三角形中的比值問題-2021年中考數(shù)學(xué)壓軸題專項(xiàng)高分突破訓(xùn)練（教師版含解析）

專練04三角形中的比值問題

1.請你認(rèn)真閱讀下面的小探究系列，完成所提出的問題.

(1)(2)(3)

(1)如圖(1),將角尺放在正方形ABCD上，使角尺的直角頂點(diǎn)E與正方形ABCD的頂點(diǎn)D重合，角尺的

一邊交CB于點(diǎn)F,另一邊交BA的延長線于點(diǎn)G.求證：EF=EG.

(2)如圖(2),移動(dòng)角尺，使角尺的頂點(diǎn)E始終在正方形ABCD的對角線BD上，其余條件不變，請你思

考后直接回答EF和EG的數(shù)量關(guān)系：EFEG(用"=''或"#’填空).

(3)運(yùn)用(1)、(2)解答中所積累的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和數(shù)學(xué)知識，完成下題：如圖(3),將(2)中的“正方形ABCD”改成“矩

形ABCD”，使角尺的一邊經(jīng)過點(diǎn)A(即點(diǎn)G、A重合)，其余條件不變，若AB=4,BC=3,求

g的值.

【答案】(1)證明：,/Z.AEF+ZAEG=90°,Z.AEF+Z.CEF=90°,

ZAEG=ZCEF.

又ZGAE=ZC=90°,EA=EC,

二△EAGg△ECF(ASA).

:.EG=EF.

⑵EF=EG,理由如下:

如圖,

過點(diǎn)E作EP_LAB于點(diǎn)P,作EQ_LBC于點(diǎn)Q,

則ZPEQ=90°,EP=EQ,

二ZGEP=Z.FEQ.

又ZEPG=EQF=90°,

，△EPG/△EQF.

EF=EG.

(3)解：如圖，過點(diǎn)E作EMIAB于點(diǎn)M,作EN_LBC于點(diǎn)N,

貝ljZMEN=90°,EM||BC,EN||AB,

.EM_BE_EN

??AD-BD-CD*

.EMAD3

??-=—=-.

ENCD4

又ZGEM+ZMEF=90°,Z.FEN+zMEF=90°,

???4GEM=ZFEN.

???RtAGMEsRtAFNE?

.EFEN4

..—=——=-.

EGEM3

2.閱讀下面材料：

小昊遇到這樣一個(gè)問題：如圖1,在△ABC中，ZACB=90°,BE是AC邊上的中線，點(diǎn)D在BC邊上，CD：

BD=1：2,AD與BE相交于點(diǎn)P,求胃的值.

小昊發(fā)現(xiàn)，過點(diǎn)A作AF〃BC,交BE的延長線于點(diǎn)F,通過構(gòu)造△AEF,經(jīng)過推理和計(jì)算能夠使問題得到

解決(如圖2).請回答：蔡的值為—.

參考小昊思考問題的方法，解決問題：

如圖3,在△ABC中，NACB=90。，點(diǎn)D在BC的延長線上，AD與AC邊上的中線BE的延長線交于點(diǎn)P,

DC：BC：AC=1：2：3.

A

圖1圖2圖3

⑴求券的值；

⑵若CD=2,則BP=.

【答案】（1）過點(diǎn)A作AF〃DB,交BE的延長線于點(diǎn)F,如圖，設(shè)DC=k,由DC：BC=1：2得BC=2k,

DB=DC+BC=3k.

「E是AC中點(diǎn)，.，.AE=CE.；AF〃DB,AZF=Zl.在AAEF和ACEB中，；NF=/1,/2=N3,

AE=CE,.".△AEF^ACEB,；.EF=BE,AF=BC=2k.；AF〃DB,...△AFPs^DBP,...而=前=前

嗯=|，.?造的值為:

(2)當(dāng)CD=2時(shí)，BC=4,AC=6,；.EC=|AC=3,EB=VEC2+BC2:=5,???EF=BE=5,BF=10.Vg1

(已證)，，黑="，BP=|BF=|xl0=6.故答案為6.

3.已知點(diǎn)E在△ABC內(nèi)，NABC=/EBD=a,NACB=NEDB=600,ZAEB=150°,ZBEC=90°.

圖1圖2

（1）當(dāng)a=60。時(shí)（如圖1）,

①判斷△ABC的形狀，并說明理由;

②求證：BD=V3AE；

(2)當(dāng)a=90。時(shí)(如圖2),求等的值.

AE

【答案】(1)解：①判斷：△ABC是等邊三角形.

理由：VZABC=ZACB=60°

/BAC=180。-/ABC-NACB=6(r=NABC=NACB

AABC是等邊三角形

②證明：同理△EBD也是等邊三角形

連接DC,

貝i]AB=BC,BE=BD,ZABE=60°-ZEBC=ZCBD

.,.△ABE^ACBD

；.AE=CD,ZAEB=ZCDB=150°

二NEDC=150°-/BDE=90。ZCED=ZBEC-ZBED^90°-60°=30°

在RtAEDC中，—=tan30°=—,

ED3

...AE=V3，即BD=6AE.

BD3

(2)解：連接DC,

VZABC=ZEBD=90°,ZACB=ZEDB=60°

/.△ABC^AEBD

.ABBCABEB

??—=—,即—=—

EBBDBCBD

又：ZABE=90°-ZEBC=ZCBD

/.△ABE^ACBD,/AEB=/CDB=150。，”=笑

，/EDC=1500-ZBDE=90。ZCED=ZBEC-ZBED=90°-(90°-ZBDE)=60°

設(shè)BD=x在RtAEBD中DE=2x,BE=V3x

在RtAEDC中CD=DExtan600=2V3x

?AF*CDBE2V3xV3x右hdc

?-AE=----=-----------=6x=6BD，

BDx

BD1

H即n一="

AE6

4.據(jù)圖回答問題:

如圖①如圖②如圖③

⑴如圖①，在4ABe中，點(diǎn)D為邊BA延長線上的點(diǎn)，若祭=；過點(diǎn)D作DE//BC交CA延長

線于點(diǎn)E,若DE=5,求BC的長.

⑵（探究）如圖②，在XABC中，點(diǎn)D時(shí)邊AB上的點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)，連結(jié)BE、CD交

于點(diǎn)F,笑=；，小明嘗試探究啜的值，在圖②中，小明過點(diǎn)D作DM〃AC交BE于點(diǎn)M,易證△

CroDr

DFM?〉CFE,則==|?從而得到~~的值為________;易證△DBM?△ABE，則~~=，

CECF3AEBEAE

從而得到器的值為________:從而得到S的值為________-

MEBF

⑶（應(yīng)用）如圖③，在4ABe中，點(diǎn)D是邊AB上的點(diǎn)，E為邊C4延長線上的點(diǎn)，連結(jié)BE，延長CD,

交BE于點(diǎn)F,若皆=；,言=；且△4CD的面積為1,則△BDF的面積為.

DULoCO

【答案】（1）解：:DE//BC,

AZD=ZB,ZE=ZC,

AAADE^AABC,

???DEAD1,

BCAB2

:.BC=2DE,

VDE=5,

ABC=10.

⑵【探究】過點(diǎn)D作DM//AC交BE于點(diǎn)M,

/.△DFM^ACFE,

.DM_DF_2

，-CF-3'

???E為AC的中點(diǎn)，

AAE=CE,

?DM_DM_MF_2

/.~AE~~CE~~EF~3'

?/DM//AC,

AADBM^AABE,

.BM_DM_2

**B1E-AF-3，

2

.??BM=-BE,

3

?BMQ

??—=2,

ME

設(shè)EF=3x,則MF=2x,

AME=5x,BM=10x,

ABF=BM+MF=12x,

?EF_3x_1

**BF-12x-4?

故答案為1,2,

34

(3)【應(yīng)用】如圖，過點(diǎn)D作MN〃EC交BE于M,交BC于N,過點(diǎn)F作FG〃EC交AB于點(diǎn)G,設(shè)△ABC

以AC為底的高為H.

E

A

..AD1AE1

?=f=1f

BD2BC3

ABD=2AD,AC=3AE,

?BD_2AD_2「廠Ac

??—————，EC—4AE，

AB3AD3

VFG/7EC,

.?.△BFG^ABEA,

.DMBD2

.?-----=-----=—,

AEAB3

2

ADM=-AE,

3

?DM|AEIDF

??--=---=-=—f

EC4AE6CF

.OF_1_GD_GD_

**DC-5-AD--AB，

3

?￡2_

"AB-15*

:.SADMF=-DM-h=i--AE---H=-AE-H,

2231545

S梯形AEHD=(AE+DM)-iH-i=-AE-H,

AS四邊形AEFD=SADHF+S梯形AEHD=^AE-H

VS=iAC-iH=iACH=i-3AE-H=l,

AACDZ5OO

；.AE-H=2,

AS四邊形AEFD=卷AE-H=|,

VSAABE=1AE-H=1

二SABDF=SAABE一S四邊形AEFD=1--=-.

5.如圖，等腰RSACB中，ZACB=90°,AC=BC,E點(diǎn)為射線CB上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE,W.AF±AE

KAF=AE.

(1)如圖1,過尸點(diǎn)作FGLAC交AC于G點(diǎn)，求證：ZkAGF也△ECA；

(2)如圖2,連接BF交AC于G點(diǎn)，若AC=BC=4,AG=3,求證：E點(diǎn)為BC中點(diǎn)；

(3)如圖3,當(dāng)E點(diǎn)在C8的延長線上時(shí)，連接2F與AC的延長線交于。點(diǎn)，若黑=：,求嚕的值.

DEDCD

【答案】(1)證明：???AF，AE,

AZFAG+ZCAE=90°,

???ZCAE+ZCEA=90°,

AZFAG=ZCEA,

在4AGF和4ACE中，

(^AGF=zC\

乙FAG=ZCEA,

(AF=AE/

???△AGF^AECA(AAS).

(2)證明:如圖,作FH_LAC,

B

由（1）知4AHF^AACE,

.?.FH=AC,AH=CE,

,:BC=AC,

AFH=BC,

在^FHG和4BCG中，

ZFGH=ZBGC\

ZFHG=ZBCG，

.FH=BC/

???△FHG絲△BCG(AAS),

ACG=HG,

VCG=AC-AG=4-3=1,

???HG=1,

:.AH=AC-CG-HG=4-1-1=2,

ACE=AH=2,

VBC=4,

?*.E為BC的中點(diǎn).

(3)解：如圖，作FHJ_AC,交AC的延長線于一點(diǎn)H,

由⑴知4AHF^AECH,

AAH=CE,

設(shè)BC=4,BE=3,

ACE=BC+BE=7,

AAH=7,

VAC=BC=4,

ACH=AH-AC=7-4=3,

由題(2)知4FHD^ABCD,

3

ACD=DH=-，

2

Q11

AAD=AC+CD=4+-=—,

22

11Q

AAD：CD=—：-=11:3.

22

6.如圖1,AACB為等腰三角形，/-ABC=90°,點(diǎn)P在線段BC上(不與B、C重合)，以AP為腰長

作等腰直角APAQ,QE14B于E.

(1)求證：APAB=AQE；

(2)連接CQ交48于M,若PC=2PB,求焉的值.

(3)如圖2,過Q作QFJ.4Q于AB的延長線于點(diǎn)F,過P點(diǎn)作DPJ.AP交AC于D,連接DF,

當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)(不與B.C重合)，式子空?的值會(huì)變化嗎？若不變，求出該值；若變化,

DF

請說明理由..

【答案】(1)證明：???△ACB為等腰三角形，NABC=90。，點(diǎn)P在線段BC上(不與B,C重合)，以AP為

腰長作等腰直角4PAQ,QE±ABTE.

，AP=AQ,ZABQ=ZQEA=90°,ZQAE+ZBAP=ZBAP+ZAPB=90°,

AZQAE=ZAPB,

在ZkPAB和△AQE中，

ZABQ=ZQEA

{ZQAE=ZAPB

AQ=PA

.,.△PAB^AAQE(AAS)

(2)解：VAPAB^AAQE,

AAE=PB,

VAB=CB,

AQE=CB.

在^QEM和^CBM中，

ZQME=ZCMB

{ZQEM=ZCBM

QE=CB

，AQEM^ACBM(AAS),

???ME=MB,

VAB=CB,AE=PB,PC=2PB,

ABE=PC,

VPC=2PB,

APC=2MB,

?PC

??麗=2N

(3)解：式子與手的值不會(huì)變化.

DF

如下圖所示：作HALAC交QF于點(diǎn)H,

VQA1AP,HA±AC,AP1PD,

???NQAH+NHAP=NHAP+NPAD=90。，ZAQH=ZAPD=90°,

AZQAH=ZPAD,

VAPAQ為等腰直角三角形，

AAQ=AP,

在△AQH和△APD中,

ZAQH=ZAPD

{AQ=AP

ZQAH=ZPAD

，ZXAQHg△APD(ASA),

AAH=AD,QH=PD,

VHA1AC,ZBAC=45°,

:.ZHAF=ZDAF,

在^AHF和^ADF中，

AH=AD

{4HAF=zDAF

AF=AF

.,.△AHF^AADF(SAS),

AHF=DF,

..Q--F---D-P-Q--F---Q--H-=—HF=14

DF=HFHF

7.如圖，在RtAZBC中，Z.BAC=90°,AB=AC,M是AC邊上的一點(diǎn)，連接BM,作AP_LBM于點(diǎn)

P,過點(diǎn)C作AC的垂線交AP的延長線于點(diǎn)E.

(1)如圖1,求證：AM=CE；

⑵如圖2,以AM,BM為鄰邊作^AMBG,連接GE交BC于點(diǎn)N,連接AN,求普的值；

AN

(3)如圖3,若M是AC的中點(diǎn)，以AB,BM為鄰邊作團(tuán)4GMB,連接GE交BC于點(diǎn)M,連接AN,經(jīng)探

究發(fā)現(xiàn)黑=；請直接寫出警的值.

BC8AN

【答案】(1)解：證明

AP1BM,???ZAPB=90°

???ZABP+ZBAP=90°

vZBAP+乙CAE=90°

zCAE=zABP

vCE1AC,???zBAM=zACE=90°

???AB=AC,???△ABM=△CAE(ASA)

CE=AM

(2)解：過點(diǎn)E作CE的垂線交BC于點(diǎn)F

圖2

???ZFEC=90°

???AB=AC,ZBAC=90°

???zACB=zABC=45°

,:4ACE=90°,:.ZFCE=45°

???ZCFE=ZFCE=45°

???CE=EF/EFN=135°

???四邊形AMBG是平行四邊形

???AM=BG,zABG=zBAC=90°

???zGBN=ZABG+zABC=135°

???ZGBN=ZEFN

由(1)得△ABM=△CAE

二AM=CE,BG=CE=EF

???ZBNG=ZFNE

/.△GBNdEFN(AAS)

???GN=EN

vAG//BM

???ZGAE=zBPE=90°,?,?AN=1GE.

2

GE「

:,—=2.

AN

(3)解：如圖，延長GM交BC于F,連接AF

圖3

在0ABMG中，ABnGM,△ABM三△MGA,

:.4AMG=ZBAC=90°,

AZGMC=ZACE=90°,

GF//CE,

vAM=MC,

???BF=CF,

vAB=AC,

/.AF1BC,AF=|BC,

,??絲=」，設(shè)CN=x,貝?。軧C=8x,AF=FC=4x,FN=3x,

BC8

22

???在Rt△AFN中，AN=VAF+FN=5X，

在RtAABM中，AB=^BC=^x8x—4V2x>AM--AB=25/2x

???BM=VAB2+AM2=J(4&x)2+(2伍尸=2V10x，

???AG=BM=2V10x,

由(1)知△ABM^ACAE,

???△CAE=△MGA

:.AE=AG,

在RtAAEG中，EG=VAE2+AG2=V2AG=V2x2A/10X=4A/5X,

.GE_4yf5x_4V5

―?

AN5x5

8.如圖1,AABC中，點(diǎn)D,E,F分別在邊AB,BC,AC上，BE=CE,點(diǎn)G在線段CD上，CG=CA,

GF=DE,ZAFG=ZCDE?

(1)填空：與NCAG相等的角是o

(2)用等式表示線段AD與BD的數(shù)量關(guān)系，并證明；

⑶若NBAC=90。，NABC=2NACD(如圖2),求居的值。

r.ZCAG=ZCGA,

故答案為：ZCGA；

(2)解：AD=|BD,理由是:

如圖，

在CG上取點(diǎn)M,使GM=AF,連接AM,EM,

VZCAG=ZCGA,AG=GA,

.??△AGM/△GAF(SAS),

???AM=GF,ZAFG=ZAMG,

?；GF=DE,ZAFG=ZCDE,

???AM=DE,ZAMG=ZCDE,

???AM〃DE,

???四邊形AMED為平行四邊形，

AAD=EM,AD〃EM,

VBE=CE,即點(diǎn)E為BC中點(diǎn),

???ME為ABCD的中位線，

???AD=ME=iBD；

(3)解：延長BA至點(diǎn)N,使AD=AN,連接CN,

VZBAC=ZNAC=90°,

???AC垂直平分DN,

ACD=CN,

AZACD=ZACN,

設(shè)NACD=a=NACN,則NABC=2a,

則NANC=90-a,

???ZBCN=180-2a-(90-a)=90-a,

???BN=BC,即^BCN為等腰三角形，

設(shè)AD=1,則AN=1,BD=2,

，BC=BN=4,AB=3,

**?AC=VBC2—AB2=y/7，

?AC"

.?—=—.

AB3

9.如圖，在RtAABC中，/.ACB=90°,AC=4,BC=2,Rt^ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到

Rt^A'B'C,A'C與AB交于點(diǎn)D.

(1)如圖，當(dāng)A'B'//AC時(shí)，過點(diǎn)8作BE1A'C,垂足為E,連接4E.

①求證：AD=BD；

②求S^ACE的值;

SAABE

⑵如圖，當(dāng)4'CIAB時(shí)，過點(diǎn)。作。M〃&B',交B匕于點(diǎn)N,交4c的延長線于點(diǎn)M,求絲

NM

的值.

【答案】⑴①丁Rt△ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到RtAA'B'C,

；?ZA=ZA\

VNB'“AC

AZACA=ZA\

AZACA=ZA,

.?.AD=CD,

VZACD+ZBCD=90°,ZA+ZABC=90°

:.ZBCD=ZABC

???BD=CD

②???ZBCD=ZABC=ZCEM,ZACB=ZBEC=ZEMC=90°

AAACB^ABEC^ACME,BC=2,ACM

BC_EC_EM21

AC-BC-CM42

設(shè)CE=x,在Rt^CEB中，BE=2x,BC=2,

則（2x）2+x2=22

解得x=越即EC=辿，BE=延

555

同理可得：EM=I

1延4

BE=-X=-

EC255

1124

SAACE=-AC-EM=ix4x-=-

2255

SAABC=i-AC-BC=ix4x2=4

22

4412

SAABE=SAABC-SAACE-SABEC4----=—

555

（2）在RSABC中，BC=2,ACM,

則AB=環(huán)不=2遮

:.ix2x4=-x2V5xCD

22

解得：CD=|V5

VZA=ZBCD,NADONBDC

/.△ADC^ABDC

ACD2=BDAD

即（2）2=（2限AD）,AD

解得：AD=1V5

DM〃AB'J/A'=ZCDM,NA'CB'=NDAN

???△CDNs/XCAB

，端=淺,即CN=^B，C=^X2=|巡

VZADC=ZAZCB=90°

，CN〃AB

MN_CNp/5i

DMAD=1V5=4

DM,

——=4

NM

10.已知：AABC的高AD所在直線與高BE所在直線相交于點(diǎn)F.

(1)如圖1,若AABC為銳角三角形，且"BC=45。，AD=BD,過點(diǎn)F作FG||BC,交直線AB于

點(diǎn)G,請直接寫出FG、DC、AD之間的數(shù)量關(guān)系：;

(2)如圖2,若/.ABC=135°,過點(diǎn)F作FG||BC,交直線AB于點(diǎn)G,探究FG、DC、AD之間滿

足的數(shù)量關(guān)系并加以證明；

(3)在(2)的條件下，將一個(gè)45。角的頂點(diǎn)與點(diǎn)B重合并繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，這個(gè)角的兩邊分別交線段FG于M、

N兩點(diǎn)(如圖3),連接CF,線段CF分別與線段BM、線段BN、線段BG相交于P、Q、H三點(diǎn).

①探究^ACD,乙FBM,乙NBG之間數(shù)量關(guān)系并加以證明；

②求證：力器+器=1?

【答案】⑴結(jié)論：FG+DC=AD.

理由：如圖1

.\ZADC=ZBDF=90°,ZBAD=45°,

AAD=BD,

vAD1BC,BE1AC,

???ZC+ZDBF=90°,ZC+ZDAC=90°,

AZDBF=ZDAC,

/.ABDF^AADC(ASA),

ADF=DC,

,:FG〃BD,

/.ZAFG=ZADB=90°,

ZAGF=ZABD=45°,

AFG=AF,

:.FG+DC=AF+DF=AD,

故答案為：FG+CD二AD.

⑵解：結(jié)論：FG=DC+BD；理由如下:

如圖2

圖2

所示：v4ABe=135°,

ZABD=45°,

???AD1BC,

???ZADB=90°,

vFG〃BD,

/.zAFG=90°,zG=45°,

???△ABD和△AGF都是等腰直角三角形，

AAD=BD,AF=FG,

VAC±BF,

???ZCEB=90°,

???ZC+ZCBE=90°,

VZC+ZDAC=90°,ZCBE=ZDBF,

/.ZDAC=ZDBF,

???4ADC=ZBDF=90。，

，△ADCBDF(ASA),

ADC=DF,

，AF=DF+AD=DC+AD,

:.FG=DC+AD.

(3)解：①解：結(jié)論：ZACD=ZFBM+ZNBG.

理由：如圖3中，

圖3

過點(diǎn)B作BTLFG于T.

???ZBTG=90°,

vZG=45°,

???ZTBG=45°,

??ZMBN=45°,

AZMBT+ZNBT=ZNBT+ZGBN=45°,

AZMBT=ZGBN,

JZFBM+ZGBN=ZFBM+ZMBT=ZFBT,

VBC/7FG,

.\ZFBD=ZBFT,

VZECB+ZEBC=90°,ZBFT+ZFBT=90°,zEBC=Z.FBD

AZECB=ZFBT,

:.ZACD=ZFBM+ZNBG.

②證明：z\ACF中，CD,FE是三角形的高，

/.AH±CF,

.四二S-BCFBE=S-ACBBD_S-ABF

（

"AH-SaACFEF-SaACF'CD-SAACF（

BEBD

.吧I|—SABCF+SAACB+SAABF=SAACF=]

AHFECDSAACFSAACF

11.如圖，AACB為等腰三角形，NABC=90。，點(diǎn)P在線段BC上（不與B,C重合），以AP為腰長作等腰

直角△PAQ,ZPAQ=90°,QE±AB于E.

（1）求證：△PAB^AAQE；

⑵連接CQ交AB于M,若PC=2PB,求黑的值；

MB

【答案】（1）證明：??,△ACB為等腰三角形，NABC=90。，點(diǎn)P在線段BC上（不與B,C重合），以AP為

腰長作等腰直角4PAQ,QELAB于E.

.?.AP=AQ,NABP=NQEA=90。，ZQAE+ZBAP=ZBAP+ZAPB=90°,

/.ZQAE=ZAPB,

在ZkPAB和△AQE中，

ZABQ=ZQEA

{ZQAE=ZAPB,

AQ=PA

:.APAB^AAQE(AAS)；

(2)解：:由⑴知,△PAB^AAQE,

???AE=PB,

VAB=CB,

???QE=CB.

在△QEM和△CBM中，

ZQME=ZCMB

{ZQEM=ZCBM,

QE=CB

???AQEM^ACBM(AAS),

???ME=MB,

VAB=CB,AE=PB,PC=2PB,

，BE=PC,

,:PC=2PB,

APC=2MB,

???—=2.

MB

12.已知