備考2024屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第十章計數(shù)原理概率隨機變量及其分布第6講離散型隨機變量及其分布列數(shù)字特征

第6講離散型隨機變量及其分布列、數(shù)字特征課標要求命題點五年考情命題分析預(yù)測了解離散型隨機變量的概念，理解離散型隨機變量分布列及其數(shù)字特征（均值、方差）.離散型隨機變量分布列的性質(zhì)本講是高考的命題熱點，常以實際問題為情境，與計數(shù)原理、古典概型等知識綜合命題，考查離散型隨機變量的分布列、均值與方差，以解答題為主，有時也以選擇題、填空題的形式進行考查，難度中等.預(yù)計2025年高考會著重考查本講知識的實際應(yīng)用.離散型隨機變量的分布列及數(shù)字特征2022全國卷甲T19；2021新高考卷ⅠT18；2021新高考卷ⅡT21；2019全國卷ⅠT21利用均值與方差進行決策2021新高考卷ⅠT181.離散型隨機變量一般地，對于隨機試驗樣本空間Ω中的每個樣本點Ω，都有①唯一的實數(shù)X（Ω）與之對應(yīng)，我們稱X為隨機變量.可能取值為有限個或可以一一列舉的隨機變量，稱為離散型隨機變量.隨機變量一般用大寫英文字母表示，例如X，Y，Z.隨機變量的取值一般用小寫英文字母表示，例如x，y，z.2.離散型隨機變量的分布列一般地，設(shè)離散型隨機變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，我們稱X取每一個值xi的概率P（X＝xi）＝pi，i＝1，2，…，n為X的概率分布列，簡稱分布列.離散型隨機變量的分布列可以用表格或圖形表示.3.離散型隨機變量分布列的性質(zhì)（1）pi②≥0，i＝1，2，…，n；（2）p1＋p2＋…＋pn＝③1.4.離散型隨機變量的均值與方差一般地，若離散型隨機變量X的分布列為Xx1x2…xnPp1p2…pn則稱E（X）＝④x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝∑i=1nxipi為隨機變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)期望簡稱期望稱D（X）＝（x1－E（X））2p1＋（x2－E（X））2p2＋…＋（xn－E（X））2pn＝⑤∑i=1nxi－EX2pi為隨機變量X的方差，有時也記為Var（X），并稱D（X）為隨機變量X5.均值與方差的性質(zhì)若Y＝aX＋b，其中a，b是常數(shù)，X，X1，X2是隨機變量，則（1）E（aX＋b）＝⑧aE（X）＋b，D（aX＋b）＝⑨a2D（X）；（2）E（X1＋X2）＝E（X1）＋E（X2），D（X）＝E（X2）－[E（X）]2.1.下列說法錯誤的是（B）A.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，出現(xiàn)正面的次數(shù)是隨機變量B.離散型隨機變量的分布列中，隨機變量取各個值的概率之和可以小于1C.離散型隨機變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的D.隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度，方差或標準差越小，則偏離變量的平均程度越小2.設(shè)X是一個離散型隨機變量，其分布列為X－101P11－qq－q2則q等于（D）A.1 B.22或－22 C.1＋22 解析由離散型隨機變量分布列的性質(zhì)得12+1－q＋3.一臺機器生產(chǎn)某種產(chǎn)品，如果生產(chǎn)出一件甲等品可獲利50元，生產(chǎn)出一件乙等品可獲利30元，生產(chǎn)一件次品要賠20元，已知這臺機器生產(chǎn)出甲等品、乙等品和次品的概率分別為0.6，0.3和0.1，則這臺機器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品，平均預(yù)期可獲利（B）A.36元 B.37元 C.38元 D.39元解析設(shè)這臺機器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品可獲利X元，則X可能取的數(shù)值為50，30，－20，所以P（X＝50）＝0.6，P（X＝30）＝0.3，P（X＝－20）＝0.1，所以這臺機器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品平均預(yù)期可獲利為E（X）＝50×0.6＋30×0.3－20×0.1＝37（元），故選B.4.[多選]設(shè)離散型隨機變量X的分布列為X01234Pq0.40.10.20.2若離散型隨機變量Y滿足Y＝2X＋1，則下列結(jié)果正確的有（ACD）A.q＝0.1 B.E（X）＝2，D（X）＝1.4C.E（X）＝2，D（X）＝1.8 D.E（Y）＝5，D（Y）＝7.2解析因為q＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以q＝0.1，故A正確；又E（X）＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，D（X）＝（0－2）2×0.1＋（1－2）2×0.4＋（2－2）2×0.1＋（3－2）2×0.2＋（4－2）2×0.2＝1.8，故C正確，B錯誤；因為Y＝2X＋1，所以E（Y）＝2E（X）＋1＝5，D（Y）＝4D（X）＝7.2，故D正確.故選ACD.5.若隨機變量X滿足P（X＝c）＝1，其中c為常數(shù)，則D（X）的值為0.解析∵P（X＝c）＝1，∴E（X）＝c×1＝c，∴D（X）＝（c－c）2×1＝0.研透高考明確方向命題點1離散型隨機變量分布列的性質(zhì)例1（1）某射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的分布列如下表：ξ78910Px0.10.3y已知ξ的數(shù)學(xué)期望E（ξ）＝8.9，則y的值為（C）A.0.8 B.0.6 C.0.4 D.0.2解析由題中表格可知x＋0.1＋0.3＋y＝1，7x＋8×0.1＋9×0.3＋10y＝8.9，解得y＝0.4.故選C.（2）[多選]設(shè)隨機變量ξ的分布列為P（ξ＝k5）＝ak（k＝1，2，3，4，5），則（ABA.a＝115 B.P（12＜ξ＜4C.P（110＜ξ＜12）＝215 D.P（ξ＝解析∵隨機變量ξ的分布列為P（ξ＝k5）＝ak（k＝1，2，3，4，5∴P（ξ＝15）＋P（ξ＝25）＋P（ξ＝35）＋P（ξ＝45）＋P（ξ＝1）＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝15a＝1，解得a＝易知P（12＜ξ＜45）＝P（ξ＝35）＝3×115＝易知P（110＜ξ＜12）＝P（ξ＝15）＋P（ξ＝25）＝115＋2×1易知P（ξ＝1）＝5×115＝13，故D方法技巧離散型隨機變量分布列的性質(zhì)的應(yīng)用1.利用“總概率之和為1”可以求相關(guān)參數(shù)的值及檢驗分布列是否正確；2.利用“離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和”求某些特定事件的概率.訓(xùn)練1（1）若隨機變量X的分布列為X－2－10123P0.10.20.20.30.10.1則當P（X＜a）＝0.8時，實數(shù)a的取值范圍是（C）A.（－∞，2] B.[1，2] C.（1，2] D.（1，2）解析由隨機變量X的分布列知，P（X＜1）＝0.5，P（X＜2）＝0.8，故當P（X＜a）＝0.8時，實數(shù)a的取值范圍是（1，2].（2）隨機變量X的分布列如下：X－101Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，則P（｜X｜＝1）＝23，公差d的取值范圍是[－13，13解析因為a，b，c成等差數(shù)列，所以2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，所以b＝13，所以P（｜X｜＝1）＝a＋c＝2又a＝13－d，c＝13＋根據(jù)分布列的性質(zhì)，得0≤13－d≤23，0≤13＋d≤23，所以－13命題點2離散型隨機變量的分布列及數(shù)字特征例2（1）[多選]設(shè)隨機變量ξ的分布列為P（ξ＝k）＝ak+1（k＝1，2，5），a∈R，Eξ,Dξ分別為隨機變量A.P（0＜ξ＜3.5）＝56 B.E（3ξ＋1）＝C.D（ξ）＝2 D.D（3ξ＋1）＝6解析∵P（ξ＝k）＝ak+1（k＝1，2，5），a∈∴P（ξ＝1）＝a1+1＝a2，P（ξ＝2）＝a2+1＝a3，P（ξ＝5）＝a5+1＝a6，∴a2解得a＝1.P（0＜ξ＜3.5）＝P（ξ＝1）＋P（ξ＝2）＝12＋13＝56∵E（ξ）＝1×12＋2×13＋5×16＝2，∴E（3ξ＋1）＝3E（ξ）＋1＝3×2＋1＝7，故B正確；D（ξ）＝12×（1－2）2＋13×（2－2）2＋16×（5－2）D（3ξ＋1）＝32D（ξ）＝9×2＝18，故D錯誤.（2）[2022全國卷甲]甲、乙兩個學(xué)校進行體育比賽，比賽共設(shè)三個項目，每個項目勝方得10分，負方得0分，沒有平局.三個項目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍.已知甲學(xué)校在三個項目中獲勝的概率分別為0.5，0.4，0.8，各項目的比賽結(jié)果相互獨立.①求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；②用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望.解析①設(shè)甲學(xué)校獲得冠軍的事件為A，則甲學(xué)校必須獲勝2場或者3場.P（A）＝0.5×0.4×0.8＋（1－0.5）×0.4×0.8＋0.5×（1－0.4）×0.8＋0.5×0.4×（1－0.8）＝0.6.故甲學(xué)校獲得冠軍的概率為0.6.②X的取值可以為0，10，20，30.P（X＝0）＝0.5×0.4×0.8＝0.16，P（X＝10）＝（1－0.5）×0.4×0.8＋0.5×（1－0.4）×0.8＋0.5×0.4×（1－0.8）＝0.44，P（X＝20）＝（1－0.5）×（1－0.4）×0.8＋0.5×（1－0.4）×（1－0.8）＋（1－0.5）×0.4×（1－0.8）＝0.34，P（X＝30）＝（1－0.5）×（1－0.4）×（1－0.8）＝0.06.所以X的分布列為X0102030P0.160.440.340.06所以E（X）＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13.方法技巧求離散型隨機變量X的均值與方差的步驟（1）理解X的含義，寫出X的全部可能取值；（2）求X取每個值的概率；（3）寫出X的分布列；（4）由均值、方差的定義求E（X），D（X）.訓(xùn)練2[多選]甲、乙兩人進行紙牌游戲（紙牌除了顏色不同，沒有其他任何區(qū)別），他們手里各持有4張紙牌，其中甲手里有2張黑牌，2張紅牌，乙手里有3張黑牌，1張紅牌，現(xiàn)在兩人都各自隨機取出1張牌進行交換，交換后甲、乙手中的紅牌張數(shù)分別為X，Y，則（AD）A.P（X＝2）＝12 B.P（X＝3）＝C.E（X）＝E（Y） D.D（X）＝D（Y）解析記甲取出1張紅牌為事件A，乙取出1張紅牌為事件B，則P（A）＝24＝12，P（B）＝由題意，X的可能取值為1，2，3，且Y＝3－X，則P（X＝1）＝12×34＝38，P（X＝2）＝12×34＋12×14＝12，P（X＝3）＝12×E（X）＝1×38＋2×12＋3×18＝74，E（Y）＝E（3－X）＝3－E（X）＝3－74＝D（Y）＝D（3－X）＝（－1）2D（X）＝D（X），故D正確.故選AD.命題點3利用均值與方差進行決策例3[2021新高考卷Ⅰ]某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題.每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分.已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).（1）若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；（2）為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.解析（1）由題意得，X的所有可能取值為0，20，100，P（X＝0）＝1－0.8＝0.2，P（X＝20）＝0.8×（1－0.6）＝0.32，P（X＝100）＝0.8×0.6＝0.48，所以X的分布列為X020100P0.20.320.48（2）當小明先回答A類問題時，由（1）可得E（X）＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.當小明先回答B(yǎng)類問題時，記Y為小明的累計得分，則Y的所有可能取值為0，80，100，P（Y＝0）＝1－0.6＝0.4，P（Y＝80）＝0.6×（1－0.8）＝0.12，P（Y＝100）＝0.6×0.8＝0.48，所以Y的分布列為Y080100P0.40.120.48E（Y）＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.因為57.6＞54.4，即E（Y）＞E（X），所以為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答B(yǎng)類問題.方法技巧在利用均值和方差的意義去分析、解決實際問題時，一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定.需要注意的是，實際應(yīng)用中是方差大了好還是方差小了好，要看這組數(shù)據(jù)反映的實際問題.訓(xùn)練3[2023湖北荊州中學(xué)模擬]某公司計劃在2023年年初將1000萬元用于投資，現(xiàn)有兩個項目供選擇.項目一：新能源汽車.據(jù)市場調(diào)研，投資到該項目上，到年底可能獲利30％，也可能虧損15％，且這兩種情況發(fā)生的概率分別為79和2項目二：通信設(shè)備.據(jù)市場調(diào)研，投資到該項目上，到年底可能獲利50％，也可能虧損30％，也可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為35，13，（1）針對以上兩個投資項目，請你為投資公司選擇一個合理的項目，并說明理由.（2）若市場預(yù)期不變，該投資公司按照你選擇的項目長期投資（每一年的利潤和本金繼續(xù)用作投資），大約在哪一年年底總資產(chǎn)（利潤＋本金）可以翻一番？（參考數(shù)據(jù)：lg2解析（1）若投資項目一，設(shè)獲利為ξ1萬元（負值表示虧損），則ξ1的分布列為ξ1300－150P72E（ξ1）＝300×79＋（－150）×29若投資項目二，設(shè)獲利為ξ2萬元（負值表示虧損，0表示不賠不賺），則ξ2的分布列為ξ25000－300P311E（ξ2）＝500×35＋0×115＋（－300）×1∴E（ξ