簡明工程力學(xué) 課件 第4章 軸向拉伸、壓縮與剪切

工程力學(xué)

第四章拉伸、壓縮與剪切§4.1軸向拉壓概念與模型1、工程實(shí)例2、軸向拉壓的概念（2）變形特點(diǎn)：桿沿軸線方向。。。（1）受力特點(diǎn)：外力合力作用線與。。。FN1FN1FN2FN2以軸向拉壓為主要變形的桿件，稱為拉壓桿或軸向承載桿。ABCF3、拉桿和壓桿模型（計(jì)算簡圖）仍有個(gè)小問題拉桿FFFF壓桿

FFFF端部外力作用方式的差異，產(chǎn)生結(jié)果有何不同？圣維南（Saint-Venant）原理：

等效力系只影響荷載作用點(diǎn)附近局部區(qū)域的應(yīng)力和應(yīng)變分布。FFFF§4.2

軸向拉壓桿的內(nèi)力應(yīng)力分析1、軸力FN

(axialforce)——拉壓桿的內(nèi)力截面法——截?cái)?、取半、畫?nèi)力、平衡

∑Fx=0,FN-F1+F2=0∴FN=F1-F2

F1F2F3mmF1F2mmFN怎么求？FN=F3=F1-F2FNF1F2F3mmFNF1F2mmF3mm殊途同歸。因此，可選外力較簡單的一側(cè)來計(jì)算軸力。取左半

取右半

小討論那么，F(xiàn)N到底朝左還是朝右？

軸力符號的規(guī)定

(Signconventionforaxialforce)FNmFFmmFFNmFm（1）若軸力方向背離截面，則規(guī)定為正，稱為拉力(tensileforce)。（2）若軸力方向指向截面，則規(guī)定為負(fù)，稱為壓力(compressiveforce)。從而引出內(nèi)力符號取決于變形，與坐標(biāo)軸無關(guān)！??！設(shè)正法?。?！m問題：當(dāng)拉壓桿上存在多個(gè)軸力時(shí)，如何描述不同截面的軸力既簡單又直觀？方法：1.

分段

2.

寫方程式

3.

作圖

——軸力圖:

橫坐標(biāo)——桿的軸線縱坐標(biāo)——軸力數(shù)值F1F4F3F2332211例4-1

一等直桿其受力情況如圖所示，作桿的軸力圖。600300500400CABDE20kN40kN55kN25kN解:求支座反力CABDE20kNFRA40kN55kN25kN求AB段內(nèi)的軸力FRAFN1CABDE20kNFRA25kN55kN40kN25kN55kN40kN1

求BC段內(nèi)的軸力

FRA40kNFN2CABDE20kNFRA25kN55kN40kN25kN55kN40kN2

FN3求CD段內(nèi)的軸力20kN25kNCABDE20kNFRA25kN55kN40kN25kN55kN40kN3求DE段內(nèi)的軸力20kNFN4CABDE20kNFRA25kN55kN40kN25kN55kN40kN4FN1=10kN（拉力）FN2=50kN（拉力）FN3=-5kN（壓力）FN4=20kN（拉力）

發(fā)生在BC段內(nèi)任一橫截面上5010520++600300500400CABDE20kN40kN55kN25kN解：1.軸力計(jì)算2.

畫軸力圖并確定最大軸力

軸力圖為直線例4-2等直桿BC，桿長l，橫截面面積為A,材料密度為ρ,畫出桿的軸力圖，求最大軸力。2、拉壓桿橫截面應(yīng)力分析判斷：1

已知軸力求應(yīng)力，這是超靜定問題，

2

需要研究變形才能解決。思路：

應(yīng)力表達(dá)式（由內(nèi)力表示應(yīng)力）觀察變形（外表）

變形假設(shè)（內(nèi)部）

應(yīng)變分布

應(yīng)力分布

回顧：

應(yīng)力的點(diǎn)、方向等概念F1變形特點(diǎn)

縱向線——仍為直線，且平行于軸線橫向線——仍為直線，且垂直于軸線FF縱向線橫向線平截面假設(shè)（planecross-sectionassumption）

應(yīng)變分布由平截面假設(shè)，軸向應(yīng)變分布是均勻的。應(yīng)力分布由均勻性假設(shè)，橫截面上的應(yīng)力也是均勻分布的，即各點(diǎn)應(yīng)力相同。應(yīng)力公式由平衡關(guān)系，橫截面上

=0

因此，拉壓桿橫截面上只存在正應(yīng)力。

靜力學(xué)關(guān)系

∴dA

dA符號？unit？FF

FFFF？問題：兩桿橫截面的正應(yīng)力分布是否相同？

考慮一下例4-3一橫截面為正方形的立柱分上、下兩段，其受力情況，各段長度及橫截面面積如圖所示。已知F=50kN，試求荷載引起的最大工作應(yīng)力。解：（1）作軸力圖FABCFF300040003702402150kN150kN（2）求應(yīng)力結(jié)論：

在柱的下段，其值為1.1MPa，是壓應(yīng)力。FABCFF3000400037024021例4-4

∑Fy

=0,FN1sin45°－F=0

已知：A1=1000mm2,

A2=20000mm2,F=100kN求：各桿橫截面的應(yīng)力解：⑴軸力計(jì)算取節(jié)點(diǎn)A=－100kN=141.4kN∑Fx=0,－FN1cos45°－FN2=0

FN2=－FN1cos45°

=－141.4×0.707

FACB45oAFFN2FN145°xy21FN1=141.4kNFN2=－100kN⑵應(yīng)力計(jì)算FACB45oAFFN2FN145°xy

拉壓桿橫截面上沒有切應(yīng)力，只有正應(yīng)力，斜截面上是否也如此？觀察一個(gè)現(xiàn)象：FNFNFNFN3、軸向拉壓斜截面應(yīng)力分析說明。。。為什么要研究斜截面上的應(yīng)力（Stressonaninclinedplane）

？因?yàn)楣こ讨薪?jīng)常發(fā)現(xiàn)構(gòu)件沿斜截面破壞。為什么？

pα：斜截面k-k上的應(yīng)力；

Aα：斜截面k-k的面積；

A

：橫截面面積。因?yàn)樽冃尉鶆?，所以?yīng)力均布Fα：斜截面k-k上的內(nèi)力；沿截面法線方向的正應(yīng)力

沿截面切線方向的切應(yīng)力

將應(yīng)力pα分解：

（1）當(dāng)

=0°

時(shí)，（2）當(dāng)

=45°時(shí)，（3）當(dāng)

=90°時(shí)，討論：§4.3

材料拉壓力學(xué)性能(Mechanicalpropertiesofmaterialsinaxialtension)任意橫截面的軸力可求每一橫截面內(nèi)任意點(diǎn)的應(yīng)力可求桿內(nèi)最大應(yīng)力可求建立強(qiáng)度條件還需要掌握材料的力學(xué)性能

力學(xué)性能：材料在外載作用下，表現(xiàn)出的與其形狀，尺寸無關(guān)的變形和破壞方面的特性（固有性能）。由實(shí)驗(yàn)獲得。

變形分類彈性變形塑性變形按破壞前塑性變形大小分為塑性材料脆性材料實(shí)驗(yàn)條件：室溫，緩慢平穩(wěn)加載，標(biāo)準(zhǔn)試件。dh實(shí)驗(yàn)設(shè)備：萬能試驗(yàn)機(jī)1.低碳鋼拉伸力學(xué)性能何謂低碳鋼？鋼？FOΔl拉伸圖(F-

l

曲線)(tensiondiagram)efhabcdd′gf′Δl0應(yīng)力-應(yīng)變圖（

-圖）

l0

——原長名義應(yīng)力名義應(yīng)變A0——原始橫截面面積拉伸圖是結(jié)構(gòu)響應(yīng)（非本質(zhì)），So

ε

e

p①彈性階段elasticstage

特點(diǎn)變形是完全彈性的線性+非線性特征應(yīng)力彈性極限

eelasticlimit

比例極限

pproportionallimit線性關(guān)系

胡克定律

(Hooke’slaw)E：彈性模量

Young’smodulus,modulus

ofelasticity

材料常數(shù)unit？前世今生②屈服階段yieldingstage

特點(diǎn)材料失去抵抗變形的能力——屈服(流動）yield，flow應(yīng)力不增加，變形增加

特征應(yīng)力（下）屈服極限

s

yieldinglimitQ235鋼

s

=235MPa

ε

sFF45°滑移線滑移線sliplines方位？原因？機(jī)理？③強(qiáng)化階段hardeningstage特點(diǎn)應(yīng)變硬化strainhardening

材料恢復(fù)變形抗力

-

關(guān)系非線性滑移線消失試件明顯變細(xì)特征應(yīng)力強(qiáng)度極限

b

ultimatestrength

ε

b④頸縮階段（局部變形階段）stageoflocaldeformation特征頸縮現(xiàn)象

necking斷口杯口狀有磁性

ε低碳鋼拉伸分為四個(gè)階段：彈性階段（ob段）屈服階段（bc段）強(qiáng)化階段(ce段)局部變形階段(ef段)材料的強(qiáng)度指標(biāo)：——比例極限——屈服極限——強(qiáng)度極限——彈性極限

s

b

e

p

fOf′h

abce卸載與冷作硬化：

ε卸載

K平行于比例階段

ε再加載coldhardeningunloadinglaw卸載完畢后，如果再反向加載。。。塑性指標(biāo)⑴斷后伸長率（延伸率）

percentelongation塑性材料

＞5﹪

ductilematerial

Q235鋼

=20～30﹪脆性材料

＜5﹪

brittlematerial

鑄鐵

＜0.5﹪l0?l

FF⑵斷面收縮率

percentagereductionofarea

A0

———

斷口原始橫截面面積A1

———

斷裂時(shí)斷口橫截面面積ΔA=A0

-A1斷口處橫截面面積改變量

Q235鋼

=60﹪2.其它塑性金屬材料拉伸力學(xué)性能

塑性材料特點(diǎn)

＞5﹪現(xiàn)象有的有明顯屈服階段有的則無塑性指標(biāo)σs問題來了：對無明顯屈服階段的塑性材料,

如何確定屈服極限？

ε錳鋼16錳鋼退火球墨鑄鐵玻璃鋼無明顯屈服階段有明顯屈服階段

一般地，一點(diǎn)線應(yīng)變

由兩部分組成：彈性應(yīng)變

e和塑性應(yīng)變

p

＝

e＋

p

e

pεε

0.2平行于比例階段0.2％塑性應(yīng)變K名義屈服極限σ0.2塑性應(yīng)變等于0.2％時(shí)的應(yīng)力值強(qiáng)度指標(biāo)：σs或σ0.2

（MPa）ε（%）100500.45

b3.鑄鐵拉伸

1）

強(qiáng)度極限低

σb=110～160MPa

2）非線性可近似用割線代替

3）無屈服，無頸縮

4）

＜0.5﹪5）平斷口所以脆性材料。。。4.材料壓縮力學(xué)性能壓縮

(MPa)0.200.10200400ε1）E，

p

，

e，

s與拉伸相同2）測不出

b3）試件棋子狀壓縮試驗(yàn)無意義低碳鋼拉伸400

(MPa)ε3006000.100.05壓縮

1.

b高于拉伸（接近4倍）2.

大于拉伸（接近5%）3.E與拉伸不同4.斜斷口——剪斷可制成受壓構(gòu)件拉伸斷口鑄鐵§4.4

軸向拉壓桿強(qiáng)度條件什么是失效？斷裂，變形過大，穩(wěn)定性不足，高溫，腐蝕etc

正常工作這里只討論強(qiáng)度不足引起的失效。1.強(qiáng)度計(jì)算的基本思想外力↑內(nèi)力↑應(yīng)力↑

0時(shí)破壞

0稱之為極限應(yīng)力（危險(xiǎn)）——材料固有性質(zhì)

(ultimatestress)

欲使構(gòu)件安全工作，需要理論強(qiáng)度條件2.實(shí)用強(qiáng)度條件僅滿足太危險(xiǎn)，所以。。。n—安全因數(shù)(factorofsafety)>1

s或

0.2

塑性材料

0=

b

脆性材料[

]—許用應(yīng)力(allowablestress)確定n的原則：①載荷，靜or動？②材料自身，均勻？塑？脆？③理論計(jì)算的精度④零件重要否？工況如何？3.強(qiáng)度計(jì)算內(nèi)容拉壓問題強(qiáng)度條件可解決三方面問題：⑴強(qiáng)度校核⑵求許可載荷[F]

⑶設(shè)計(jì)截面[F]——人生目標(biāo)[

]——個(gè)人能力A——條件與措施例4-5已知一圓桿受拉力F=25kN，直徑d=14mm，許用應(yīng)力

[

]=17MPa，試判斷此桿是否滿足強(qiáng)度要求。解：1、軸力FN=F=25kN2、應(yīng)力：3、強(qiáng)度校核：此桿滿足強(qiáng)度要求，能夠正常工作。FF25kNxFN例4-6簡易起重設(shè)備中，AC桿由兩根80

80

7等邊角鋼組成，AB桿由兩根10號工字鋼組成。材料為Q235鋼，許用應(yīng)力[

]=170MPa。求許可載荷[F]。ABCF1m30°FAxyFN1FN230。解：（1）取A點(diǎn)為研究對象，受力分析如圖所示。點(diǎn)A的平衡方程為由型鋼表查得FAxyFN1FN230。得到（2）許可軸力為（3）各桿的許可荷載（4）結(jié)論：許可荷載[F]=184.6kN§4.5

軸向拉壓桿的變形1.軸向變形(axialdeformation)軸向應(yīng)變(axialstrain)由可得胡克定律的另一種形式。幾種？EA？ll1aa1bb12.橫向變形(lateraldeformation)，泊松比橫向應(yīng)變(lateralstrain)橫向變形泊松比在比例極限內(nèi)！?。∪≈捣秶?？負(fù)？ll1aa1bb1a.等截面直桿受圖示載荷作用，計(jì)算總變形。（各段EA均相同）b.連續(xù)變化軸力，計(jì)算總變形。取微段dx容重c.階梯桿，各段EA不同，計(jì)算總變形。

d.截面連續(xù)變化桿受圖示載荷作用計(jì)算總變形。（各段

EA均相同）例4-7圖示為一變截面圓桿ABCD。已知F1=20kN，F(xiàn)2=35kNF3=35kN。l1=l3=300mm，l2=400mm.d1=12mm，d2=16mm，d3=24mm。試求：（1）I-I、II-II、III-III截面的軸力并作軸力圖；（2）桿的最大正應(yīng)力

max；（3）B截面的位移及AD桿的變形。F1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCD解：求支座反力FRD=-50kN（1）求I-I、II-II、III-III截面的軸力并作軸力圖F1ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDFRDF2F3F1FN1FRDFN3F2F1FN2F1ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDFRDF2F3FN2=-15kNFN1=20kNFN3=-50kN15+-2050F1ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDFRDF2F3FN2=-15kNFN1=20kNFN3=-50kN（2）桿的最大正應(yīng)力

maxAB段CD段BC段

max=176.8MPa

發(fā)生在AB段F1ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDFRDF2F3（3）B截面的位移及AD桿的變形F1ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDFRDF2F3例4-8已知桿的抗拉壓剛度EA，F(xiàn)1，F(xiàn)2，l1，l2，試分析桿

AC

的軸向變形

Dl。解：分段求解解法二——疊加原理分別計(jì)算2個(gè)力單獨(dú)作用引起AC的變形，然后代數(shù)疊加單獨(dú)F1作用時(shí)單獨(dú)F2作用時(shí)二者相加，即和前述結(jié)果一致?！?.6

應(yīng)力集中的概念因桿件外形（尺寸，形狀）突然變化而引起局部應(yīng)力急劇增大的現(xiàn)象，稱為應(yīng)力集中，如：孔、裂縫、溝槽…應(yīng)力集中因數(shù)smax－截面上最大局部應(yīng)力。sm－名義應(yīng)力(凈截面上的平均應(yīng)力）；同一截面上按凈面積算出的平均應(yīng)力。開有圓孔的板條帶有切口的板條尺寸變化越急劇、角越尖、孔越小，應(yīng)力集中的程度越嚴(yán)重。FFFFFF應(yīng)力集中對構(gòu)件強(qiáng)度的影響對于脆性材料構(gòu)件，當(dāng)

smax＝sb

時(shí)，構(gòu)件斷裂。應(yīng)力集中對脆性材料的影響嚴(yán)重，應(yīng)特別注意。對于塑性材料構(gòu)件，當(dāng)smax達(dá)到ss

后再增加載荷，

s

分布趨于均勻化，不影響構(gòu)件靜強(qiáng)度。應(yīng)力集中促使疲勞裂紋的形成與擴(kuò)展，對構(gòu)件

（塑性與脆性材料）的疲勞強(qiáng)度影響極大?！?.7

軸向拉壓超靜定問題

前述章節(jié)中，支反力，軸力均可由靜力平衡方程求得，屬靜定問題（staticallydeterminateproblem），再看看這個(gè)：ααAFBC1

2yFFN1FN2xααA一個(gè)鑰匙兩把鎖，如之奈何？E2A2=E1A1FE1A1E3A3ABCDl1l3l2=l1321yxFFN3FN2FN1A超靜定問題——僅用靜力平衡方程不能求出全部未知力。又稱靜不定問題（staticallyindeterminateproblem)。求解步驟：2、然后根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件列出變形幾何方程；3、再寫出補(bǔ)充物理方程；4、最后聯(lián)立靜力方程與物理方程求出所有的未知力。1、首先根據(jù)平衡條件列平衡方程（確定超靜定次數(shù)）；

、幾何方程——變形協(xié)調(diào)方程：

、物理方程－變形與受力關(guān)系解：、平衡方程:

、聯(lián)立方程(1)、(2)、(3)可得:例4-9圖示桿系結(jié)構(gòu)，，求：各桿的內(nèi)力。補(bǔ)充方程（3）ABDC132aaFN1AaaFN2FN3超靜定結(jié)構(gòu)的特征：內(nèi)力按照剛度分配，

能者多勞的分配原則。ABDC132aa例4-10圖示結(jié)構(gòu)中，假設(shè)AC梁為剛性桿，桿1、桿2和桿3的材料相同，橫截面面積相等。試求三根桿的軸力。解：作受力分析如圖，均設(shè)正！例4-11圖示桿兩端固定，