遼寧省名校聯盟2022-2023學年高考模擬調研卷（一）數學

絕密★啟用前

2023年普通高等學校招生全國統一考試模擬試題

數學（一）

本試卷共4頁，22小題，滿分150分?？荚囉脮r120分鐘。

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.設全集U={—2,0,-1,1,2},集合y=lg（2-x）+/——,8={-1,1},則

()

A.{-2,0}B.{-2,2}C.{-2,0,2}D.{0,1,2}

2.己知復數z=2—i,且I—az+b=i,,其中a,b為實數,則a—b=（）

A.-2B.0C.2D.3

3.已知向量0,B夾角的余弦值為—（，且同=4,|可=1,則-24=（）

A.—36B.-12C.6D.36

4.為慶祝中國共產主義青年團成立100周年，某高中團委舉辦了共青團史知識競賽（滿分100分），其中高

一、高二、高三年級參賽的共青團員的人數分別為800,600,600.現用分層抽樣的方法從三個年級中抽取

樣本，經計算可得高一、高二年級共青團員成績的樣本平均數分別為85,90,全校共青團員成績的樣本平均

數為88,則高三年級共青團員成績的樣本平均數為（）

A.87B.89C.90D.91

5.己知拋物線Cy2=2px（p>0）的焦點為R點M在C上，點工（一多0）,若以刈=乎陽01則

cosZ.MFA=()

V2百

A.±—B.±—D

22-4

6.古印度數學家婆什伽羅在《麗拉沃蒂》一書中提出如下問題：某人給一個人布施，初日施2子安貝（古印

度貨幣單位），以后逐日倍增，問一月共施幾何？在這個問題中，以一個月31天計算，記此人第〃日布施了

?！白影藏悾ㄆ渲小╡N*）,數列{4}的前〃項和為S”.若關于〃的不等式5“-62<。3-以用

恒成立，則實數，的取值范圍為（）

A.（-oo,7）B.（-oo,15）C.（-oo,16）D.（-oo,32）

7.在三棱錐“一中，AB=BC=CD=DA=272,ZADC=ZABC=90°,平面Z8C_L平面/CO,三

棱錐N-88的所有頂點都在球。的球面上，E,F分別在線段08,8上運動（端點除外），BE=OCF

.當三棱錐E-4C歹的體積最大時，過點尸作球。的截面，則截面面積的最小值為（）

3

A.71B.6兀C.一71D.2兀

2

X2

8.已》知雙曲線C:―T—1（a>0,b>0）的左、右焦點分別為丹，B，M,N在C上，且

a~b2

1MH叫卜|耳61，而+2取=而？，則C的離心率為（）

6+2A/3+I

A.2+^3B.3-V3X-z?D.-----

32

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部

選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.已知a〉0>b〉c,則（）

11,,a-b八,,

A.—<—B.ab>acC.1g----<0D.b2<c2

aba-c

10.如圖，在直三棱柱Z6C-4月￡中，ZABC^90°,4B=BC=3,BB】=網,E,尸分別滿足

率=2瓦,B^F=2FC],則()

A.E,F,A,8四點共面B.81cl_平面8E尸

C.異面直線NE與所成的角大于60°D.存在過的平面與平面E尸C平行

11.某中學積極響應國家“雙減”政策，大力創(chuàng)新體育課堂，其中在課外活動課上有一項“投實心球”游

戲，其規(guī)則是：將某空地劃分成①②③④四塊不重疊的區(qū)域，學生將實心球投進區(qū)域①或者②一次，或者投

進區(qū)域③兩次，或者投進區(qū)域④三次，即認為游戲勝利，否則游戲失敗.已知小張同學每次都能將實心球投

進這塊空地，他投進區(qū)域①與②的概率均為p投進區(qū)域③的概率是投進區(qū)域①的概率的4倍,

每次投實心球的結果相互獨立.記小張同學第二次投完實心球后恰好勝利的概率為修，第四次投完實心球后

恰好勝利的概率為尸2,則（）

八1

A.0<p<—B.[=16/

6

C.鳥=12(p+36P3-12叫D.若《<￡,則P的取值范圍為

12.已知函數/(x),g(x)的定義域均為R.且滿足/(x)—g(2—x)=3,g(x)+/,(x—4)=5,

g(4-x)+g(x)=0,則()

A./(x)-/(x-2)=2B.g⑵=0

40

C.y=g(x)的圖像關于點(3,1)對稱D.Z/")=—710

k=\

三、填空題：s本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.一成)的展開式中除常數項外的各項系數和為.

14.過三點/(-2,0),B(-4,2),C(2,-2)中的兩點且圓心在直線y=3x上的圓的標準方程為

.(寫出一個滿足條件的方程即可)

15.已知函數/(x)=2cos(ox—(co>0,<yeZ)在區(qū)間內單調，在區(qū)間內不單

調，則。的值為.

16.已知x=玉和x=w是函數/'(X)=e'-〃房-2023(〃?eR)的兩個極值點，且々之？為，則用的取值

范圍是.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(10分)

記正項數列｛%｝的前n項積為7；

(1)證明：數列｛7；｝是等差數列;

4拉+4

(2)記“=(-1)"求數列｛a｝的前2〃項和$2”.

京

18.(12分)

記△/BC的內角力,B,C的對邊分別為“，b,c,已知2sin8sinCcos/+cos/=3sin24-cos(8-C)

(1)證明：2a-b=c；

3

(2)若b+c=2,cosA=-9求△/8C的面積.

5

19.(12分)

如圖，在四棱錐尸一48C。中，底面Z6CD為直角梯形，AB//CD,ADLCD,AD.LPA,

AB=AD=2CD=2,PA=PB=42.

(1)證明：平面平面尸4D；

（2）求直線尸/與平面尸8c所成角的正弦值.

20.（12分）

5G技術對社會和國家十分重要，從戰(zhàn)略地位來看，業(yè)界一般將其定義為繼蒸汽機革命、電氣革命和計算機革

命后的第四次工業(yè)革命.某科技公司生產一種5G手機的核心部件，下表統計了該公司2017-2021年在該部

件上的研發(fā)投入x（單位：千萬元）與收益y（單位：億元）的數據，結果如下：

年份20172018201920202021

研發(fā)投入X23456

收益y23334

（1）求研發(fā)投入x與收益y的相關系數，,（精確到0.01）;

（2）由表格可知y與x線性相關，試建立y關于x的線性回歸方程，并估計當x為9千萬元時，該公司生產

這種5G手機的核心部件的收益為多少億元；

（3）現從表格中的5組數據中隨機抽取2組數據并結合公司的其他信息作進一步調研，記其中抽中研發(fā)投入

超出4千萬元的組數為X,求X的分布列及數學期望.

一■一祖其一力

參考公式及數據：對于一組數據（巧,乂）（i=l,2,3,〃），相關系數尸=——且一

,其回歸直線3=及+3的斜率和截距的最小二乘估計分別為務=『；-------------，a=y-bx,

Z（x.-x）2

/=]

后a2.236.

21.（12分）

已知橢圓。：二+4=1（a>h>0）的右焦點為R過F作一條直線交C于H,S兩點，線段RS長度的最

ab~

小值為3,C的離心率為工.

2

（1）求C的方程；

（2）不過C的左頂點/的直線/與C相交于尸，0兩點，且直線/P與40的斜率之積恰好等于試問

直線/是否過定點？若過定點，求出該定點的坐標；若不過定點，請說明理由.

22.（12分）

已知函數/(x)=ar(x-l)-lnx(GR).

(1)當4=2時，求曲線歹=/(x)在點(1J(1))處的切線方程；

(2)若函數g(x)=/(x)+；x(2-ax)有兩個不同的零點，求a的取值范圍.

數學(一)

一、選擇題

1.B【解析】由已知得4={0,1},所以4口8={-1,0,1},故?(/口6)={—2,2}.故選B項.

2.C【解析】由題意得2+i—a(2—i)+6=i,即(2—2a+b)+(l+a)i=i,所以|十一解得

4=0,

\所以。一6=2.故選C項.

b=—2,

3.A【解析】

(a-ft)-(6-2a)=a-6-2a2-62+2a-6=3a-6-ft2-2a2=3x4xlxf-lj-l-2xl6=-36.故選A

項.

4.C【解析】設高三年級共青團員成績的樣本平均數為無，則800*600290+600x=&&,解得》=90

800+600+600

.故選C項.

5.B【解析】由題意知點N為C的準線與x軸的交點，如圖，過點M作MN垂直于準線于點N,令

\FM\=2a,則|411|=氐，由拋物線之的定義可得=\FM\^2a,所以cosZAMN=%J=,

所以sin乙小團V=走.又MN〃AF,所以NMAF=NAMN,所以sin/K4E=且.在△4W中，由正

55

ax

\AM\smAMAF^s1

弦定理得卜inNMAF=|FA/|sinNMFA,所以sinNA/E4=J——L——----=-------L=_,所以

\FM\2a2

cosZ.MFA=±J1-f-^-1=~~~?故選B項.

6.B【解析】由題意可知，數列｛%｝是以2為首項，2為公比的等比數列，故%=2"(1W〃W31),所以

,,+|2,,+2n+1

S,二2012).=2"+1_2.由S?-62<a^-tan+l,得2-64<2-r2,整理得

1—2

，〈六+2.一1對任意1W〃W31,且恒成立，又岳+2川—尸N"+i-1=15,當且僅當

2),+|=8,即〃=2時等號成立，所以f〈15,即實數f的取值范圍是(—oo,15).故選8項.

7.C【解析】如圖，取ZC的中點O,連接。尸，OB,因為NADC=ZABC=90°,所以

OA=OB=OC=OD=-AC,即。為球心，則球。的半徑R=2.又AB=BC,所以O8_LZC,又平面

2

/8C_L平面力8,平面平面NCZ)=4C,所以08_L平面NCD設CF=x,則8E=Jix<2,所以

0<x<>/2,所以三棱錐E-NCF的體積

?]]]12J?Y1

V=—S^ACFxOE=—x—xCFxADxOE=—x—xxx2>/2x^2-V2xj=—j=--x———+—

x/2?

當x=一時，p取得最大值一.由于04=08=OC=OD,在△CO口中，由余弦定理得

23

OF7OC?+CF2—2OCCFcosN。CF=碼,根據球的性質可知，當。尸垂直于截面時，截面圓的面

2

積最小，設此時截面圓的半徑為r,所以r==^產=1彳?[=等，則截面面積的最小值為

2(新丫3…百

冗丫,=71——=—冗.故選項.

I2J2C

D

8.D【解析】由|"用=加耳卜忻鳥|可知，點凡是的外心，由而+2布=就得

F^+F\N=MN+NF1=-^\M,即耳鼻+耶^+麗=。，所以點Q是△Mg的重心，所以△MNB是

等邊三角形，由對稱性可知MN，*F2.且16〃卜|耳"|=2。，NMF1N=120°,不妨設A/在第二象限，所

以點用的橫坐標為一c—2c?cos60°=—2c,縱坐標為2c-sin60。=百c,故點A/JGGC）.又點M在雙

丫21J4/023/°24r2^\c~

曲線彳=1（。>0,6>0）上，所以胃—會=1,即今—-51=1,整理得4c4-8。2/+/=0

a1b2a1b2a2c2-a2

,所以4e4—8e2+l=0,解得e2=2主8,所以e=4l±1,又e>i,所以e=1±L故選D項.

222

二、選擇題

9.BCD【解析】對于A項，->0>-,故A項錯誤；對于B項，由。>0與3>c,得ab>ac,故B項正

ah

確；對于C項，由題a>0>%>c,得一b<一c,所以0<a—6<a—c,所以0<紇2<1,所以電色二2<（）

a-ca-c

，故C項正確；對于D項，由題得0<—6V—c,所以（一6）2<（—c）2,即b2V。2,故D項正確.故選BCD

項.

10.ABD【解析】對于A項，由題得空=芻￡,所以打〃4瓦，又AB〃&B],所以E/〃所

EC、FCj

以E,F,以"四點共面,A項正確；對于B項,易知tan幺CB嘿邛…幺如普邛

,所以tan/BiCButan/BiB/7,所以N8iCB=NBf凡所以NB<B+NFBC=NB】BF+NFBC=90°,所

以FBLBC，易證得EFcFB=F,所以囪C,平面8ERB項正確；對于C項，易知/小ZE

為異面直線4E與3田所成的角，而tan/4/E=qO=^=￥<E=tan60。，所以///E<60。，

C項錯誤；對于D項，因為4sz平面EFC,EFu平面EFC,所以48〃平面瓦C,故存在

過的平面與平面EFC平行，D項正確.故選ABD項.

11.AC【解析】小張同學投進區(qū)域③的概率為的，投進區(qū)域④的概率為1—6p,故0Vp<16,A項正確；

小張同學第二次投完實心球后，恰好游戲過關包含“第一次未投中區(qū)域①或者②，第二次投中區(qū)域①或者

②”和“第一次與第二次均投中區(qū)域③”兩個事件，則概率6=(1—2p)x2p+(4p)2=2p+l2P2,8項錯

誤；第四次投完實心球后，恰好游戲勝利，則游戲勝利需前三次投完后有一次投進區(qū)域③且有兩次投進區(qū)域

④，因此6=C；x4p(l—6p)2=12(36/-i2p2+p),c項正確；

g_6=]2(36p3_]2p2+p)_2(p+6p2)=432p3_[56p2+[0p=2pQ]6p2_78p+5)=2p(]2p_]).([8p_5)

,令2P(12p—l)(18p—5)>0,得0<p<」-或』<p<l,又0<p<,，所以0<p<,，D項錯誤.故

1218612

選AC項.

12.BC【解析】因為g(4—x)+g(x)=O,所以y=g(x)的圖像關于點(2,0)對稱，所以g(2-x)=-g(x+2),因

為g(x)+/-4)=5,所以g(x+2)+_/(x-2)=5,即g(x+2)=5-/(x-2),因為")一g(2-x)=3,所以外)+

g(x+2)=3,代入得益)+[5—/-2)]=3,即段)一/-2)=-2,A項錯誤；因為定義域為R的函數g(x)的

圖像關于點(2,0)對稱，所以以2)=0,B項正確；因為g(x)+j(x-4)=5,所以g(x+4)+/(x)=5,與；(x)-g(2

—x)=3,聯立得g(x+4)+g(2—x)=2,所以y=g(x)的圖像關于點(3,1)對稱，C項正確；由y(x)—g(2—x)=

3，得大0)-g(2)=3,即<0)=3,火2)=-2+x0)=1.因為g(x+4)+g(2-x)=2,所以2g(3)=2,所以g

(3)=1,所以/(1)=3—g(3)=2.記冊=/(2"T),b“=j(2n),則數列｛%｝是以2為首項，―2為公差的

等差數列，數列也｝是以1為首項，―2為公差的等差數列，故冊=2+(〃-1)(-2)=-2〃+4,與=1+(〃一

1)(-2)=—2〃+3,所以￡/(%)=￡/+￡〃,=20(2—36)+20(1-37)二一,。。,D項錯誤.故選BC

￡=i?=i?=i22

項.

三、填空題

13.—5231【解析】02-靠)展開式的通項公式為心=新，廣[翥[=(_3)'C；H\令

7r/,

14-y=0,得廠=6,則展開式的常數項是4=36(3；=5103.令X=l,得展開式中各項系數和為(1—3)7

=-128,所以展開式中除常數項外的各項系數和為-128—5103=-5231.

14.。-2)2+。―6)2=52或(x+1)2+3+3)2=10或(X-1)2+8—3/=26(寫出符合要求的一個答案即可)【解

-4+2

析】若圓過4B兩點,則線段的中垂線方程為歹一1=一々一鼠—(x+3),即夕=x+4,與y=3x聯立得

圓心坐標為(2,6),半徑為[(2+2)2+6?=2屈,所以圓的標準方程為(x—2)2+。-6)2=52；若圓過Z,

C兩點，則線段4C的中垂線方程為夕—(―1)=一2一(一2)一即卜=以—1,與y=3x聯立得圓心坐標為(一

—2—0

1，-3),半徑為J(—1+2)2+(—3)2=屈,所以圓的標準方程為(x+1)2+8+3)2=10；若圓過8,C兩

點，則線段8c的中垂線方程為y=—樸+即^=_|(工+1),與y=3尤聯立得圓心坐標為(1,

3),半徑為J(l+4)2+(3—2『=回,所以圓的標準方程為a-1)2+3-3)2=26.

Trmn471

15.2【解析】依題意得絲一上>0,即。>一CDX——€

4333

(07171、.

------------->K71,

山..兀/..x.7、

(7tCD712CDz33

所以I------,--------1J=(左],萬+左萬)(左￡Z),則(kwZ),解得

2冗①71’,

---------------<7T+K7r

33

344

1+2H—k(keZ),令k=0,則而?！狄?，故一〈G42,又①ez,所以co=2,經檢

233

驗，①=2符合題意.

16.[言，+8【解析】./''(x)=e、—2加X,故X=X|和X=X2是函數/(x)=0的兩個零點，即是方程ex-2/wx

=0的兩個根，又八0)=1,所以為#0,、2—0，所以X=X1和是方程2〃2=—的兩個根，所以函數

X

g(x)=￡的圖像與直線y=2加有兩個不同的交點，且交點的橫坐標分別為X1,X2.由于g'(x)=9m

，所以當x<0或0<x<l時，g'(x)<0,當x>l時，g'(x)>0,故g(x)在區(qū)間(-8,0),(0,1)內單調遞減,

在區(qū)間(1,+8)內單調遞增，且當x>o時，g(x)mn=g(l)=e,作出g(x)的圖像如圖所示：

e'e'

由圖可知》[,必>0，且2〃z>e,因為X223工1，所以取'2=31],并令為=《/>0),則必=33所以一二—，

t3t

In3

解得/=也，止匕時2加=型二=22叵，故〃?之正，即心的取值范圍是正,+oo.

2In3In3In3[in3,

四、解答題

12T2

17.(1)證明：由題意得j=%(〃22),因為一二1一一,所以二人=1一一(〃22),即1]=北一2(〃2

a

T〃-inTnTnTn

2),所以北1T=2("22).

i2

當”=1時，m=/,所以一=1一一,解得看=3,故｛7；｝是以3為首項，2為公差的等差數列.

T、T、

(2)解：由(1)可知，7；=3+(〃—l)x2=2〃+l,所以

4/?+4_/y,4n+411)

4=(-1)"7X+1)(2〃+1)(2〃+3)一(一)'[2n+i+2n+3),所以

1114/7

一一5+4〃+3

4M+312M+9

18.(1)證明：由題意得2sin3sinCcos/-3sin2/=cos(8+C)-cos(8-C),

即2sin8sinCcos/—3sin2/=-2sin8sinC,由正、余弦定理得2bc"一_一3a2=-2bc,

2hc

整理得〃+/+2bc=4/,即(6+C)2=4/,又Q>0,b>0,c>0,所以6+c=2a,所以2〃一b=c.

b+c34

(2)解：由(1)得〃=----=1,由cosZ=一得sin4=一,

255

76

由余弦定理得/=b2+c2-2bccosA=[b+-2bc--bc,

即1=4一3be,所以bc=S,

516

所以△NBC的面積S=」bcsin/=Lx"x9=3.

221658

19.(1)證明：因為尸不+依2=4=/82,所以月IJ_PB.

因為AB//CD,所以

又ABcPA=A,

所以/O_L平面尸”，又PBu平面P4B,所以尸8LW,

又PACAD=A,所以尸8_L平面尸4).

因為P8u平面P8D,所以平面尸8D_L平面P/D.

(2)解：取中點0,連接尸O,0C,由尸WPOLAB,

又/Z)_L平面P/8,POu平面尸所以4)_LP。，又ADCAB=A,所以尸0_L平面N8CZ),又OB,

OCu平面/BCD,所以PO_LO8,PO1OC.

由。為的中點，AB=2CD,四邊形/BCD是直角梯形，可知四邊形/0C。為矩形，所以O8_LOC.

以O為坐標原點，OB,OC,而的方向分別為x,y,z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則8(1,0,0),C(0,2,0),P(0,0,1),A(-I,0,0),PJ=(-l,0,-l),PS=,

5C=(-l,2,0).

—.、m-PB=0\a—c=0,—

設平面P8C的法向量為〃?=(a,b,c),貝火______，則4令b=l,則加=(2,1,2).

mBC=0[-a+2b=0,

/—?-\\PA-tn\2J2

設直線產/與平面P8C所成的角為仇則sin6=cos(。/,機)=__.n-=--------，

2

即直線尸/與平面PBC所成角的正弦值為」.

2+3+4+5+6“-2+3+3+3+4

20.解:(1)由題可得嚏-------------=4,尸--------------=3，

55

=74+1+0+1+4=710,

=V1+0+0+0+1=\[2，

.￡”)(")4

(2)因為6=上一------------=—0.4,a=y-bx=3-0.4x4=1.4,

10

1=1

所以y關于x的線性回歸方程為y=0.4x+1.4.

當x=9時，、=04x9+1.4=5,所以此時該公司生產這種5G手機的核心部件收益估計為5億元.

(3)易知X的可能取值為0,1,2,

2

P(x=o)=詈■《，P(X=1)C'C13P(X=2)=^Q-=-1

c25\'C；10

所以x的分布列為

X012

331

P

To5To

4

所以E(X)=0X---F1X--1-2X--

105105

a1=4,

21.解:（1）根據題意得〈；,，解得＜

a-一價b1=3,

I-a~24

所以C的方程為工+匚=1.

43

（2）由（1）可知4（-2,0）,當直線/斜率存在時，設直線/方程為歹="+加，尸但，刈），0（必，乃），

y=kx+m,

聯立《/y2消去y整理得(3+4?2卜2+8《加工+4m2-12=0,A=48(4A:2-w2+3)>0,

---F-=1,

143

.8km4m2-12

所rr以ri=-訴

3+4k2

因為上"?的。=一,，所以

nr/JJ/

22

卜女凹為例+”?kx2+mkxxx2+km(x,+x2)+m1

APIQ

x,+2X2+2X]+2x2+2xtx2+2(x,+x2)+42

2

24m-128km]2

k+km3+4/1+"

3+4公]_

所以

4w2—12.(8km、.2

------^+2------