《7.3 離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征》考點講解與專題訓(xùn)練

《7.3離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征》考點講解【思維導(dǎo)圖】【常見考點】考法一分布列均值與方差【例1-1】已知隨機(jī)變量的分布列是則（）A．B．C．D．【例1-2】．隨機(jī)變量X的分布列如表所示，若，則（）X01PabA．9B．7C．5D．3【一隅三反】1．已知隨機(jī)變量的分布列為：設(shè)，則的數(shù)學(xué)期望的值是（）-101A．B．C．D．2．已知X的分布列為：X－101Pa設(shè)，則Y的數(shù)學(xué)期望的值是（）A．B．C．1D．3．（多選）若隨機(jī)變量服從兩點分布，其中，，分別為隨機(jī)變量的均值與方差，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．4．（多選）已知隨機(jī)變量的分布列是－101隨機(jī)變量的分布列是123則當(dāng)在內(nèi)增大時，下列選項中正確的是（）A．B．C．增大D．先增大后減小考法二實際應(yīng)用中的分布列與均值【例2】某外貿(mào)企業(yè)在春節(jié)前夕特地從臺灣進(jìn)口優(yōu)質(zhì)大米向國內(nèi)家大型農(nóng)貿(mào)市場提供貨源，據(jù)統(tǒng)計，每家大型農(nóng)貿(mào)市場的年平均銷售量單位：噸，以、、、、、、分組的頻率分布直方圖如圖.（1）求直方圖中的值；（2）在年平均銷售量為、、、的四組大型農(nóng)貿(mào)市場中，用分層抽樣的方法抽取家大型農(nóng)貿(mào)市場，求年平均銷售量在、、的農(nóng)貿(mào)市場中應(yīng)各抽取多少家？（3）在（2）的條件下，再從、、這三組中抽取的農(nóng)貿(mào)市場中隨機(jī)抽取家參加國臺辦的宣傳交流活動，記恰有家在組，求隨機(jī)變量的分布列與期望和方差.【一隅三反】1．為迎接年北京冬奧會，推廣滑雪運動，某滑雪場開展滑雪促銷活動.該滑雪場的收費標(biāo)準(zhǔn)是：滑雪時間不超過小時免費，超過小時的部分每小時收費標(biāo)準(zhǔn)為元（不足1小時的部分按小時計算）.有甲、乙兩人相互獨立地來該滑雪場運動，設(shè)甲、乙不超過小時離開的概率分別為、；小時以上且不超過小時離開的概率分別為、；兩人滑雪時間都不會超過小時.（1）求甲、乙兩人所付滑雪費用相同的概率；（2）設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費用之和為隨機(jī)變量（單位：元），求的分布列與數(shù)學(xué)期望，方差.2．某中學(xué)利用周末組織教職員工進(jìn)行了一次秋季登山健身的活動，有個人參加．現(xiàn)將所有參加者按年齡情況分為等七組.其頻率分布直方圖如圖所示，已知這組的參加者是6人．（I）根據(jù)此頻率分布直方圖求；（II）組織者從這組的參加者（其中共有4名女教師，其余全為男教師）中隨機(jī)選取3名擔(dān)任后勤保障工作，其中女教師的人數(shù)為，求的分布列、均值及方差.（Ⅲ）已知和這兩組各有2名數(shù)學(xué)教師．現(xiàn)從這兩個組中各選取2人擔(dān)任接待工作，設(shè)兩組的選擇互不影響，求兩組選出的人中恰有1名數(shù)學(xué)老師的概率考法三均值方差做決策【例3】．甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個相互獨立的隨機(jī)變量ξ與η，且ξ，η的分布列為：ξ123Pa0.10.6η123P0.3b0.3（1）求a，b的值；（2）計算ξ，η的期望與方差，并以此分析甲、乙技術(shù)狀況．【一隅三反】1．某花店每天以每枝5元的價格從農(nóng)場購進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價格出售.如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理.（1）若花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤y（單位：元）關(guān)于當(dāng)天需求量n（單位：枝，）的函數(shù)解析式；（2）花店記錄了100天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得下表：日需求量n14151617181920頻數(shù)10201616151320以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.①若花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花，X表示當(dāng)天的利潤（單位：元），求X的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差；②若花店計劃一天購進(jìn)16枝或17枝玫瑰花，你認(rèn)為應(yīng)購進(jìn)16枝還是17枝？請說明理由.2．甲?乙兩家外賣公司，其送餐員的日工資方案如下：甲公司的底薪80元，每單抽成4元；乙公司無底薪，40單以內(nèi)(含40單)的部分每單抽成6元，超出40單的部分每單抽成7元，假設(shè)同一公司送餐員一天的送餐單數(shù)相同，現(xiàn)從兩家公司各隨機(jī)抽取一名送餐員，并分別記錄其50天的送餐單數(shù)，得到如下頻數(shù)表：甲公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表：送餐單數(shù)3839404142天數(shù)101510105乙公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表：送餐單數(shù)3839404142天數(shù)51010205若將頻率視為概率，回答下列兩個問題：（1）記乙公司送餐員日工資為(單位：元)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）小王打算到甲?乙兩家公司中的一家應(yīng)聘送餐員，如果僅從日工資的角度考慮，請利用所學(xué)的統(tǒng)計學(xué)知識為小王作出選擇，并說明理由.答案解析考法一分布列均值與方差【例1-1】已知隨機(jī)變量的分布列是則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由分布列的性質(zhì)可得，得，所以，，因此，.故選：C.【例1-2】．隨機(jī)變量X的分布列如表所示，若，則（）X01PabA．9B．7C．5D．3【答案】C【解析】，由隨機(jī)變量的分布列得：，解得，，．．故選：．【一隅三反】1．已知隨機(jī)變量的分布列為：設(shè)，則的數(shù)學(xué)期望的值是（）-101A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意，根據(jù)分布列的性質(zhì)，可得，解得，所以隨機(jī)變量的期望為，又由，所以隨機(jī)變量的期望為故選：C.2．已知X的分布列為：X－101Pa設(shè)，則Y的數(shù)學(xué)期望的值是（）A．B．C．1D．【答案】B【解析】由題意，根據(jù)分布列的性質(zhì)，可得，解得，所以隨機(jī)變量的期望為，又由，所以隨機(jī)變量的期望為故選：B.3．（多選）若隨機(jī)變量服從兩點分布，其中，，分別為隨機(jī)變量的均值與方差，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【解析】因為隨機(jī)變量服從兩點分布，且，所以，，所以，故A正確；，故B正確；，故C正確；，故D不正確.故選：ABC4．（多選）已知隨機(jī)變量的分布列是－101隨機(jī)變量的分布列是123則當(dāng)在內(nèi)增大時，下列選項中正確的是（）A．B．C．增大D．先增大后減小【答案】BC【解析】對于，，，故錯誤；對于，，，故正確；對于，，當(dāng)在內(nèi)增大時，增大，故正確；對于，，，當(dāng)在內(nèi)增大時，單調(diào)遞增，故錯誤．故選：．考法二實際應(yīng)用中的分布列與均值【例2】某外貿(mào)企業(yè)在春節(jié)前夕特地從臺灣進(jìn)口優(yōu)質(zhì)大米向國內(nèi)家大型農(nóng)貿(mào)市場提供貨源，據(jù)統(tǒng)計，每家大型農(nóng)貿(mào)市場的年平均銷售量單位：噸，以、、、、、、分組的頻率分布直方圖如圖.（1）求直方圖中的值；（2）在年平均銷售量為、、、的四組大型農(nóng)貿(mào)市場中，用分層抽樣的方法抽取家大型農(nóng)貿(mào)市場，求年平均銷售量在、、的農(nóng)貿(mào)市場中應(yīng)各抽取多少家？（3）在（2）的條件下，再從、、這三組中抽取的農(nóng)貿(mào)市場中隨機(jī)抽取家參加國臺辦的宣傳交流活動，記恰有家在組，求隨機(jī)變量的分布列與期望和方差.【答案】（1）；（2）年平均銷售量在、、的農(nóng)貿(mào)市場中應(yīng)各抽取、、家；（3）分布列見解析，，.【解析】（1）由頻率和為，即，解得；（2）年平均銷售量在的農(nóng)貿(mào)市場有（家），同理可求年平均銷售量、、的農(nóng)貿(mào)市場有、、家，所以抽取比例為，從年平均銷售量在的農(nóng)貿(mào)市場中應(yīng)抽?。遥瑥哪昶骄N售量在的農(nóng)貿(mào)市場中應(yīng)抽?。遥哪昶骄N售量在的農(nóng)貿(mào)市場中應(yīng)抽?。遥?，即年平均銷售量在、、的農(nóng)貿(mào)市場中應(yīng)各抽取、、家；（3）由（2）知，從、、的大型農(nóng)貿(mào)市場中各抽取家、家、家，所以隨機(jī)變量的可能取值分別為、、、，則，，，，的分布列如下表所示：數(shù)學(xué)期望為，方差為.【一隅三反】1．為迎接年北京冬奧會，推廣滑雪運動，某滑雪場開展滑雪促銷活動.該滑雪場的收費標(biāo)準(zhǔn)是：滑雪時間不超過小時免費，超過小時的部分每小時收費標(biāo)準(zhǔn)為元（不足1小時的部分按小時計算）.有甲、乙兩人相互獨立地來該滑雪場運動，設(shè)甲、乙不超過小時離開的概率分別為、；小時以上且不超過小時離開的概率分別為、；兩人滑雪時間都不會超過小時.（1）求甲、乙兩人所付滑雪費用相同的概率；（2）設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費用之和為隨機(jī)變量（單位：元），求的分布列與數(shù)學(xué)期望，方差.【答案】（1）；（2）分布列見解析，，.【解析】（1）兩人所付費用相同，相同的費用可能為、、元，兩人都付元的概率為，兩人都付元的概率為，兩人都付元的概率為.則兩人所付費用相同的概率為；（2）設(shè)甲、乙所付費用之和為，可能取值為、、、、，則，，，，.所以，隨機(jī)變量的分布列為..2．某中學(xué)利用周末組織教職員工進(jìn)行了一次秋季登山健身的活動，有個人參加．現(xiàn)將所有參加者按年齡情況分為等七組.其頻率分布直方圖如圖所示，已知這組的參加者是6人．（I）根據(jù)此頻率分布直方圖求；（II）組織者從這組的參加者（其中共有4名女教師，其余全為男教師）中隨機(jī)選取3名擔(dān)任后勤保障工作，其中女教師的人數(shù)為，求的分布列、均值及方差.（Ⅲ）已知和這兩組各有2名數(shù)學(xué)教師．現(xiàn)從這兩個組中各選取2人擔(dān)任接待工作，設(shè)兩組的選擇互不影響，求兩組選出的人中恰有1名數(shù)學(xué)老師的概率【答案】（I）40（II）見解析（Ⅲ）【解析】（I）這組頻率為，所以（II）這組的參加者人數(shù)為，，,,（Ⅲ）這組的參加者人數(shù)為這組的參加者人數(shù)為恰有1名數(shù)學(xué)老師的概率為考法三均值方差做決策【例3】．甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個相互獨立的隨機(jī)變量ξ與η，且ξ，η的分布列為：ξ123Pa0.10.6η123P0.3b0.3（1）求a，b的值；（2）計算ξ，η的期望與方差，并以此分析甲、乙技術(shù)狀況．【答案】（1）a＝0.3；b＝0.4；（2）2.3；2；0.81；0.6；甲、乙兩人技術(shù)水平都不夠全面，各有優(yōu)勢與劣勢．【解析】(1)由離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)可知a＋0.1＋0.6＝1，∴a＝0.3.同理0.3＋b＋0.3＝1，b＝0.4.(2)E(ξ)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，E(η)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，D(ξ)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81，D(η)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6.由于E(ξ)＞E(η)，說明在一次射擊中，甲的平均得分比乙高，但D(ξ)>D(η)，說明甲得分的穩(wěn)定性不如乙，因此甲、乙兩人技術(shù)水平都不夠全面，各有優(yōu)勢與劣勢．【一隅三反】1．某花店每天以每枝5元的價格從農(nóng)場購進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價格出售.如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理.（1）若花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤y（單位：元）關(guān)于當(dāng)天需求量n（單位：枝，）的函數(shù)解析式；（2）花店記錄了100天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得下表：日需求量n14151617181920頻數(shù)10201616151320以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.①若花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花，X表示當(dāng)天的利潤（單位：元），求X的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差；②若花店計劃一天購進(jìn)16枝或17枝玫瑰花，你認(rèn)為應(yīng)購進(jìn)16枝還是17枝？請說明理由.【答案】（1）；（2）①分布列詳見解析，，；②都有道理，理由詳見解析.【解析】（1）當(dāng)日需求量時，利潤.當(dāng)日需求量時，利潤.所以關(guān)于的函數(shù)解析式為.（2）①X可能的取值為60，70，80，并且，，.X的分布列為6070800.10.20.7X的數(shù)學(xué)期望為.X的方差為.②答案一：花店一天應(yīng)購進(jìn)16枝玫瑰花.理由如下：若花店一天購進(jìn)17枝玫瑰花，Y表示當(dāng)天的利潤（單位：元），那么Y的分布列為556575850.10.20.160.54Y的數(shù)學(xué)期望為.Y的方差為由以上的計算結(jié)果可以看出，，即購進(jìn)16枝玫瑰花時利潤波動相對較小.另外，雖然，但兩者相差不大.故花店一天應(yīng)購進(jìn)16枝玫瑰花.答案二：花店一天應(yīng)購進(jìn)17枝玫瑰花.理由如下：若花店一天購進(jìn)17枝玫瑰花，Y表示當(dāng)天的利澗（單位：元），那么Y的分布列為556575850.10.20.160.54Y的數(shù)學(xué)期望為.由以上的計算結(jié)果可以看出，，即購進(jìn)17枝玫瑰花時的平均利潤大于購進(jìn)16枝時的平均利潤.故花店一天應(yīng)購進(jìn)17枝玫瑰花.2．甲?乙兩家外賣公司，其送餐員的日工資方案如下：甲公司的底薪80元，每單抽成4元；乙公司無底薪，40單以內(nèi)(含40單)的部分每單抽成6元，超出40單的部分每單抽成7元，假設(shè)同一公司送餐員一天的送餐單數(shù)相同，現(xiàn)從兩家公司各隨機(jī)抽取一名送餐員，并分別記錄其50天的送餐單數(shù)，得到如下頻數(shù)表：甲公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表：送餐單數(shù)3839404142天數(shù)101510105乙公司送餐員送餐單數(shù)頻數(shù)表：送餐單數(shù)3839404142天數(shù)51010205若將頻率視為概率，回答下列兩個問題：（1）記乙公司送餐員日工資為(單位：元)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）小王打算到甲?乙兩家公司中的一家應(yīng)聘送餐員，如果僅從日工資的角度考慮，請利用所學(xué)的統(tǒng)計學(xué)知識為小王作出選擇，并說明理由.【答案】（1）詳見解析；（2）推薦小王去乙公司應(yīng)聘，理由見解析.【解析】（1）設(shè)乙公司送餐員送餐單數(shù)為，當(dāng)時，，；當(dāng)時，，；當(dāng)時，，；當(dāng)時，，；當(dāng)時，，，故的所有可能取值為、、、、，故的分布列為：228234240247254故.（2）甲公司送餐員日平均送餐單數(shù)為：，則甲公司送餐員日平均工資為元，因為乙公司送餐員日平均工資為元，，所以推薦小王去乙公司應(yīng)聘.《7.3離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征》考點訓(xùn)練【題組一分布列均值與方差】1．若隨機(jī)變量ξ的分布列：ξ124P0.40.30.3那么E(5ξ+4)等于（）A．15B．11C．2.2D．2.32．設(shè)ξ的分布列為ξ1234P又設(shè)η＝2ξ＋5，則E(η)等于（）A．B．C．D．3．設(shè)，則隨機(jī)變量的分布列是：01則當(dāng)在內(nèi)增大時（）A．增大B．減小C．先增大后減小D．先減小后增大4．甲、乙兩個運動員射擊命中環(huán)數(shù)ξ、η的分布列如下表．表中射擊比較穩(wěn)定的運動員是()環(huán)數(shù)k8910P(ξ＝k)0.30.20.5P(η＝k)0.20.40.4A．甲B．乙C．一樣D．無法比較5．（多選）（已知X的分布列為X－101Pa則下列說法正確的有（）A．P(X＝0)＝B．E(X)＝－C．D(X)＝D．P(X＞－1)＝6．（多選）已知0＜a＜，隨機(jī)變量ξ的分布列如下．ξ－101P－aa當(dāng)a增大時，（）A．E(ξ)增大B．E(ξ)減小C．D(ξ)減小D．D(ξ)增大7．（多選）已知隨機(jī)變量的分布列如下，且，則下列說法正確的是（）123A．，B．，C．D．8．已知隨機(jī)變量的分布列如下表；且，則________，_____________.029．設(shè)隨機(jī)變量的分布列為：則____；隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望____.10．設(shè)隨機(jī)變量的分布列為，為常數(shù)，則________．11．已知隨機(jī)變量的分布列如下表所示，且，則________.0112．已知的分布列01且，，則______.13．已知隨機(jī)變量X的分布列如下：013若隨機(jī)變量Y滿足，則Y的方差___________.【題組二實際應(yīng)用中的分布列與均值】1．一個盒子里有2個黑球和3個白球，現(xiàn)從盒子里隨機(jī)每次取出1個球，每個球被取出的可能性相等，取出后不放回，直到某種顏色的球全部取出．設(shè)取出黑球的個數(shù)，則__________，__________．2．“雙十一”是指每年的11月11日，以一些電子商務(wù)為代表，在全國范圍內(nèi)興起的大型購物促銷狂歡日.某商家在去年的“雙十一”中開展促銷活動：凡購物滿5888元的顧客會隨機(jī)獲得A，B，C三種贈品中的一件，現(xiàn)恰有3名顧客的購物金額滿5888元.設(shè)隨機(jī)變量X表示獲得贈品完全相同的顧客人數(shù)，則_______，_____.3．一個袋子內(nèi)裝有若干個黑球、3個白球、2個紅球（所有的球除顏色外其他均相同），從中一次性任取2個球，每取得一個黑球得0分，每取得一個白球得1分，每取得一個紅球得2分，用隨機(jī)變量表示取2個球的總得分，已知得0分的概率為．（1）求袋子內(nèi)黑球的個數(shù)；（2）求的分布列與均值．4．甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽，假設(shè)每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽結(jié)果相互獨立.（1）求甲在4局以內(nèi)（含4局）贏得比賽的概率；（2）記為比賽決出勝負(fù)時的總局?jǐn)?shù)，求的分布列和均值（數(shù)學(xué)期望）.5．某產(chǎn)品有4件正品和2件次品混在了一起,現(xiàn)要把這2件次品找出來,為此每次隨機(jī)抽取1件進(jìn)行測試,測試后不放回,直至次品全部被找出為止.(1)求“第1次和第2次都抽到次品”的概率;(2)設(shè)所要測試的次數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【題組三均值方差做決策】1．設(shè)甲、乙兩家燈泡廠生產(chǎn)的燈泡壽命表1X(單位：小時)和Y的分布列分別如表1和表2所示：X90010001100P0.10.80.1Y95010001050P0.30.40.3試問哪家工廠生產(chǎn)的燈泡質(zhì)量較好？2．某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：℃）有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10，15)[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率．（1）求六月份這種酸奶一天的需求量（單位：瓶）的分布列；（2）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為（單位：元），當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量（單位：瓶）為多少時，的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？3．某種大型醫(yī)療檢查機(jī)器生產(chǎn)商，對一次性購買2臺機(jī)器的客戶，推出兩種超過質(zhì)保期后兩年內(nèi)的延保維修優(yōu)惠方案：方案一：交納延保金7000元，在延保的兩年內(nèi)可免費維修2次，超過2次每次收取維修費2000元；方案二：交納延保金10000元，在延保的兩年內(nèi)可免費維修4次，超過4次每次收取維修費1000元.某醫(yī)院準(zhǔn)備一次性購買2臺這種機(jī)器．現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時應(yīng)購買哪種延保方案，為此搜集并整理了50臺這種機(jī)器超過質(zhì)保期后延保兩年內(nèi)維修的次數(shù)，得下表：維修次數(shù)0123臺數(shù)5102015以這50臺機(jī)器維修次數(shù)的頻率代替1臺機(jī)器維修次數(shù)發(fā)生的概率，記X表示這2臺機(jī)器超過質(zhì)保期后延保的兩年內(nèi)共需維修的次數(shù)．（1）求X的分布列；（2）以所需延保金及維修費用的期望值為決策依據(jù)，醫(yī)院選擇哪種延保方案更合算？4．某高校設(shè)計了一個實驗學(xué)科的實驗考查方案:考生從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3題,按照題目要求獨立完成全部實驗操作.規(guī)定:至少正確完成其中2題的便可提交通過.已知6道備選題中考生甲有4題能正確完成,2題不能完成;考生乙每題正確完成的概率都是,且每題正確完成與否互不影響.(1)分別寫出甲、乙兩考生正確完成題數(shù)的概率分布列,并計算均值;(2)試從兩位考生正確完成題數(shù)的均值及至少正確完成2題的概率分析比較兩位考生的實驗操作能力.5．為倡導(dǎo)綠色出行，某市推出“新能源分時租賃汽車”業(yè)務(wù).其中一款新能源分時租賃汽車每次租車收費標(biāo)準(zhǔn)由兩部分組成：①根據(jù)行駛里程數(shù)按1元/千米；②行駛時間不超過40分鐘時，按0.12元/分計費；超過40分鐘時，超出部分按0.20元/分計費.已知王先生家離上班地點15千米，每天租用該款汽車上?下班各一次.由于堵車?紅綠燈等因素，每次路上開車花費的時間是變量(單位：分).現(xiàn)統(tǒng)計其50次路上開車花費時間，在各時間段內(nèi)的頻數(shù)分布情況如下表所示：時間分頻數(shù)2182010將各時間段發(fā)生的頻率視為概率，每次路上開車花費的時間視為用車時間，范圍為分.（1）寫出王先生一次租車費用(單位：元)與用車時間(單位：分)的函數(shù)關(guān)系式；（2）若王先生的公司每月發(fā)放1000元的車補(bǔ)，每月按22天計算，請估計：①王先生租用一次新能源分時租賃汽車上下班的平均用車時間(同一時段，用該區(qū)間的中點值做代表).②王先生每月的車補(bǔ)能否足夠上下班租用新能源分時租賃汽車，并說明理由.答案解析【題組一分布列均值與方差】1．若隨機(jī)變量ξ的分布列：ξ124P0.40.30.3那么E(5ξ+4)等于（）A．15B．11C．2.2D．2.3【答案】A【解析】由已知，得：Eξ=1×0.4+2×0.3+4×0.3=2.2，∴E(5ξ+4)=5E(ξ)+4=5×2.2+4=15.故選：A.2．設(shè)ξ的分布列為ξ1234P又設(shè)η＝2ξ＋5，則E(η)等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，所以E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×＋5＝.故選：D.3．設(shè)，則隨機(jī)變量的分布列是：01則當(dāng)在內(nèi)增大時（）A．增大B．減小C．先增大后減小D．先減小后增大【答案】D【解析】由分布列得，則，則當(dāng)在內(nèi)增大時，先減小后增大.故選：D.4．甲、乙兩個運動員射擊命中環(huán)數(shù)ξ、η的分布列如下表．表中射擊比較穩(wěn)定的運動員是()環(huán)數(shù)k8910P(ξ＝k)0.30.20.5P(η＝k)0.20.40.4A．甲B．乙C．一樣D．無法比較【答案】B【解析】E(ξ)＝9.2，E(η)＝9.2，所以E(η)＝E(ξ)，D(ξ)＝0.76，D(η)＝0.56<D(ξ)，所以乙穩(wěn)定．5．（多選）已知X的分布列為X－101Pa則下列說法正確的有（）A．P(X＝0)＝B．E(X)＝－C．D(X)＝D．P(X＞－1)＝【答案】ABD【解析】由分布列的性質(zhì)可知＝1，即a＝.∴P(X＝0)＝，故A正確；E(X)＝，故B正確；D(X)＝，故C錯誤；P(X＞－1)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝，故D正確．故選：ABD.6．（多選）已知0＜a＜，隨機(jī)變量ξ的分布列如下．ξ－101P－aa當(dāng)a增大時，（）A．E(ξ)增大B．E(ξ)減小C．D(ξ)減小D．D(ξ)增大【答案】AD【解析】0＜a＜，由隨機(jī)變量ξ的分布列，得：E(ξ)＝a－，∴當(dāng)a增大時，E(ξ)增大；D(ξ)＝×＋×＋×a＝－a2＋a＋＝－＋，∵0<a<，∴當(dāng)a增大時，D(ξ)增大．故選：AD.7．（多選）已知隨機(jī)變量的分布列如下，且，則下列說法正確的是（）123A．，B．，C．D．【答案】BC【解析】依題意，所以，結(jié)合，解得，所以B選項正確.，所以C選項正確.故選：BC8．已知隨機(jī)變量的分布列如下表；且，則________，_____________.02【答案】4【解析】因為，所以.因為，所以，..故.故答案為：，49．設(shè)隨機(jī)變量的分布列為：則____；隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望____.【答案】【解析】因為概率之和等于即，解得：，所以，故答案為：；.10．設(shè)隨機(jī)變量的分布列為，為常數(shù)，則________．【答案】3【解析】因為，所以，所以，故．故答案為：311．已知隨機(jī)變量的分布列如下表所示，且，則________.01【答案】3【解析】因為，所以故答案為：312．已知的分布列01且，，則______.【答案】4【解析】,且，，即，解得，故答案為：413．已知隨機(jī)變量X的分布列如下：013若隨機(jī)變量Y滿足，則Y的方差___________.【答案】9【解析】由分布列的性質(zhì)可知，，所以，所以數(shù)學(xué)期望，方差，因為，所以，故答案為：9．【題組二實際應(yīng)用中的分布列與均值】1．一個盒子里有2個黑球和3個白球，現(xiàn)從盒子里隨機(jī)每次取出1個球，每個球被取出的可能性相等，取出后不放回，直到某種顏色的球全部取出．設(shè)取出黑球的個數(shù)，則__________，__________．【答案】【解析】，表示取球3次，3次取白球，則，表示取球4次，3次取白球，前3次中有1次取黑球，則，，，故.故答案為：，.2．“雙十一”是指每年的11月11日，以一些電子商務(wù)為代表，在全國范圍內(nèi)興起的大型購物促銷狂歡日.某商家在去年的“雙十一”中開展促銷活動：凡購物滿5888元的顧客會隨機(jī)獲得A，B，C三種贈品中的一件，現(xiàn)恰有3名顧客的購物金額滿5888元.設(shè)隨機(jī)變量X表示獲得贈品完全相同的顧客人數(shù)，則_______，____.【答案】【解析】故答案為：；.3．一個袋子內(nèi)裝有若干個黑球、3個白球、2個紅球（所有的球除顏色外其他均相同），從中一次性任取2個球，每取得一個黑球得0分，每取得一個白球得1分，每取得一個紅球得2分，用隨機(jī)變量表示取2個球的總得分，已知得0分的概率為．（1）求袋子內(nèi)黑球的個數(shù)；（2）求的分布列與均值．【答案】（1）有4個黑球；（2）分布列見解析，.【解析】（1）設(shè)袋子內(nèi)黑球的個數(shù)為，由條件知，當(dāng)取得2個黑球時得0分，概率為，化簡得，解得或（舍去），即袋子內(nèi)有4個黑球．（2）的所有可能取值為0,1,2,3,4，，，，，，的分布列為01234．4．甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽，假設(shè)每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽結(jié)果相互獨立.（1）求甲在4局以內(nèi)（含4局）贏得比賽的概率；（2）記為比賽決出勝負(fù)時的總局?jǐn)?shù)，求的分布列和均值（數(shù)學(xué)期望）.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）用表示“甲在4局以內(nèi)（含4局）贏得比賽”，表示“第局甲獲勝”，表示“第局乙獲勝”.則，..（2）的可能取值為.，，.故的分布列為2345所以.5．某產(chǎn)品有4件正品和2件次品混在了一起,現(xiàn)要把這2件次品找出來,為此每次隨機(jī)抽取1件進(jìn)行測試,測試后不放回,直至次品全部被找出為止.(1)求“第1次和第2次都抽到次品”的概率;(2)設(shè)所要測試的次數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）；（2）見解析【解析】(1)設(shè)“第1次和第2次都抽到次品”為事件A,則P(A)==.(2)X的所有可能取值為2,3,4,5.P(X=2)=,P(X=3)==,P(X=4)=+=,P(X=5)=+=.X的分布列為X2345P因此,E(X)=2×+3×+4×+5×=.【題組三均值方差做決策】1．設(shè)甲、乙兩家燈泡廠生產(chǎn)的燈泡壽命表1X(單位：小時)和Y的分布列分別如表1和表2所示：X90010001100P0.10.80.1Y95010001050P0.30.40.3試問哪家工廠生產(chǎn)的燈泡質(zhì)量較好？【答案】乙廠生產(chǎn)的燈泡質(zhì)量較好.【解析】由期望的定義，得E(X)＝900×0.1＋1000×0.8＋1100×0.1＝1000，E(Y)＝950×0.3＋1000×0.4＋1050×0.3＝1000.兩家燈泡廠生產(chǎn)的燈泡壽命的期望值相等，需進(jìn)一步考查哪家工廠燈泡的質(zhì)量比較穩(wěn)定，即比較其方差．由方差的定義，得D(X)＝(900－1000)2×0.1＋(1000－1000)2×0.8＋(1100－1000)2×0.1＝2000，D(Y)＝(950－1000)2×0.3＋(1000－1000)2×0.4＋(1050－1000)2×0.3＝1500.因為D(X)＞D(Y)，所以乙廠生產(chǎn)的燈泡質(zhì)量比甲廠穩(wěn)定，即乙廠生產(chǎn)的燈泡質(zhì)量較好．2．某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：℃）有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10，15)[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率．（1）求六月份這種酸奶一天的需求量（單位：瓶）的分布列；（2）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為（單位：元），當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量（單位：瓶）為多少時，的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？【答案】（1）分布列見解析；（2）300．【解析】（1）由題意知，所有的可能取值為200，300，500，由表格數(shù)據(jù)知，，．因此的分布列為2003005000.20.40.4（2）由題意知，這種酸奶一天的需求量至多為500，至少為200，因此只需考慮當(dāng)時，若最高氣溫不低于25，則；若最高氣溫位于區(qū)間，則；若最高氣溫低于20，則因此當(dāng)時，若最高氣溫不低于20，則，若最高氣溫低于20，則，因此所以時，的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值，最大值為520元．3．某種大型醫(yī)療檢查機(jī)器生產(chǎn)商，對一次性購買2臺機(jī)器的客戶，推出兩種超過質(zhì)保期后兩年內(nèi)的延保維修優(yōu)惠方案：方案一：交納延保金7000元，在延保的兩年內(nèi)可免費維修2次，超過2次每次收取維修費2000元；方案二：交納延保金10000元，在延保的兩年內(nèi)可免費維修4次，超過4次每次收取維修費1000元.某醫(yī)院準(zhǔn)備一次性購買2臺這種機(jī)器．現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時應(yīng)購買哪種延保方案，為此搜集并整理了50臺這種機(jī)器超過質(zhì)保期后延保兩年內(nèi)維修的次數(shù)，得下表：維修次數(shù)0123臺數(shù)5102015以這50臺機(jī)器維修次數(shù)的頻率代替1臺機(jī)器維修次數(shù)發(fā)生的概率，記X表示這2臺機(jī)器超過質(zhì)保期后延保的兩年內(nèi)共需維修的次數(shù)．（1）求X