四開環(huán)系統(tǒng)頻率特性繪制new

第四節(jié)開環(huán)系統(tǒng)頻率特性的繪制3/1/20241開環(huán)系統(tǒng)極坐標(biāo)頻率特性的繪制（奈氏圖）開環(huán)系統(tǒng)對數(shù)坐標(biāo)頻率特性的繪制（波德圖）非最小相位系統(tǒng)的頻率特性本節(jié)主要內(nèi)容3/1/20242一、開環(huán)系統(tǒng)極坐標(biāo)頻率特性的繪制（繪制奈氏圖）開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性或由典型環(huán)節(jié)的頻率特性組合而成，或是一個有理分式，不論那種形式，都可由下面的方法繪制。使用MATLAB工具繪制。將開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性寫成或 的形式，根據(jù)不同的算出或可在復(fù)平面上得到不同的點并連之為曲線。（手工畫法）。[繪制方法]：極坐標(biāo)圖的特點是除增益以外的部分決定極坐標(biāo)圖的形狀，而增益決定圖形的大小。實際繪圖時極坐標(biāo)圖畫的都是近似曲線。具體來講是根據(jù)幅頻特性和相頻特性確定起點(對應(yīng)w=0)和終點(對應(yīng)w=∞)；根據(jù)實頻特性和虛頻特性確定與坐標(biāo)軸的交點；然后按w從小到大的順序用光滑曲線連接即可。必要時可再求一些中間的點幫助繪圖3/1/20243[例5-1]設(shè)開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性為：試列出實頻和虛頻特性的表達式。當(dāng)繪制奈氏圖。解：當(dāng)時，找出幾個特殊點（比如，與實、虛軸的交點等），可大致勾勒出奈氏圖。為了相對準(zhǔn)確，可以再算幾個點。3/1/20244

0-1.72-5.770

0-0.79

03.8510.80.20相角：

-180-114.62

-90-56.3100.80.20用上述信息可以大致勾勒出奈氏圖。3/1/20245下圖是用Matlab工具繪制的奈氏圖。3/1/20246[例5-2]設(shè)開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性為：試?yán)L制極坐標(biāo)特性曲線。[解]：[分析]1、當(dāng)時，顯然，當(dāng)時，的漸進線是一條通過實軸點，且平行于虛軸的直線。2、與實軸的交點。令：，解得：，這時：3、當(dāng)時，，漸進線方向向下。3/1/202473/1/20248[具有積分環(huán)節(jié)的系統(tǒng)的頻率特性的特點]：頻率特性可表示為：其相角為：當(dāng)時，當(dāng)時，

顯然，低頻段的頻率特性與系統(tǒng)型數(shù)有關(guān)，高頻段的頻率特性與n-m有關(guān)。3/1/20249下圖為0型、Ⅰ型和Ⅱ型系統(tǒng)在低頻和高頻段頻率特性示意圖：（0型）（Ⅰ型）（Ⅱ型）低頻段頻率特性n-m=3n-m=1n-m=2高頻段頻率特性中頻部分，可計算一些特殊點的來確定。如與坐標(biāo)的交點等。3/1/202410增加零極點對極坐標(biāo)圖形狀的影響設(shè)K3/1/202411⒈增加有限極點設(shè)3/1/202412設(shè)3/1/202413結(jié)論：假如G(s)增加n個有限負極點(時間常數(shù)形式)，則G(jw)的極坐標(biāo)圖在w=0時幅值不變；在w→∞時順時針轉(zhuǎn)過np/2(弧度)。3/1/202414⒉增加在原點處的極點設(shè)在w取有限值時與坐標(biāo)軸無交點。3/1/202415設(shè)在w取有限值時與坐標(biāo)軸無交點。3/1/202416結(jié)論：假如G(s)乘上因子1/sn，則G(jw)的極坐標(biāo)圖順時針轉(zhuǎn)過np/2(弧度)。并且只要在原點處存在極點，極坐標(biāo)圖在w=0的幅值為無窮大。3/1/202417⒊增加有限零點設(shè)3/1/202418設(shè)3/1/202419與沒有零點的極坐標(biāo)圖比較知：交點更靠近原點，且當(dāng)w→∞時，極坐標(biāo)圖趨于原點時的相角為-180°。3/1/2024203/1/202421二、開環(huán)系統(tǒng)對數(shù)坐標(biāo)頻率特性的繪制（繪制波德圖）開環(huán)系統(tǒng)頻率特性為：（寫成時間常數(shù)形式）3/1/202422幅頻特性：相頻特性：且有：

由以上的分析可得到開環(huán)系統(tǒng)對數(shù)頻率特性曲線的繪制方法：先畫出每一個典型環(huán)節(jié)的波德圖，然后各圖相加。3/1/202423[例]：開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：，試畫出該系統(tǒng)的波德圖。[解]：該系統(tǒng)由四個典型環(huán)節(jié)組成。一個比例環(huán)節(jié)，一個積分環(huán)節(jié)兩個慣性環(huán)節(jié)。手工將它們分別畫在一張圖上。然后，在圖上相加。3/1/202424實際上，畫波德圖不用如此麻煩。注意到：幅頻曲線由折線（漸進線）組成，在轉(zhuǎn)折頻率處改變斜率。

確定和各轉(zhuǎn)折頻率，并將這些頻率按小大順序依次標(biāo)注在頻率軸上；

確定低頻漸進線：，就是第一條折線，其斜率為，過點（1，20logk）。實際上是k和積分的曲線。具體步驟如下：將頻率特性寫為時間常數(shù)形式。3/1/202425

高頻漸進線的斜率為：-20(n-m)dB/dec。

相頻特性還是需要點點相加，才可畫出。遇到（一階慣性）時，斜率下降-20dB/Dec;遇到（二階慣性）時，斜率下降-40dB/Dec;

畫好低頻漸進線后，從低頻開始沿頻率增大的方向，每遇到一個轉(zhuǎn)折頻率改變一次分段直線的斜率：遇到（一階微分）時，斜率增加+20dB/Dec;遇到（二階微分）時，斜率增加+40dB/Dec;3/1/202426[例5-3]系統(tǒng)開環(huán)特性為：試畫出波德圖。則:[解]：1、該系統(tǒng)是0型系統(tǒng)，所以2、低頻漸進線：斜率為，過點（1，20）3、波德圖如下：3/1/202427紅線為漸進線，蘭線為實際曲線。3/1/202428[例5-4]已知，試畫波德圖。[解]：1、2、低頻漸進線斜率為，過（1，-60）點。4、畫出波德圖如下頁：3、高頻漸進線斜率為：3/1/202429紅線為漸進線，蘭線為實際曲線。3/1/202430[例5-5]具有延遲環(huán)節(jié)的開環(huán)頻率特性為：，試畫出波德圖。[解]：

可見，加入了延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)其幅頻特性不變，相位特性滯后了。3/1/202431例：已知，畫出其對數(shù)坐標(biāo)圖。解：⒈將傳函寫成時間常數(shù)形式這可以看作是由五個典型環(huán)節(jié)構(gòu)成的⒉求20lgK=20dB3/1/202432序號環(huán)節(jié)轉(zhuǎn)折頻率轉(zhuǎn)折頻率后斜率累積斜率1K———2(jw)-1—－20－2030.5－20－4041+jw1+20－20520－40－60注意轉(zhuǎn)折頻率是時間常數(shù)的倒數(shù)⒊列表3/1/202433wwL(w)j(w)2003/1/202434相頻特性w0.10.20.512j(w)-95.8°-104.5°-109.4°-110.4°-106.6°w5102050100j(w)-106.2°-117.9°-181.4°-252.1°-262°3/1/202435三、非最小相位系統(tǒng)的頻率特性在前面所討論的例子中，當(dāng)時，對數(shù)幅頻特性的高頻漸進線的斜率都是-20(n-m)dB/Dec，相頻都趨于。具有這種特征的系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)。具有相同幅頻特性的系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）中，最小相位系統(tǒng)其相角（位）的變化范圍最小，如上表示的。相角變化大于最小值的系統(tǒng)稱為非最小相位系統(tǒng)。3/1/202436定義：在右半S平面上既無極點也無零點，同時無純滯后環(huán)節(jié)的系統(tǒng)是最小相位系統(tǒng)，相應(yīng)的傳遞函數(shù)稱為最小相位傳遞函數(shù)；反之，在右半S平面上具有極點或零點，或有純滯后環(huán)節(jié)的系統(tǒng)是非最小相位系統(tǒng)，相應(yīng)的傳遞函數(shù)稱為非最小相位傳遞函數(shù)。

在幅頻特性相同的一類系統(tǒng)中，最小相位系統(tǒng)的相位移最小，并且最小相位系統(tǒng)的幅頻特性的斜率和相頻特性的角度之間具有內(nèi)在的關(guān)系。對最小相位系統(tǒng)：w=0時j

(w)=-90°×積分環(huán)節(jié)個數(shù)

；

w=∞時j

(w)=-90°×(n-m)

。

不滿足上述條件一定不是最小相位系統(tǒng)。滿足上述條件卻不一定是最小相位系統(tǒng)。3/1/202437例：有五個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下。系統(tǒng)的幅頻特性相同。3/1/202438設(shè)，可計算出下表，其中為對數(shù)坐標(biāo)中與的幾何中點。w1/10T11/T11/T210/T2j1(w)-5.1°-39.3°-54.9°-39.3°-5.1°j2(w)-6.3°-50.7°-90°-129.3°-173.7°j3(w)6.3°50.7°90°129.3°173.7°j4(w)5.1°39.3°54.9°39.3°5.1°j5(w)-5.7°-45°-73°-96.6°-578.1°3/1/202439由圖可知最小相位系統(tǒng)是指在具有相同幅頻特性的一類系統(tǒng)中，當(dāng)w從0變化至∞時，系統(tǒng)的相角變化范圍最小，且變化的規(guī)律與幅頻特性的斜率有關(guān)系(如j1(w)

)。最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)而非最小相位系統(tǒng)的相角變化范圍通常比前者大(如j2(w)、j3(w)、j5(w))；或者相角變化范圍雖不大，但相角的變化趨勢與幅頻特性的變化趨勢不一致(如j4(w))。3/1/202440最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)在最小相位系統(tǒng)中，對數(shù)頻率特性的變化趨勢和相頻特性的變化趨勢是一致的（幅頻特性的斜率增加或者減少時，相頻特性的角度也隨之增加或者減少），因而由對數(shù)幅頻特性即可唯一地確定其相頻特性。伯德證明，對于最小相位系統(tǒng)，對數(shù)相頻特性在某一頻率的相位角和對數(shù)幅頻特性之間存在下述關(guān)系：式中j

(w0)為系統(tǒng)相頻特性在觀察頻率w0處的數(shù)值，單位為弧度；u=ln(w/w0)為標(biāo)準(zhǔn)化頻率；A=ln|G(jw)|；dA/du為系統(tǒng)相頻特性的斜率，當(dāng)L(w)的斜率等于20dB/dec時，dA/du

=1；函數(shù)為加權(quán)函數(shù)，曲線如圖3/1/202441最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)上述公式稱為伯德公式。該式說明對于最小相位系統(tǒng)，其幅頻特性與相頻特性緊密聯(lián)系的，當(dāng)給定了幅頻特性，其相頻特性也隨之而定，反之亦然。因此，可只根據(jù)幅頻特性（或只根據(jù)相頻特性）對其進行分析或綜合；而非最小相位系統(tǒng)則不然，在進行分析或綜合時，必須同時考慮其幅頻特性與相頻特性。在u=0(w=w0)時；在u=±2.3，即在w0上下十倍頻程處，；偏離此點，函數(shù)衰減很快。即相頻特性在w0處的數(shù)值主要決定于在w0附近的對數(shù)幅頻特性的斜率。在u=±0.69（在w0上下倍頻程處，；3/1/202442

對于最小相位系統(tǒng)，幅值特性和相位特性之間具有唯一對應(yīng)關(guān)系。這意味著，如果系統(tǒng)的幅值曲線在從零到無窮大的全部頻率范圍上給定，則相角曲線被唯一確定，反之亦然；而非最小相位系統(tǒng)則不然，在進行分析或綜合時，必須同時考慮其幅頻特性與相頻特性。非最小相位系統(tǒng)情況可能發(fā)生在兩種不同的條件下。一是當(dāng)系統(tǒng)中包含一個或多個非最小相位環(huán)節(jié)；另一種情況可能發(fā)生在系統(tǒng)存在不穩(wěn)定的內(nèi)部小回路。

一般來說，右半平面有零點時，其相位滯后更大，閉環(huán)系統(tǒng)更難穩(wěn)定。因此，在實際系統(tǒng)中，應(yīng)盡量避免出現(xiàn)非最小相位環(huán)節(jié)。3/1/202443最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)例：已知最小相位系統(tǒng)的漸近幅頻特性如圖所示，試確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，并寫出系統(tǒng)的相頻特性表達式。解：⒈由于低頻段斜率為-20dB/dec所以有一個積分環(huán)節(jié)；⒉在w=1處，L(w)=15dB，可得

20lgK=15，K=5.6⒊在w=2處，斜率由-20dB/dec變?yōu)?40dB/dec，故有慣性環(huán)節(jié)1/(s/2+1)⒋在w=7處，斜率由-40dB/dec變?yōu)?20dB/dec，故有一階微分環(huán)節(jié)(s/7+1)3/1/202444最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)例：已知最小相位系統(tǒng)的漸近幅頻特性如圖所示,試確定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解：⒈由于低頻段斜率為-40dB/dec所以有兩個積分環(huán)節(jié)；⒉在w=0.8處，斜率由-40dB/de