微積分 第七版 課件 4.4 不定積分第一換元積分法則

1第四節(jié)

不定積分第一換元積分法則本節(jié)學習目標010203熟練掌握推廣的不定積分基本公式理解不定積分第一換元積分法則能熟練進行不定積分湊微分法計算一、不定積分第一換元積分法則直接應用不定積分基本運算法則與基本公式求解不定積分的數(shù)量是很有限的,因此應該擴大不定積分基本公式的應用范圍.如考慮不定積分∫2xdx=x2+c其中積分變量為自變量x.若積分變量不為自變量x,而為中間變量u=u(x),問不定積分∫2udu=u2+c是否還成立?31.不定積分第一換元積分法則引入2.不定積分第一換元積分法則不定積分第一換元積分法則內(nèi)容如果不定積分∫f(x)dx=F(x)+c函數(shù)u=u(x)可導,且一階導數(shù)u'(x)連續(xù),則對于中間變量u同樣有不定積分∫f(u)du=F(u)+c4不定積分第一換元積分法則證明證:由于不定積分∫f(x)dx=F(x)+c從而一階導數(shù)F'(x)=f(x)根據(jù)§2.7函數(shù)微分表達式,得到微分dF(x)=F'(x)dx=f(x)dx5根據(jù)§2.7定理2.4關(guān)于微分形式不變性的結(jié)論,對于中間變量u同樣有微分dF(u)=f(u)du等號兩端皆取不定積分,得到不定積分∫dF(u)=∫f(u)du6這個法則說明:在積分變量為自變量x的不定積分表達式中,若將自變量記號x換成中間變量記號u,則不定積分表達式仍然成立.再根據(jù)§4.1定理4.3,所以不定積分∫f(u)du=F(u)+c7二、推廣的不定積分基本公式

對于§4.2不定積分基本公式,應用不定積分第一換元積分法則,得到推廣的不定積分基本公式:公式1

∫0du=0+c

公式5

∫eudu=eu+c8公式6

∫sinudu=-cosu+c公式7

∫cosudu=sinu+c公式8

∫sec2udu=tanu+c公式9

∫csc2udu=-cotu+c

9推廣的不定積分基本公式由于中間變量u作為自變量x的函數(shù)u=u(x)有無窮多個,因此每一個不定積分基本公式推廣為無窮多個不定積分公式,擴大了不定積分基本公式的應用范圍.10三、不定積分第一換元積分法則常見情況

不定積分第一換元積分法則主要能夠解決一部分但不是全部復合函數(shù)的不定積分,在計算復合函數(shù)的不定積分時,應該按照推廣的不定積分基本公式的被積函數(shù)形狀引進中間變量u,分解復合函數(shù)同時注意到不定積分第一換元積分法則要求不定積分被積表達式為乘積f(u)du,說明復合函數(shù)f(u)應對中間變量u求不定積分才能得到結(jié)果,因而應在所求復合函數(shù)的不定積分中,通過湊微分作恒等變形,將自變量x的微分dx與中間變量u的微分du建立聯(lián)系11以符合不定積分第一換元積分法則的要求,再應用推廣的不定積分基本公式求解,并將原函數(shù)表示為自變量x的函數(shù).根據(jù)中間變量u與自變量x的函數(shù)關(guān)系類型,

分下列兩種基本情況討論復合函數(shù)的不定積分.121.第一種基本情況所求不定積分為∫f(ax+b)dx

(a,b為常數(shù),且a≠0)其中被積函數(shù)的對應關(guān)系f為§4.2不定積分基本公式中某個被積函數(shù)的對應關(guān)系.這時應該引進中間變量u=ax+b,它是自變量x的線性函數(shù),在求解過程中須應用§4.3線性湊微分.13例1求不定積分∫(x+2)10dx.解:被積函數(shù)為復合函數(shù)y=(x+2)10,將它分解為y=u10與u=x+2應用線性湊微分得到微分dx=d(x+2)=du14再應用推廣的不定積分基本公式2求解,所以所求不定積分∫(x+2)10dx=∫u10du

15在運算熟練后,可以在心中引進中間變量u,而不必寫出來,只需寫出湊微分過程,同時在心中應用推廣的不定積分基本公式,計算復合函數(shù)f(u)對中間變量u的不定積分,并將原函數(shù)表示為自變量x的函數(shù),這種寫法稱為標準寫法應用不定積分第一換元積分法則求解不定積分皆應采用標準寫法,例1的標準寫法為∫(x+2)10dx=∫(x+2)10d(x+2)

16例2

17例3求不定積分∫e-xdx.解:∫e-xdx=-∫e-xd(-x)=-e-x+c18例4求不定積分∫sin6xdx.解:∫sin6xdx

19例5

(被積函數(shù)分子、分母同除以4)

202.第二種基本情況所求不定積分為∫f(u(x))u'(x)dx其中被積函數(shù)一個因式的對應關(guān)系f為§4.2不定積分基本公式中某個被積函數(shù)的對應關(guān)系,另一個因式u'(x)為§4.3非線性湊微分中等號左端微分dx的系數(shù).這時應該引進中間變量u=u(x),它是自變量x的非線性函數(shù),在求解過程中須應用§4.3非線性湊微分.21例6

22例7求不定積分∫x2(x3-1)10dx.解:∫x2(x3-1)10dx

23例8

24例9

25例10

=ln|lnx|+c26例11

=arcsinex+c27例12求不定積分∫tanxdx.解:∫tanxdx

=-ln|cosx|+c28例13若沒有給出被積函數(shù)的具體表達式,只要符合條件,則同樣可以應用不定積分第一換元積分法則求解.求不定積分∫sinxcosxdx解:∫sinxcosxdx=∫sinxd(sinx)

29例14

根據(jù)不定積分第一換元積分法則,所以所求不定積分

=∫f'(lnx)d(lnx)=f(lnx)+c30例15若函數(shù)F(x)可導,且一階導數(shù)F'(x)=f(x),則不定積分∫f(ex)exdx=(

).(a)F(x)+c (b)F(x)ex+c(c)F(ex)+c (d)F(ex)ex+c31解:由于一階導數(shù)F'(x)=f(x),說明函數(shù)F(x)為f(x)的一個原函數(shù),因而有不定積分∫f(x)dx=F(x)+c根據(jù)不定積分第一換元積分法則,有不定積分∫f(u)du=F(u)+c引進中間變量u=ex,并應用非線性湊微分exdx=d(ex),因而所求不定積分∫f(ex)exdx=∫f(ex)d(ex)=F(ex)+c此題答案為：(c)32例16已知不定積分∫f(x)dx=F(x)+c,則不定積分∫F(x)f(x)dx=

.

解:由于被積函數(shù)為原函數(shù)的一階導數(shù),根據(jù)已知不定積分表達式,得到被積函數(shù)f(x)=F'(x)根據(jù)不定積分第一換元積分法則,所求不定積分∫F(x)f(x)dx=∫F(x)F'