(xué)的研究歷史可以說(shuō)是與數(shù)學(xué)的歷史一樣長(zhǎng)，早在古巴比倫、埃及、印度和中國(guó)的早期數(shù)學(xué)知識(shí)中就積累了大量的代數(shù)內(nèi)容。例如，在古埃及的數(shù)學(xué)紙草書(shū)中，就包含了許多關(guān)于解方程、數(shù)列求和等方面的內(nèi)容。然而，這一時(shí)期以及后來(lái)的希臘人的代數(shù)學(xué)，幾乎毫無(wú)例外地都是用文字語(yǔ)言敘述的，其解決問(wèn)題的方法，也基本是算術(shù)的，他們繁瑣的表現(xiàn)形式，是代數(shù)學(xué)發(fā)展的必有之路。68韋達(dá)與符號(hào)代數(shù)自覺(jué)地運(yùn)用一套符號(hào)，以使代數(shù)的思路與表述更為緊湊、更加有效的人是古希臘數(shù)學(xué)家丟番圖。與古希臘其他的數(shù)學(xué)家相比較，丟番圖對(duì)于數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)主要是在代數(shù)方面，而他最杰出的功績(jī)之一就是在代數(shù)中采用了未知數(shù)以及一整套符號(hào)。丟番圖以后一直到17世紀(jì)，盡管許多數(shù)學(xué)家在引入代數(shù)符號(hào)方面作出了不少貢獻(xiàn)，但總體上說(shuō)，他們的符號(hào)基本上仍是標(biāo)準(zhǔn)文字的縮寫(xiě)，還只是丟番圖工作的延續(xù)。69韋達(dá)與符號(hào)代數(shù)在符號(hào)體系上使代數(shù)學(xué)發(fā)生最大變革的是法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)(FrancisVeita,1540—1603)。韋達(dá)1540年出生于豐內(nèi)特的一個(gè)貴族家庭，他的姓名叫佛蘭西斯·韋埃特，韋達(dá)是他的拉丁文名字。他早年學(xué)習(xí)法律，并曾在巴黎裁判所擔(dān)任過(guò)律師，后到布列塔尼地方議會(huì)工作。在一位侯爵的推薦下，1580年末，他成為亨利親王的樞密顧問(wèn)官，對(duì)數(shù)學(xué)始終不懈的濃厚興趣，使得他把絕大部分閑暇貢獻(xiàn)給了數(shù)學(xué)。70韋達(dá)與符號(hào)代數(shù)關(guān)于韋達(dá)的數(shù)學(xué)研究，有著許多有趣的軼事。據(jù)說(shuō)，有一位比利時(shí)的大使曾向法國(guó)國(guó)王亨利夸口說(shuō)法國(guó)沒(méi)有一位數(shù)學(xué)能夠解決他的同國(guó)人羅芒烏斯1593年提出的需要解四十五次方程的問(wèn)題。亨利找來(lái)了韋達(dá)，讓他來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。韋達(dá)一眼看出了這個(gè)方程所蘊(yùn)含的三角關(guān)系，幾分鐘內(nèi)就給出了兩根，后來(lái)又求出21個(gè)根，當(dāng)然，他沒(méi)有考慮方程的負(fù)根。反過(guò)來(lái)，韋達(dá)也向羅芒烏斯提出了挑戰(zhàn)，看誰(shuí)能解古希臘的阿波羅尼斯所提出的“作一圓與三個(gè)給定圓相切”的問(wèn)題。韋達(dá)順利地以歐幾里得幾何作工具來(lái)求解，而羅芒烏斯卻百思不得其解。當(dāng)羅芒烏斯得知韋達(dá)的天才解法后，十分敬佩，專程長(zhǎng)途跋涉到豐特內(nèi)拜訪韋達(dá)，兩人從此結(jié)下了深厚的友誼。71韋達(dá)與符號(hào)代數(shù)還有這樣一個(gè)傳說(shuō)，在法國(guó)和西班牙的戰(zhàn)爭(zhēng)中，韋達(dá)成功地破譯了西班牙人的軍事密碼，使得法國(guó)人對(duì)西班牙的軍事行動(dòng)了如指掌，因而掌握了戰(zhàn)爭(zhēng)的主動(dòng)拳，贏得了勝利。于是西班牙國(guó)王菲力普二世向教皇控告法國(guó)在戰(zhàn)爭(zhēng)中對(duì)西班牙施用了魔法，這是“與基督教信仰的慣例相違背的”。更為荒謬的是，西班牙宗教裁判所在韋達(dá)缺席的情況下，竟以背叛上帝的罪名處韋達(dá)以焚燒致死的極刑。當(dāng)然，韋達(dá)不會(huì)跑到西班牙去服刑的。72韋達(dá)與符號(hào)代數(shù)韋達(dá)一生寫(xiě)了許多關(guān)于三角學(xué)、代數(shù)學(xué)和幾何學(xué)的著作，其中主要有：《三角學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》、《分析方法引論》、《幾何補(bǔ)編》、《有效的數(shù)值解法》和《論方程的整理和修正》。這些著作中所包含的杰出的數(shù)學(xué)成就表明，他是這個(gè)時(shí)期最偉大的數(shù)學(xué)家之一。73韋達(dá)與符號(hào)代數(shù)韋達(dá)在符號(hào)代數(shù)方面的貢獻(xiàn)最為突出。當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)研究的中心內(nèi)容是探究各種代數(shù)方程的解法。但隨著研究的深入，各種特殊形式的代數(shù)方程也隨之迅速增長(zhǎng)（例如卡當(dāng)《大法》一書(shū)中方程的種類就有66種之多），對(duì)每一種方程都需要一個(gè)特殊的解法，這無(wú)疑要耗去數(shù)學(xué)家們巨大的精力。韋達(dá)設(shè)想尋找出一種求解各種類型代數(shù)方程的通用的方法。74韋達(dá)與符號(hào)代數(shù)為此，他認(rèn)真研究了泰塔格利亞、卡當(dāng)、斯蒂文、邦貝利和丟番圖等人的著作，從這些名家特別是丟番圖那里獲得了靈感，那就是要實(shí)現(xiàn)自己的設(shè)想，首先要使方程具有普遍的形式，而其中關(guān)鍵的一步就是使用字母來(lái)表示數(shù)，因此在他的名著《分析方法引論》一書(shū)中，他第一個(gè)有意識(shí)地、系統(tǒng)地使用了字母。75韋達(dá)與符號(hào)代數(shù)《分析方法引論》被公認(rèn)是一部最早的符號(hào)代數(shù)的著作。在這部著作中，韋達(dá)不僅使用字母表示未知量和未知量的乘冪，而且還用來(lái)表示一般的系數(shù)。通常他用輔音字母表示已知量，用元音字母表示未知量，用拉丁字母表示各次方冪。例如，現(xiàn)在的A,A2,A3，韋達(dá)記作A,Aquadratum,Acubum，有時(shí)還縮寫(xiě)簡(jiǎn)化為A,AQ,AC。韋達(dá)使用了“+”與“-”分別表示加法與減法，但沒(méi)有一個(gè)確定的符號(hào)來(lái)表示相乘，也沒(méi)有一個(gè)確定的符號(hào)來(lái)表示相等，這些通常都用文字來(lái)說(shuō)明。如恒等式，他的寫(xiě)法是acubus+binaquad.3+ainquad.3+bcuboequaliaa+bcubo，在這里，韋達(dá)用統(tǒng)一的符號(hào)表示已知量、未知量及其運(yùn)算，取代了以往慣用的詞的縮寫(xiě)方法，在使得代數(shù)學(xué)形成國(guó)際慣用的獨(dú)立的語(yǔ)言方面發(fā)揮了巨大的作用。

76韋達(dá)與符號(hào)代數(shù)韋達(dá)把他的符號(hào)化代數(shù)稱為“類的算術(shù)”(logisticaspeciosa)，以區(qū)別于“數(shù)的算術(shù)”(logisticanumerosa)，并明確指出：類的算術(shù)是施行于事物的類或形式的運(yùn)算，而數(shù)的算術(shù)僅僅與具體的數(shù)字有關(guān)，從而，類的算術(shù)即代數(shù)成為研究一般類型的數(shù)學(xué)形式和方法的學(xué)問(wèn)。由于采用先進(jìn)的代數(shù)符號(hào)系統(tǒng)，很快地，韋達(dá)在當(dāng)時(shí)代數(shù)研究的中心問(wèn)題——方程論方面取得了杰出的成就。在《分析方法引論》中，他改進(jìn)了意大利數(shù)學(xué)家泰塔格利亞、卡當(dāng)拉斐里等人關(guān)于三、四次方程的解法，利用變換消去方程的次高項(xiàng)，將二次、三次和四次方程的解都用一般表達(dá)式給出，這就是所謂的公式解。77韋達(dá)與符號(hào)代數(shù)韋達(dá)在《論方程的整理和修正》一書(shū)中還借助于三角恒等式給出了滿足一定條件的不可約三次方程的一個(gè)方法。在這本書(shū)中，韋達(dá)提出了四個(gè)揭示整式方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系的著名定理——韋達(dá)定理。不過(guò)應(yīng)當(dāng)指出，韋達(dá)僅就n=2,3等幾種特殊的情況得出了結(jié)論，并沒(méi)有給出n次方程的韋達(dá)定理的一般證明。這個(gè)定理的證明，是在笛卡兒1637年得出因式定理，高斯1797年證明了代數(shù)基本定理以后才給出的。78韋達(dá)與符號(hào)代數(shù)韋達(dá)關(guān)于代數(shù)符號(hào)體系的偉大設(shè)想和實(shí)踐，對(duì)于代數(shù)學(xué)的發(fā)展無(wú)疑是一座重要的里程碑，它使得代數(shù)學(xué)的面貌發(fā)生了根本的變化。然而，當(dāng)時(shí)大多數(shù)數(shù)學(xué)家并沒(méi)有馬上體會(huì)到符號(hào)體系對(duì)代數(shù)發(fā)展的巨大作用，他們依舊我行我素，不過(guò)隨著迅速發(fā)展的科學(xué)技術(shù)對(duì)數(shù)學(xué)家們提出的問(wèn)題日益復(fù)雜，使得人們不得不對(duì)韋達(dá)的工作刮目相看，他們?yōu)轫f達(dá)精湛的思想所折服。許多人，如哈里奧特、吉拉德、奧特雷德等沿著韋達(dá)所開(kāi)辟的道路繼續(xù)前進(jìn)，他們?cè)谕茝V與引進(jìn)代數(shù)符號(hào)、完善代數(shù)體系等方面都做出了杰出的貢獻(xiàn)。79韋達(dá)與符號(hào)代數(shù)特別是解析幾何的創(chuàng)始人、近代著名的法國(guó)哲學(xué)家笛卡兒對(duì)韋達(dá)使用字母的方法作了重要的改進(jìn)，他用排在英文字母表前面的字母如a,b,c等表示已知量。用表末的字母如x,y,z等表示未知量，這在現(xiàn)在已成習(xí)慣用法。由他提出和使用的許多符號(hào)同現(xiàn)今的寫(xiě)法基本是一致的。綜上所述，我們可以看出，正是由于韋達(dá)等人有意識(shí)地引入了代數(shù)符號(hào)，使得代數(shù)成為研究對(duì)象更為廣泛的獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支，符號(hào)代數(shù)由此而生，韋達(dá)無(wú)愧于“符號(hào)代數(shù)之父”的稱號(hào)。80對(duì)數(shù)的發(fā)明對(duì)數(shù)的發(fā)明是計(jì)算技術(shù)的一次重大的進(jìn)步。16世紀(jì)初，歐洲人的商業(yè)活動(dòng)和科學(xué)探索對(duì)計(jì)算技術(shù)提出了更高的要求。特別是以精確測(cè)量為基礎(chǔ)的天文學(xué)的興起，使得人們遇到了繁雜的數(shù)值計(jì)算。人們由衷地希望能簡(jiǎn)化計(jì)算，比如說(shuō)把乘除運(yùn)算歸結(jié)為簡(jiǎn)單的加