熱學(xué)全套課件

熱物理學(xué)（thermalphysics）是研究有關(guān)物質(zhì)熱運(yùn)動以及與熱現(xiàn)象的科學(xué)。甲骨文：熱手持火把甲骨文：火青銅器

鉆木取火火的利用

熱學(xué)的發(fā)展歷史伽利略空氣溫度計(jì)（16世紀(jì)）收縮、凝固與冷的物質(zhì)接觸

與熱的物質(zhì)接觸膨脹、蒸發(fā)、熔化熱脹冷縮——測溫技術(shù)這個時期累積了大量的實(shí)驗(yàn)和觀察結(jié)果，并制造出了蒸汽機(jī)，對熱的本質(zhì)展開了研究和爭論，為熱力學(xué)理論的建立做好了準(zhǔn)備。十七世紀(jì)末到十九世紀(jì)中葉熱學(xué)的萌芽期瓦特早期蒸汽機(jī)從十八世紀(jì)開始，熱機(jī)發(fā)展極大的促進(jìn)了熱學(xué)的發(fā)展。首先德國斯塔爾（GeorgErnstStahl1660-1734）教授提出熱是一種燃素，后來荷蘭波哈維（HermannBoerhaave）教授甚至說熱是一種物質(zhì)。雖然熱是一種物質(zhì)的說法不正確，但波哈維教授把華氏40度的冷水與同質(zhì)量華氏80度的熱水相混而得華氏60度的水，卻隱約地得到熱量守恒的一個簡單定則；不過對于不同質(zhì)量，甚至不同物質(zhì)的冷熱物體的混合，他就難以解釋了?！盁帷北举|(zhì)的爭論人們長久以來對溫度和熱量的概念混淆不清多數(shù)人以為物體冷熱的程度代表著物體所含熱的多寡。1714年華倫海特改良溫度計(jì)，建立華氏溫標(biāo)，從此熱學(xué)走上了實(shí)驗(yàn)科學(xué)的道路。1740年左右，俄國圣彼得堡科學(xué)院院士克拉夫特（BaronRichardvonKrafft-Ebing）提出冷水、熱水混合的公式。

1750年由德國移民到圣彼得堡的理奇蒙（Richmann）院士也做了一系列熱量的研究，他將不同溫度的水混合，研究熱量的損失，并改進(jìn)克拉夫特的公式。此公式雖不正確，但他卻指出混合前后，熱量要相等的概念。1755年布萊克發(fā)明發(fā)明冰量熱器，并將溫度和熱量區(qū)分為兩個概念。

1789年出生于美國后到英國又到德國而受封的倫福伯爵（CountRumford）（原名BenjaminThompson）在慕尼黑兵工廠監(jiān)督大炮鉆孔，發(fā)現(xiàn)熱是因摩擦而產(chǎn)生，因而斷言，熱不是物質(zhì)而是來自運(yùn)動。另一類的人如虎克，認(rèn)為熱是物質(zhì)各部分激烈的運(yùn)動，牛頓也認(rèn)為熱是粒子的運(yùn)動。1799年英國化學(xué)家，即后來的首任皇家研究院院長戴維（SirHumphryDavy）在維持冰點(diǎn)的真空容器中進(jìn)行摩擦的實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)即使是兩塊冰相互摩擦也有些冰熔化成水，所以他認(rèn)為摩擦引起物體微粒的振動，而這種振動就是熱。十九世紀(jì)中到十九世紀(jì)七○年代末這個時期發(fā)展了熱力學(xué)和分子動理論，這些理論的誕生與熱功當(dāng)量原理有關(guān)。熱功相當(dāng)原理奠定了熱力學(xué)第一定律的基礎(chǔ)，而第一定律和卡諾理論結(jié)合，又導(dǎo)致熱力學(xué)第二定律的形成；熱功相當(dāng)原理跟微粒說結(jié)合則導(dǎo)致了分子運(yùn)動論的建立。另一方面，以牛頓力學(xué)為基礎(chǔ)的氣體動理論也開始發(fā)展。焦耳奠定熱力學(xué)基礎(chǔ)英國物理學(xué)家焦耳奠定了能量守恒定律，為熱力學(xué)的發(fā)展確立基礎(chǔ)。他是第一位研究熱能、機(jī)械能與電能的相互關(guān)系的科學(xué)家，也是第一位發(fā)現(xiàn)氣體自由膨脹時四周溫度會隨之下降的科學(xué)家。第一位把熱力學(xué)第一定律用數(shù)學(xué)形式表達(dá)出來的人接著又提出熱力學(xué)第二定律1854年首次引入熵的概念，1865年發(fā)現(xiàn)熵增加原理1851年第一次運(yùn)用統(tǒng)計(jì)概念導(dǎo)出氣體的壓力公式1858年又引進(jìn)自由程概念，導(dǎo)出了平均自由程公式克勞修斯（Rudolph

Clausius,1822～1888）德國物理學(xué)家，氣體動力論和熱力學(xué)的主要奠基人之一。

英國物理學(xué)家，又稱為熱力學(xué)之父。1848年提出熱力學(xué)溫標(biāo)，是現(xiàn)代科學(xué)上的標(biāo)準(zhǔn)溫標(biāo)，這個溫標(biāo)的特點(diǎn)是它完全不依賴于任何特殊物質(zhì)的物理性質(zhì)，絕對溫度K就來自于他姓氏的縮寫。提出熱力學(xué)第二定律開爾文表述，揭示能量耗散是自然界的普遍趨勢。發(fā)現(xiàn)了焦耳－湯姆孫效應(yīng)，即氣體經(jīng)多孔塞絕熱膨脹后所引起的溫度的變化現(xiàn)象。這一發(fā)現(xiàn)成為獲得低溫的主要方法之一。威廉?湯姆遜（WilliamThomson），開爾文爵士（1824～1907）麥克斯韋（JamesClerkMaxwell1831～1879）偉大的英國物理學(xué)家，經(jīng)典電磁理論的創(chuàng)始人，氣體動力理論創(chuàng)始人之一。1859年用統(tǒng)計(jì)方法得出理想氣體的速度（率）分布律，從而找到了用微觀量求宏觀量的方法。玻爾茲曼

(LudwigEdwardBoltzmann1844.-1906)，奧地利物理學(xué)家，熱力學(xué)和統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的奠基人之一發(fā)展了麥克斯韋的氣體動理論，給出體系的熵和概率的聯(lián)系，闡明了熱力學(xué)第二定律統(tǒng)計(jì)意義，并引出能量均分理論，以及麥克斯韋-波爾茲曼分布。熵可以定義為玻爾茲曼常數(shù)乘以系統(tǒng)分子的狀態(tài)數(shù)的對數(shù)值：S=k㏑Ω熱力學(xué)的一個基本常量k=R/NA

1.38

10-23J

K-1

二十世紀(jì)三○年代至今這個時期主要是由于量子力學(xué)的引進(jìn)而建立了量子統(tǒng)計(jì)力學(xué)，同時非平衡態(tài)理論也有更進(jìn)一步的發(fā)展，形成了近代理論與實(shí)驗(yàn)物理學(xué)中最重要的一環(huán)?！?.1宏觀描述方法與微觀描述方法

熱物理學(xué)（thermalphysics）是研究有關(guān)物質(zhì)熱運(yùn)動以及與熱現(xiàn)象的科學(xué)。一、熱學(xué)的研究對象及其特點(diǎn)熱現(xiàn)象：與溫度有關(guān)的物理性質(zhì)的變化現(xiàn)象。

物質(zhì)的熱狀態(tài)跟大量分子的無規(guī)則運(yùn)動有密切關(guān)系。

跟物體在空間的位置和速度都沒有關(guān)系,而是由物體內(nèi)部的因素所決定的。

每個單獨(dú)分子的運(yùn)動并不能產(chǎn)生熱現(xiàn)象；有了很多的分子，還是不見得產(chǎn)生熱現(xiàn)象；必須很多的分子做無規(guī)則的混亂運(yùn)動，才能產(chǎn)生熱現(xiàn)象；熱學(xué)研究的是大量微觀粒子的無規(guī)則運(yùn)動。熱現(xiàn)象的特點(diǎn)熱是一種比機(jī)械運(yùn)動更復(fù)雜的運(yùn)動形式。

宏觀量：從整體上描述系統(tǒng)的狀態(tài)量，一般可以直接測量。如M、V、E

等----可以累加，稱為廣延量。

P、T

等----不可累加，稱為強(qiáng)度量。微觀量：描述系統(tǒng)內(nèi)微觀粒子的物理量。

如分子的質(zhì)量m、直徑d、速率、動量、動能

等。微觀量與宏觀量有一定的內(nèi)在聯(lián)系。例如,氣體的壓強(qiáng)是大量分子撞擊器壁的平均效果,它與大量分子對器壁的沖力的平均值有關(guān)。宏觀量與微觀量

二、熱學(xué)研究的方法

宏觀描述方法+微觀描述方法熱力學(xué)(宏觀理論)

統(tǒng)計(jì)物理學(xué)(微觀理論)

氣體動理學(xué)理論（統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的主要內(nèi)容）

20

1、宏觀描述方法：熱力學(xué)方法熱力學(xué)：由觀察和實(shí)驗(yàn)總結(jié)出來的熱現(xiàn)象規(guī)律，構(gòu)成熱現(xiàn)象的宏觀理論，叫做熱力學(xué)。以宏觀描述為基礎(chǔ)，應(yīng)用能量守恒，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)事實(shí)，歸納得出幾個基本定律為出發(fā)點(diǎn)的方法。熱力學(xué)方法的優(yōu)點(diǎn)：熱力學(xué)基本定律是自然界中的普適規(guī)律，具有可靠性與普遍性。與熱運(yùn)動有關(guān)的任何宏觀系統(tǒng)，都遵循熱力學(xué)規(guī)律熱力學(xué)的局限性：3、它把物質(zhì)看成為連續(xù)體，不考慮物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu).1、它只適用于粒子數(shù)很多的宏觀系統(tǒng)；2、它主要研究物質(zhì)在平衡態(tài)下的性質(zhì)，它不能解答系統(tǒng)如何從非平衡態(tài)進(jìn)入平衡態(tài)的過程；2.微觀描述方法：統(tǒng)計(jì)物理方法統(tǒng)計(jì)物理學(xué)則是熱物理學(xué)的微觀描述方法：它從物質(zhì)由大數(shù)分子、原子組成的前提出發(fā)，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)的方法，把宏觀物質(zhì)看作由微觀粒子熱運(yùn)動的平均值所決定，由此找出微觀量與宏觀量之間的關(guān)系的方法。

該方法的局限性在于它在數(shù)學(xué)上常遇到很大的困難，由此而作出簡化假設(shè)（微觀模型）后所得到的理論結(jié)果常與實(shí)驗(yàn)不能完全符合。本課程主要討論以下三部分內(nèi)容：注：以后在“熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理”、“固體物理”等課程中還要對熱物理學(xué)的相關(guān)內(nèi)容作更深入的討論。（3）液體、固體、相變等物性學(xué)方面的基本知識。（1）熱力學(xué)基礎(chǔ)；（2）統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的初步知識（以分子動理論的內(nèi)容為主）；24

熱學(xué)內(nèi)容圖析總論熱力學(xué)平衡態(tài)的特征及充要條件熱力學(xué)第零定律、溫度和溫標(biāo)理想氣體定律和狀態(tài)方程熱學(xué)發(fā)展規(guī)律簡史研究對象及方法熱力學(xué)基礎(chǔ)（宏觀理論）分子動理論（微觀理論）熱學(xué)理論的應(yīng)用（物性學(xué)）1、熱力學(xué)第一定律；2、熱力學(xué)第二定律；3、熱機(jī)。1、理想氣體微觀描述的初級理論2、理想氣體分子運(yùn)動的規(guī)律（平衡態(tài)）；3、理想氣體內(nèi)遷移規(guī)律（非平衡態(tài)）。1、實(shí)際氣體、液體、固體的基本性質(zhì)；2、一級相變特征及基本規(guī)律。物質(zhì)的微觀模型25

§1.2熱力學(xué)系統(tǒng)的平衡態(tài)一、熱力學(xué)系統(tǒng)熱力學(xué)系統(tǒng)（簡稱系統(tǒng)）：被確定為研究對象的物體或物體系。孤立系統(tǒng)：與外界既不交換物質(zhì)又不交換能量的系統(tǒng).外界：系統(tǒng)邊界外部.封閉系統(tǒng)：與外界不交換物質(zhì)但可交換能量的系統(tǒng).開放系統(tǒng)：與外界既交換物質(zhì)又交換能量的系統(tǒng).熱力學(xué)與力學(xué)的區(qū)別熱力學(xué)參量：壓強(qiáng)、體積、溫度等熱力學(xué)的目的：基于熱力學(xué)的基本定律力學(xué)的目的：基于牛頓定律（力學(xué)參量）二、平衡態(tài)與非平衡態(tài)

在不受外界影響的條件下，經(jīng)過足夠長時間后系統(tǒng)必將達(dá)到一個宏觀上看來不隨時間變化的狀態(tài)，這種狀態(tài)稱為平衡態(tài)；否則是非平衡態(tài)。真空孤立系統(tǒng)平衡態(tài)的特點(diǎn):1）單一性（溫度處處相等）;2）物態(tài)的穩(wěn)定性——與時間無關(guān)；3）自發(fā)過程的終點(diǎn)；4）熱動平衡（有別于力平衡）.穩(wěn)恒態(tài)：特殊非平衡態(tài)

在有熱流和粒子流的情況下各處的宏觀狀態(tài)均不隨時間變化的狀態(tài)。例如下圖所示的熱傳導(dǎo)：0°C100°C穩(wěn)恒態(tài)非平衡態(tài):系統(tǒng)中存在有宏觀量的流（熱流、粒子流、動量流）時的狀態(tài)。三、熱力學(xué)平衡系統(tǒng)處于平衡態(tài)時應(yīng)不存在熱流與粒子流。熱學(xué)平衡條件力學(xué)平衡條件化學(xué)平衡條件從非平衡態(tài)到達(dá)平衡態(tài)所經(jīng)歷的時間叫馳豫時間。溫度均勻

不考慮重力場時，各處壓強(qiáng)相同組分均勻平衡態(tài)的性質(zhì):

處于平衡態(tài)的系統(tǒng)，可用不含時間的宏觀坐標(biāo)（熱力學(xué)參量）來描述。狀態(tài)參量：描述系統(tǒng)宏觀性質(zhì)的可測量的物理量；狀態(tài)圖：以狀態(tài)參量為坐標(biāo)軸畫出的圖。

注意：只有處于平衡態(tài)的物理上均勻的系統(tǒng)，才可能在狀態(tài)圖（p-V圖、p-T圖）上以一個確定的點(diǎn)表示它的狀態(tài)。

§1.3溫度與溫度計(jì)一、溫度中學(xué)給出的定義：溫度是表示物體冷熱程度的物理量。二、熱力學(xué)第零定律▲當(dāng)兩個物體通過器壁相互接觸時，兩物體的狀態(tài)可以完全獨(dú)立地改變，就稱為絕熱壁。非絕熱的器壁稱為透熱壁。P1V1P2V2絕熱壁P1V1P2V2透熱壁在微觀上，溫度是處于熱平衡系統(tǒng)的微觀粒子熱運(yùn)動強(qiáng)弱程度的度量

物體的狀態(tài)不會發(fā)生任何變化，A與B仍然處于熱平衡(2)互為熱平衡的物體之間必存在一個相同的特征，即它們的溫度是相同的。

第零定律物理意義:(1)指明了比較溫度的方法：用一個標(biāo)準(zhǔn)的物體分別與兩個物體進(jìn)行熱接觸。作為標(biāo)準(zhǔn)的物體就是溫度計(jì)。

熱力學(xué)第零定律：如果兩個物體各自與第三個物體達(dá)到熱平衡，它們彼此也必處在熱平衡。A和B同時與C進(jìn)行熱接觸，經(jīng)過足夠長的時間，A和B將與C達(dá)到熱平衡。CABCAB三、溫標(biāo)一種完全不依賴于測溫物質(zhì)和測溫屬性的非經(jīng)驗(yàn)溫標(biāo).溫標(biāo)是溫度的數(shù)值表示法,是一套用來標(biāo)定溫度數(shù)值的規(guī)則.經(jīng)驗(yàn)溫標(biāo)是以經(jīng)驗(yàn)上某一物質(zhì)特性隨溫度的變化為依據(jù)建立的溫標(biāo).包括攝氏溫標(biāo)、理想氣體溫標(biāo)、華氏溫標(biāo)、蘭氏溫標(biāo)

經(jīng)驗(yàn)溫標(biāo):熱力學(xué)溫標(biāo)(絕對溫標(biāo)):1.經(jīng)驗(yàn)溫標(biāo)建立的三個要素：（1）選擇測溫物質(zhì)，確定它的測溫屬性；（2）選定固定點(diǎn)：對于水銀溫度計(jì)，若選用攝氏溫標(biāo)(由瑞典天文學(xué)家攝爾修斯于1742年建立)，則以冰的正常熔點(diǎn)定為0℃,水的正常沸點(diǎn)定為100℃。（3）進(jìn)行分度，即對測溫屬性隨溫度的變化關(guān)系作出規(guī)定攝氏溫標(biāo)將0℃到100℃間等分為100小格,每一小格為1℃。注意：選擇不同測量物質(zhì)或不同測溫屬性所確定的經(jīng)驗(yàn)溫標(biāo)并不嚴(yán)格一致。

攝氏溫標(biāo)：攝氏溫標(biāo)的規(guī)定是：在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓（1.01325×105帕）下，冰的熔點(diǎn)（即固液共存的溫度）為0℃，水的沸點(diǎn)為100℃，中間劃分為100等份，每等份為1℃。

1742，瑞典天文學(xué)家安德斯.攝爾休斯（AndersCelsius，1701-1744）提出。1714年德國物理學(xué)家華倫海脫（Fahrenhit）建立用“tF”表示，這是世界上第一個經(jīng)驗(yàn)溫標(biāo)。

華氏溫標(biāo)：

華氏溫標(biāo)的規(guī)定是：在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，冰的熔點(diǎn)為32℉，水的沸點(diǎn)為212℉，中間有180等分，每等分為華氏1度。與攝氏溫標(biāo)關(guān)系：人體的正常體溫：370C-98.60F2

、理想氣體溫標(biāo)

以氣體為測溫物質(zhì)，利用理想氣體狀態(tài)方程中體積（或壓強(qiáng)）不變時壓強(qiáng)（或體積）與溫度成正比關(guān)系所確定的溫標(biāo)，稱為理想氣體溫標(biāo)，即分為定體及定壓氣體溫度計(jì)兩種。

理想氣體溫標(biāo)是根據(jù)氣體在極低壓強(qiáng)下所遵從的普遍規(guī)律來確定的，是利用氣體溫度計(jì)來定標(biāo)的。

例：定體氣體溫度計(jì)a)一定質(zhì)量在氣體的體積保持不變時，氣體的壓強(qiáng)變化反映了溫度的變化b)

測溫時，移動壓強(qiáng)計(jì)右臂M’，使左臂水銀面在不同測量溫度時始終固定在o處，保持氣體體積不變。測溫泡氣體的壓強(qiáng)，由水銀面的高度差h和右臂上的大氣壓求得.▲國際上規(guī)定熱力學(xué)溫標(biāo)為基本溫標(biāo)；在理想氣體溫標(biāo)適用的范圍內(nèi)，熱力學(xué)溫標(biāo)就可通過理想氣體溫標(biāo)來實(shí)現(xiàn)。3、熱力學(xué)溫標(biāo)▲絕對溫標(biāo)、開氏溫標(biāo)：1824年Kelvin發(fā)明，符號是K

通過測熱量來測溫，不依賴任何測溫物質(zhì)和測溫屬性。是由卡諾熱機(jī)的效率來定義的（確定溫度比值）（參見§5.2.3）▲只需選定一個溫度參考點(diǎn)：規(guī)定水的三相點(diǎn)0.010C為273.16K與攝氏溫度換算為：K=℃+273.15

▲攝氏溫度相差10C，熱力學(xué)溫度也相差1K.汽點(diǎn)三相點(diǎn)冰點(diǎn)絕對零度英美等國使用671.67491.69491.670TRR蘭氏溫標(biāo)英美等國使用212.0032.0232.00-459.67tFF華氏溫標(biāo)國際通用100.000.010.00-273.15tC攝氏溫標(biāo)國際通用T=T373.15273.16273.150TK熱力學(xué)溫度通用情況與熱力學(xué)溫度的關(guān)系固定點(diǎn)的溫度值符號單位溫度四種溫度的對照表§1.4物態(tài)方程一、物態(tài)方程

不管系統(tǒng)狀態(tài)如何改變，給定的系統(tǒng)，處于平衡態(tài)的各熱力學(xué)參量之間存在確定的函數(shù)關(guān)系；

描述系統(tǒng)平衡態(tài)的各熱力學(xué)參量之間函數(shù)關(guān)系的方程，稱為物態(tài)方程。對于簡單系統(tǒng)：對于復(fù)雜系統(tǒng)：二、壓縮系數(shù)、體膨脹系數(shù)、壓強(qiáng)系數(shù)熱膨脹

狀態(tài)方程有3個變量，若某一變量保持不變，其它兩個變量可以建立微商關(guān)系（這就是偏微商）,因而可由狀態(tài)方程求得反映系統(tǒng)的重要特性的三個系數(shù)：1、等溫壓縮系數(shù)

表示在溫度不變條件下壓縮系統(tǒng)，單位壓強(qiáng)變化所引起的體積的相對變化。

由于物質(zhì)受壓時其體積一般總是要縮小的,而等溫壓縮系數(shù)應(yīng)該大于零，所以有個負(fù)號。熱膨脹現(xiàn)象

通常氣體、液體和固體的線度及體積均隨溫度升高而增加，這就是熱膨脹現(xiàn)象。2、體膨脹系數(shù)

表示在系統(tǒng)壓強(qiáng)不變的條件下，單位溫度變化所引起的體積的相對變化。

由于物體具有3維結(jié)構(gòu),在體積增大的同時必然伴隨有線度的增加,這一性質(zhì)是由線膨脹系數(shù)來表示的

對于各個方向的物理性質(zhì)均相同物質(zhì),在一級近似情況下,體膨脹系數(shù)與線膨脹系數(shù)之間有如上關(guān)系。

p=3

蓋—呂薩克定律P一定，一定質(zhì)量的氣體的體積隨溫度線性變化V0：0oC的體積體膨脹系數(shù)Vｔ/oC0V0-273.15實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)氣體質(zhì)量越少，氣體越稀薄時3、壓強(qiáng)系數(shù)

表示在系統(tǒng)體積不變的條件下，單位溫度變化所引起的壓強(qiáng)的相對變化。查里定律V一定，一定質(zhì)量的氣體的壓強(qiáng)隨溫度線性變化Ｐ0：0oCpｔ/oC0p0實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)氣體質(zhì)量越少，氣體越稀薄時-273.15a.玻意耳—馬略特定律T一定，一定質(zhì)量的氣體、

PV=常數(shù)b.蓋—呂薩克定律P一定，一定質(zhì)量的氣體的體積隨溫度線性變化c.查里定律V一定，一定質(zhì)量的氣體的壓強(qiáng)隨溫度線性變化氣體狀態(tài)改變的實(shí)驗(yàn)定律絕對零度：-273.15oC熱力學(xué)溫度：以絕對零度為起點(diǎn)的溫度用熱力學(xué)溫度來表示蓋—呂薩克定律、查里定律結(jié)合玻意耳—馬略特定律與攝氏溫度換算為：K=℃+273.15

的氣體，稱為理想氣體。三、理想氣體物態(tài)方程在氣體壓強(qiáng)趨近于零的極限情況下的氣體，稱為理想氣體。理想氣體物態(tài)方程

pV=

RT

——普適氣體常量在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，1摩爾任何氣體的體積為1atm=101325Pa阿伏伽德羅常量NA

6.02

1023mol-1

普適氣體常量R

8.31J

mol-1

K-1玻爾茲曼常量k=R/NA

1.38

10-23J

K-1

例1

有一帶有活塞的容器中盛有一定量的氣體，如果壓縮氣體并對它加熱，使它的溫度從27℃升到177℃，體積減少一半，求氣體壓強(qiáng)變化多少？

解：例2.

一水銀氣壓計(jì)，當(dāng)水銀柱高度為0.76m時，管頂離水銀柱液面為0.12m。管的截面積為2.0

10-4m2。當(dāng)有少量氦氣混入水銀管內(nèi)頂部，水銀柱高度下降為0.60m。此時溫度為27℃，試計(jì)算有多少質(zhì)量氦氣在管頂？（氦氣的摩爾質(zhì)量為0.004kg/mol，0.76m水銀柱壓強(qiáng)為1.013

105Pa）解完混合理想氣體物態(tài)方程P=1RT/V+

2RT/V+···+

nRT/V=P1+P2+···+Pn

變形除V

得：混合理想氣體的壓強(qiáng)等于各組分的分壓強(qiáng)之和。上式叫做道爾頓分壓定律。分體積定律

混合氣體組分i的分體積Vi，是該組分氣體單獨(dú)存在并具有與混合氣體相同溫度和壓強(qiáng)時占有的體積.V=1RT/p+

2RT/p+···+

nRT/p=V1+V2+···+Vn

變形除P得：混合氣體體積等于各組分的分體積之和，這一規(guī)律叫做分體積定律。

請注意：p=

pi、V=

Vi、

=

i、N=

Ni、n=

ni、M=

Mi、

=

i,這些等式都成立。

例3.

一體積為1.010-3m3容器中，含有4.010-5kg的氦氣和4.010-5kg的氫氣，它們的溫度為30℃，試求容器中的混合氣體的壓強(qiáng)。解：完習(xí)題1.4.8，P.54分析：將活塞打開后，兩容器的氣體達(dá)到力學(xué)平衡后壓強(qiáng)相等，但溫度不等。因此A、B中的氣體處于不同的平衡態(tài)體系，應(yīng)分別作為研究對象，不能整體作為一個研究對象。應(yīng)根據(jù)混合前后物質(zhì)的量守恒列方程。解：§1.5物質(zhì)的微觀模型一、物質(zhì)由大數(shù)分子組成

物質(zhì)由大數(shù)分子所組成的論點(diǎn)是指宏觀物體是不連續(xù)的，它由大量分子或原子（離子）所組成。

大家知道，1mol物質(zhì)中的分子數(shù)，即阿伏伽德羅常量

NA=6.02×1023/mol

利用掃描隧道顯微鏡技術(shù)把一個個原子排列成IBM字母的照片.二、分子熱運(yùn)動的例證分子（或原子）處于永不停息的熱運(yùn)動中。（1）擴(kuò)散

擴(kuò)散現(xiàn)象是人們熟知的一種現(xiàn)象，氣體和液體中的擴(kuò)散現(xiàn)象是分子熱運(yùn)動所致。

固體中的擴(kuò)散現(xiàn)象通常不大顯著，只有高溫下才有明顯效果。（2）布朗運(yùn)動

英國植物學(xué)家布朗（Brown）于1827年在顯微鏡下觀察到的懸浮在液體中的花粉微粒在做的不規(guī)則的雜亂運(yùn)動。

溫度越高,布朗運(yùn)動越劇烈；微粒越小，布朗運(yùn)動越明顯。

布朗運(yùn)動并非分子的運(yùn)動，但它能間接反映出液體（或氣體）內(nèi)分子運(yùn)動的無規(guī)則性。粒子數(shù)越少漲落越顯著

可以證明：在粒子可以自由出入的某空間范圍內(nèi)的粒子數(shù)的相對漲落反比于系統(tǒng)中的分子數(shù)N的平方根

若任一隨機(jī)變量M

的平均值為 ，則M

在附近的偏差 ，顯然=0，但方均偏差不等于零其相對方均根偏差稱為漲落漲落現(xiàn)象:

偏離統(tǒng)計(jì)平均值的現(xiàn)象61

三、分子間的吸引力與排斥力

rfo力分子斥力

引力

1、吸引力和排斥力在r=r0

時分子力為零，相當(dāng)于兩分子剛好“接觸”，

r0的大小約等于分子小球的直徑大小。62

rfo力分子斥力

引力

1）分子間的力是近距離力▲只有當(dāng)分子質(zhì)心相互接近到某一距離內(nèi)，分子間相互吸引力才較顯著,把這一距離稱為分子吸引力作用半徑。▲很多物質(zhì)的分子引力作用半徑約為分子直徑的兩倍左右(r引=2r0),超過這一距離,分子間相互作用力已很小,可予忽略。

2）分子力是電磁力，而非萬有引力；

3）分子力是保守力，具有勢能，稱分子作用力勢能。▲排斥力作用半徑就是兩分子剛好接觸時兩質(zhì)心間的距離，它約等于分子的直徑(r斥=r0

）。隨分子質(zhì)心間距離減小而急劇增大。2.分子力和分子熱運(yùn)動(形成一對矛盾)

分子間的相互吸引力、排斥力有使分子聚在一起并在空間形成某種有序排列的趨向，但分子熱運(yùn)動卻力圖破壞這種趨向，使分子盡量相互散開。

這一對矛盾的兩個方面互相制約和變化，決定了物質(zhì)不同的性質(zhì)。§1.6理想氣體微觀描述的初級理論一、理想氣體微觀模型理想氣體分子間距洛施密特常數(shù)：

（Loschmidt

）標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下氣體分子間平均距離:分子的直徑、分子的大小對于液體、固體可假設(shè)分子間距等于分子的直徑。氮分子直徑液氮密度ρ=800kg/m3（1）分子可視為質(zhì)點(diǎn)；線度間距，；

（2）除碰撞瞬間,

分子間無相互作用力；理想氣體的微觀模型

（4）分子的運(yùn)動遵從經(jīng)典力學(xué)的規(guī)律.

（3）彈性質(zhì)點(diǎn)（碰撞均為完全彈性碰撞）；

（2）除碰撞瞬間,分子間無相互作用力；分子在兩次碰撞之間作自由的勻速直線運(yùn)動；理想氣體的微觀模型

（4）分子的運(yùn)動遵從經(jīng)典力學(xué)的規(guī)律.

（3）處于平衡態(tài)的理想氣體，分子之間及分子與器壁間的碰撞是完全彈性碰撞；（碰撞中動量、動能守恒）

；（1）理想氣體分子本身線度比起分子間距小得多而可忽略不計(jì)，分子可視為質(zhì)點(diǎn)；處于平衡態(tài)的理想氣體的微觀性質(zhì)i.在沒有外力場時，處于平衡態(tài)的容器內(nèi)的分子氣體空間分布是處處均勻的。ii.在平衡態(tài)下任何系統(tǒng)的任何分子向各個方向運(yùn)動的機(jī)會是均等的（分子混沌性假設(shè)）iii.除了相互碰撞外，分子間的速度和位置都相互獨(dú)立。附注：在常溫下，壓強(qiáng)在數(shù)個大氣壓以下的氣體，一般都能很好地滿足理想氣體方程。二、單位時間碰在單位面積器壁上平均分子數(shù)

我們把處于平衡態(tài)下的理想氣體在單位時間內(nèi)碰撞在單位面積上的平均分子數(shù)稱為氣體分子碰撞頻率或氣體分子碰壁數(shù)，以

表示。1.若分子數(shù)密度為n，則單位體積中垂直向方容器任一器壁運(yùn)動的平均分子數(shù)為n/6。兩條假設(shè)：顯然，在氣體狀態(tài)一定時，其

應(yīng)恒定不變。2.每一分子都以平均速率v

運(yùn)動。△t時間內(nèi),所有向-x方向運(yùn)動的分子均移動了距離△t時間內(nèi)碰撞在△A面積器壁上的平均分子數(shù)△N等于柱體內(nèi)的分子數(shù)單位時間內(nèi)碰在單位面積器壁上的平均分子數(shù)為：

雖然上面推導(dǎo)中，假設(shè)容器的形狀是長方體，實(shí)際上可適于任何形狀的容器，只要其中理想氣體處于平衡態(tài)。

[例1.2]設(shè)某氣體在標(biāo)準(zhǔn)狀況下的平均速率為500m/s,試分別計(jì)算1s內(nèi)碰在1cm2面積及10-19m2面積器壁上的平均分子數(shù)。

[解]

標(biāo)準(zhǔn)狀況下氣體分子的數(shù)密度

n0=2.7

1025/m3故三、理想氣體壓強(qiáng)公式壓強(qiáng)的單位換算

早在1738年，伯努利就設(shè)想氣體壓強(qiáng)來自粒子碰撞器壁所產(chǎn)生的沖量,在歷史上首次建立了分子理論的基本概念。

我們知道,器壁所受到的氣體壓強(qiáng)是單位時間內(nèi)大數(shù)分子頻繁碰撞器壁所給予單位面積器壁的平均總沖量。

壓強(qiáng)是大量分子對容器壁發(fā)生碰撞，從而對容器壁產(chǎn)生沖力的宏觀效果。附：氣體壓強(qiáng)的微觀機(jī)制理想氣體壓強(qiáng)公式推導(dǎo)假設(shè)：立方體的單位體積內(nèi)均有n/6各分子以平均速率向±x、±y、±z

六個方向運(yùn)動。1.dt時間內(nèi)垂直碰撞在xy平面dA面積器壁上的分子數(shù)為nvdAdt/6，若每個分子與器壁碰撞是完全彈性的,每次碰撞產(chǎn)生的動量改變?yōu)?mv2.

在dt時間內(nèi)dA面積器壁所受到的平均總沖量:3.

理想氣體壓強(qiáng)公式：若設(shè)每個分子的平均平動能為：則注：推導(dǎo)中利用了平均速率近似等于均方根速率的條件:（詳見§2.3）77

壓強(qiáng)的物理意義

統(tǒng)計(jì)關(guān)系式宏觀可測量量微觀量的統(tǒng)計(jì)平均值分子平均平動動能

壓強(qiáng)是大量分子對時間、對面積的統(tǒng)計(jì)平均結(jié)果.

4.理想氣體壓強(qiáng)公式的另一形式：R是描述1mol氣體行為的普適常量；

而k是描述一個分子或一個粒子行為的普適恒量,這是奧地利物理學(xué)家玻爾茲曼于1872年引入的，故稱為玻爾茲曼常量。四、溫度的微觀意義

從微觀上理解，溫度是平衡態(tài)系統(tǒng)的微觀粒子熱運(yùn)動程度強(qiáng)弱的量度。

它表明分子熱運(yùn)動平均平動動能與絕對溫度成正比。絕對溫度越高，分子熱運(yùn)動越劇烈。絕對溫度是分子熱運(yùn)動劇烈程度的量度,這是溫度的微觀意義所在。將p=nkT

與比較可得分子熱運(yùn)動平均平動動能1、從微觀闡述了溫度的實(shí)質(zhì)2、揭示了宏觀量T和微觀量平均值之間的關(guān)系。絕對溫度是分子熱運(yùn)動劇烈程度的度量①是分子雜亂無章熱運(yùn)動的平均平動動能，它不包括整體定向運(yùn)動動能。②理想氣體分子平均平動動能僅與溫度有關(guān),與分子質(zhì)量無關(guān)。氣體分子的方均根速率由可得：[例1.3]試求T=273K時氫分子的方均根速率Vrms及空氣分子的方均根速率Vrms[解]例題、兩瓶不同種類的氣體，其分子平均動能相等，但分子數(shù)密度數(shù)不同。問：它們的溫度是否相同？壓強(qiáng)是否相同？解：例多高溫度下，氣體分子平均平動能等于一個電子伏特？例一容器內(nèi)有氧氣，其壓強(qiáng)P=1.0atm,溫度為t=27℃，求(1)單位體積內(nèi)的分子數(shù)： (2)氧分子的質(zhì)量；(3)氧氣的密度；(4)分子的平均平動能。(1)單位體積內(nèi)的分子數(shù)：(2)氧分子的質(zhì)量

(3)氧氣的密度（4)分子的平均平動能。質(zhì)量為50.0g，溫度為18.0℃的氦氣裝在容積為10.0L的封閉容器內(nèi)，容器以v=200m/s的速率作勻速直線運(yùn)動。若容器突然靜止，定向運(yùn)動的動能全部轉(zhuǎn)化為分子熱運(yùn)動的動能，則平衡后氦氣的溫度和壓強(qiáng)將各增大多少？由于容器以速率v作定向運(yùn)動時，每一個分子都具有定向運(yùn)動，其動能等于，當(dāng)容器停止運(yùn)動時，分子定向運(yùn)動的動能將轉(zhuǎn)化為分子熱運(yùn)動的能量，每個分子的平均熱運(yùn)動能量則為

由于容器以速率v作定向運(yùn)動時，每一個分子都具有定向運(yùn)動，其動能等于，當(dāng)容器停止運(yùn)動時，分子定向運(yùn)動的動能將轉(zhuǎn)化為分子熱運(yùn)動的能量，每個分子的平均熱運(yùn)動能量則為一、分子間互作用勢能曲線1、分子作用力曲線

為便于分析，常設(shè)分子是球形的，分子間的互作用是對稱的中心力場。?在r=r0

時分子力為零，相當(dāng)于兩分子剛好“接觸”。?當(dāng)r＜r0時,兩分子在受到“擠壓”過程中產(chǎn)生強(qiáng)斥力，?這時分子間力F(r)＞0且隨r0減少而劇烈增大。當(dāng)r超過某一值(吸引力作用半徑)時,F(r)即接近于零?！?.7分子間作用力勢能與真實(shí)氣體物態(tài)方程2.分子相互作用勢能曲線

分子力是一種保守力，而保守力所作負(fù)功等于勢能Ep的增量，故分子作用力勢能的微小增量為：若令分子間距離為r趨向無窮遠(yuǎn)時的勢能為零，則:

在平衡位置r=r0處，分子力F(r)=0，勢能有極小值，它是負(fù)的.

在r＞r0處，F(xiàn)(r)＜0，勢能曲線斜率是正的，這時是吸引力.液體和固體中分子的振動就是利用分子力這一特性來解釋作出與分子作用力曲線所對應(yīng)的互作用勢能曲線：

設(shè)一分子質(zhì)心a1靜止不動，另一分子質(zhì)心a2從極遠(yuǎn)處（這時勢能為零）以相對運(yùn)動動能EK0向a1運(yùn)動。圖中的橫坐標(biāo)表示兩分子質(zhì)心間距離r。

用分子勢能曲線解釋分子間對心碰撞d與氣體溫度有關(guān)溫度越高，d越小。d是兩分子對心碰撞時相互接近最短質(zhì)心間距離，故稱d為分子碰撞有效直徑；二、分子碰撞有效直徑、熱振動、熱膨脹94

在兩分子之間的彈性碰撞過程中，兩個分子中心之間的距離r所達(dá)到的最小值d，可以視為分子碰撞有效直徑；此時

Ep=Ek0。分子（碰撞）有效直徑分子力分子相互作用勢能曲線附：關(guān)于分子的直徑通常提到的分子直徑有兩種理解：（1）一種指分子的大?。@主要是指由它們組成固體時，最鄰近分子間的平均距離，通常把平衡位置時兩分子質(zhì)心間平均距離r0視作分子直徑。（2）另一種理解的分子直徑是指兩分子相互對心碰撞時，兩分子質(zhì)心間最短距離，這就是分子碰撞有效直徑d。

顯然r0

與d是不同的，分子有效直徑d隨著熱力學(xué)溫度T的增大而略微減小,而r0與溫度無關(guān)。但在通常情況下，兩者差異不大。r0

隨了溫度上升而增加，因而產(chǎn)生線膨脹。2、利用分子勢能曲線解釋固體的線膨脹。固體中分子熱振動和線膨脹的解釋1、利用分子勢能曲線解釋固體內(nèi)分子的運(yùn)動是振動。兩種簡化模型：（a）鋼球模型（b）蘇則朗模型三、范德瓦耳斯方程理想氣體的兩條基本假定：(1).忽略分子固有體積(2).忽略除碰撞外分子間相互作用力考慮到分子間作用力實(shí)際氣體狀態(tài)方程？1、分子固有體積修正

在理想氣體物態(tài)方程的V中扣除這部分體積，這部分體積正比于分子數(shù)（摩爾數(shù)）排斥力的作用相當(dāng)于分子是有一定大小的剛性球，而其它分子不能侵入該硬球范圍。b：1mol氣體分子相應(yīng)占有的體積2、分子吸引力修正

設(shè)分子在氣體內(nèi)部時的吸引力為球?qū)ΨQ分布，吸引力作用半徑為R0；

由圖可知：真實(shí)氣體的氣體內(nèi)部壓強(qiáng)p內(nèi)與動理壓強(qiáng)p動理相等p內(nèi)

=p動理

靠近器壁的一層厚度為R0的界面層內(nèi)的氣體分子并不如此；

此處分子都受到一指向氣體內(nèi)側(cè)的力。使分子碰撞器壁產(chǎn)生的動量改變要比不考慮分子引力時要小。把分子吸引力所產(chǎn)生的壓強(qiáng)pi稱為氣體的內(nèi)壓強(qiáng)。

儀器所測出的氣體壓強(qiáng)p為動理壓強(qiáng)和氣體的內(nèi)壓強(qiáng)之和

pi正比于施力者和受力者數(shù)密度，故正比于分子數(shù)密度的平方（a是與氣體種類有關(guān)的常數(shù)）3、范德瓦耳斯方程

上式為氣體的范德瓦耳斯方程，其中a和b分別表示分子吸引力修正量和固有體積修正量。O2:

一摩爾氣體分子自身體積總和的4倍范氏方程最重要的特點(diǎn)是：

它的物理圖像十分鮮明，它能同時描述氣體,液體及氣液相互轉(zhuǎn)變的性質(zhì)，也能說明臨界點(diǎn)的特征，從而揭示相變與臨界現(xiàn)象的特點(diǎn)。

范氏方程雖然比理想氣體方程進(jìn)了一步，但它仍然是個近似方程。

范德瓦耳斯方程是所有真實(shí)氣體方程中最簡單,使用最方便的一個。

用維里展開來系統(tǒng)地處理真實(shí)氣體的物態(tài)方程將壓強(qiáng)與溫度的關(guān)系按密度的冪次來展開昂內(nèi)斯方程一級近似B(T)：第二位力系數(shù)C(T)：

第三位力系數(shù)理想氣體物態(tài)方程范德瓦爾斯方程的維里展開第二位力系數(shù)作業(yè)：1.4.5，1.4.91.6.4,1.6.91.7.3,1.7.4分子間的作用力是如何產(chǎn)生的？

排斥力？吸引力？二個分子接近到它的電子云開始重疊時，相互排斥的力出現(xiàn)極性分子間——取向力

極性分子的固有偶極間因取向而產(chǎn)生的引力叫取向力。

非極性分子間——色散力

非極性分子可以產(chǎn)生瞬時偶極，瞬時偶極必定采取異極相鄰狀態(tài)，此狀態(tài)不斷重復(fù)而產(chǎn)生的吸引力就是色散力。分子間的作用力是如何產(chǎn)生的？

排斥力？吸引力？二個分子接近到它的電子云開始重疊時，相互排斥的力出現(xiàn)

極性分子和非極性分子間——誘導(dǎo)力

極性分子作為電場使非極性分子變形而產(chǎn)生誘導(dǎo)偶極。固有偶極和誘導(dǎo)偶極間的吸引力是誘導(dǎo)力。

極性分子的固有偶極間因取向而產(chǎn)生的引力叫取向力。

極性分子間——取向力非極性分子間——色散力

非極性分子可以產(chǎn)生瞬時偶極，瞬時偶極必定采取異極相鄰狀態(tài)，此狀態(tài)不斷重復(fù)而產(chǎn)生的吸引力就是色散力。

P=3K0/2*[(V0/V)7/3

–(V0/V)5/3]*[1+3/4*(K0'-4)*((V/V0)-2/3-1)]Pressure-VolumeEquationsofStateGASES

ideal&realgaslawsV~1/P=>PV=nRT(idealgaslaw)finitemolecularvolume=>Veff=V-nb P(v-b)=RT(ClausiusEOS)attractiveforces=>Peff=P-a/v2 (P+a/v2)*(v-b)=RT(VdWEOS)§2.1分子動理學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理一、分子動理學(xué)理論包括：

理想氣體的壓強(qiáng)由大數(shù)分子碰撞器壁而產(chǎn)生，溫度是分子熱運(yùn)動劇烈程度的量度和宏觀描述；▲單個分子遵循力學(xué)規(guī)律，集體運(yùn)動遵循統(tǒng)計(jì)規(guī)律；▲

處于平衡態(tài)的氣體分子速率有一個確定的分布，能量也有一個分布－－按自由度分布；▲二、分子動理學(xué)的主要特點(diǎn)：

考慮分子之間，分子與器壁之間頻繁的碰撞，考慮分子之間的相互作用力，利用力學(xué)規(guī)律和概率論來討論它們的詳情；▲

它的最高目標(biāo)是描述氣體由非平衡態(tài)轉(zhuǎn)入平衡態(tài)的過程，這個過程是熱力學(xué)中的不可逆過程；▲

我們將討論：瀉流，粘滯現(xiàn)象，熱傳導(dǎo)，擴(kuò)散，懸浮粒子運(yùn)動，化學(xué)反應(yīng)等?！?、統(tǒng)計(jì)物理學(xué)：

廣義上講：是從對物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)和相互作用的認(rèn)識出發(fā)，采用概率統(tǒng)計(jì)的方法來說明或預(yù)言由大量粒子組成的宏觀物體的物理性質(zhì)；▲

它認(rèn)為物質(zhì)的宏觀性質(zhì)是大量微觀粒子運(yùn)動的集體表現(xiàn)，宏觀量是微觀量的統(tǒng)計(jì)平均值?！?/p>

分子動理學(xué)理論和統(tǒng)計(jì)物理學(xué)都是熱物理學(xué)的微觀理論的組成部分，它們都作一些假設(shè)或近似假設(shè)，其理論都要受到實(shí)驗(yàn)的檢驗(yàn)?！?.2概率論的基本知識一、伽爾頓板實(shí)驗(yàn)

伽爾頓板實(shí)驗(yàn)是有關(guān)概率統(tǒng)計(jì)的最直觀的演示。

這種在大量隨機(jī)事件的集合中出現(xiàn)的規(guī)律性叫統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。隨機(jī)事件：若某一事件或現(xiàn)象可能發(fā)生也可能不發(fā)生。

二、等概率性與概率的基本性質(zhì)1>隨機(jī)事件：在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件1、幾個名詞2>頻率：在一定條件下重復(fù)試驗(yàn)N次，其中L事件出現(xiàn)NL次則NL/N稱為事件L出現(xiàn)的頻率。3>概率：在重復(fù)次數(shù)N

極大時，頻率逼近一個數(shù)，稱為在此條件下這一事件的概率2、等概率性

在沒有理由說明哪一事件出現(xiàn)的概率更大些（或更小些）的情況下，每一事件出現(xiàn)的概率都應(yīng)相等；如：拋硬幣、擲骰子中各面出現(xiàn)的等概率性。

原因：系統(tǒng)由大數(shù)粒子組成。統(tǒng)計(jì)對象越多，其漲落越小，統(tǒng)計(jì)平均越正確。統(tǒng)計(jì)物理的基本假定：如果對于系統(tǒng)各種可能的狀態(tài)沒有更多的知識，可暫時假定一切狀態(tài)出現(xiàn)的概率相等。2>.概率相乘法則：同時或依次發(fā)生的，互不相關(guān)的事件發(fā)生的概率等于各個事件概率之乘積P(A,B)=PA?PB3>.概率的歸一化條件：P1+P2+P3+???+Pi=13、概率的基本性質(zhì)1>.概率相加法則：n個互相排斥事件發(fā)生的總概率是每個事件發(fā)生概率之和PAorB=PA+PB三、平均值及其運(yùn)算法則1、統(tǒng)計(jì)平均值統(tǒng)計(jì)分布的最直接的應(yīng)用就是求平均值；如平均年齡問題

若要用概率分布來求平均值，則應(yīng)先知道隨機(jī)變量ui的概率分布Pi，然后按上式即能求得。1>.隨機(jī)變量函數(shù)的平均值2、平均值運(yùn)算法則2>.隨機(jī)變量函數(shù)和的平均值3>.常數(shù)與隨機(jī)變量函數(shù)的平均值4>.兩個隨機(jī)變量函數(shù)乘積的平均值四、均方偏差

若任一隨機(jī)變量u

的平均值為 ，則u在附近的偏差 ，顯然，但方均偏差不等于零回顧：漲落現(xiàn)象其相對方均根偏差表示了隨機(jī)變量在平均值附近散開分布的程度，稱為漲落五、概率分布函數(shù)

以打靶實(shí)例說明連續(xù)變量的概率分布：

總點(diǎn)數(shù)N，以靶心為原點(diǎn)，以直角坐標(biāo)xy表示彈著點(diǎn)的空間位置；

則彈著點(diǎn)沿x方向分布的概率密度表示為：128

概率分布函數(shù)f(x)連續(xù)變量x在x-x+dx區(qū)間概率f(x):x附近的單位區(qū)間內(nèi)的概率,即x處的概率密度.分布曲線f(x)x則f(x)dx表示彈著點(diǎn)處于

x—x+dx范圍內(nèi)的概率,滿足▲類似的以f(y)dy表示彈著點(diǎn)沿y

方向分布的概率，滿足▲彈著點(diǎn)處于

x1—x2

范圍內(nèi)的概率應(yīng)寫為：▲▲

彈著點(diǎn)處于x—x+dx，y—y+dy

范圍內(nèi)的概率為

有了概率分布就可求平均值，彈著點(diǎn)偏離靶心的平均值▲▲x的某一函數(shù)的平均值

幾個要用的積分公式

高斯積分

要深入研究氣體的性質(zhì)，不能光是研究一些平均值，等，還應(yīng)該進(jìn)一步弄清分子按速率和按能量等的分布情況。

個別分子的運(yùn)動是雜亂無章的，但大量分子運(yùn)動的集體表現(xiàn)存在著一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。統(tǒng)計(jì)物理關(guān)心兩件事：1.平均值;2.分布;§2.3麥克斯韋速率分布由于分子受到頻繁的碰撞，每個分子熱運(yùn)動的速率是變化的，說某一分子具有多大的運(yùn)動速率沒有意義，所以只能估計(jì)在某個速率間隔內(nèi)出現(xiàn)的概率。平衡態(tài)的理想氣體分子，其熱運(yùn)動速率出現(xiàn)在不同速率間隔區(qū)間的幾率有無規(guī)律性？134

一、分子射線束實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)裝置

L金屬蒸汽

顯示屏

狹縫

接抽氣泵二.麥克斯韋速率分布函數(shù)1859年麥克斯韋導(dǎo)出了理想氣體在無外場的平衡態(tài)下，分子速率分布函數(shù)為：m——分子的質(zhì)量T——熱力學(xué)溫度僅是溫度和分子質(zhì)量的函數(shù)可分成三部分記憶該公式：第一部分：4pv2dv是“球殼”的體積，而“球殼”全方位的高度對稱性正是分子熱運(yùn)動想各個方向幾率均等的生動表現(xiàn)；第二部分：是分子熱運(yùn)動速率取值不等幾率的表現(xiàn)。值得注意，這個指數(shù)衰減律的結(jié)果沒有單位，mv2/2是分子熱運(yùn)動的動能，kT是體系能量狀態(tài)特征量，具有能量的量綱。所以指數(shù)衰減的指數(shù)部分是熱運(yùn)動的動能與體系能量狀態(tài)特征量之比，對于大的速率，指數(shù)衰減的速度比v2增加的速度快得多，二者共同影響的結(jié)果，分布函數(shù)值必然較小。第三部分：是歸一化因子。這里也有一個值得注意的問題，指數(shù)衰減部分沒有單位，4pv2dv具有速度立方的單位，分布律只是分子數(shù)的比值，也沒有單位，所以歸一化因子必須具有速度負(fù)立方的單位。

曲線下面寬度為dv的小窄條面積ds：等于分布在速率ｖ－ｖ＋ｄｖ區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的概率dN/N

。

f(v)0vv+dvT，m一定vf(v)意義是“在速率v附近，單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比例?！蔽凰俾蕝^(qū)間的概率。對于一個分子來說，f(v)就是分子處于速率v附近單在f(v)~v整個曲線下的面積為1-----歸一化條件。速率位于區(qū)間的分子數(shù)占總數(shù)的百分比

歸一化條件

141

三、三種統(tǒng)計(jì)速率

1、最概然速率得在一定溫度下,氣體分布在最概然速率附近單位速率間隔內(nèi)的相對分子數(shù)最多.物理意義與f(v)極大值相對應(yīng)的速率。

當(dāng)分子質(zhì)量m一定時，有大的分子數(shù)比例越大,氣體分子的熱運(yùn)動越激烈。左圖表明：溫度越高，速率

f(v)0vp1vvp21200K300K*麥克斯韋速率分布曲線出現(xiàn)極大值的點(diǎn)的軌跡

即這是一條雙曲線的方程f(v)f(vp3)vvpf(vp1)f(vp2)T1T3T2思考：T一定，m2>m1,速率分布曲線如何？氣體總分子數(shù)為Ｎ，速率大于vp和2vp的分子數(shù)速率處于v>vp分子數(shù)：

同理速率處于v>2vp分子數(shù)：

43%57%討論

麥克斯韋速率分布中最概然速率的概念下面哪種表述正確？（A）是氣體分子中大部分分子所具有的速率.（B）是速率最大的速度值.（C）是麥克斯韋速率分布函數(shù)的最大值.（D）速率大小與最概然速率相近的氣體分子的比率最大.2.平均速率—討論分子的速率分布時用—討論分子碰撞問題時用3.方均根速率—討論分子平均平動動能時用149

同種

分子在不同溫度下的速率分布

同一溫度下不同氣體的速率分布課堂練習(xí)1．速率分布函數(shù)的物理意義為：（Ａ）具有速率的分子占總分子數(shù)的百分比．（Ｂ）速率分布在附近的單位速率間隔中的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比．（Ｃ）具有速率的分子數(shù)．（Ｄ）速率分布在附近的單位速率間隔中的分子數(shù)．

（Ｂ）練習(xí)2、下列各式的物理意義分別為:(1)(2)(3)(4)速率在v-v+dv內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比速率在v-v+dv內(nèi)的分子數(shù)速率在v1→v2內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比速率在v1→v2內(nèi)的分子數(shù)練習(xí)3．在平衡狀態(tài)下，已知理想氣體分子的麥克斯韋速率分布函數(shù)為、分子質(zhì)量為、最可幾速率為，試說明下列各式的物理意義：（１）表示________________；（２）表示______________．分子平動動能的平均值分布在速率區(qū)間的分子數(shù)在總分子數(shù)中占的百分率練習(xí)4．已知分子總數(shù)為，它們的速率分布函數(shù)為，則速率分布在區(qū)間內(nèi)的分子的平均速率為

（A）（C）（B）（D）（B）討論速率介于v1~v2之間的氣體分子的平均速率的計(jì)算一般地，v平均值可以表示為氦氣的速率分布曲線如圖所示.解例1求(2)氫氣在該溫度時的最概然速率和方均根速率O(1)試在圖上畫出同溫度下氫氣的速率分布曲線的大致情況，(2)有N個粒子，其速率分布函數(shù)為(1)作速率分布曲線并求常數(shù)a(2)速率大于v0

和速率小于v0

的粒子數(shù)解例2求(1)由歸一化條件得O(2)因?yàn)樗俾史植记€下的面積代表一定速率區(qū)間內(nèi)的分子與總分子數(shù)的比率，所以因此，v>v0

的分子數(shù)為

(2N/3)同理

v<v0

的分子數(shù)為

(N/3)的分子數(shù)與總分子數(shù)的比率為O例3設(shè)想有N個氣體分子，其速率分布函數(shù)為試求:(1)常數(shù)A；(2)最可幾速率，平均速率和方均根；(3)速率介于0~v0/3之間的分子數(shù)；(4)速率介于0~v0/3之間的氣體分子的平均速率。解：(1)氣體分子的分布曲線如圖由歸一化條件(2)最可幾速率由決定，即平均速率方均速率方均根速率為(3)速率介于0~v0/3之間的分子數(shù)(4)速率介于0~v0/3之間的氣體分子平均速率為根據(jù)麥克斯韋速率分布律，試求速率倒數(shù)的平均值

根據(jù)平均值的定義，速率倒數(shù)的平均值為解例4§2.4麥克斯韋速度分布一、速度空間1、速度空間：以速度矢量的三個分量vx、vy、vz軸的組成的一個直角坐標(biāo)系，此坐標(biāo)系所確定的空間。PvxvyvzVXVYO

在速度空間里，每個分子的速度矢量都可用一個以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn)的相應(yīng)的矢量來表示2.分子按速度分量的分布1）、N個分子中速度i分量落在vi—vi+dvi范圍內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。2）.分子速度介于vx—vx+dvx、vy—vy+dvy、而vz為任意范圍的分子數(shù)dN(vx,vy)占總分子數(shù)的比率3）.分子速度介于vx—vx+dvx、vy—vy+dvy、vz—vz+dvz范圍的分子數(shù)dN(vx,vy,

vz)占總分子數(shù)的比率。vyvxvzovdvxdvydvz3、麥克斯韋速度分布1)、速度分布2)、速度分量分布166

麥克斯韋速度分布曲線的特征（偶函數(shù)）

速度分量分布圖速度分量vx處于vx－vx＋ｄvx的分子的概率例習(xí)題2.4.２,利用Maxwell速度分布，求氣體分子速度分量的平均值和平方平均值解：由于麥克斯韋速度分布是偶函數(shù)，在積分時要注意被積函數(shù)的奇偶性。在平衡態(tài)下，當(dāng)氣體分子間的相互作用可以忽略時，分布在速度區(qū)間~也就是分布在vx~vx+dvx/vy~vy+dvy/vz~vz+dvz的分子數(shù)為:3)、由麥克斯韋速度分布導(dǎo)出速率分布速度空間代表點(diǎn)的數(shù)密度為：這個區(qū)間內(nèi)的分子，它們的速度矢量的端點(diǎn)都在一定的體積元dΓ＝dvxdvydvz內(nèi)也就是滿足這個條件的速度矢量的端點(diǎn)都落在半徑為v，厚度為dv的球殼層內(nèi)。這個球殼層的體積等于其內(nèi)壁的面積4πv2乘以厚度dv

ovxvyvzvdv速率分布在v-v+dv區(qū)間，即在球殼內(nèi)分子數(shù)：dNv=D(v)4v2dv

D(v)：速度空間代表點(diǎn)的數(shù)密度麥克斯韋速率分布分布律麥克斯韋速度分布與速率分布函數(shù)比較174

§2.5氣體分子碰撞數(shù)及其應(yīng)用

單位體積內(nèi)的分子數(shù)n,單位面積為dA，求單位時間內(nèi)碰在單位面積上的總分子數(shù)。vxdtxyzvydtvzdtdAoBvx

vy

vz

0

對于Ｖｘ＜０的各種速度求和斜柱體中速度分量vx處于vx－vx＋ｄvx的分子數(shù)vxdtxyzvydtvzdtdAoB176

vxdtxyzvydtvzdtdAoB§2.6

玻爾茲曼分布一、等溫大氣壓強(qiáng)公式

現(xiàn)考慮在大氣中垂直高度為z到z+dz，面積為A的一薄層氣體，該系統(tǒng)達(dá)到平衡的條件為：

由理想氣體方程可得

=nm，代入，并設(shè)大氣溫度處處相等，且重力加速度g不隨高度變。對上式積分，則有式中P0為z=0處的大氣壓強(qiáng)，P為高h(yuǎn)處的大氣壓強(qiáng)，m是大氣分子質(zhì)量。由氣體狀態(tài)方程大氣密度和壓強(qiáng)隨高度增加按指數(shù)規(guī)律減小（高空空氣稀薄，氣壓低）

設(shè)n1和n2分別表示在溫度T的系統(tǒng)中，處于粒子能量為ε1的某一狀態(tài)與ε2的另一狀態(tài)的粒子數(shù)密度。玻爾茲曼分布

對于處于平衡態(tài)的氣體中的原子、分子、布朗粒子，以及液體、固體中的很多粒子，一般都可應(yīng)用玻爾茲曼分布，只要粒子之間相互作用很小而可予忽略。三、玻爾茲曼分布：

自由度的概念：描述一個物體在空間的位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)稱為該物體的自由度；而決定一個物體在空間的位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)稱為自由度數(shù)。一．自由度:

§2.7

能量均分定理1)平動質(zhì)點(diǎn)例1自由運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)

(三維空間)

3個平動自由度記作

t=3

若受到限制自由度降低

平面上

2個平動自由度t=2

直線上

1個平動自由度t=1任一直線形成一組平行線181

2)轉(zhuǎn)動

3)振動C

xzy剛體：3個平動自由度記作

t=3

3個轉(zhuǎn)動自由度記作

r=3

i=6若受到限制自由度降低

對于單原子分子組成的理想氣體，略去分子大小，只有平動：剛性雙原子分子分子平動：t=3分子轉(zhuǎn)動：剛性雙原子分子*C繞y軸和z軸轉(zhuǎn)動r=2二.理想氣體分子的自由度：非剛性雙原子分子：非剛性雙原子分子*C分子平動：t=3分子轉(zhuǎn)動：r=2分子振動：v=1每個的原子各有3個自由度，系統(tǒng)最多有3N個自由度:由N

個原子組成的理想氣體分子的自由度(一般性討論)平動+轉(zhuǎn)動+振動

t

r

v

隨某點(diǎn)平動t=3過該點(diǎn)軸的轉(zhuǎn)動r=3其余為振動v=3N-6剛性分子：原子間距離不會改變的分子。非剛性分子：原子間存在相對振動的分子。剛性線型分子：組成分子的原子都連接在一條直線上。單原子分子（同自由質(zhì)點(diǎn)）3個平動的自由度雙原子分子剛性：非剛性：5個（3個平動，2個轉(zhuǎn)動）6個（3平動,2轉(zhuǎn)動,1振動）多原子分子非剛性線性分子(3個平動，2個轉(zhuǎn)動，3N-5振動）非線性分子(3個平動，3個轉(zhuǎn)動，3N-6振動）剛性線性分子(3個平動，2個轉(zhuǎn)動）3N個6個5個非線性分子(3個平動，3個轉(zhuǎn)動)下標(biāo)k表示動能，t表示平動。處于平衡態(tài)時，分子在各個方向的運(yùn)動是等概率的，有：可得：分子的平均平動動能

對于單原子分子組成的理想氣體，略去分子大小，只有平動動能：三．能量均分定理:

處于溫度為T的平衡態(tài)的氣體中,分子熱運(yùn)動動能平均分配到每一個分子的每一個自由度上，每一個分子的每一個自由度的平均動能都是kT/2。能量按自由度均分定理（簡稱能量均分定理）

對于振動自由度,由于還有勢能,

故每一個振動自由度均分的能量為kT

。每一個理想氣體分子總熱運(yùn)動平均能量單原子分子：平均總動能=平均平動動能i=3剛性雙原子分子：i=5平均總動能=平均平動動能+平均轉(zhuǎn)動動能對非剛性雙原子分子：對剛性多原子(非線性)分子：17對剛性線性雙（多）原子分子：055四、理想氣體的內(nèi)能1mol理想氣體的內(nèi)能為：mol理想氣體的內(nèi)能為：當(dāng)氣體的溫度改變dT,其內(nèi)能相應(yīng)地改變dU：只是溫度的函數(shù)192

五、理想氣體的熱容熱容：C=νCm,C=mc

Cm是摩爾熱容：每摩爾物體的熱容；單位：J/mol·Kc

是比熱容：單位質(zhì)量物體的熱容，單位：J/kg·K定體熱容：

物質(zhì)在等體過程中，每升高（或降低）1度所吸收的熱量。定體熱容：

理想氣體等體過程不做功，由能量守恒知，系統(tǒng)吸收的熱量應(yīng)等于內(nèi)能的增加，即：單原子分子的定體摩爾熱容：

對于一定溫度的平衡狀態(tài)下的熱學(xué)系統(tǒng)，試指出下列各式的物理意義?溫度T時，自由度為i的一個物質(zhì)分子的平均總動能物質(zhì)分子在溫度T時每一個自由度上的平均能量。一個分子在溫度T時的平均平動動能。溫度T時，m/M摩爾的理想氣體分子的平均平動動能溫度T時，m/M摩爾理想氣體的內(nèi)能溫度T時，1摩爾理想氣體的內(nèi)能理想氣體的定體摩爾熱量從分子熱運(yùn)動的觀點(diǎn)怎樣解釋一定量的理想氣體的內(nèi)能與自由度i以及溫度T成正比？

從分子運(yùn)動論可知，在平衡狀態(tài)下，氣體分子能量按自由度均分。對理想氣體來說，除分子間碰撞的瞬時外，忽略不計(jì)分子間的相互作用力，而每一自由度的平均動能為，故i個自由度上各種運(yùn)動的動能總和即為內(nèi)能。所以T一定時，其內(nèi)能與分子的自由度數(shù)i成正比。絕對溫度也是理想氣體分子每一個自由度平均能量的量度，T越大，分子在每一個自由度的平均動能越大，故對定量的氣體，i一定，它的內(nèi)能也越大，和T成正比。196

六、能量均分定理的局限*

自由度的凍結(jié)1、能量均分定理的局限

2、自由度的凍結(jié)振動轉(zhuǎn)動平動T/KCV,m/R03/25/27/22510050010005000氫氣CV,m---T曲線分子的轉(zhuǎn)動能量是按某個數(shù)值的整數(shù)倍變化轉(zhuǎn)動能量的單位數(shù)值I：轉(zhuǎn)動慣量：轉(zhuǎn)動特征溫度振動能量的數(shù)值單位：振動特征溫度H2轉(zhuǎn)動特征溫度振動特征溫度分子振動的能量是按某個數(shù)值的整數(shù)倍變化作業(yè)2.2.12.2.22.3.42.4.22.6.62.7.12.7.2本章內(nèi)容要點(diǎn)1概率分布函數(shù)f(x):x處的概率密度（x附近的單位區(qū)間內(nèi)的概率）離散變量xi連續(xù)變量x,x-x+dx區(qū)間2平均值離散變量xi連續(xù)變量xMaxwell速度分布函數(shù)

表示分子的速度分量介于vi~vi+dvi的概率Maxwell速率分布函數(shù)

表示分子的速率介于v~v+dv的概率3Maxwell分布：理想氣體分子不受外力作用時，E=Ek=mv2/2，空間分布均勻。。最概速度為零最概速率不為零

分子速率的三個統(tǒng)計(jì)值（2）平均速率（3）方均根速率（1）最概然速率大小比較，見P64圖2.7（b）輸運(yùn)過程當(dāng)氣體處于非平衡狀態(tài)下，氣體內(nèi)部或者各部分的溫度不相等，或者各部分的質(zhì)量不相等，或者氣體各層流速不同，或者這三者同時存在。在這些非平衡狀態(tài)下，氣體內(nèi)部將有能量、質(zhì)量或動量從一個部分向另一個部分定向遷移。這種由非平衡態(tài)向平衡態(tài)的變化過程就是氣體的輸運(yùn)過程。

熱傳導(dǎo)現(xiàn)象、擴(kuò)散現(xiàn)象、黏性現(xiàn)象分子間的無規(guī)則碰撞在氣體的輸運(yùn)過程中起著關(guān)鍵的作用（“攪拌”作用）三種輸運(yùn)現(xiàn)象1.

當(dāng)氣體各層流速不均勻時將發(fā)生黏性現(xiàn)象。3.

當(dāng)氣體內(nèi)部溫度不均勻時發(fā)生熱傳遞現(xiàn)象。2.

當(dāng)氣體內(nèi)分子數(shù)密度不均時發(fā)生擴(kuò)散現(xiàn)象。

1流動類型——層流和湍流

層流在流動過程中，相鄰質(zhì)點(diǎn)的軌跡線彼此僅稍有差別，不同流體質(zhì)點(diǎn)的軌跡線不相互混雜，這樣的流動稱為層流。（管內(nèi)層流時，流速由管壁處的零向軸心處逐漸增大）

湍流質(zhì)點(diǎn)除了沿著管道向前運(yùn)動外，各質(zhì)點(diǎn)還作不規(guī)則的，雜亂的運(yùn)動，且彼此間相互碰撞，相互混合，質(zhì)點(diǎn)速度的大小和方向隨時發(fā)生變化，這種流型叫湍流或紊流。

§3.1.1層流與牛頓黏性定律

§3.1黏性現(xiàn)象的宏觀規(guī)律在流速不同的相鄰兩流層接觸面上產(chǎn)生的一對阻礙它們相對流動的力，使快的一層減速，慢的一層加速，這種現(xiàn)象叫黏性現(xiàn)象，這種力叫黏性力，也叫內(nèi)摩擦力。穩(wěn)定流動下：2、穩(wěn)恒層流中的黏性現(xiàn)象

BC3、牛頓黏性定律相鄰兩流層間的黏性力的大小與兩流層的接觸面積成正比，與兩流層接觸面所在處的速度梯度成正比，即

為黏度（黏性系數(shù)）單位是P(泊),1P=0.1N.s.m-2

流體黏度與流體的性質(zhì)及狀態(tài)有關(guān)，還和溫度有關(guān)，氣體的黏度隨溫度升高而增加，液體的黏度隨溫度升高而減少。雷諾數(shù)

對管流而言，影響流型的因素有：流道的幾何尺寸(管徑r)、流動的平均速度v和流體的物理性質(zhì)(密度ρ和粘度η)。

在描述流動的特征方面，英國的雷諾1883年提出用來比較粘性流體流動狀態(tài)的無量綱數(shù)，即雷諾(Reynolds)數(shù)

Ⅰ、當(dāng)Re<2000，流體狀態(tài)為層流；

Ⅱ、當(dāng)Re>3000，流體狀態(tài)為湍流；

Ⅲ、當(dāng)2000<Re<3000，或出現(xiàn)層流，或出現(xiàn)湍流，依賴于環(huán)境(如管道直徑和方向改變，外來的輕微振動都易促成湍流的產(chǎn)生)，此為過度區(qū)；

由于左層中的分子攜帶較小的定向運(yùn)動動量mu，通過dS遷移到右層中。又由于分子的碰撞，定向運(yùn)動動量被均勻化，所以右層中定向運(yùn)動動量減小。與此同時，右層中的分子攜帶較大的定向運(yùn)動動量m（u+du），通過dS遷移到左層中，使左層中定向運(yùn)動動量增大。根據(jù)動量定理:dp=fdtBC由粘滯力引起的是切向動量的遷移：4、切向動量流密度在單位時間、單位面積上轉(zhuǎn)移的動量稱為動量流密度。負(fù)號表示定向動量總是沿流速變小的方向輸運(yùn)。動量流密度211

例3.1解：外桶的線速度夾層流體的速度梯度MBAR+δωLR黏性力對扭絲作用的合力矩：所以，氣體的黏度為：內(nèi)桶外緣所受的黏性力大?。河捎跉怏w分子的無規(guī)則熱運(yùn)動，在相鄰的兩氣層間交換分子對的同時，交換了相鄰氣層的定向動量，結(jié)果使流速快的氣層失去了凈的定向動量，流速慢的氣層得到了凈動量。黏性由此而生。5、氣體黏性微觀機(jī)理實(shí)驗(yàn)證實(shí)，常壓下