2024年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

2024年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說明：評(píng)閱試卷時(shí)，請(qǐng)依據(jù)本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn).第一試，選擇題和填空題只設(shè)7分和0分兩檔；第二試各題，請(qǐng)按照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的評(píng)分檔次給分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步驟正確，在評(píng)卷時(shí)請(qǐng)參照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)劃分的檔次，給予相應(yīng)的分?jǐn)?shù).第一試一、選擇題〔此題總分值42分，每題7分〕1.設(shè)，那么〔〕A.24.B.25.C..D..【答】A.由，得，故.所以.2．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的兩倍，且AB＝7，AC＝8，那么BC＝〔〕A..B..C..D..【答】C.延長CA至D，使AD＝AB，那么，所以△CBD∽△DAB，所以，故，所以.又因?yàn)?，所?3．用表示不大于的最大整數(shù)，那么方程的解的個(gè)數(shù)為〔〕A.1.B.2.C.3.D.4.【答】C.由方程得，而，所以，即，解得，從而只可能取值.當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，沒有符合條件的解；當(dāng)時(shí)，，沒有符合條件的解；2024年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第1頁〔共8頁〕當(dāng)時(shí)，，解得；2024年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第1頁〔共8頁〕當(dāng)時(shí)，，解得.因此，原方程共有3個(gè)解.4．設(shè)正方形ABCD的中心為點(diǎn)O，在以五個(gè)點(diǎn)A、B、C、D、O為頂點(diǎn)所構(gòu)成的所有三角形中任意取出兩個(gè)，它們的面積相等的概率為〔〕A..B..C..D..【答】B.不妨設(shè)正方形的面積為1.容易知道，以五個(gè)點(diǎn)A、B、C、D、O為頂點(diǎn)所構(gòu)成的三角形都是等腰直角三角形，它們可以分為兩類：〔1〕等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)為正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)之一，這樣的三角形有4個(gè)，它們的面積都為；〔2〕等腰直角三角形的直角頂點(diǎn)為正方形ABCD的中心O，這樣的三角形也有4個(gè)，它們的面積都為.所以以五個(gè)點(diǎn)A、B、C、D、O為頂點(diǎn)可以構(gòu)成4＋4＝8個(gè)三角形，從中任意取出兩個(gè)，共有28種取法.要使取出的兩個(gè)三角形的面積相等，那么只能都取自第〔1〕類或都取自第〔2〕類，不同的取法有12種.因此，所求的概率為.5．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC為直徑在矩形內(nèi)作半圓，自點(diǎn)A作半圓的切線AE，那么CBE＝〔〕A..B..C..D..【答】D.設(shè)BC的中點(diǎn)為O，連接OE、CE.因?yàn)锳B⊥BC，AE⊥OE，所以A、B、O、E四點(diǎn)共圓，故∠BAE＝∠COE.又AB＝AE，OC=OE，所以△ABE∽△OCE，因此，即.又CE⊥BE，所以，故CBE＝.6．設(shè)是大于1909的正整數(shù)，使得為完全平方數(shù)的的個(gè)數(shù)是〔〕A.3.B.4.C.5.D.6.【答】B.設(shè)，那么，它為完全平方數(shù)，不妨設(shè)為〔其中為正整數(shù)〕，那么.驗(yàn)證易知，只有當(dāng)時(shí)，上式才可能成立.對(duì)應(yīng)的值分別為50，20，10，2.2024年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第2頁〔共8頁〕因此，使得為完全平方數(shù)的共有4個(gè)，分別為1959，1989，1999，2024.2024年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第2頁〔共8頁〕二、填空題〔此題總分值28分，每題7分〕1．是實(shí)數(shù)，假設(shè)是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)非負(fù)實(shí)根，那么的最小值是____________.【答】.因?yàn)槭顷P(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)非負(fù)實(shí)根，所以解得.，當(dāng)時(shí)，取得最小值.2．設(shè)D是△ABC的邊AB上的一點(diǎn)，作DE//BC交AC于點(diǎn)E，作DF//AC交BC于點(diǎn)F，△ADE、△DBF的面積分別為和，那么四邊形DECF的面積為______.【答】.設(shè)△ABC的面積為,那么因?yàn)椤鰽DE∽△ABC，所以.又因?yàn)椤鰾DF∽△BAC，所以.兩式相加得，即，解得.所以四邊形DECF的面積為.3．如果實(shí)數(shù)滿足條件，，那么______.【答】.因?yàn)?，所?由可得，從而，解得.從而，因此，即，整理得，解得〔另一根舍去〕.2024年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第3頁〔共8頁〕把代入計(jì)算可得，所以.2024年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第3頁〔共8頁〕4．是正整數(shù)，且滿足是整數(shù)，那么這樣的有序數(shù)對(duì)共有_____對(duì).【答】7.設(shè)〔為正整數(shù)〕，那么，故為有理數(shù).令，其中均為正整數(shù)且.從而，所以，故，所以.同理可得〔其中為正整數(shù)〕，那么.又，所以，所以.〔1〕時(shí)，有，即，易求得或〔3,6〕或〔6,3〕.〔2〕時(shí)，同理可求得.〔3〕時(shí)，同理可求得或〔1,2〕.〔4〕時(shí)，同理可求得.因此，這樣的有序數(shù)對(duì)共有7對(duì)，分別為〔240,240〕，〔135,540〕，〔540,135〕，〔60,60〕，〔60,15〕，〔15,60〕，〔15,15〕.第二試〔A〕一．〔此題總分值20分〕二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)分別為A、B，與軸的交點(diǎn)為C.設(shè)△ABC的外接圓的圓心為點(diǎn)P.〔1〕證明：⊙P與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為定點(diǎn).〔2〕如果AB恰好為⊙P的直徑且，求和的值.解〔1〕易求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)，，那么，.設(shè)⊙P與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D，由于AB、CD是⊙P的兩條相交弦，它們的交點(diǎn)為點(diǎn)O，所以O(shè)A×OB＝OC×OD，那么.2024年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第4頁〔共8頁〕因?yàn)椋渣c(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，從而點(diǎn)D在軸的正半軸上，所以點(diǎn)D為定點(diǎn)，它的坐標(biāo)為(0,1).…………………10分2024年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第4頁〔共8頁〕〔2〕因?yàn)锳B⊥CD，如果AB恰好為⊙P的直徑，那么C、D關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，即.…………………15分又，所以，解得.…………………20分二．〔此題總分值25分〕設(shè)CD是直角三角形ABC的斜邊AD上的高，、分別是△ADC、△BDC的內(nèi)心，AC＝3，BC＝4，求.解作E⊥AB于E，F(xiàn)⊥AB于F.在直角三角形ABC中，AC＝3，BC＝4，.又CD⊥AB，由射影定理可得，故，.…………………5分因?yàn)镋為直角三角形ACD的內(nèi)切圓的半徑，所以＝.…………………10分連接D、D，那么D、D分別是∠ADC和∠BDC的平分線，所以∠DC＝∠DA＝∠DC＝∠DB＝45°，故∠D＝90°，所以D⊥D，.…………………15分同理，可求得，.…………………20分所以＝.…………………25分三．〔此題總分值25分〕為正數(shù)，滿足如下兩個(gè)條件：①②2024年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第5頁〔共8頁〕證明：以為三邊長可構(gòu)成一個(gè)直角三角形.2024年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第5頁〔共8頁〕證法1將①②兩式相乘，得，即，………………10分即，即，………………15分即，即，即，即，即，…………………20分所以或或，即或或.因此，以為三邊長可構(gòu)成一個(gè)直角三角形.……………25分證法2結(jié)合①式，由②式可得，變形，得③………10分又由①式得，即，代入③式，得，即.…………………15分，…………20分所以或或.結(jié)合①式可得或或.因此，以為三邊長可構(gòu)成一個(gè)直角三角形.……………25分第二試〔B〕一．〔此題總分值20分〕題目和解答與〔A〕卷第一題相同.二．〔此題總分值25分〕△ABC中，∠ACB＝90°，AB邊上的高線CH與△ABC的兩條內(nèi)角平分線AM、BN分別交于P、Q兩點(diǎn).PM、QN的中點(diǎn)分別為E、F.求證：EF∥AB.2024年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第6頁〔共8頁〕解因?yàn)锽N是∠ABC的平分線，所以.2024年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第6頁〔共8頁〕又因?yàn)镃H⊥AB，所以，因此.…………………10分又F是QN的中點(diǎn)，所以CF⊥QN，所以，因此C、F、H、B四點(diǎn)共圓.…………………15分又，所以FC＝FH，故點(diǎn)F在CH的中垂線上.…………………20分同理可證，點(diǎn)E在CH的中垂線上.因此EF⊥CH.又AB⊥CH，所以EF∥AB.…………………25分三．〔此題總分值25分〕題目和解答與〔A〕卷第三題相同. 第二試〔C〕一．〔此題總分值20分〕題目和解答與〔A〕卷第一題相同.二．〔此題總分值25分〕題目和解答與〔B〕卷第二題相同.三．〔此題總分值25分〕為正數(shù)，滿足如下兩個(gè)條件：①②是否存在以為三邊長的三角形？如果存在，求出三角形的最大內(nèi)角.解法1將①②兩式相乘，得，即，………………10分即，即，………………15分即，即，即，即，即，…………………20分2024年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第7頁〔共8頁〕所以或或，即或或.2024年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第7頁〔共8頁〕因此，以為三邊長可構(gòu)成一個(gè)直角三角形，它的最大內(nèi)角為90°.……………25分解法2結(jié)合①式，由②