隨機(jī)前沿分析課件

隨機(jī)邊界分析StochasticFrontierAnalysis隨機(jī)前沿分析目錄第一章導(dǎo)言

1.1隨機(jī)前沿方法簡介

1.2發(fā)展史簡要回顧第二章分析基礎(chǔ)

2.1生產(chǎn)技術(shù)

2.2技術(shù)有效性

2.3經(jīng)濟(jì)有效性隨機(jī)前沿分析第三章技術(shù)有效性估計(jì)

3.1橫截面生產(chǎn)邊界模型

3.1.1

確定性生產(chǎn)邊界

3.1.1.1目標(biāo)規(guī)劃法

3.1.1.2修正最小二乘法（COLS）

3.1.1.3修正最小二乘法（MOLS）

3.1.2隨機(jī)生產(chǎn)邊界

3.1.2.1正態(tài)—半正態(tài)模型

3.1.2.2正態(tài)—指數(shù)模型

3.1.2.3正態(tài)—半正態(tài)模型的距估計(jì)

隨機(jī)前沿分析3.2面板數(shù)據(jù)生產(chǎn)邊界模型

3.2.1非時變的技術(shù)有效性

3.2.2時變的技術(shù)有效性第四章對生產(chǎn)率和效率變化的度量第五章與其他方法的比較隨機(jī)前沿分析一、導(dǎo)言

在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，技術(shù)效率的概念應(yīng)用廣泛。Koopmans首先提出了技術(shù)效率的概念，他將技術(shù)有效定義為：在一定的技術(shù)條件下，如果不減少其它產(chǎn)出就不可能增加任何產(chǎn)出，或者不增加其它投入就不可能減少任何投入，則稱該投入產(chǎn)出為技術(shù)有效的。Farrell首次提出了技術(shù)效率的前沿測定方法，并得到了理論界的廣泛認(rèn)同，成為了效率測度的基礎(chǔ)。1.1隨機(jī)前言方法簡介隨機(jī)前沿分析

生產(chǎn)率和效率的度量涉及到生產(chǎn)函數(shù)。DEA方法的特點(diǎn)是將有效的生產(chǎn)單位連接起來，用分段超平面的組合也就是生產(chǎn)前沿面來緊緊包絡(luò)全部觀測點(diǎn)，是一種確定性前沿方法，沒有考慮隨機(jī)因素對生產(chǎn)率和效率的影響。隨機(jī)前沿生產(chǎn)函數(shù)則解決了這個問題。隨機(jī)前沿分析

前沿生產(chǎn)函數(shù)(FrontierProdutionFunction)反映了在具體的技術(shù)條件和給定生產(chǎn)要素的組合下,企業(yè)各投入組合與最大產(chǎn)出量之間的函數(shù)關(guān)系。通過比較各企業(yè)實(shí)際產(chǎn)出與理想最優(yōu)產(chǎn)出之間的差距可以反映出企業(yè)的綜合效率。傳統(tǒng)的生產(chǎn)函數(shù)只反映樣本各投入因素與平均產(chǎn)出之間的關(guān)系,稱之為平均生產(chǎn)函數(shù)。但是1957年,Farrell在研究生產(chǎn)有效性問題時開創(chuàng)性地提出了前沿生產(chǎn)函數(shù)(FrontierProdutionFunction)的概念。對既定的投入因素進(jìn)行最佳組合,計(jì)算所能達(dá)到的最優(yōu)產(chǎn)出,類似于經(jīng)濟(jì)學(xué)中所說的“帕累托最優(yōu)”,我們稱之為前沿面。前沿面是一個理想的狀態(tài),現(xiàn)實(shí)中企業(yè)很難達(dá)到這一狀態(tài)。隨機(jī)前沿分析

前沿生產(chǎn)函數(shù)的研究方法有:參數(shù)方法和非參方法。兩者都可以用來測量效率水平。參數(shù)方法沿襲了傳統(tǒng)生產(chǎn)函數(shù)的估計(jì)思想,主要運(yùn)用最小二乘法或極大似然估計(jì)法（解釋）進(jìn)行計(jì)算。參數(shù)方法首先確定或自行構(gòu)造一個具體的函數(shù)形式,然后基于該函數(shù)形式對函數(shù)中各參數(shù)進(jìn)行計(jì)算;而非參數(shù)方法首先根據(jù)投入和產(chǎn)出,構(gòu)造出一個包含所有生產(chǎn)方式的最小生產(chǎn)可能性集合,其中非參數(shù)方法的有效性是指以一定的投入生產(chǎn)出最大產(chǎn)出,或以最小的投入生產(chǎn)出一定的產(chǎn)出。這里所說的非參數(shù)方法是結(jié)合DEA(Data數(shù)據(jù)包絡(luò)分析)來進(jìn)計(jì)算的。隨機(jī)前沿分析

但非參數(shù)方法存在的最大局限是:該方法主要運(yùn)用線性規(guī)劃方法進(jìn)行計(jì)算,而不像參數(shù)方法有統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)數(shù)作為樣本擬合度和統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的參考;另外,非參數(shù)方法對觀測數(shù)有一定的限制,有時不得不舍棄一些樣本值,這樣就影響了觀測結(jié)果的穩(wěn)定性。因此,我們在這里選擇參數(shù)方法進(jìn)行前沿生產(chǎn)函數(shù)的計(jì)算。在參數(shù)型前沿生產(chǎn)函數(shù)的研究中,圍繞誤差項(xiàng)的確立,又分為隨機(jī)性和確定性兩種方法。首先,確定性前沿生產(chǎn)函數(shù)不考慮隨機(jī)因素的影響,直接隨機(jī)前沿分析

直接采用線性規(guī)劃方法計(jì)算前沿面,確定性前沿生產(chǎn)函數(shù)把影響最優(yōu)產(chǎn)出和平均產(chǎn)出的全部誤差統(tǒng)歸入單側(cè)的一個誤差項(xiàng)ε中,并將其稱為生產(chǎn)非效率;隨機(jī)前沿生產(chǎn)函數(shù)(StochasticFrontierProductionFunction)在確定性生產(chǎn)函數(shù)的基礎(chǔ)上提出了具有復(fù)合擾動項(xiàng)的隨機(jī)邊界模型。其主要思想為隨機(jī)擾動項(xiàng)ε應(yīng)由v和u組成,其中v是隨機(jī)誤差項(xiàng),是企業(yè)不能控制的影響因素,具有隨機(jī)性,用以計(jì)算系統(tǒng)非效率;u是技術(shù)損失誤差項(xiàng),是企業(yè)可以控制的影響因素,可用來計(jì)算技術(shù)非效率。很明顯,參數(shù)型隨機(jī)前沿生產(chǎn)函數(shù)體現(xiàn)了樣本的統(tǒng)計(jì)特性,也反映了樣本計(jì)算的真實(shí)性。隨機(jī)前沿分析1.2發(fā)展史簡要回顧20世紀(jì)20年代，美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家道格拉斯（P·Douglas）與數(shù)學(xué)家柯布（C·Cobb）合作提出了生產(chǎn)函數(shù)理論，開始了生產(chǎn)率在經(jīng)濟(jì)增長中作用的定量研究。稱其為技術(shù)進(jìn)步率，這些未被解釋部分歸為技術(shù)進(jìn)步的結(jié)果，稱其為技術(shù)進(jìn)步率，這些未被解釋的部分后來被稱為“增長余值”（或“索洛值”），也即為全要素生產(chǎn)率（TFP）的增長率。1977年，Aigner，Lovell，Schmidt和Meeusen，VandenBroeck分別獨(dú)立提出了隨機(jī)前沿生產(chǎn)函數(shù)，之后逐漸發(fā)展起來的隨機(jī)前沿生產(chǎn)函數(shù)法則允許技術(shù)無效率的存在，并將全要隨機(jī)前沿分析

素生產(chǎn)率的變化分解為生產(chǎn)可能性邊界的移動和技術(shù)效率的變化，這種方法比傳統(tǒng)的生產(chǎn)函數(shù)法更接近于生產(chǎn)和經(jīng)濟(jì)增長的實(shí)際情況。能夠?qū)⒂绊慣FP的因素從TFP的變化率中分離出來，從而更加深入地研究經(jīng)濟(jì)增長的根源。利用隨機(jī)前沿生產(chǎn)函數(shù)法，Schmidt（1980，

1986）、Kumbhakar（1988，1990）、Bauer（1990）、Kalirajan（1993）.Batese和Coelli1988，1992，1995）等對技術(shù)效率對TFP和產(chǎn)出的影響做了大量的實(shí)證研究。隨機(jī)前沿分析第二章分析基礎(chǔ)生產(chǎn)有效性：生產(chǎn)者為了達(dá)到一定的生產(chǎn)目標(biāo)，在分配他們可支配的投入和生產(chǎn)的產(chǎn)出時所實(shí)現(xiàn)的成功度。初級層面：給定投入，產(chǎn)出最大OR給定產(chǎn)出,投入最小，生產(chǎn)有效性與技術(shù)有效性一致（解釋1）更深層面：給定產(chǎn)出，成本最小OR給定投入，收入最大OR投入產(chǎn)出配置使利潤最大，生產(chǎn)有效性與經(jīng)濟(jì)有效性一致（解釋2）隨機(jī)前沿分析本章框架：生產(chǎn)技術(shù)隨機(jī)前沿分析技術(shù)有效性經(jīng)濟(jì)有效性隨機(jī)前沿分析2.1生產(chǎn)技術(shù)生產(chǎn)技術(shù)曲線GR={(y,x):x能生產(chǎn)y}描述了一組可行的投入-產(chǎn)出向量生產(chǎn)技術(shù)的投入組合L(y)={x:(y,x)GR}描述了對對于每個產(chǎn)出向量y的投入向量組合生產(chǎn)技術(shù)的產(chǎn)出組合P(x)={y:(y,x)GR}描述了對于每個投入向量的可行產(chǎn)出向量組合投入等量曲線IsoqL(y)={x:xL(y),axL(y),a<1}

描述了能夠生產(chǎn)每一產(chǎn)出向量y的投入向量集合，而實(shí)現(xiàn)當(dāng)投入集合呈徑向收縮時，則無法實(shí)現(xiàn)y產(chǎn)出量隨機(jī)前沿分析投入有效性子集EffL(y)={x:xL(y),x’≤x→x’L(y)}

描述了能夠生產(chǎn)每一產(chǎn)出向量y的投入向量集合，而當(dāng)其在任一維度上收縮時，則無法實(shí)現(xiàn)y產(chǎn)出量產(chǎn)出等量曲線IsoqP(x)={y:yP(x),ayP(x),a>1}描述了每一投入向量x所生產(chǎn)的所有產(chǎn)出向量集合，而當(dāng)其徑向擴(kuò)張時，就不能由投入向量x來生產(chǎn)產(chǎn)出有效性子集EffP(x)={y:yP(x),y’≥y→y’P(x)}

描述了每一投入向量x所生產(chǎn)的所有產(chǎn)出向量集合，而當(dāng)其在任一維度上擴(kuò)張時，就不能由投入向量x來生產(chǎn)隨機(jī)前沿分析★對比幾組概念：關(guān)于產(chǎn)出的類似隨機(jī)前沿分析2.2技術(shù)有效性定義：當(dāng)且盡當(dāng)（y’,x’）GR,在（y’,-x’）≥

(y,x)

時，產(chǎn)出-投入向量（y,x）GR為技術(shù)有效投入導(dǎo)向型技術(shù)有效性是由函數(shù)TEi(y,x)=min{:xL(y)}來測量的產(chǎn)出導(dǎo)向型技術(shù)有效性是由函數(shù)TEo(x,y)=[max{:yP(x)}]-1來測量的隨機(jī)前沿分析2.3經(jīng)濟(jì)有效性成本有效性：CE(y,x,w)=C(y,w)/wTx收入有效性：RE(x,y,p)=pTy/r(x,p)利潤有效性：EA(y,x,p,w)=(pTy-wTx)/(p,w)隨機(jī)前沿分析第三章技術(shù)有效性估計(jì)本章框架：隨機(jī)前沿分析3.1.1確定性生產(chǎn)邊界

測算全要素生產(chǎn)率的傳統(tǒng)方法是索洛余值法(SRA),其關(guān)鍵是假定所有生產(chǎn)者都能實(shí)現(xiàn)最優(yōu)的生產(chǎn)效率,從而將產(chǎn)出增長中要素投入貢獻(xiàn)以外的部分全部歸結(jié)為技術(shù)進(jìn)步(technologicalprogress)的結(jié)果,這部分索洛剩余后來被稱為全要素生產(chǎn)率(李京文等1998)。然而,SRA法的理論假設(shè)不完全符合現(xiàn)實(shí),因?yàn)楝F(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)中大部分生產(chǎn)者不能達(dá)到隨機(jī)前沿分析投入—產(chǎn)出關(guān)系的技術(shù)邊界(Farrell,1957)。基于這一思想,Aigner和Chu(1968)提出了前沿生產(chǎn)函數(shù)模型,將生產(chǎn)者效率分解為技術(shù)前(technologicalfrontier)和技術(shù)效(technicalefficiency)兩個部分,前者刻畫所有生產(chǎn)者投入—產(chǎn)出函數(shù)的邊界(frontieroftheproductionfunction);后者描述個別生產(chǎn)者實(shí)際技術(shù)與技術(shù)前沿的差距。確定性前沿生產(chǎn)函數(shù)模型如下：

隨機(jī)前沿分析

其中u大于等于0，因而exp(-u)介于0和之間，反映了生產(chǎn)函數(shù)的非效率程度，也就是實(shí)際產(chǎn)出與最大產(chǎn)出的距離。在確定了生產(chǎn)函數(shù)的具體形式后，可以計(jì)算或估計(jì)其參數(shù)，如下所述。

假如N個公司，每個公司使用K種投入組成的投入向量來生產(chǎn)出單一產(chǎn)出，生產(chǎn)函數(shù)采用C-D形式：（1）隨機(jī)前沿分析

(1)式中是產(chǎn)出的自然對數(shù)；是K+1維行向量，其中一個元素是1，其余K個元素K種投入數(shù)量的自然對數(shù).

是待估計(jì)的K+1維列向量；是非負(fù)的隨機(jī)變量，用來度量技術(shù)的有效性：（2）隨機(jī)前沿分析

是一種產(chǎn)出導(dǎo)向的效率度量，其值介于0和1之間，它是觀察到的產(chǎn)出與使用同樣投入并且由技術(shù)有效的公司生產(chǎn)的之比，參數(shù)由下述方程得出。

1.目標(biāo)規(guī)劃方法（3）

隨機(jī)前沿分析

它等價于：（4）

隨機(jī)前沿分析

參數(shù)也可以由下列二次規(guī)劃問題計(jì)算得出：（5）

上述目標(biāo)規(guī)劃的主要缺點(diǎn)是其參數(shù)是計(jì)算的而不是估計(jì)的，無統(tǒng)計(jì)解釋。如果假設(shè)服從指數(shù)分布，隨機(jī)前沿分析則線性規(guī)劃“估計(jì)”就是最大似然估計(jì)：

隨機(jī)前沿分析

如果假設(shè)服從正態(tài)分布，則二次規(guī)劃“估計(jì)”就是最大似然估計(jì)：其中C代表常數(shù)隨機(jī)前沿分析

上述“解釋”給予目標(biāo)規(guī)劃方法一個清晰的統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)，但這些計(jì)算的參數(shù)仍然像估計(jì)的參數(shù)那樣有標(biāo)準(zhǔn)差。

2.修正最小二乘法（COLS）

它分為兩步：第一步，先用OLS估計(jì)（1）式：

隨機(jī)前沿分析

得到一致和無偏的斜率參數(shù)，以及一致和有偏的截面參數(shù)。第二步，有偏的截距參數(shù)被向上修正以保證估計(jì)的前沿是所有數(shù)據(jù)的上界：‘

隨機(jī)前沿分析

COLS估計(jì)的生產(chǎn)前沿平行于OLS回歸（以自然對數(shù)形式），意味著最好的生產(chǎn)技術(shù)的結(jié)構(gòu)與中心（平均）趨勢的生產(chǎn)結(jié)構(gòu)一致，這是COLS的缺陷，應(yīng)當(dāng)允許處于生產(chǎn)前沿上的有效率的公司的生產(chǎn)結(jié)構(gòu)不同于位于平均位置的公司的生產(chǎn)結(jié)構(gòu)。隨機(jī)前沿分析3.1.2隨機(jī)生產(chǎn)邊界

由于確定性前沿生產(chǎn)函數(shù)沒有考慮到產(chǎn)活動中存在的隨機(jī)現(xiàn)象，Aigner，ovell，Schmidt(ALS)和Meeusen,vandenBroeck(MB)同時于1977年引進(jìn)了隨機(jī)前沿生產(chǎn)函數(shù)

（1）隨機(jī)前沿分析

其中v代表影響生產(chǎn)活動的隨機(jī)因素，一般假設(shè)它是獨(dú)立同分布（i.i.d)的正態(tài)隨機(jī)變量，具有0均值和不變方差；代表隨機(jī)前沿生產(chǎn)函數(shù)；u(非負(fù))代表著生產(chǎn)效率或管理效率，一般假設(shè)它是獨(dú)立同分布的半正態(tài)隨機(jī)變量或指數(shù)隨機(jī)變量獨(dú)立于。假設(shè)生產(chǎn)函數(shù)取C-D形式：（2）在上述v和u的假設(shè)下，可以使用最大似然法（ML）或調(diào)整最小二乘法（MOLS）估計(jì)參數(shù)和誤差項(xiàng)，進(jìn)而得到技術(shù)效率，如下所述。隨機(jī)前沿分析

1.正態(tài)——半正態(tài)模型的ML估計(jì)假設(shè)：（1）

（2）

（3）和的分布相互獨(dú)立，且與解釋變量相互獨(dú)立。

u,v的密度函數(shù)以及u和v的聯(lián)合密度函數(shù)，u和的聯(lián)合密度函數(shù)分別是:

隨機(jī)前沿分析

隨機(jī)前沿分析

是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)（3）

于是可給出參數(shù)、、的ML估計(jì)，從而得到、以及技術(shù)效率的估計(jì)：

隨機(jī)前沿分析隨機(jī)前沿分析

2.正態(tài)——指數(shù)模型的ML估計(jì)假設(shè)：（1）（2）指數(shù)分布（3）和的密度函數(shù)以及u和v的聯(lián)合密度函數(shù)、和的聯(lián)合密度函數(shù)分別是：隨機(jī)前沿分析

于是可給出參數(shù)、、的ML估計(jì)以及技術(shù)效率的估計(jì)：隨機(jī)前沿分析隨機(jī)前沿分析

3.正態(tài)——半正態(tài)模型的矩估計(jì)（MOLS）此時的假設(shè)與正態(tài)——半正態(tài)模型的ML估計(jì)的假設(shè)一樣，模型是：（7）首先，模型（7）具有0均值和不變的方差，因而可用OLS得到參數(shù)的一直估計(jì)，的OLS估計(jì)不是一致的。隨機(jī)前沿分析

其次，用矩方法得到和的方差估計(jì)：是常數(shù)，

隨機(jī)前沿分析

再次，用的方差估計(jì)量來對OLS截距估計(jì)進(jìn)行調(diào)整（MOLS）：

最后用（6）式得到技術(shù)效率的點(diǎn)估計(jì)。關(guān)于這兩種估計(jì)方法的比較，Olson,Schmidt,Waldman基于蒙特卡羅試驗(yàn)的基礎(chǔ)上指出：選擇哪種估計(jì)反復(fù)取決于值和樣本大小。當(dāng)容量

<400且<3.16時，矩估計(jì)優(yōu)于ML估計(jì)，當(dāng)較大時，ML估計(jì)優(yōu)于矩估計(jì)，并且隨著樣本容量隨機(jī)前沿分析

的增加，這種優(yōu)勢也增加。但是，由于MOLS估計(jì)的第一步?jīng)]有使用分布假設(shè)，所以其第一步估計(jì)對和的分布是穩(wěn)健的。下面利用隨機(jī)前沿生產(chǎn)函數(shù)估計(jì)利潤效率。假設(shè)生產(chǎn)前沿為：

這里是產(chǎn)出數(shù)量，代表可變投入向量，代表固定投入向量，代表著產(chǎn)出導(dǎo)向的隨機(jī)前沿分析

技術(shù)無效率，利潤最大化的一階條件是：其中度量配置效率，<0和>0

隨機(jī)前沿分析

分別代表著可變投入的不足和過度?？紤]C——D生產(chǎn)函數(shù)及其一階條件：假設(shè)：（1）

（2）

（3）隨機(jī)前沿分析

（4），，是相互獨(dú)立的則密度函數(shù)、聯(lián)合密度函數(shù)和似然函數(shù)分別是：

隨機(jī)前沿分析這里：

隨機(jī)前沿分析

極大化該似然函數(shù)，得到所有技術(shù)參數(shù)和效率參數(shù)，然后用下式估計(jì)技術(shù)效率：

配置效率的估計(jì)可通過在一階條件的殘差中減去技術(shù)效率來得到。

隨機(jī)前沿分析橫截面數(shù)據(jù)與面板數(shù)據(jù)面板數(shù)據(jù)：各生產(chǎn)單元的觀察值重復(fù)出現(xiàn)，引入T(各生產(chǎn)單元有T各觀察值)橫截面數(shù)據(jù)模型存在2各問題：1.用極大似然法對隨機(jī)生產(chǎn)邊界模型估計(jì)和從統(tǒng)計(jì)噪音中分離出技術(shù)無效項(xiàng)都要求對每個誤差組成部分設(shè)定嚴(yán)格的分步假設(shè)。對于這些假設(shè)的推導(dǎo)尚無充分的論證。2.極大似然估計(jì)法還要求技術(shù)無效項(xiàng)與自變量無關(guān)，事實(shí)上，技術(shù)有效性是很容易與生產(chǎn)者選擇的投入向量相關(guān)的。隨機(jī)前沿分析3.2.1非時變技術(shù)有效性固定效應(yīng)模型-最簡單的面板數(shù)據(jù)模型假設(shè)：vit≈iid(0,v2)且與自變量不相關(guān)

ui的分布不設(shè)定假設(shè)（解釋）通過OLS:Lnyit=0i+nLnxnit+vit

其中，oi=o-ui表示各個生產(chǎn)單元的截距隨機(jī)前沿分析LSDV模型(虛擬變量最小二乘模型)1.排除o，估計(jì)I個生產(chǎn)單元的截距2.保留o，估計(jì)I-1個生產(chǎn)單元的截距3.將所有數(shù)據(jù)表示成對于均值的偏差，I個截距作為各個生產(chǎn)單元?dú)堉档木惦S機(jī)前沿分析

o=max{oi}

ui=o-oi

所以，各個生產(chǎn)單元技術(shù)有效性可表示為：

TEi=exp{-ui}i^^^^^^隨機(jī)前沿分析第四章對生產(chǎn)率和效率變化的度量

生產(chǎn)率的增長是由三部分組成，一個是技術(shù)進(jìn)步（如新技術(shù)的采用和新產(chǎn)品的發(fā)現(xiàn)），二是技術(shù)效率（如管理效率的提高和生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)的積累），三是規(guī)模效率（組建和管理大企業(yè)乃至大國經(jīng)濟(jì)的能力）。在實(shí)踐中，這一新的生產(chǎn)率概念主要應(yīng)用生產(chǎn)函數(shù)進(jìn)行拆分，而前沿生產(chǎn)函數(shù)的估測又較多依賴于面板數(shù)據(jù)的采用。對生產(chǎn)率進(jìn)行拆分的前沿生產(chǎn)函數(shù)模型主要分兩種，一種為隨機(jī)性的參數(shù)型模型，另一種為隨機(jī)前沿分析

確定性的非參數(shù)型模型。前者通常先估計(jì)一個生產(chǎn)函數(shù)，考慮到該生產(chǎn)函數(shù)中誤差項(xiàng)目的復(fù)合結(jié)構(gòu)及其分布形式，并根據(jù)誤差項(xiàng)的分布假設(shè)不同，采用相應(yīng)的技術(shù)方法來估計(jì)生產(chǎn)函數(shù)中的各個參數(shù)。其最大優(yōu)點(diǎn)是通過估計(jì)生產(chǎn)函數(shù)對個體的生產(chǎn)過程進(jìn)行了描述，從而使對技術(shù)效率的估計(jì)得到了控制；缺點(diǎn)是對效率的偏倚方向設(shè)定及效率和技術(shù)進(jìn)步參數(shù)之間的識別尚無法提供靈活、可行的解決方案。后者則首先根據(jù)樣本中所有個體的投入和產(chǎn)出構(gòu)造一個能包容所有個體生產(chǎn)方式的最小的可能性集合：即所有要素和產(chǎn)出的有效組合。隨機(jī)前沿分析

1、設(shè)

以上代表所采用的生產(chǎn)技術(shù)：隨機(jī)前沿分析

（1）

（2）隨機(jī)前沿分析

其中TE代表技術(shù)效率的變化，TC代表技術(shù)進(jìn)步，二者均以S期為基期，即假定基期數(shù)值為1，求出比較期的數(shù)值，他們均可能大于1，若以對數(shù)形式表示，其含義是相對于基期的增長率，因而（2）式更符合平常的生產(chǎn)率核算要求。

2、SFA方法假設(shè)SFA生產(chǎn)函數(shù)如下：

(3)

隨機(jī)前沿分析

這里f(.)是合適的生產(chǎn)函數(shù)形式，如超越對數(shù)函數(shù)；t是時間趨勢，代表技術(shù)進(jìn)步（TC），其他符號如前。在估計(jì)了參數(shù)后，可得到；

隨機(jī)前沿分析

3、對生產(chǎn)率變化（TFPC）的分解設(shè)生產(chǎn)函數(shù)為則技術(shù)進(jìn)步（準(zhǔn)確的說叫技術(shù)變化