《7.3.2離散型隨機(jī)變量的方差》教案、導(dǎo)學(xué)案與同步練習(xí)

《7.3.2離散型隨機(jī)變量的方差》教案【教材分析】本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊》，第七章《隨機(jī)變量及其分布列》，本節(jié)課主本節(jié)課主要學(xué)習(xí)離散型隨機(jī)變量的方差本節(jié)本部分內(nèi)容主要包括隨機(jī)變量的均值和方差。本節(jié)課是前面學(xué)習(xí)完隨機(jī)變量分布列的基礎(chǔ)上進(jìn)行研究的，知識上具有著承前啟后的作用。隨機(jī)變量的均值和方差是概率論和數(shù)理統(tǒng)計的重要概念，節(jié)課是從實際出發(fā)，通過抽象思維，建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而認(rèn)知數(shù)學(xué)理論，應(yīng)用于實際的過程?！窘虒W(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.通過實例,理解取有限個值的離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的概念和意義.B.會求離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差.C.會利用離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差解決一些實際問題.1.數(shù)學(xué)抽象：離散型隨機(jī)變量的方差的概念2.邏輯推理：離散型隨機(jī)變量的方差的性質(zhì)3.數(shù)學(xué)運算：求離散型隨機(jī)變量的方差4.數(shù)學(xué)建模：模型化思想【重點與難點】重點：理解離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的概念及其求解難點：利用離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差解決一些實際問題.【教學(xué)過程】教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計問題導(dǎo)學(xué)隨機(jī)變量的均值是一個重要的數(shù)字特征，它反映了隨機(jī)變量取值的平均水平或分布的“集中趨勢”.因為隨機(jī)變量的取值圍繞其均值波動，而隨機(jī)變量的均值無法反映波動幅度的大小，所以我們還需要尋找反映隨機(jī)變量取值波動大小的數(shù)字特征.探究新知探究1：從兩名同學(xué)中挑出一名代表班級參加射擊比賽。根據(jù)以往的成績記錄，甲、乙兩名同學(xué)擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)X和Y的分布列如下表1和表2所示：如何評價這兩名同學(xué)的射擊水平？E(X)=8;E(Y)=8因為兩個均值相等，所以均值不能區(qū)分這兩名同學(xué)的射擊水平。表1X678910P0.090.240.320.280.07表2X678910P0.070.220.380.30.03射擊水平除了要考慮擊中環(huán)數(shù)的均值外，還要考慮穩(wěn)定性，即擊中環(huán)數(shù)的離散程度，圖一和圖二分別是X和Y的概率分布圖：發(fā)現(xiàn)乙同學(xué)的射擊成績更集中于8環(huán)，即乙同學(xué)的設(shè)計成績更穩(wěn)定。探究2：怎樣定量到留離散型隨機(jī)變量取值的離散程度?我們知道,樣本方差可以度量一組樣本數(shù)據(jù)的離散程度,它是通過計算所有數(shù)據(jù)與樣本均值的“偏差平方的平均值”來實現(xiàn)的,一個自然的想法是,隨機(jī)變量的離散程度能否用可能取值與均值的“偏差平方的平均值”來度量呢?問題1.某人射擊10次，所得環(huán)數(shù)分別是：1,1,1,1,2,2,2,3,3,4；則所得的平均環(huán)數(shù)是多少？X1234P4321問題2.某人射擊10次,所得環(huán)數(shù)分別是:1,1,1,1,2,2,2,3,3,4；則這組數(shù)據(jù)的方差是多少？反映這組數(shù)據(jù)相對于平均值的集中程度的量一般地，若離散型隨機(jī)變量X的概率分布列為：則稱為隨機(jī)變量X的方差，有時也記為Var(X).稱σ(Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn離散型隨機(jī)變量取值的方差隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都可以度量隨機(jī)變量的取值與其均值的偏離程度，反映了隨機(jī)變量取值的離散程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，隨機(jī)變量的取值越集中；方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大，隨機(jī)變量的取值越分散。因此，問題1中兩名同學(xué)射擊成績的方差和標(biāo)準(zhǔn)差來刻畫它們成績的穩(wěn)定性。兩名同學(xué)射擊成績的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為:因為D(Y)<D(X)(等價地，)，所以隨機(jī)變量Y的取值相對更集中，即乙同學(xué)的射擊成績相對更穩(wěn)定。問題3：方差的計算可以簡化嗎？D=問題4：離散型隨機(jī)變量X加上一個常數(shù)，方差會有怎樣變化？離散型隨機(jī)變量X乘以一個常數(shù)，方差又有怎樣的變化？它們和期望的性質(zhì)有什么不同？離散型隨機(jī)變量X加上一個常數(shù)b，僅僅使X的值產(chǎn)生一個平移，不改變X與其均值的離散程度，方差保持不變，即D(X+b)=D(X)而離散型隨機(jī)變量X乘以一個常數(shù)a,其方差變?yōu)樵讲畹腶2倍，即D(aX)=a2D(X),因此，D(aX+b)=a2D(X).三、典例解析例1：拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，求擲出的點數(shù)X的方差。解：隨機(jī)變量E方差的計算方法方差的計算需要一定的運算能力,在隨機(jī)變量X2的均值比較好計算的情況下,運用關(guān)系式D(X)=E(X2)-[E(X)]2不失為一種比較實用的方法.另外注意方差性質(zhì)的應(yīng)用,如D(aX+b)=a2D(X)(a≠0).跟蹤訓(xùn)練1已知η的分布列為(1)求η的方差及標(biāo)準(zhǔn)差;(2)設(shè)Y=2η-E(η),求D(Y).η010205060P12121解:(1)∵E(η)=0×13+10×25+20×115+50×2D(η)=(0-16)2×13+(10-16)2×25+(20-16)2×115+(50-16)+(60-16)2×115∴D(η)(2)∵Y=2η-E(η),∴D(Y)=D(2η-E(η))=22D(η)=4×384=1536.例2：投資A、B兩種股票，每股收益的分布列分別如表1和表二所示：收益X/元-102概率0.10.30.6表1收益X/元012概率0.30.40.3表2（1）投資哪種股票的期望收益大？（2）投資哪種股票的風(fēng)險較高？解：(1)股票A和股票B投資收益的期望分別為E(X)=(-1)x0.1+0x0.3+2x0.6=1.1,E(Y)=0x0.3+1x0.4+2x0.3=1.因為E(X)>E(Y),所以投資股票A的期望收益較大。（2)股票A和股票B投資收益的方差分別為D(X)=(-1)2x0.1+02x0.3+22x0.6-1.12=1.29,D(Y)=02x0.3+12x0.4+22x0.3-12=0.6.因為E(X)和E(Y)相差不大，且D(X)>D(Y),所以資股票A比投資股票B的風(fēng)險高。利用均值和方差的意義解決實際問題的步驟1.比較均值.離散型隨機(jī)變量的均值反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平,因此,在實際決策問題中,需先計算均值,看一下誰的平均水平高.2.在均值相等或接近的情況下計算方差.方差反映了離散型隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度.通過計算方差,分析一下誰的水平發(fā)揮相對穩(wěn)定.3.下結(jié)論.依據(jù)均值和方差做出結(jié)論.跟蹤訓(xùn)練2.A、B兩個投資項目的利潤率分別為隨機(jī)變量X1和X2，根據(jù)市場分析，X1和X2的分布列分別為X12%8%12%X25%10%P0.20.50.3P0.80.2求：(1)在A、B兩個項目上各投資100萬元，Y1和Y2分別表示投資項目A和B所獲得的利潤，求方差D(Y1)和D(Y2)；(2)根據(jù)得到的結(jié)論，對于投資者有什么建議？解：(1)題目可知，投資項目A和B所獲得的利潤Y1和Y2的分布列為：Y12812Y2510P0.20.50.3P0.80.2所以;;解：(2)由(1)可知，說明投資A項目比投資B項目期望收益要高；同時，說明投資A項目比投資B項目的實際收益相對于期望收益的平均波動要更大.因此，對于追求穩(wěn)定的投資者，投資B項目更合適;而對于更看重利潤并且愿意為了高利潤承擔(dān)風(fēng)險的投資者，投資A項目更合適.通過知識回顧，提出問題.通過具體的問題情境，引發(fā)學(xué)生思考積極參與互動，說出自己見解。從而引入離散型隨機(jī)變量分布列方差的概念，發(fā)展學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。通過典例解析，提升對概念精細(xì)化的理解。讓學(xué)生掌握方差的算法。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)。通過典例解析，在具體的問題情境中，深化概率的理解。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)。三、達(dá)標(biāo)檢測1．給出下列四個命題：①離散型隨機(jī)變量X的均值E(X)反映了X取值的平均值；②離散型隨機(jī)變量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平；③離散型隨機(jī)變量X的均值E(X)反映了X取值的平均水平；④離散型隨機(jī)變量X的方差D(X)反映了X取值偏離于均值的平均程度．則正確命題應(yīng)該是()A．①④B．②③C．①②D．③④D2．把下面X的分布列填寫完整：并完成問題其中p∈(0,1)，則E(X)＝________，D(X)＝________.X01PP解析：而由已知分布列的性質(zhì)有p＋x＝1，x=1-pE(X)＝0×(1-p)＋1×p＝p，∴D(X)＝(0－p)2(1-p)＋(1－p)2p＝p(1-p).答案：1-p；p；p(1-p)3.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表.若E(X)=0,D(X)=1,a=,b=.X-1012Pabc1解析:由題知a+b+c=1112,-a+c+16=0,12×a+12×c+22×解得a=512,b=14.4.甲、乙兩個野生動物保護(hù)區(qū)有相同的自然環(huán)境,且野生動物的種類和數(shù)量也大致相等,而兩個保護(hù)區(qū)內(nèi)每個季度發(fā)現(xiàn)違反保護(hù)條例的事件次數(shù)的分布列分別如下,甲保護(hù)區(qū):X0123P0.30.30.20.2乙保護(hù)區(qū):Y012P0.10.50.4試評定這兩個保護(hù)區(qū)的管理水平.解:甲保護(hù)區(qū)違規(guī)次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望和方差為E(X)=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3,D(X)=(0-1.3)2×0.3+(1-1.3)2×0.3+(2-1.3)2×0.2+(3-1.3)2×0.2=1.21.乙保護(hù)區(qū)的違規(guī)次數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望和方差為E(Y)=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3,D(Y)=(0-1.3)2×0.1+(1-1.3)2×0.5+(2-1.3)2×0.4=0.41.因為E(X)=E(Y),D(X)>D(Y),所以兩個保護(hù)區(qū)內(nèi)每個季度發(fā)生的違規(guī)事件的平均次數(shù)相同,但甲保護(hù)區(qū)的違規(guī)事件次數(shù)相對分散和波動,乙保護(hù)區(qū)內(nèi)的違規(guī)事件次數(shù)更加集中和穩(wěn)定,所以乙保護(hù)區(qū)的管理水平比甲高.通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。四、小結(jié)通過總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力?！窘虒W(xué)反思】課后通過對教學(xué)過程的反思與研究,才能不斷完善教學(xué)設(shè)計中的不足,才能提升教材分析的能力和課堂教學(xué)實效.1.多元展示,多方評價.在教學(xué)過程中我借問題牽引，保證了課堂教學(xué)的順利實施；而在整個過程中，我對學(xué)生所作練習(xí)、疑問及時解析評價；學(xué)生之間、小組之間的互相評價補(bǔ)充，使學(xué)生共享成果分享喜悅，堅定了學(xué)好數(shù)學(xué)的信念，實現(xiàn)了預(yù)期目標(biāo).2.創(chuàng)造性的使用教材.有別于教材，我在教學(xué)中,讓學(xué)生考察了分別考察了兩類題型之后再引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納,這樣更貼近學(xué)生的認(rèn)知水平，學(xué)生課后反饋，效果較為理想.《7.3.2離散型隨機(jī)變量的方差》導(dǎo)學(xué)案【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.通過實例,理解取有限個值的離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的概念和意義.2.會求離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差.3.會利用離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差解決一些實際問題.【重點與難點】重點：理解離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的概念及其求解難點：利用離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差解決一些實際問題.【知識梳理】1.離散型隨機(jī)變量取值的方差一般地，若離散型隨機(jī)變量X的概率分布列為：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn則稱為隨機(jī)變量X的方差，有時也記為Var(X).稱σ(X)=DX2、離散型隨機(jī)變量ξ的期望與方差的性質(zhì)名詞數(shù)學(xué)期望方差定義E(ξ)=ξ1p1+ξ2p2+…+ξnpnD(ξ)=[ξ1-E(ξ)]2p1+[ξ2-E(ξ)]2p2+…+[ξn-E(ξ)]2pn性質(zhì)(1)E(a)=a(a為常數(shù))(2)E(aξ)=aE(ξ)(a≠0)(3)E(aξ+b)=aE(ξ)+b(a,b為常數(shù),且a≠0)(1)D(a)=0(a為常數(shù))(2)D(aξ)=a2D(ξ)(a≠0)(3)D(aξ+b)=a2D(ξ)(a,b為常數(shù),且a≠0)數(shù)學(xué)意義E(ξ)是一個常數(shù),它反映了隨機(jī)變量取值的平均水平,亦稱均值D(ξ)是一個常數(shù),它反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度【學(xué)習(xí)過程】一、問題探究隨機(jī)變量的均值是一個重要的數(shù)字特征，它反映了隨機(jī)變量取值的平均水平或分布的“集中趨勢”.因為隨機(jī)變量的取值圍繞其均值波動，而隨機(jī)變量的均值無法反映波動幅度的大小，所以我們還需要尋找反映隨機(jī)變量取值波動大小的數(shù)字特征.探究1：從兩名同學(xué)中挑出一名代表班級參加射擊比賽。根據(jù)以往的成績記錄，甲、乙兩名同學(xué)擊中目標(biāo)靶的環(huán)數(shù)X和Y的分布列如下表1和表2所示：如何評價這兩名同學(xué)的射擊水平？探究2：怎樣定量到留離散型隨機(jī)變量取值的離散程度?問題1.某人射擊10次，所得環(huán)數(shù)分別是：1,1,1,1,2,2,2,3,3,4；則所得的平均環(huán)數(shù)是多少？問題2.某人射擊10次,所得環(huán)數(shù)分別是:1,1,1,1,2,2,2,3,3,4；則這組數(shù)據(jù)的方差是多少？問題3：方差的計算可以簡化嗎？問題4：離散型隨機(jī)變量X加上一個常數(shù)，方差會有怎樣變化？離散型隨機(jī)變量X乘以一個常數(shù)，方差又有怎樣的變化？它們和期望的性質(zhì)有什么不同？二、典例解析例1：拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，求擲出的點數(shù)X的方差。方差的計算方法方差的計算需要一定的運算能力,在隨機(jī)變量X2的均值比較好計算的情況下,運用關(guān)系式D(X)=E(X2)-[E(X)]2不失為一種比較實用的方法.另外注意方差性質(zhì)的應(yīng)用,如D(aX+b)=a2D(X)(a≠0).跟蹤訓(xùn)練1已知η的分布列為(1)求η的方差及標(biāo)準(zhǔn)差;(2)設(shè)Y=2η-E(η),求D(Y).η010205060P12121例2：投資A、B兩種股票，每股收益的分布列分別如表1和表二所示：收益X/元-102概率0.10.30.6表1收益X/元012概率0.30.40.3表2（1）投資哪種股票的期望收益大？（2）投資哪種股票的風(fēng)險較高？利用均值和方差的意義解決實際問題的步驟1.比較均值.離散型隨機(jī)變量的均值反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平,因此,在實際決策問題中,需先計算均值,看一下誰的平均水平高.2.在均值相等或接近的情況下計算方差.方差反映了離散型隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度.通過計算方差,分析一下誰的水平發(fā)揮相對穩(wěn)定.3.下結(jié)論.依據(jù)均值和方差做出結(jié)論.跟蹤訓(xùn)練2.A、B兩個投資項目的利潤率分別為隨機(jī)變量X1和X2，根據(jù)市場分析，X1和X2的分布列分別為X12%8%12%X25%10%P0.20.50.3P0.80.2求：(1)在A、B兩個項目上各投資100萬元，Y1和Y2分別表示投資項目A和B所獲得的利潤，求方差D(Y1)和D(Y2)；(2)根據(jù)得到的結(jié)論，對于投資者有什么建議？【達(dá)標(biāo)檢測】1．給出下列四個命題：①離散型隨機(jī)變量X的均值E(X)反映了X取值的平均值；②離散型隨機(jī)變量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平；③離散型隨機(jī)變量X的均值E(X)反映了X取值的平均水平；④離散型隨機(jī)變量X的方差D(X)反映了X取值偏離于均值的平均程度．則正確命題應(yīng)該是()A．①④B．②③C．①②D．③④2．把下面X的分布列填寫完整：并完成問題其中p∈(0,1)，則E(X)＝________，D(X)＝________.X01PP3.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表.若E(X)=0,D(X)=1,a=,b=.X-1012Pabc14.甲、乙兩個野生動物保護(hù)區(qū)有相同的自然環(huán)境,且野生動物的種類和數(shù)量也大致相等,而兩個保護(hù)區(qū)內(nèi)每個季度發(fā)現(xiàn)違反保護(hù)條例的事件次數(shù)的分布列分別如下,甲保護(hù)區(qū):X0123P0.30.30.20.2乙保護(hù)區(qū):Y012P0.10.50.4試評定這兩個保護(hù)區(qū)的管理水平.【參考答案】學(xué)習(xí)過程一、問題探究探究1：E(X)=8;E(Y)=8因為兩個均值相等，所以均值不能區(qū)分這兩名同學(xué)的射擊水平。表1X678910P0.090.240.320.280.07表2X678910P0.070.220.380.30.03射擊水平除了要考慮擊中環(huán)數(shù)的均值外，還要考慮穩(wěn)定性，即擊中環(huán)數(shù)的離散程度，圖一和圖二分別是X和Y的概率分布圖：發(fā)現(xiàn)乙同學(xué)的射擊成績更集中于8環(huán)，即乙同學(xué)的設(shè)計成績更穩(wěn)定。探究2：我們知道,樣本方差可以度量一組樣本數(shù)據(jù)的離散程度,它是通過計算所有數(shù)據(jù)與樣本均值的“偏差平方的平均值”來實現(xiàn)的,一個自然的想法是,隨機(jī)變量的離散程度能否用可能取值與均值的“偏差平方的平均值”來度量呢?問題1.X1234P4321問題2.反映這組數(shù)據(jù)相對于平均值的集中程度的量因此，問題1中兩名同學(xué)射擊成績的方差和標(biāo)準(zhǔn)差來刻畫它們成績的穩(wěn)定性。兩名同學(xué)射擊成績的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為:因為D(Y)<D(X)(等價地，)，所以隨機(jī)變量Y的取值相對更集中，即乙同學(xué)的射擊成績相對更穩(wěn)定。問題3：D=問題4：離散型隨機(jī)變量X加上一個常數(shù)b，僅僅使X的值產(chǎn)生一個平移，不改變X與其均值的離散程度，方差保持不變，即D(X+b)=D(X)而離散型隨機(jī)變量X乘以一個常數(shù)a,其方差變?yōu)樵讲畹腶2倍，即D(aX)=a2D(X)因此，D(aX+b)=a2D(X).二、典例解析例1：解：隨機(jī)變量E(X跟蹤訓(xùn)練1解:(1)∵E(η)=0×13+10×25+20×115+50×2D(η)=(0-16)2×13+(10-16)2×25+(20-16)2×115+(50-16)+(60-16)2×115∴D(η)(2)∵Y=2η-E(η),∴D(Y)=D(2η-E(η))=22D(η)=4×384=1536.例2：解：(1)股票A和股票B投資收益的期望分別為E(X)=(-1)x0.1+0x0.3+2x0.6=1.1,E(Y)=0x0.3+1x0.4+2x0.3=1.因為E(X)>E(Y),所以投資股票A的期望收益較大。（2)股票A和股票B投資收益的方差分別為D(X)=(-1)2x0.1+02x0.3+22x0.6-1.12=1.29,D(Y)=02x0.3+12x0.4+22x0.3-12=0.6.因為E(X)和E(Y)相差不大，且D(X)>D(Y),所以資股票A比投資股票B的風(fēng)險高。跟蹤訓(xùn)練2.解：(1)題目可知，投資項目A和B所獲得的利潤Y1和Y2的分布列為：Y12812Y2510P0.20.50.3P0.80.2所以;;解：(2)由(1)可知，說明投資A項目比投資B項目期望收益要高；同時，說明投資A項目比投資B項目的實際收益相對于期望收益的平均波動要更大.因此，對于追求穩(wěn)定的投資者，投資B項目更合適;而對于更看重利潤并且愿意為了高利潤承擔(dān)風(fēng)險的投資者，投資A項目更合適.達(dá)標(biāo)檢測1．D2．解析：而由已知分布列的性質(zhì)有p＋x＝1，x=1-pE(X)＝0×(1-p)＋1×p＝p，∴D(X)＝(0－p)2(1-p)＋(1－p)2p＝p(1-p).答案：1-p；p；p(1-p)3.解析:由題知a+b+c=1112,-a+c+16=0,12×a+12×c+22×解得a=512,b=1答案:54.解:甲保護(hù)區(qū)違規(guī)次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望和方差為E(X)=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3,D(X)=(0-1.3)2×0.3+(1-1.3)2×0.3+(2-1.3)2×0.2+(3-1.3)2×0.2=1.21.乙保護(hù)區(qū)的違規(guī)次數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望和方差為E(Y)=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3,D(Y)=(0-1.3)2×0.1+(1-1.3)2×0.5+(2-1.3)2×0.4=0.41.因為E(X)=E(Y),D(X)>D(Y),所以兩個保護(hù)區(qū)內(nèi)每個季度發(fā)生的違規(guī)事件的平均次數(shù)相同,但甲保護(hù)區(qū)的違規(guī)事件次數(shù)相對分散和波動,乙保護(hù)區(qū)內(nèi)的違規(guī)事件次數(shù)更加集中和穩(wěn)定,所以乙保護(hù)區(qū)的管理水平比甲高.《7.3.2離散型隨機(jī)變量的方差》基礎(chǔ)訓(xùn)練一、選擇題1．甲、乙兩臺自動機(jī)床各生產(chǎn)同種標(biāo)準(zhǔn)產(chǎn)品件，表示甲機(jī)床生產(chǎn)件產(chǎn)品中的次品數(shù)，表示乙機(jī)床生產(chǎn)件產(chǎn)品中的次品數(shù)，經(jīng)過一段時間的考察，，的分布列分別如表一，表二所示．據(jù)此判斷（）表一表二A．甲比乙質(zhì)量好B．乙比甲質(zhì)量好C．甲與乙質(zhì)量相同D．無法判定2．已知隨機(jī)變量X的分布列如下：013若隨機(jī)變量Y滿足，則Y的方差（）A．B．C．D．3．設(shè)，，隨機(jī)變量X的分布列是（）a則方差（）A．既與有關(guān)，也與有關(guān)B．與有關(guān)，但與無關(guān)C．與有關(guān)，但與無關(guān)D．既與無關(guān)，也與無關(guān)4．已知隨機(jī)變量的分布列如下：12Pnm則的最大值（）A．B．C．D．5．（多選題）已知X的分布列為X－101Pa則下列說法正確的有（）A．P(X＝0)＝B．E(X)＝－C．D(X)＝D．P(X＞－1)＝6．（多選題）已知，隨機(jī)變量的分布列如下表所示，若，則下列結(jié)論中可能成立的是（）A．B．C．D．二、填空題7．隨機(jī)變量的分布列如下表：01Pab且，則______.8．已知離散型隨機(jī)變量的取值為0，1，2，且，，；若，則___________.9．隨機(jī)變量的分布列如下表：012其中，，成等差數(shù)列，若，則的值是________.10．設(shè)隨機(jī)變量的概率分布列如下表所示：123其中，，成等差數(shù)列，若隨機(jī)變量的均值為，則的方差為_________．三、解答題11．甲?乙兩個野生動物保護(hù)區(qū)有相同的自然環(huán)境，且野生動物的種類和數(shù)量也大致相等，而兩個保護(hù)區(qū)內(nèi)每個季度發(fā)現(xiàn)違反保護(hù)條例的事件次數(shù)的分布列分別如下，試評定這兩個保護(hù)區(qū)的管理水平.甲保護(hù)區(qū)：X0123P0.30.30.20.2乙保護(hù)區(qū)：Y01212．根據(jù)以往的經(jīng)驗，某工程施工期間的降水量（單位：）對工期的影響如下表：歷年氣象資料表明，該工程施工期間降水量小于、、的概率分別為、、．求：降水量工期延誤天數(shù)（1）工期延誤天數(shù)的均值與方差；（2）在降水量至少是的條件下，工期延誤不超過天的概率．答案解析一、選擇題1．甲、乙兩臺自動機(jī)床各生產(chǎn)同種標(biāo)準(zhǔn)產(chǎn)品件，表示甲機(jī)床生產(chǎn)件產(chǎn)品中的次品數(shù)，表示乙機(jī)床生產(chǎn)件產(chǎn)品中的次品數(shù)，經(jīng)過一段時間的考察，，的分布列分別如表一，表二所示．據(jù)此判斷（）表一表二A．甲比乙質(zhì)量好B．乙比甲質(zhì)量好C．甲與乙質(zhì)量相同D．無法判定【答案】B【詳解】由分布列可求甲的次品數(shù)期望為，乙的次品數(shù)期望為，，，，，乙比甲質(zhì)量好.2．已知隨機(jī)變量X的分布列如下：013若隨機(jī)變量Y滿足，則Y的方差（）A．B．C．D．【答案】D【詳解】由題意可知，，則，則，又，所以．3．設(shè)，，隨機(jī)變量X的分布列是（）a則方差（）A．既與有關(guān)，也與有關(guān)B．與有關(guān)，但與無關(guān)C．與有關(guān)，但與無關(guān)D．既與無關(guān)，也與無關(guān)【答案】B【詳解】由分布列可得，故.故選：B4．已知隨機(jī)變量的分布列如下：12Pnm則的最大值（）A．B．C．D．【答案】C【詳解】解:有題得，即，所以，故，因為，故，所以由二次函數(shù)性質(zhì)得，當(dāng)，的最大值.5．（多選題）已知X的分布列為X－101Pa則下列說法正確的有（）A．P(X＝0)＝B．E(X)＝－C．D(X)＝D．P(X＞－1)＝【答案】ABD【詳解】由分布列的性質(zhì)可知＝1，即a＝.∴P(X＝0)＝，故A正確；E(X)＝，故B正確；D(X)＝，故C錯誤；P(X＞－1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝，故D正確．故選：ABD.6．（多選題）已知，隨機(jī)變量的分布列如下表所示，若，則下列結(jié)論中可能成立的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【詳解】由題意得，．因為，所以，所以，又，所以，故不可能成立，而選項A，B，C均有可能成立.二、填空題7．隨機(jī)變量的分布列如下表：01Pab且，則______.【答案】【詳解】因為，又，所以，.8．已知離散型隨機(jī)變量的取值為0，1，2，且，，；若，則___________.【答案】【詳解】由題意知：，解得，所以.9．隨機(jī)變量的分布列如下表：012其中，，成等差數(shù)列，若，則的值是________.【答案】【詳解】因為，又因為，，成等差數(shù)列，所以所以,又因為，所以所以.10．設(shè)隨機(jī)變量的概率分布列如下表所示：123其中，，成等差數(shù)列，若隨機(jī)變量的均值為，則的方差為_________．【答案】【詳解】因為，，成等差數(shù)列，則，其在分布列中，所以，又因為機(jī)變量的均值，且,故所以的方差為三、解答題11．甲?乙兩個野生動物保護(hù)區(qū)有相同的自然環(huán)境，且野生動物的種類和數(shù)量也大致相等，而兩個保護(hù)區(qū)內(nèi)每個季度發(fā)現(xiàn)違反保護(hù)條例的事件次數(shù)的分布列分別如下，試評定這兩個保護(hù)區(qū)的管理水平.甲保護(hù)區(qū)：X0123P0.30.30.20.2乙保護(hù)區(qū)：Y012P0.10.50.4【詳解】解：甲保護(hù)區(qū)違規(guī)次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望和方差為E(X)=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3，D(X)=(01.3)2×0.3+(11.3)2×0.3+(21.3)2×0.2+(31.3)2×0.2=1.21.乙保護(hù)區(qū)的違規(guī)次數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望和方差為E(Y)=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3，D(Y)=(01.3)2×0.1+(11.3)2×0.5+(21.3)2×0.4=0.41.因為E(X)=E(Y)，D(X)>D(Y)，所以兩個保護(hù)區(qū)內(nèi)每個季度發(fā)生的違規(guī)事件的平均次數(shù)相同，但甲保護(hù)區(qū)的違規(guī)事件次數(shù)相對分散和波動，乙保護(hù)區(qū)內(nèi)的違規(guī)事件次數(shù)更加集中和穩(wěn)定，所以乙保護(hù)區(qū)的管理水平比甲高.12．根據(jù)以往的經(jīng)驗，某工程施工期間的降水量（單位：）對工期的影響如下表：歷年氣象資料表明，該工程施工期間降水量小于、、的概率分別為、、．求：降水量工期延誤天數(shù)（1）工期延誤天數(shù)的均值與方差；（2）在降水量至少是的條件下，工期延誤不超過天的概率．【答案】（1）的均值為，方差為；（2）．【詳解】（1）由已知條件和概率的加法公式有：，，，，所以的分布列為：于是，，.故工期延誤天數(shù)的均值為，方差為；（2）由對立事件的概率公式可得，又，由條件概率得，故在降水量至少是的條件下，工期延誤不超過天的概率是．《7.3.2離散型隨機(jī)變量的方差》提高訓(xùn)練一、選擇題1．已知離散型隨機(jī)變量的分布列為則下列說法一定正確的是（）A．B．C．D．2．隨機(jī)變量的分布列為若，則（）A．B．C．D．3．一道試題，甲解出的概率為，乙解出的概率為.設(shè)解出該題的人數(shù)為X，則D(X)等于（）A．B．C．D．4．設(shè)，隨機(jī)變量的分布01Pab則當(dāng)a在內(nèi)增大時，（）A．增大，增大B．增大，減小C．減小，增大D．減小，減小5．（多選題）已知ξ～B(n，p)，且E(3ξ＋2)＝9.2，D(3ξ＋2)＝12.96，則下列說法正確的有（）A．n＝4，p＝0.6B．n＝6，p＝0.4C．P(ξ≥1)＝0.46D．P(ξ＝0)＝0.666．（多選題）隨機(jī)變量的分布列為：其中，下列說法正確的是（）012A．B．C．隨的增大而減小D．有最大值二、填空題7．某高科技公司所有雇員的工資情況如下表所示．年薪（萬元）13595807060524031人數(shù)112134112該公司雇員年薪的標(biāo)準(zhǔn)差約為_____萬元.8．已知隨機(jī)變量的概率分布為，則______.9．已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表所示．若，則的值為__________．-101210.已知隨機(jī)變量的分布列如下表：01其中，則的最大值是________.三、解答題11．為迎接年北京冬奧會，推廣滑雪運動，某滑雪場開展滑雪促銷活動.該滑雪場的收費標(biāo)準(zhǔn)是：滑雪時間不超過小時免費，超過小時的部分每小時收費標(biāo)準(zhǔn)為元（不足1小時的部分按小時計算）.有甲、乙兩人相互獨立地來該滑雪場運動，設(shè)甲、乙不超過小時離開的概率分別為、；小時以上且不超過小時離開的概率分別為、；兩人滑雪時間都不會超過小時.（1）求甲、乙兩人所付滑雪費用相同的概率；（2）設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費用之和為隨機(jī)變量（單位：元），求的分布列與數(shù)學(xué)期望，方差.12．某花店每天以每枝5元的價格從農(nóng)場購進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價格出售.如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理.（1）若花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤y（單位：元）關(guān)于當(dāng)天需求量n（單位：枝，）的函數(shù)解析式；（2）花店記錄了100天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得下表：日需求量n14151617181920頻數(shù)10201616151320以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.①若花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花，X表示當(dāng)天的利潤（單位：元），求X的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差；②若花店計劃一天購進(jìn)16枝或17枝玫瑰花，你認(rèn)為應(yīng)購進(jìn)16枝還是17枝？請說明理由.答案解析一、選擇題1．已知離散型隨機(jī)變量的分布列為則下列說法一定正確的是（）A．B．C．D．【答案】D【詳解】，故，，，故選：D.2．隨機(jī)變量的分布列為若，則（）A．B．C．D．【答案】A【詳解】由分布列性質(zhì)知：，解得：；，；.故選：A.3．一道試題，甲解出的概率為，乙解出的概率為.設(shè)解出該題的人數(shù)為X，則D(X)等于（）A．B．C．D．【答案】B【詳解】依題意X的可能取值為0，1，2，甲乙均未答對時，P(X＝0)＝，甲乙二人一人答對一人答錯時，P(X＝1)＝，甲乙均答對時，P(X＝2)＝.所以X的分布列為X012P所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝，D(X)＝.故選：B.4．設(shè)，隨機(jī)變量的分布01Pab則當(dāng)a在內(nèi)增大時，（）A．增大，增大B．增大，減小C．減小，增大D．減小，減小【答案】D【詳解】由因為分布列中概率之和為1，可得，∴，∴當(dāng)增大時，減小，又由可知當(dāng)在內(nèi)增大時，減小.5．（多選題）已知ξ～B(n，p)，且E(3ξ＋2)＝9.2，D(3ξ＋2)＝12.96，則下列說法正確的有（）A．n＝4，p＝0.6B．n＝6，p＝0.4C．P(ξ≥1)＝0.46D．P(ξ＝0)＝0.66【答案】BD【詳解】由，由ξ～B(n，p)時，E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)可知，所以，故B正確．又，，故D正確．故選：BD.6．（多選題）隨機(jī)變量的分布列為：其中，下列說法正確的是（）012A．B．C．隨的增大而減小D．有最大值【答案】ABD【詳解】由題意可知，即，所以正確；，所以正確；，，所以在上函數(shù)是增函數(shù)，在，