《6.2.2組合與組合數(shù)》教案、導(dǎo)學(xué)案與同步練習(xí)

《6.2.2組合與組合數(shù)》教案【教材分析】本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊》，第六章《計(jì)數(shù)原理》，本節(jié)課主本節(jié)課主要學(xué)習(xí)組合與組合數(shù).排列與組合是在學(xué)習(xí)了兩個(gè)計(jì)數(shù)原理之后，由于排列、組合及二項(xiàng)式定理的研究都是以兩個(gè)計(jì)數(shù)原理為基礎(chǔ)，同時(shí)排列和組合又能進(jìn)一步簡化和優(yōu)化計(jì)數(shù)問題。教學(xué)的重點(diǎn)是組合的理解，利用計(jì)數(shù)原理及排列數(shù)公式推導(dǎo)組合數(shù)公式，注意區(qū)分排列與組合的區(qū)別，難點(diǎn)是運(yùn)用組合解決實(shí)際問題?！窘虒W(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.理解并掌握組合、組合數(shù)的概念,掌握組合與排列之間的聯(lián)系與區(qū)別.B.熟練掌握組合數(shù)公式及組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì),并運(yùn)用于計(jì)算之中.C.能夠運(yùn)用排列組合公式及計(jì)數(shù)原理解決一些簡單的應(yīng)用問題,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力與分析問題、解決問題的能力.1.數(shù)學(xué)抽象：組合的概念2.邏輯推理：組合數(shù)公式的推導(dǎo)3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：組合數(shù)的計(jì)算及性質(zhì)4.數(shù)學(xué)建模：運(yùn)用組合解決計(jì)數(shù)問題【重點(diǎn)與難點(diǎn)】重點(diǎn)：組合、組合數(shù)的概念并運(yùn)用排列組合公式解決問題難點(diǎn)：組合與排列之間的聯(lián)系與區(qū)別【教學(xué)過程】教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計(jì)問題探究問題1.從甲乙丙三名同學(xué)中選兩名去參加一項(xiàng)活動(dòng)，有多少種不同的選法？這一問題與6.2.1節(jié)問題一有什么聯(lián)系與區(qū)別？分析：在6.2.1

節(jié)問題1的6種選法中，存在“甲上午，乙下午”和“甲上午，乙下午”2種不同順序的選法，我們可以將它看成先選出甲、乙兩名同學(xué)，然后再分配上午和下午而得到的.同樣，先選出甲、丙、或乙、丙，再分配上午和下午也各有2種方法.從而甲、乙、丙3名同選2名去參加一項(xiàng)活動(dòng)，就只需考慮選出的2名同學(xué)作為一組，不需要考慮他們的順序。于是，在6.2.1節(jié)問題1的6種選法中，將選出的2名同學(xué)作為一組的選法就只有如下3種情況：甲乙、甲丙、乙丙.從三個(gè)不同元素中取出兩個(gè)元素作為一組一共有多少個(gè)不同的組？一、組合的相關(guān)概念1.組合:一般地,從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素作為一組,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.2.相同組合:兩個(gè)組合只要元素相同,不論元素的順序如何,都是相同的.名師點(diǎn)析排列與組合的區(qū)別與聯(lián)系(1)共同點(diǎn):兩者都是從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素.(2)不同點(diǎn):排列與元素的順序有關(guān),組合與元素的順序無關(guān).1.校門口停放著9輛共享自行車，其中黃色、紅色和綠色的各有3輛，下面的問題是排列問題，還是組合問題？（1）從中選3輛，有多少種不同的方法？（2）從中選2輛給3位同學(xué)有多少種不同的方法？（1）與順序無關(guān)，是組合問題；（2）選出2輛給3位同學(xué)是有順序的，是排列問題。例5.平面內(nèi)有A，B，C，D共4個(gè)點(diǎn).（1）以其中2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段共有多少條？（2）以其中2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段共有多少條？分析：（1）確定一條有向線段，不僅要確定兩個(gè)端點(diǎn)，還要考慮他們的順序是排列問題；（2）確定一條線段，只需確定兩個(gè)端點(diǎn)，而不需要考慮它們的順序是組合問題.解：（1）一條有向線段的兩個(gè)端點(diǎn)，要分起點(diǎn)和終點(diǎn)，以平面內(nèi)4個(gè)點(diǎn)中的2個(gè)為端點(diǎn)的有向線段條數(shù)，就是從4個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的排列數(shù)，即有向線段條數(shù)為A4這12條有向線段分別為AB

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BA,AC

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CA,AD

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DA,BC（2）由于不考慮兩個(gè)端點(diǎn)的順序，因此將（1）中端點(diǎn)相同、方向不同的2條有向線段作為一條線段，就是中平面內(nèi)4個(gè)點(diǎn)中的2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的條數(shù)，共有如下6條：AB,AC,AD,BC,BD,CD.問題2：利用排列和組合之間的關(guān)系，以“元素相同”為標(biāo)準(zhǔn)分類，你能建立起例5（1）中排列和（2）中組合之間的對應(yīng)關(guān)系嗎？進(jìn)一步地，能否從這種對應(yīng)關(guān)系出發(fā)，由排列數(shù)求出組合的個(gè)數(shù)？二、組合數(shù)與組合數(shù)公式1.組合數(shù)的定義:從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù),叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù),用符號(hào)Cnm例如，從3個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的組合數(shù)，表示為C3從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的組合數(shù)，表示為C4思路：從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的組合數(shù)C43，設(shè)這4個(gè)元素為a,b,c,d，那么從中取出3個(gè)元素的排列數(shù)A43=24，以“元素相同”為標(biāo)準(zhǔn)將這24個(gè)排列分組如圖，一共有問題3：前面已經(jīng)提到，組合和排列有關(guān)系，我們能否利用這種關(guān)系，由排列數(shù)Anm來求組合數(shù)也可以這樣理解，求“從4個(gè)元素中取出3個(gè)元素的排列數(shù)A4第1步，從4個(gè)元素中取出3個(gè)元素作為一組，共有C4第2步，將取出的3個(gè)元素做全排列，共有A33于是，根據(jù)分布乘法計(jì)數(shù)原理有A43即C43=同樣的從n個(gè)不同對象中取出m個(gè)做排列，可以分成兩個(gè)步驟完成，第一步從n個(gè)不同對象中取出m個(gè)，有Cnm第二步將選出的m

個(gè)對象做全排列，有Amm由分步乘法計(jì)數(shù)原理有Anm=Cnm上述公式稱為組合數(shù)公式.2.組合數(shù)公式:Cnm=AnmAm另外,我們規(guī)定Cn0=二、典例解析例6.計(jì)算：（1）C103；（2解:根據(jù)組合數(shù)公式，可得C103=AC107(3)

(4)

觀察例6的（1）與（2），（3）與（4）的結(jié)果，你有什么發(fā)現(xiàn)？（1）與（2）分別用了不同形式的組合數(shù)公式，你對公式的選擇有什么想法？1.公式Cnm=AnmAm2.公式Cnm=n!m!(n3.根據(jù)題目特點(diǎn)合理選用組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)Cn跟蹤訓(xùn)練1.(1)計(jì)算:①3C83-2C52(2)求證:Cnm+1+分析:(1)先考慮利用組合數(shù)的性質(zhì)對原式進(jìn)行化簡,再利用組合數(shù)公式展開計(jì)算.(2)式子中涉及字母,可以用階乘式證明.(1)解:①3C83-2C52+②C100(2)證明左邊=n=n!=n!=(=Cn+2例7.在100件產(chǎn)品中，有98件合格品，2件次品.從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件.（1）有多少種不同的抽法？（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種？（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種？分析:（1）所求的不同抽法的種數(shù)，就是從100件產(chǎn)品中取出3件的組合數(shù)；（2）分兩步，第一步從2件次品中抽出1件次品，第二步從98件合格品中抽出2件合格品，由乘法原理可得；（3）可從反面考慮，其反面是抽出的3件全是合格品，求出方法數(shù)后，由第（1）題的結(jié)論減去這個(gè)結(jié)果即可得．解：（1）所求的不同抽法的種數(shù)，就是從100件產(chǎn)品中取出3件的組合數(shù)，∴共有(種)；（2）從2件次品中抽出1件次品的抽法有種，從98件合格品中抽出2件合格品的抽法有種，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有(種).（3）抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件是次品的抽法的種數(shù)，也就是從100件中抽出3件的抽法種數(shù)減去3件中都是合格品的抽法的種數(shù)，即(種).組合問題的基本解法(1)判斷是否為組合問題;(2)是否分類或分步;(3)根據(jù)組合的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.跟蹤訓(xùn)練2.在一次數(shù)學(xué)競賽中,某學(xué)校有12人通過了初試,學(xué)校要從中選出5人去參加市級(jí)培訓(xùn),在下列條件下,有多少種不同的選法?(1)任意選5人;(2)甲、乙、丙三人必須參加;(3)甲、乙、丙三人不能參加;(4)甲、乙、丙三人只能有1人參加;(5)甲、乙、丙三人至少1人參加.分析:本題屬于組合問題中的最基本的問題,可根據(jù)題意分別對不同問題中的“含”與“不含”作出正確的判斷和分析.注意“至少”“至多”問題,運(yùn)用間接法求解會(huì)簡化思維過程.解:(1)C12(2)甲、乙、丙三人必須參加,只需從另外的9人中選2人,共有C9(3)甲、乙、丙三人不能參加,只需從另外的9人中選5人,共有C9(4)甲、乙、丙三人只能有1人參加,分兩步,先從甲、乙、丙中選1人,有C31=3(種)選法,再從另外的9人中選4人有C94(5)(方法一直接法)可分為三類:第1類,甲、乙、丙中有1人參加,有C31第2類,甲、乙、丙中有2人參加,有C32第3類,甲、乙、丙3人均參加,有C33所以,共有C3(方法二間接法)12人中任意選5人共有C125種,甲、乙、丙三人不能參加的有所以,共有C12變式：若本例題條件不變,甲、乙、丙三人至多2人參加,有多少種不同的選法?解:(方法一直接法)甲、乙、丙三人至多2人參加,可分為三類:第1類,甲、乙、丙都不參加,有C95第2類,甲、乙、丙中有1人參加,有C31第3類,甲、乙、丙中有2人參加,有C32共有C9(方法二間接法)12人中任意選5人共有C125種,甲、乙、丙三人全參加的有C92通過具體問題，分析、比較、歸納出組合的概念。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。在典例分析和練習(xí)中讓學(xué)生熟悉組合和組合數(shù)的概念，進(jìn)而靈活運(yùn)用排列數(shù)解決問題。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。三、達(dá)標(biāo)檢測1.從10個(gè)不同的數(shù)中任取2個(gè)數(shù),求其和、差、積、商這四個(gè)問題中,屬于組合的有()A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè) D.4個(gè)解析:因?yàn)闇p法和除法運(yùn)算中交換兩個(gè)數(shù)的位置對計(jì)算結(jié)果有影響,所以屬于組合的有2個(gè).答案:B2.若An2=3A.4B.5C.6D.7解析:因?yàn)锳n2=3Cn答案:C3.若集合A={a1,a2,a3,a4,a5},則集合A的子集中含有4個(gè)元素的子集共有個(gè).解析:滿足要求的子集中含有4個(gè)元素,由集合中元素的無序性,知其子集個(gè)數(shù)為C5答案:54.平面內(nèi)有12個(gè)點(diǎn),其中有4個(gè)點(diǎn)共線,此外再無任何3點(diǎn)共線,以這些點(diǎn)為頂點(diǎn),可得多少個(gè)不同的三角形?解:(方法一)我們把從共線的4個(gè)點(diǎn)中取點(diǎn)的多少作為分類的標(biāo)準(zhǔn):第1類,共線的4個(gè)點(diǎn)中有2個(gè)點(diǎn)作為三角形的頂點(diǎn),共有C42·第2類,共線的4個(gè)點(diǎn)中有1個(gè)點(diǎn)作為三角形的頂點(diǎn),共有C41·第3類,共線的4個(gè)點(diǎn)中沒有點(diǎn)作為三角形的頂點(diǎn),共有C83=56(由分類加法計(jì)數(shù)原理,不同的三角形共有48+112+56=216(個(gè)).(方法二間接法)C123-通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。四、小結(jié)通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力?！窘虒W(xué)反思】在本節(jié)課的教學(xué)中，學(xué)生可能遇到的問題（或困難、障礙）是學(xué)生對組合概念的理解，并能區(qū)分出組合與排列。要解決這一問題，就要要通過典型的、學(xué)生比較熟悉的實(shí)例，經(jīng)過概括得出組合的定義，然后借助計(jì)數(shù)原理好排列數(shù)，推導(dǎo)出組合數(shù)公式，其中關(guān)鍵是在具體情境中運(yùn)用組合解決計(jì)數(shù)問題?！?.2.2組合與組合數(shù)》導(dǎo)學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解并掌握組合、組合數(shù)的概念,掌握組合與排列之間的聯(lián)系與區(qū)別.2.熟練掌握組合數(shù)公式及組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì),并運(yùn)用于計(jì)算之中.3.能夠運(yùn)用排列組合公式及計(jì)數(shù)原理解決一些簡單的應(yīng)用問題,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力與分析問題、解決問題的能力.【重點(diǎn)與難點(diǎn)】重點(diǎn)：組合、組合數(shù)的概念并運(yùn)用排列組合公式解決問題難點(diǎn)：組合與排列之間的聯(lián)系與區(qū)別【知識(shí)梳理】一、組合的相關(guān)概念1.組合:一般地,從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素作為一組,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.2.相同組合:兩個(gè)組合只要元素相同,不論元素的順序如何,都是相同的.名師點(diǎn)析排列與組合的區(qū)別與聯(lián)系(1)共同點(diǎn):兩者都是從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素.(2)不同點(diǎn):排列與元素的順序有關(guān),組合與元素的順序無關(guān).二、組合數(shù)與組合數(shù)公式1.組合數(shù)的定義:從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù),叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù),用符號(hào)Cnm2.組合數(shù)公式:Cnm=AnmAm另外,我們規(guī)定Cn0=1.校門口停放著9輛共享自行車，其中黃色、紅色和綠色的各有3輛，下面的問題是排列問題，還是組合問題？（1）從中選3輛，有多少種不同的方法？（2）從中選2輛給3位同學(xué)有多少種不同的方法？【學(xué)習(xí)過程】一、問題探究問題1.從甲乙丙三名同學(xué)中選兩名去參加一項(xiàng)活動(dòng)，有多少種不同的選法？這一問題與6.2.1節(jié)問題一有什么聯(lián)系與區(qū)別？從三個(gè)不同元素中取出兩個(gè)元素作為一組一共有多少個(gè)不同的組？問題2：利用排列和組合之間的關(guān)系，以“元素相同”為標(biāo)準(zhǔn)分類，你能建立起例5（1）中排列和（2）中組合之間的對應(yīng)關(guān)系嗎？進(jìn)一步地，能否從這種對應(yīng)關(guān)系出發(fā)，由排列數(shù)求出組合的個(gè)數(shù)？問題3：前面已經(jīng)提到，組合和排列有關(guān)系，我們能否利用這種關(guān)系，由排列數(shù)Anm來求組合數(shù)二、典例解析例5.平面內(nèi)有A，B，C，D共4個(gè)點(diǎn).（1）以其中2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段共有多少條？（2）以其中2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段共有多少條？例6.計(jì)算：（1）C103；（2觀察例6的（1）與（2），（3）與（4）的結(jié)果，你有什么發(fā)現(xiàn)？（1）與（2）分別用了不同形式的組合數(shù)公式，你對公式的選擇有什么想法？1.公式Cnm=AnmAm2.公式Cnm=n!m!(n3.根據(jù)題目特點(diǎn)合理選用組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)Cn跟蹤訓(xùn)練1.(1)計(jì)算:①3C83-2C52(2)求證:Cnm+1+例7.在100件產(chǎn)品中，有98件合格品，2件次品.從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件.（1）有多少種不同的抽法？（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種？（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種？組合問題的基本解法(1)判斷是否為組合問題;(2)是否分類或分步;(3)根據(jù)組合的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.跟蹤訓(xùn)練2.在一次數(shù)學(xué)競賽中,某學(xué)校有12人通過了初試,學(xué)校要從中選出5人去參加市級(jí)培訓(xùn),在下列條件下,有多少種不同的選法?(1)任意選5人;(2)甲、乙、丙三人必須參加;(3)甲、乙、丙三人不能參加;(4)甲、乙、丙三人只能有1人參加;(5)甲、乙、丙三人至少1人參加.變式：若本例題條件不變,甲、乙、丙三人至多2人參加,有多少種不同的選法?【達(dá)標(biāo)檢測】1.從10個(gè)不同的數(shù)中任取2個(gè)數(shù),求其和、差、積、商這四個(gè)問題中,屬于組合的有()A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)2.若An2=3A.4B.5C.6D.73.若集合A={a1,a2,a3,a4,a5},則集合A的子集中含有4個(gè)元素的子集共有個(gè).4.平面內(nèi)有12個(gè)點(diǎn),其中有4個(gè)點(diǎn)共線,此外再無任何3點(diǎn)共線,以這些點(diǎn)為頂點(diǎn),可得多少個(gè)不同的三角形?【課堂小結(jié)】【參考答案】知識(shí)梳理1.例如，從3個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的組合數(shù)，表示為C3從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的組合數(shù)，表示為C4思路：從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的組合數(shù)C43，設(shè)這4個(gè)元素為a,b,c,d，那么從中取出3個(gè)元素的排列數(shù)A43=24，以“元素相同”為標(biāo)準(zhǔn)將這24個(gè)排列分組如圖，一共有1.（1）與順序無關(guān)，是組合問題；（2）選出2輛給3位同學(xué)是有順序的，是排列問題。學(xué)習(xí)過程一、問題探究問題1.分析：在6.2.1

節(jié)問題1的6種選法中，存在“甲上午，乙下午”和“甲上午，乙下午”2種不同順序的選法，我們可以將它看成先選出甲、乙兩名同學(xué)，然后再分配上午和下午而得到的.同樣，先選出甲、丙、或乙、丙，再分配上午和下午也各有2種方法.從而甲、乙、丙3名同選2名去參加一項(xiàng)活動(dòng)，就只需考慮選出的2名同學(xué)作為一組，不需要考慮他們的順序。于是，在6.2.1節(jié)問題1的6種選法中，將選出的2名同學(xué)作為一組的選法就只有如下3種情況：甲乙、甲丙、乙丙.問題2：也可以這樣理解，求“從4個(gè)元素中取出3個(gè)元素的排列數(shù)A4第1步，從4個(gè)元素中取出3個(gè)元素作為一組，共有C4第2步，將取出的3個(gè)元素做全排列，共有A33于是，根據(jù)分布乘法計(jì)數(shù)原理有A43即C43=同樣的從n個(gè)不同對象中取出m個(gè)做排列，可以分成兩個(gè)步驟完成，第一步從n個(gè)不同對象中取出m個(gè)，有Cnm第二步將選出的m

個(gè)對象做全排列，有Amm由分步乘法計(jì)數(shù)原理有Anm=Cnm上述公式稱為組合數(shù)公式.二、典例解析例5.分析：（1）確定一條有向線段，不僅要確定兩個(gè)端點(diǎn)，還要考慮他們的順序是排列問題；（2）確定一條線段，只需確定兩個(gè)端點(diǎn)，而不需要考慮它們的順序是組合問題.解：（1）一條有向線段的兩個(gè)端點(diǎn)，要分起點(diǎn)和終點(diǎn)，以平面內(nèi)4個(gè)點(diǎn)中的2個(gè)為端點(diǎn)的有向線段條數(shù)，就是從4個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的排列數(shù)，即有向線段條數(shù)為A4這12條有向線段分別為AB

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DA,BC（2）由于不考慮兩個(gè)端點(diǎn)的順序，因此將（1）中端點(diǎn)相同、方向不同的2條有向線段作為一條線段，就是中平面內(nèi)4個(gè)點(diǎn)中的2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的條數(shù)，共有如下6條：AB,AC,AD,BC,BD,CD.例6.解:根據(jù)組合數(shù)公式，可得C103=AC107(3)

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跟蹤訓(xùn)練1.分析:(1)先考慮利用組合數(shù)的性質(zhì)對原式進(jìn)行化簡,再利用組合數(shù)公式展開計(jì)算.(2)式子中涉及字母,可以用階乘式證明.(1)解:①3C83-2C52+②C100(2)證明左邊=n=n!=n!=(=Cn+2例7.分析:（1）所求的不同抽法的種數(shù)，就是從100件產(chǎn)品中取出3件的組合數(shù)；（2）分兩步，第一步從2件次品中抽出1件次品，第二步從98件合格品中抽出2件合格品，由乘法原理可得；（3）可從反面考慮，其反面是抽出的3件全是合格品，求出方法數(shù)后，由第（1）題的結(jié)論減去這個(gè)結(jié)果即可得．解：（1）所求的不同抽法的種數(shù)，就是從100件產(chǎn)品中取出3件的組合數(shù)，∴共有(種)；（2）從2件次品中抽出1件次品的抽法有種，從98件合格品中抽出2件合格品的抽法有種，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有(種).（3）抽出的3件產(chǎn)品中至少有1件是次品的抽法的種數(shù)，也就是從100件中抽出3件的抽法種數(shù)減去3件中都是合格品的抽法的種數(shù)，即(種).跟蹤訓(xùn)練2.分析:本題屬于組合問題中的最基本的問題,可根據(jù)題意分別對不同問題中的“含”與“不含”作出正確的判斷和分析.注意“至少”“至多”問題,運(yùn)用間接法求解會(huì)簡化思維過程.解:(1)C12(2)甲、乙、丙三人必須參加,只需從另外的9人中選2人,共有C9(3)甲、乙、丙三人不能參加,只需從另外的9人中選5人,共有C9(4)甲、乙、丙三人只能有1人參加,分兩步,先從甲、乙、丙中選1人,有C31=3(種)選法,再從另外的9人中選4人有C94(5)(方法一直接法)可分為三類:第1類,甲、乙、丙中有1人參加,有C31第2類,甲、乙、丙中有2人參加,有C32第3類,甲、乙、丙3人均參加,有C33所以,共有C3(方法二間接法)12人中任意選5人共有C125種,甲、乙、丙三人不能參加的有所以,共有C12變式：解:(方法一直接法)甲、乙、丙三人至多2人參加,可分為三類:第1類,甲、乙、丙都不參加,有C95第2類,甲、乙、丙中有1人參加,有C31第3類,甲、乙、丙中有2人參加,有C32共有C9(方法二間接法)12人中任意選5人共有C125種,甲、乙、丙三人全參加的有CC12達(dá)標(biāo)檢測1.解析:因?yàn)闇p法和除法運(yùn)算中交換兩個(gè)數(shù)的位置對計(jì)算結(jié)果有影響,所以屬于組合的有2個(gè).答案:B2.解析:因?yàn)锳n2=3Cn答案:C3.解析:滿足要求的子集中含有4個(gè)元素,由集合中元素的無序性,知其子集個(gè)數(shù)為C5答案:54.解:(方法一)我們把從共線的4個(gè)點(diǎn)中取點(diǎn)的多少作為分類的標(biāo)準(zhǔn):第1類,共線的4個(gè)點(diǎn)中有2個(gè)點(diǎn)作為三角形的頂點(diǎn),共有C42·第2類,共線的4個(gè)點(diǎn)中有1個(gè)點(diǎn)作為三角形的頂點(diǎn),共有C41·第3類,共線的4個(gè)點(diǎn)中沒有點(diǎn)作為三角形的頂點(diǎn),共有C83=56(由分類加法計(jì)數(shù)原理,不同的三角形共有48+112+56=216(個(gè)).(方法二間接法)C123-《6.2.2組合與組合數(shù)》基礎(chǔ)訓(xùn)練一、選擇題1．從10名學(xué)生中挑選出3名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，不同的選法有（）A．種B．3！C．種D．以上均不對2．下列計(jì)算結(jié)果是的是（）.A．B．C．D．3．若6個(gè)人分4張無座的足球門票，每人至多分1張，而且票必須分完，那么不同分法的種數(shù)是（）A．B．C．15D．3604．已知n，，，下面哪一個(gè)等式是恒成立的（）A．B．C．D．5．（多選題）若，則x的值為（）A．4B．5C．6D．76．（多選題）已知+0！=4，則m的值可以是（）A．1B．2C．3D．4二、填空題7．若，則______.8．以一個(gè)正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有______個(gè).9．為了獎(jiǎng)勵(lì)班上進(jìn)步大的8名學(xué)生，班主任購買了5本相同的書和3本相同的筆記本作為獎(jiǎng)品分發(fā)給這8名學(xué)生，每人一件，則不同的分法有_________種．10．古典著作《連山易》中記載了金、木、水、火土之間相生相克的關(guān)系，如圖所示，現(xiàn)從五種不同屬性的物質(zhì)中任取兩種，則取出的兩種物質(zhì)恰是相克關(guān)系的概率為________三、解答題11．已知，.（1）求x的值；（2）求的值.12．一個(gè)口袋內(nèi)有3個(gè)不同的紅球，4個(gè)不同的白球（1）從中任取3個(gè)球，紅球的個(gè)數(shù)不比白球少的取法有多少種？（2）若取一個(gè)紅球記2分，取一個(gè)白球記1分，從中任取4個(gè)球，使總分不少于6分的取法有多少種？答案解析一、選擇題1．從10名學(xué)生中挑選出3名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，不同的選法有（）A．種B．3！C．種D．以上均不對【答案】C【詳解】根據(jù)組合數(shù)的概念可知C選項(xiàng)正確.2．下列計(jì)算結(jié)果是的是（）.A．B．C．D．【答案】D【詳解】，，，.3．若6個(gè)人分4張無座的足球門票，每人至多分1張，而且票必須分完，那么不同分法的種數(shù)是（）A．B．C．15D．360【答案】C【詳解】因?yàn)槭菬o座的足球門票，所以可以看成相同的元素，因此可以看成組合問題，則有.故選：C4．已知n，，，下面哪一個(gè)等式是恒成立的（）A．B．C．D．【答案】B【詳解】由組合數(shù)的定義可知，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；由排列數(shù)的定義可知，B選項(xiàng)正確；由組合數(shù)的性質(zhì)可知，則C、D選項(xiàng)均錯(cuò)誤.故選B.5．（多選題）若，則x的值為（）A．4B．5C．6D．7【答案】AC【詳解】因?yàn)?，所以或，解得或，故選：AC.6．（多選題）已知+0！=4，則m的值可以是（）A．1B．2C．3D．4【答案】BC【詳解】∵+0！=4，∴=6．當(dāng)m=2時(shí)成立；當(dāng)m=3時(shí)也成立．故選：BC．二、填空題7．若，則______.【答案】190【解析】則，所以8．以一個(gè)正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有______個(gè).【答案】64【解析】正方體的個(gè)頂點(diǎn)中任取個(gè)共有個(gè)，不能組成四面體的個(gè)頂點(diǎn)有，已有個(gè)面，對角面有個(gè)，所以以一個(gè)正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有個(gè)，故選9．為了獎(jiǎng)勵(lì)班上進(jìn)步大的8名學(xué)生，班主任購買了5本相同的書和3本相同的筆記本作為獎(jiǎng)品分發(fā)給這8名學(xué)生，每人一件，則不同的分法有_________種．【答案】56【詳解】解：根據(jù)題意，5本相同的書和3本相同的筆記本發(fā)給8名學(xué)生，每人1本，需要在8人中任選3人，領(lǐng)取筆記本，剩下5人領(lǐng)取書即可，則有種不同的分法.10．古典著作《連山易》中記載了金、木、水、火土之間相生相克的關(guān)系，如圖所示，現(xiàn)從五種不同屬性的物質(zhì)中任取兩種，則取出的兩種物質(zhì)恰是相克關(guān)系的概率為________【答案】【詳解】解：古典著作《連山易》中記載了金、木、水、火土之間相生相克的關(guān)系，現(xiàn)從五種不同屬性的物質(zhì)中任取兩種，基本事件總數(shù)，取出的兩種物質(zhì)恰是相克關(guān)系包含的基本事件有：水克火，木克土，火克金，土克水，金克木，共5種，則取出的兩種物質(zhì)恰是相克關(guān)系的概率為．三、解答題11．已知，.（1）求x的值；（2）求的值.【詳解】（1）由已知得：，化簡得：，解得或，又因?yàn)椋?（2）將代入得.12．一個(gè)口袋內(nèi)有3個(gè)不同的紅球，4個(gè)不同的白球（1）從中任取3個(gè)球，紅球的個(gè)數(shù)不比白球少的取法有多少種？（2）若取一個(gè)紅球記2分，取一個(gè)白球記1分，從中任取4個(gè)球，使總分不少于6分的取法有多少種？【詳解】解:(1)從中任取個(gè)球，紅球的個(gè)數(shù)不比白球少的取法：紅球個(gè)，紅球個(gè)和白球個(gè).當(dāng)取紅球個(gè)時(shí)，取法有種；當(dāng)取紅球個(gè)和白球個(gè)時(shí)，.取法有種.根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理,紅球的個(gè)數(shù)不少于白球的個(gè)數(shù)的取法有種.(2)使總分不少于分情況有兩種：紅球個(gè)和白球個(gè)，紅球個(gè)和白球個(gè).第一種，紅球個(gè)和白球個(gè)，取法有種;第二種，紅球個(gè)和白球個(gè)，取法有種,根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，使總分不少于分的取法有種.《6.2.2組合與組合數(shù)》提高訓(xùn)練一、選擇題1．若，則的值為（）A．60B．70C．120D．1402．為了獎(jiǎng)勵(lì)班上進(jìn)步大的8名學(xué)生，班主任購買了5本相同的書和3本相同的筆記本作為獎(jiǎng)品分發(fā)給這8名學(xué)生，每人一件，則不同的分法有（）A．28種B．56種C．112種D．336種3．若成等差數(shù)列，則值為（）A．14B．12C．10D．84．《易經(jīng)》是中國傳統(tǒng)文化．如圖是易經(jīng)八卦圖（含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦），每一卦由三根線組成（“”表示一根陽線，“”表示一根陰線）．從八卦中任取兩卦，這兩卦的六根線中恰有兩根陽線和四根陰線的概率為（）A．B．C．D．5.（多選題）下列等式中，成立的有（）A．B．C．D．6.（多選題）某班有50名學(xué)生，其中正、副班長各1人，現(xiàn)選派5人參加一項(xiàng)活動(dòng)，要求正、副班長至少有1人參加，問共有多少種選派方法？下面是學(xué)生提供的四種計(jì)算方法正確的算法為（）A.；B.；C.；D.．二、填空題7．若，則__________．8.某地區(qū)為了組建援鄂抗疫醫(yī)療隊(duì)，現(xiàn)從4名醫(yī)生，5名護(hù)士中選3名醫(yī)護(hù)人員組成一個(gè)團(tuán)隊(duì)，要求醫(yī)生、護(hù)士都有，則不同的組隊(duì)方案種數(shù)是__________．9．已知，則________．10．已知集合，，，若從這三個(gè)集合中各取一個(gè)元素構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，則確定不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為________.三、解答題11．（1）本不同的書分給甲、乙、丙同學(xué)，每人各得本，有多少種不同的分法？（2）從個(gè)男生和個(gè)女生中選出名學(xué)生參加一次會(huì)議，要求至少有名男生和名女生參加，有多少種選法？12.男運(yùn)動(dòng)員6名，女運(yùn)動(dòng)員4名，其中男?女隊(duì)長各1名.現(xiàn)選派5人外出參加比賽，在下列情形中各有多少種選派方法？（1）男運(yùn)動(dòng)員3名，女運(yùn)動(dòng)員2名；（2）隊(duì)長中至少有1人參加；（3）既要有隊(duì)長，又要有女運(yùn)動(dòng)員.答案解析一、選擇題1．若，則的值為（）A．60B．70C．120D．140【答案】D【詳解】，解得或（舍去），.2．為了獎(jiǎng)勵(lì)班上進(jìn)步大的8名學(xué)生，班主任購買了5本相同的書和3本相同的筆記本作為獎(jiǎng)品分發(fā)給這8名學(xué)生，每人一件，則不同的分法有（）A．28種B．56種C．112種D．336種【答案】B【詳解】根據(jù)題意，5本相同的書和3本相同的筆記本發(fā)給8名學(xué)生，每人1本，需要在8人中任選3人，領(lǐng)取筆記本，剩下5人領(lǐng)取書即可，則有種不同的分法.3．若成等差數(shù)列，則值為（）A．14B．12C．10D．8【答案】A【詳解】∵成等差數(shù)列，∴，∴，解得：或.4．《易經(jīng)》是中國傳統(tǒng)文化．如圖是易經(jīng)八卦圖（含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦），每一卦由三根線組成（“”表示一根陽線，“”表示一根陰線）．從八卦中任取兩卦，這兩卦的六根線中恰有兩根陽線和四根陰線的概率為（）A．B．C．D．【答案】A【詳解】八卦分成四類，A類是：3個(gè)卦含1陰2陽，B類是：3卦含2陰1陽，C類1卦含是3陽，D類1卦是3陰．從八卦中任取兩卦共有，兩卦中含2陽4陰，則可以從B類選2卦，方法數(shù)為，或者選D類和A類1的1卦，方法數(shù)是3．所求概率為．5.（多選題）下列等式中，成立的有（）A．B．C．D．【答案】BCD【詳解】，A