（人教A版2019必修第二冊）數(shù)學(xué)《考點題型 技巧》精講與精練高分突破 8.6.3 平面與平面垂直【附答案詳解】

高一數(shù)學(xué)《考點?題型?技巧》精講與精練高分突破系列(人教A版2019必修第二冊)8.6.3平面與平面垂直【考點梳理】考點一二面角的概念1.定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形.2.相關(guān)概念：(1)這條直線叫做二面角的棱；(2)兩個半平面叫做二面角的面.3.畫法：4.記法：二面角α－l－β或二面角α－AB－β或二面角P－l－Q或二面角P－AB－Q.5.二面角的平面角：(1)若有①O∈l；②OA?α，OB?β；③OA⊥l，OB⊥l，則二面角α－l－β的平面角是∠AOB.(2)二面角的平面角α的取值范圍是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角.考點二平面與平面垂直1.平面與平面垂直的定義(1)定義：一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.(2)畫法：(3)記作：α⊥β.2.平面與平面垂直的判定定理文字語言如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直符號語言l⊥α，l?β?α⊥β圖形語言考點三平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言兩個平面垂直，如果一個平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個平面的交線，那么這條直線與另一個平面垂直符號語言α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β圖形語言【題型歸納】題型一、平面與平面垂直的判定1．（2023·全國·高一課時練習(xí)）如圖所示，在三棱錐中，，，且是銳角三角形，那么必有（

）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面2．（2022·湖南·高一課時練習(xí)）如圖，在圓錐PO中，已知，的直徑，C是上一點（異于A，B），D為AC的中點．求證：平面平面PAC．3．（2023·全國·高一）如圖，在三棱錐中，側(cè)面與側(cè)面均為等邊三角形，，O為的中點.求證：（1）平面平面；（2）平面.題型二、平面與平面垂直的性質(zhì)定理4．（2022·內(nèi)蒙古·呼和浩特市第十四中學(xué)高一期末）以等腰直角三角形的斜邊上的高為折痕，把和折成互相垂直的兩個平面后，某學(xué)生得出下列四個結(jié)論：①；

②是等邊三角形；③三棱錐是正三棱錐

④平面平面．其中正確的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個5．（2022·湖南·高一課時練習(xí)）如圖，P是四邊形ABCD所在平面外的一點，四邊形ABCD是的菱形，，平面垂直于底面ABCD，G為AD邊的中點．求證：(1)平面PAD；(2)．6．（2023·山西運城·高一期末）如圖，在四棱錐中，四邊形為矩形，平面，是的中點，，.（1）求證：平面（2）求點到平面的距離.題型三、二面角的求法7．（2023·全國·高一）如圖，在直三棱柱中，底面三角形是等邊三角形，且，，則二面角的大小為（

）A．30° B．45° C．60° D．90°8．（2023·湖北·高一期末）如圖1，在等腰梯形中，，，，．將與分別沿，折起，使得點、重合（記為點），形成圖2，且是等腰直角三角形．(1)證明：平面平面；(2)求二面角的正弦值；(3)若，求四棱錐的體積．9．（2023·陜西省寶雞市長嶺中學(xué)）如圖，在三棱錐中，，，，，D為線段AC的中點，E為線段PC上一點.(1)求證：平面平面；(2)求二面角的平面角的大??；(3)當(dāng)平面時，求三棱錐的體積．題型四、已知二面角的大小求線段距離或長度10．（2023·云南·麗江市教育科學(xué)研究所高一期末）在菱形ABCD中，，，連結(jié)BD，沿BD把ABD折起，使得二面角的大小為，連結(jié)AC，則四面體ABCD的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．11．（2023·全國·高一課時練習(xí)）已知在菱形中，，沿對角線將折起使二面角為，則點到所在平面的距離為_____.12．（2023·山東日照·高一期末）如圖，在幾何體中，四邊形是菱形，且，平面，，且．（）證明：平面平面；（）若二面角為，求幾何體的體積．題型五、已知二面角的大小求異面直線所成的角13．（2023·福建·高一期中）如圖，已知等邊與等邊所在平面成銳二面角，E，F(xiàn)分別為，中點，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．14．（2020·黑龍江·哈師大附中高一期末）矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E，F(xiàn)分別是邊AB，CD的中點，將正方形ADFE沿EF折到A1D1FE位置，使得二面角A1﹣EF﹣B的大小為120°，則異面直線A1F與CE所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．15．（2020·江蘇徐州·高一期末）如圖，在中，平面，，，為棱的中點，點在棱上.（1）若，求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）若二面角的大小為120°，求異面直線與所成角的余弦值.【雙基達標】一、單選題16．（2022·陜西西安·高一階段練習(xí)）已知直線及三個互不重合的平面，，，下列結(jié)論錯誤的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，，則17．（2022·內(nèi)蒙古·呼和浩特市教學(xué)研究室高一期末）如圖，在三棱錐中，不能證明的條件是（

）A．平面 B．，C．，平面平面 D．，18．（2023·陜西·西安高級中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，為的中點，下列說法正確的個數(shù)有（

）①平面；②平面；③平面平面.A．0個 B．1個 C．2個 D．3個19．（2023·全國·高一課時練習(xí)）設(shè)，，為不重合的平面，m，n為不重合的直線，則其中正確命題的序號為（

）①，，則；②，，，則；③，，，則；④，，，則A．①③ B．②③ C．②④ D．③④20．（2023·廣東·仲元中學(xué)高一期末）如圖，把兩個完全相同的直三角尺，斜邊重合，沿其斜邊折疊形成一個120°的二面角，其中，且，則空間四邊形外接球的表面積為（

）A． B． C． D．21．（2023·廣東·化州市第三中學(xué)高一期末）如圖，在三棱錐P﹣ABC中，PC⊥底面ABC，AB⊥BC，D、E分別是AB、PB的中點．(1)求證：平面PAC；(2)求證：平面PAB⊥平面PBC．22．（2022·浙江省開化中學(xué)高一期末）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，平面，平面平面，，，為的中點．(1)求證：；(2)求二面角的正切值．23．（2023·全國·高一課時練習(xí)）如圖所示，在直角梯形中，，，分別是，上的點，，且（如圖，將四邊形沿折起，連結(jié)、、（如圖．在折起的過程中，下列說法中正確的個數(shù)（

）①平面；②、、、四點可能共面；③若，則平面平面；④平面與平面可能垂直．A．0 B．1 C．2 D．3【高分突破】一：單選題24．（2023·全國·高一課時練習(xí)）已知長方形，，，、分別為、中點，將其沿折起，折成直二面角，則下列說法正確的是（

）A．與成角為 B．與平面成角為C．平面垂直于平面 D．三棱錐的體積為25．（2023·陜西陳倉·高一期末）PA垂直于正方形ABCD所在平面，連接PB、PC、PD、AC、BD，則下列垂直關(guān)系正確的是（

）①平面平面PAD；②平面平面PBC；③平面平面PCD；④平面平面PAC．A．①② B．①③ C．②③ D．②④26．（2023·甘肅省會寧縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖所示，四邊形ABCD中，，，，，將沿BD折起，使平面平面BCD，構(gòu)成四面體ABCD，則四面體ABCD中，下列命題正確的是（

）A．平面平面ABC B．平面平面BDCC．平面平面BDC D．平面平面ABD27．（2023·全國·高一課時練習(xí)）中和殿是故宮外朝三大殿之一，位于紫禁城太和殿與保和殿之間，中和殿建筑的亮點是屋頂為單檐四角攢（cuán）尖頂，體現(xiàn)天圓地方的理念，其屋頂部分的輪廓可近似看作一個正四棱錐．已知此正四棱錐的側(cè)棱長為，側(cè)面與底面所成的銳二面角為，這個角接近30°，若取，則下列結(jié)論正確的是（

）A．正四棱錐的底面邊長為48mB．正四棱錐的高為4mC．正四棱錐的體積為D．正四棱錐的側(cè)面積為28．（2023·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)高一期中）如圖所示，在直三棱柱中，，，，，分別是，的中點，給出下列結(jié)論：①平面；②；③平面；④平面平面其中正確結(jié)論的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．429．（2023·安徽·高一階段練習(xí)）如圖，正方體的棱長為2，M為棱的中點，N為棱上的點，且，現(xiàn)有下列結(jié)論：①當(dāng)時，平面；②存在，使得平面；③當(dāng)時，點C到平面的距離為；④對任意，直線與都是異面直線．其中所有正確結(jié)論的編號為（

）A．①② B．①③ C．②④ D．③④二、多選題30．（2023·江蘇·儀征市第二中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，為圓O的直徑，點C在圓周上（異于點A，B），直線垂直于圓O所在的平面，點M是線段的中點，下列命題正確的是（

）A．平面； B．平面；C．平面 D．平面平面31．（2023·河北巨鹿中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，已知四棱錐中，平面，，，為中點，在上，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．平面 B．與平面所成角為C．四面體的體積為 D．平面平面32．（2023·全國·高一單元測試）如圖，在長方體中，，，，分別為棱，的中點，則下列說法正確的是（

）A．四點共面 B．平面平面C．直線與所成角的為 D．平面33．（2023·湖北·黃石市有色第一中學(xué)高一期末）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，側(cè)面為正三角形，且平面平面，則下列說法正確的是（

）A．在棱上存在點，使平面B．異面直線與所成的角為90°C．二面角的大小為45°D．平面34．（2023·全國·高一單元測試）如圖直角梯形中，，，，E為中點.以為折痕把折起，使點A到達點P的位置，且則（

）A．平面平面 B．C．二面角的大小為 D．與平面所成角的正切值為35．（2020·全國·高一課時練習(xí)）如圖所示，在直角梯形中，，分別是上的點，，且(①).將四邊形沿折起，連接(②).在折起的過程中，下列說法中正確的是（

）A．平面B．四點不可能共面C．若，則平面平面D．平面與平面可能垂直36．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知中，，，為邊上的高，且，沿將折起至的位置，使得，則（

）A．平面平面B．三棱錐的體積為8C．D．三棱錐外接球的表面積為三、填空題37．（2022·湖南·高一課時練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面且底面各邊都相等，是上一點，當(dāng)點滿足___________時，平面平面(只要填寫一個你認為正確的條件即可)38．（2023·全國·高一課時練習(xí)）如圖，在三棱錐中，若，，是的中點，則下列命題中正確的有___________(寫出全部正確命題的序號).①平面平面；②平面平面；③平面平面，且平面平面；④平面平面，且平面平面.39．（2023·全國·高一課時練習(xí)）如圖，P是邊長為2的正方形ABCD外一點，PA⊥AB，PA⊥BC，且PC＝5，則二面角P--BD--A的余弦值為________．40．（2023·湖北·武漢市第四十九中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，已知棱長為2的正方體中，點在線段上運動，給出下列結(jié)論：①異面直線與所成的角范圍為；②平面平面；③點到平面的距離為定值；④存在一點，使得直線與平面所成的角為.其中正確的結(jié)論是___________.四、解答題41．（2018·全國·高考真題（文））如圖，在平行四邊形中，，，以為折痕將△折起，使點到達點的位置，且．（1）證明：平面平面；（2）為線段上一點，為線段上一點，且，求三棱錐的體積．42．（2023·全國·高考真題）如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點.（1）證明：；（2）若是邊長為1的等邊三角形，點在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.43．（2023·全國·高考真題（文））如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，M為的中點，且．（1）證明：平面平面；（2）若，求四棱錐的體積．44．（2019·北京·高考真題（文））如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底部ABCD為菱形，E為CD的中點.（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若∠ABC=60°，求證：平面PAB⊥平面PAE；（Ⅲ）棱PB上是否存在點F，使得CF∥平面PAE？說明理由.45．（2023·全國·高一課時練習(xí)）如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，E為的中點．（1）證明：平面；（2）設(shè)，，四棱錐的體積為1，求證：平面平面．46．（2020·全國·高一單元測試）如圖，四面體ABCD中，點E，F(xiàn)分別為線段AC，AD的中點，平面平面，，，垂足為H.（1）求證：；（2）求證：平面平面ABC.47．（2023·河北·肅寧縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖所示，已知三棱錐，，，，為的中點，且是正三角形，．（1）求證：平面平面；（2）求二面角的正弦值；（3）若點為的中點，求三棱錐的體積．48．（2019·甘肅·天水市第一中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面，，是的中點．（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）若與平面所成角為，求的長．【答案詳解】1．C【解析】【分析】由線線垂直（，）推出線面垂直（平面）推出面面垂直平面平面.【詳解】，，，平面，平面，平面，平面，平面平面BCD故選：C.2．證明見解析【解析】【分析】由圓錐的性質(zhì)可得，由圓的性質(zhì)可得，再結(jié)合三角形的中位線定理可得，由線面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理可證得結(jié)論【詳解】因為是的直徑，C是上一點，所以，因為D為AC的中點，是的直徑，所以‖，所以，因為在圓錐PO中，平面，平面，所以，因為，所以平面，因為平面PAC，所以平面平面PAC．3．（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）要證明面面垂直，需證明線面垂直，即轉(zhuǎn)化為證明平面；（2）要證明線面垂直，轉(zhuǎn)化為證明線線垂直，即關(guān)鍵證明.【詳解】證明：（1）因為，均為等邊三角形，所以，.因為O為中點，所以，.所以平面.又因為平面，所以平面平面.（2）因為，所以.易證.所以.因為，所以.所以，且，因為平面，平面，，所以平面.4．C【解析】【分析】根據(jù)翻折后垂直關(guān)系得BD⊥平面ADC，即得BD⊥AC，再根據(jù)計算得△BAC是等邊三角形，最后可確定選項.【詳解】由題意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①正確；AD為等腰直角三角形斜邊BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等邊三角形，②正確；易知DA＝DB＝DC，又由②知△BAC是等邊三角形，故③正確；取AD得中點E，連接BE，則由△BAC是等邊三角形可知BE⊥AC，若平面，則由面面垂直的性質(zhì)可知已知BE⊥平面ADC，又由①知BD⊥平面ADC，但過點B只有一條直線與平面ADC垂直，故④錯．所以正確的個數(shù)是3,故選：C.5．(1)證明見解析；(2)證明見解析.【解析】【分析】(1)利用面面得到平面；(2)證明面，從而得．(1)四邊形是的菱形，∴為等邊三角形，又為的中點，∴，又∵平面平面，平面，平面平面，∴平面；(2)，為的中點，∴，又，，平面，∴平面，又∵面，∴．6．（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）要證明線面平行，需證明線線平行，連結(jié)交于點，即證明；（2）方法一，首先由平面可知，點到平面的距離即點到平面的距離，利用面面垂直，過點作，則即為所求；方法二，利用等體積轉(zhuǎn)化，即可求得點到平面的距離.【詳解】（1）在矩形中，連接交于點，則為的中點，連接.為的中點又平面，平面平面（2）方法一：，平面，平面平面到平面的距離等于到平面的距離平面，平面，又，平面又平面平面平面過作，則平面即為所求.在中，，，解得.方法二：(等體積法)設(shè)到平面的距離為平面，平面，又，平面又.7．B【解析】【分析】首先取的中點，連接，，根據(jù)題意得到為二面角平面角，再計算其大小即可.【詳解】取的中點，連接，，如圖所示：由題知：，又因為為的中點，所以，且又因為，所以為二面角平面角.因為，為銳角，所以.故選：B8．(1)證明見解析；(2)(3)【解析】【分析】(1)先證平面,即可證明面面垂直.(2)證明即為二面角的平面角，解三角形即可求解.(3)由(2)得出底面積和高，即可求解.(1)解：由題意得：又,,故平面；又平面,故平面平面；(2)如圖，連接,分別為的中點，由（1）知,故,又,所以，故即為二面角的平面角，由(1)知,平面,又平面,故平面平面,又平面平面,,所以平面,設(shè)，則,,,,故二面角的正弦值為：.(3)由(2)得,平面,又，所以,故四棱錐的體積為.9．(1)證明見解析；(2)；(3)【解析】【分析】（1）可通過證明及來證明面，進而可得平面平面；（2）通過證明面，可得是二面角的平面角，在中計算即可；（3）通過來計算三棱錐的體積.(1)由，，且得面，又面，又，D為線段AC的中點，則，又，面，面，面，又面，平面平面；(2)由（1）知面，又面，，又，且，面，面，面，又面是二面角的平面角，在中，即二面角的平面角的大小為；(3)平面，平面，且平面平面，又D為線段AC的中點，可得E為線段PC的中點，且又由面，可得面，可得，則三棱錐的體積為10．D【解析】【分析】取的中點記為，分別取和的外心與，過這兩點分別作平面?平面的垂線，交于點，則就是外接球的球心，先在中，求解，再在，求可得球半徑，進而得解.【詳解】如圖，取的中點記為，連接，，分別取和的外心與，過這兩點分別作平面?平面的垂線，交于點，則就是外接球的球心，連接，，易知為二面角的平面角為，則是等邊三角形，其邊長為，，在中，，∴∵，∴，則四面體的外接球的表面積為.故選：D.11．【解析】【分析】由，得到即為二面角的平面角，結(jié)合，得到點到所在平面的距離為，即可求解.【詳解】如圖所示，設(shè)，則，所以即為二面角的平面角，所以，且，所以點到所在平面的距離為.故答案為：.12．（1）詳見解析；（2）.【解析】【分析】（1）本題首先根據(jù)四邊形是菱形得出，根據(jù)平面得出，然后根據(jù)線面垂直的判定以及面面垂直的判定即可證得結(jié)論；（2）本題首先可連接，然后根據(jù)二面角的性質(zhì)得出，則，，最后根據(jù)幾何體的體積即可得出結(jié)果.【詳解】（1）因為四邊形是菱形，所以，因為平面，平面，所以，因為，所以平面，因為平面，所以平面平面.（2）如圖，連接，因為平面，四邊形是菱形，所以由三角形全等易知，是中點，，，則即二面角對應(yīng)的平面角，,因為，所以，，，因為平面，，所以梯形的面積，幾何體的體積.13．C【解析】【分析】連接，，根據(jù)面面角可得，再利用余弦定理即可求解.【詳解】連接，，等邊與等邊所在平面成銳二面角，可得，設(shè)等邊與等邊的邊長為，則，即為等邊三角形，所以，因為E，F(xiàn)分別為，中點，所以，異面直線與所成角即為所成的角，在中，.故選：C14．D【解析】【分析】連接，可得為異面直線A1F與CE所成的角，然后在中，利用余弦定理可求出結(jié)果.【詳解】解：連接，因為在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AB，CD的中點，所以，∥，所以四邊形為平行四邊形，所以∥，所以為異面直線A1F與CE所成的角，由已知條件得，，因為，所以為二面角A1﹣EF﹣B的平面角，即，所以，則為等邊三角形，所以，在中，由余弦定理得，故選：D【點睛】此題考查了二面角、異面直線所成的角，考查了余弦定理，考查了計算能力，屬于中檔題.15．（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）【解析】【分析】（1）易知是△的中位線，可得，結(jié)合線面平行的判定定理，可證明平面；（2）由底面，可得，由，可知，從而可證明平面，再結(jié)合平面，可證明平面平面；（3）易知二面角的大小為，結(jié)合（2）可知平面，可知即為二面角的平面角，可求出，即為棱的中點，可得，于是即為異面直線與所成的角，求出即可.【詳解】（1）由，可知為棱的中點，又因為為棱的中點，所以在△中，，因為平面，平面，所以平面.（2）因為底面，平面，所以，在△中，，為的中點，所以，又因為，平面，平面，所以平面又因為平面，所以平面平面.（3）由題意知，二面角的大小為，由（2）的證明可知，平面，又因為平面，所以，又，所以即為二面角的平面角，所以，因為底面，平面，所以，在△中，，，，所以.因為，所以為棱的中點，故，于是即為異面直線與所成的角.易知△△，故，，在△中，由余弦定理知，，所以異面直線與所成角的余弦值為.【點睛】本題考查線面平行的證明，考查面面垂直的證明，考查二面角及線面角的知識，考查學(xué)生的空間想象能力與計算求解能力，屬于中檔題.16．B【解析】【分析】對A，可根據(jù)面面平行的性質(zhì)判斷；對B，平面與不一定垂直，可能相交或平行；對C，可根據(jù)面面平行的性質(zhì)判斷；對D，可通過在平面，中作直線，推理判斷.【詳解】解：對于選項A：根據(jù)面面平行的性質(zhì)可知，若，，則成立，故選項A正確，對于選項B：垂直于同一平面的兩個平面，不一定垂直，可能相交或平行，故選項B錯誤，對于選項C：根據(jù)面面平行的性質(zhì)可知，若，，則成立，故選項C正確，對于選項D：若，，，設(shè)，，在平面中作一條直線，則，在平面中作一條直線，則，，，又，，，故選項D正確，故選：B.17．D【解析】【分析】A選項利用線面垂直（平面）可推出線線垂直（），B選項利用兩組線線垂直（，）推出線面垂直（平面），再推出線垂直（），C選項利用面面垂直的性質(zhì)定理可推出，D選項不能證明出.【詳解】平面，平面，，故A選項可以證明，因此不選.，，平面，平面，平面，.故B選項可以證明，因此不選.平面平面，平面平面，，由面面垂直的性質(zhì)定理知平面.平面，，故C選項可以證明，因此不選.由D選項，并不能推出.故選：D.18．D【解析】【分析】通過線線垂直證明線面垂直及面面垂直，通過線線平行證明線面平行.【詳解】三棱柱是直三棱柱，所以平面，又平面，所以，又為的中點，所以,且,平面ABA1,所以平面，又平面，所以平面平面，故①③都正確；連接交于點，再連接，可知為的中位線，所以，又平面，在平面外，所以平面，故②正確.故選：D19．C【解析】【分析】對于①，與相交或平行；對于②，由線面垂直的性質(zhì)和面面垂直的判定定理得；對于③，與相交、平行或；對于④，由面面垂直的性質(zhì)和線面垂直的判定定理得．【詳解】對于①，，，則與相交或平行，故①錯誤；對于②，，，，則由線面垂直的性質(zhì)和面面垂直的判定定理得，故②正確；對于③，，，，則與相交、平行或，故③錯誤；對于④，，，，則由面面垂直的性質(zhì)和線面垂直的判定定理得，故④正確．故選：C20．B【解析】【分析】過點作于，連接，證得為二面角的平面角，進而求出的長度，然后取的中點,證得為空間四邊形外接球的球心，從而可知為球直徑，從而結(jié)合球的表面積的公式即可求出結(jié)果.【詳解】過點作于，連接，由于和全等，所以，，所以為二面角的平面角，即，在中，結(jié)合余弦定理得，即，因此，因為，所以，在中，，從而，在中，，又因為，所以，取的中點，連接，由于是和的斜邊，所以，故為空間四邊形外接球的球心，為球直徑，所以空間四邊形外接球的半徑為，所以空間四邊形外接球的表面積為，故選：B.21．(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】【分析】（1）依題意根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到，即可得證；（2）由線面垂直的性質(zhì)得到，再根據(jù)，即可得到平面，即可得證；(1)證明：∵點D、E分別是棱AB、PB的中點，∴，又∵平面，平面；

∴平面．(2)證明：∵底面，底面，∴，∵，，平面，∴平面，又∵平面，∴平面平面．22．(1)證明見解析；(2).【解析】【分析】（1）過在平面內(nèi)作，垂足為點，證明出，由線面垂直的性質(zhì)可得出，利用線面垂直的判定和性質(zhì)可證得結(jié)論成立；（2）過點在平面內(nèi)作，垂足為點，連接，證明出平面，可得出為二面角的平面角，計算出的長，即可求得的正切值，即可得解.(1)證明：過在平面內(nèi)作，垂足為點，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，則，平面，平面，，，平面，平面，.(2)解：過點在平面內(nèi)作，垂足為點，連接，由（1）知平面，平面，，，，所以，平面，因為平面，所以，，所以，為二面角的平面角，平面，平面，，，，則，為的中點，所以，，由，，因此，二面角的正切值為.23．C【解析】【分析】對①，連接，交于點，取中點，連接，，通過證為平行四邊形可證平面；對②，采用反證法，由平面推出，證矛盾；對③，結(jié)合線面垂直判斷定理可證，推出平面，進而得證；對④，同樣采用反證法，延長至，使得，連接，，過作于，則平面，垂足在上，若結(jié)合④的條件，證出垂足在上，矛盾.【詳解】對①，在圖②中，連接，交于點，取中點，連接，，則為平行四邊形，即，所以平面，故①正確；對②，如果、、、四點共面，則由平面，可得，又，所以，這樣四邊形為平行四邊形，與已知矛盾，故②不正確；對③，在梯形中，由平面幾何知識易得，又，平面，即有，平面，則平面平面，故③正確；對④，在圖②中，延長至，使得，連接，，由題意得平面平面，四點共面．過作于，則平面，若平面平面，則過作直線與平面垂直，其垂足在上，矛盾，故④錯誤．故選：C．24．C【解析】【分析】畫出立體圖形，對A，因為．所以為異面直線與成角，結(jié)合幾何關(guān)系可求；對B，結(jié)合線面角的性質(zhì)可判斷與平面成角為，對C，結(jié)合面面垂直的判定定理可證；對D，結(jié)合錐體體積公式可直接求解.【詳解】如圖所示，將其沿折起，折成直二面角，補成正方體．A．連接，，．為等邊三角形．為異面直線與成角，為，不正確．B．底面，與平面成角為，因此不正確；C．由正方體的性質(zhì)可得：，，，平面，平面，平面垂直于平面，正確；D．三棱錐的體積．因此不正確．故選：C．25．A【解析】【分析】對于①②，由于PA垂直于正方形ABCD所在平面，所以PA所在的平面與底面垂直，又ABCD為正方形，故又存在一些線線垂直關(guān)系，從而可以得到線面垂直，進而可以判定面面垂直．對于③④，找到相互垂直的平面的二面角的平面角，可發(fā)現(xiàn)這些平面角不可能為直角.【詳解】∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PA⊥BC，又正方形ABCD中，BC⊥AB，AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB，BC?平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC，②正確；同理AD⊥平面PAB，AD?平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB，∴①正確；設(shè)平面PAB∩平面PCD＝l，∵AB∥CD，AB?平面PAB，CD?平面PAB，∴CD∥平面PAB，∴CD∥l，AB⊥平面PAD，l∥AB，∴l(xiāng)⊥平面PAD，P為垂足，∴∠APD為二面角A?l?D的平面角，若平面PAB⊥平面PCD，則AP⊥PD，在Rt△PAD中不可能，∴③錯誤．∵AB⊥PA，AC⊥PA，∴∠BAC為二面角B?PA?C的平面角，若平面平面PAC，則AB⊥AC，在Rt△ABC中不可能，∴④錯誤．故選：A．26．D【解析】【分析】由題意推出，，得到平面ADC，再由面面垂直的判定定理，得到平面平面ABD即可.【詳解】解：∵在四邊形ABCD中，，，，∴，又平面平面BCD，且平面平面，平面BCD，故平面ABD，則，又故平面ADC，又平面ABD，所以平面平面ABD.故選：D.27．C【解析】【分析】在如圖所示的正四棱錐中，設(shè)底面邊長為，根據(jù)側(cè)棱長和側(cè)面與底面所成的二面角可求底邊的邊長，從而可求體高、側(cè)面積以及體積，據(jù)此可判斷各項的正誤.【詳解】如圖，在正四棱錐中，為正方形的中心，，則為的中點，連接，則平面，，則為側(cè)面與底面所成的銳二面角，設(shè)底面邊長為．正四棱錐的側(cè)面與底面所成的銳二面角為，這個角接近30°，取，∴，則，，．在中，，解得，故底面邊長為，正四棱錐的高為，側(cè)面積為，體積．故選：C．28．D【解析】【分析】對①由為等腰三角形可得，再根據(jù)線面垂直的判定定理證明即可；對②不妨設(shè)，則，，利用三角形相似證明即可；對③連結(jié)，交于，連結(jié)，再根據(jù)線面平行的判定定理證明即可；對④利用線面垂直的判斷定理可證平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理證明即可.【詳解】①直三棱柱中，，所以，又為的中點，所以，又在直三棱柱中，平面，平面，所以，又，平面，所以平面，故①正確；②不妨設(shè)，則，，所以,所以∽，所以，又，所以，所以，故②正確；③連結(jié)交于，連結(jié)，則為的中點，又是的中點，所以，又平面，平面，所以平面，故③正確；④由①知，平面，平面，所以,又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，故④正確.故選：D29．D【解析】【分析】利用平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化，再利用比例關(guān)系求的值，判斷①；利用反證法判斷②；利用等體積轉(zhuǎn)化求點C到平面的距離，判斷③；利用異面直線的判斷定理判斷④.【詳解】若平面，如圖，連接，記交于S，交于T，連接，則，又T為的中點，故S也為的中點．延長交的延長線于Q，可知，即，故①錯誤．若平面，則，又，，所以平面，這是不可能的，故②錯誤．利用等體積法，，，，解得：，求得點C到平面的距離為，故③正確．連接，平面，點平面，點平面，利用異面直線的判定定理“過平面內(nèi)一點和平面外一點的直線與平面內(nèi)不過該點的直線異面”，故④正確．故選：D30．AD【解析】【分析】根據(jù)題中條件，由線面平行的判定定理，可判斷A正確，B錯；根據(jù)題中條件，判斷不與垂直，故C錯；根據(jù)面面垂直的判定定理，可判斷D正確.【詳解】因為為圓O的直徑，M是線段的中點，所以；又平面，平面，所以平面；即A正確；又平面，即平面，故B錯；因為點C在圓O的圓周上，所以，故不與垂直，所以不可能與平面垂直，即C錯；由直線垂直于圓O所在的平面，所以；又，，平面、平面，所以平面，又平面，所以平面平面，即D正確.故選：AD.31．ACD【解析】【分析】根據(jù)題中角度關(guān)系證明，，證得平面平面，即證平面，判斷A正確；利用題中長度關(guān)系得到線面成角為，判斷B錯誤；利用等體積法計算，判斷C正確，由，，證明平面，即證面面垂直，判斷D正確.【詳解】依題意，連接EF，DF，如圖，，，則，又，則，故，是等邊三角形，故，，即F是DC的中點，，又為中點，，故，，則平面，平面，相交于平面內(nèi)，故平面平面，而平面，所以平面，選項A正確；因為，所以，，又平面，所以與平面所成角為，故B錯誤；四面體的體積，因為，平面，所以平面，，等邊三角形的面積為，故，故C正確；平面，則，而，相交于平面內(nèi)，故平面，而平面，故平面平面，D正確.故選：ACD.【點睛】方法點睛：求空間中直線與平面所成角的常見方法為：（1）定義法：直接作平面的垂線，找到線面成角；（2）等體積法：不作垂線，通過等體積法間接求點到面的距離，距離與斜線長的比值即線面成角的正弦值；（3）向量法：利用平面法向量與斜線方向向量所成的余弦值的絕對值，即是線面成角的正弦值.32．BC【解析】【分析】根據(jù)點線面的位置關(guān)系逐個判斷選項即可.【詳解】對于A，由圖顯然、是異面直線，故四點不共面，故A錯誤；對于B，由題意平面，故平面平面，故B正確；對于C，取的中點，連接、，可知三角形為等邊三角形，故C正確；對于D，平面，顯然與平面不平行，故D錯誤；故選：BC【點睛】本題考查了空間幾何體的線面位置關(guān)系判定與證明：（1）對于異面直線的判定要熟記異面直線的概念：把既不平行也不相交的兩條直線稱為異面直線；（2）對于線面位置關(guān)系的判定中，熟記線面平行與垂直、面面平行與垂直的定理是關(guān)鍵.33．ABC【解析】【分析】選項A，取的中點，利用三角形知識得垂直關(guān)系，再利用線面垂直的判定定理證明平面；選項B，利用平面，可得；選項C，先作出并證明所求的二面角為，再利用直角三角形知識求解；選項D，利用反證法，假設(shè)平面，再證明平面，得到，與與的夾角為矛盾來說明.【詳解】A選項：如圖，取的中點，連接，∵側(cè)面為正三角形，，又底面是菱形，，是等邊三角形，又為的中點，又，，在平面內(nèi)，且相交于點，平面，故選項A正確；B選項：由選項A知，平面，又平面，，即異面直線與所成的角為90°，故選項B正確；C選項：∵平面，，平面，，，又平面平面，是二面角的平面角，設(shè)，則，，在直角中，，即，故二面角的大小為，故選項C正確；D選項：因為平面平面，，所以平面，又平面，所以.假設(shè)平面，則有，又，在平面內(nèi)，且相交于點，所以平面，又平面，所以，而由題可知，與的夾角為，矛盾，故假設(shè)不成立，故選項D錯誤.故選：ABC.34．ABC【解析】先證明平面，得，再結(jié)合，即證平面，所以平面平面，判斷A正確；利用投影判斷，判斷B正確；先判斷即為二面角的平面角，再等腰直角三角形判斷，即C正確；先判斷為與平面所成的角，再求正切，即知D錯誤.【詳解】由題易知，又，，所以，所以，又，，所以平面，所以，又，，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正確；在平面內(nèi)的射影為，又為正方形，所以，，故B正確；易知即為二面角的平面角，又，，所以，故C正確；易知為與平面所成的角，又，，，所以，故D錯誤.【點睛】求空間中直線與平面所成角的常見方法為：（1）定義法：直接作平面的垂線，找到線面成角；（2）等體積法：不作垂線，通過等體積法間接求點到面的距離，距離與斜線長的比值即線面成角的正弦值；（3）向量法：利用平面法向量與斜線方向向量所成的余弦值的絕對值，即是線面成角的正弦值.本題使用了定義法.35．ABC【解析】根據(jù)已知條件，結(jié)合線面平行的判定，面面垂直的判定等，對四個選項分別進行判斷，得到答案.【詳解】選項A中，連接，取的中點，的中點，連接，且，而且，所以且所以四邊形是平行四邊形，所以，而平面，平面，所以平面，所以A正確；選項B中，設(shè)四點共面，因為，平面，平面，所以平面，而平面，平面平面，所以，所以，這與已知相矛盾，故四點不可能共面，所以B正確；選項C中，連接，在梯形中，易得，又，平面，，所以平面而平面，所以，而，平面，且與必有交點，所以平面，因為平面，所以平面平面，所以C正確；選項D中，延長至，使得，連接，，，平面，，所以平面，而，所以平面，因為平面，所以平面平面，過作于，平面，平面平面，所以平面，若平面平面，則過作直線與平面垂直，其垂足在上，故前后矛盾，所以D錯誤.故選：ABC.【點睛】本題考查線面平行的判定，線面垂直的性質(zhì)和判定，面面垂直的判定等，屬于中檔題.36．ACD【解析】【分析】根據(jù)及翻折前后幾何元素的位置關(guān)系得到，，從而可得平面平面，A選項正確；先根據(jù)已知求出，再求得，然后利用三角形的面積計算公式、錐體的體積計算公式及等體積法求得結(jié)果，即可判斷B選項；在中利用余弦定理求得的值，即可判斷C選項；利用幾何直觀及三棱錐外接球的球心與側(cè)面的位置關(guān)系，結(jié)合已知得到部分幾何元素的數(shù)量關(guān)系，從而求得三棱錐外接球的半徑，最后根據(jù)球的表面積的計算公式求得結(jié)果，即可判斷D選項．【詳解】對于A：因為為邊上的高，所以，沿將折起至的位置后，，，所以平面，所以平面平面，所以A選項正確；對于B：因為，，，所以，又，所以，，所以B選項不正確；對于C：在中，，，，由余弦定理可得，所以，所以C選項正確；對于D：如圖，記為三棱錐外接球的球心，為外接圓的圓心，連接，則平面，取的中點，的中點，連接，得，又平面，所以平面PDC，故，連接，，易知平面，平面，故，且，則四邊形為矩形，連接，，則為外接圓的半徑，由正弦定理可得，所以，又，故外接球半徑，所以三棱錐外接球的表面積為，所以D選頊正確．故選：ACD．【點睛】方法點睛：三棱錐外接球的球心的一般作法：分別找到兩個側(cè)面三角形的外心，再分別過外心作相應(yīng)平面的垂線，兩垂線的交點即三棱錐外接球的球心，通常是找到兩個特殊三角形，因為這樣易找到外心或易求得外接圓的半徑．37．DMPC(或BMPC)【解析】【詳解】試題分析：連接，因為底面，所以,因為四邊形的各邊相等，所以,且，所以平面，即，要使平面平面，只需垂直于面上的與相交的直線即可，所以可填；故填．考點：1．線面垂直的判定；2．面面垂直的判定．【方法點睛】本題考查空間中線線、線面、線面垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，屬于中檔題；在處理空間中的垂直關(guān)系或平行關(guān)系時，要注意線線垂直或平行的判定，即空間問題平面化；在利用線面或面面垂直的判定或選擇時，要注意條件的完備性(如：在證明線面垂直時，往往只重視證明線線垂直，而易忽視平面內(nèi)的兩直線相交)．38．③【解析】【分析】由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得，，再由線面垂直的判定定理可得平面，然后利用面面垂直的判定定理可得平面平面，平面平面【詳解】因為，且是的中點，所以，同理有，因為，平面.所以平面.因為在平面內(nèi)，所以平面平面.又由于平面，所以平面平面，故答案為：③.39．【解析】【分析】根據(jù)PA⊥AB，PA⊥BC，易得PA⊥平面ABCD，再根據(jù)四邊形ABCD為正方形，得到BD⊥AC，進而得到BD⊥平面PAO，從而由∠POA為二面角P--BD--A的平面角求解．【詳解】如圖，∵PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC＝B，∴PA⊥平面ABCD．又BD?平面ABCD，∴PA⊥BD．又四邊形ABCD為正方形，∴BD⊥AC，∴BD⊥平面PAO(其中O為AC與BD的交點)，∴BO⊥PO，∴∠POA為二面角P-BD-A的平面角．又AB＝，∴AC＝4，∴AO＝2．又PA＝，PO=，所以故答案為：【點睛】方法點睛：幾何法求線面角、二面角的常用方法：（1）線面角的求法，找出斜線在平面上的射影，關(guān)鍵是作垂線，找垂足，要把線面角轉(zhuǎn)化到一個三角形中求解．（2）二面角的求法，二面角的大小用它的平面角來度量．平面角的作法常見的有①定義法；②垂面法．注意利用等腰、等邊三角形的性質(zhì)．40．②③【解析】數(shù)形結(jié)合說明異面直線與所成的角的范圍為，故①錯誤；證明平面，所以平面平面，故②正確；點到平面的距離為定值，且等于的，即，故③正確；與平面所成的角為,最大值為，故④不正確.【詳解】對于①，當(dāng)在點時，，異面直線與所成的角最大為，當(dāng)在點時，異面直線與所成的角最小為，所以異面直線與所成的角的范圍為，故①錯誤；對于②，如圖，因為平面,所以,同理,又因為平面,所以平面，所以平面平面，故②正確；對于③，因為平面,平面,所以平面，所以點到平面的距離為定值，且等于的，即，故③正確；對于④，直線與平面所成的角為，，當(dāng)時，最小，最大，最大值為，故④不正確，故答案為：②③.【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵是判斷命題①④的真假，它們都是求空間的角，它們都是利用數(shù)形結(jié)合的方法求空間角的最值，對于數(shù)形結(jié)合的這種數(shù)學(xué)思想要注意靈活運用.41．(1)見解析.(2)1.【解析】【詳解】分析：(1)首先根據(jù)題的條件，可以得到=90，即，再結(jié)合已知條件BA⊥AD，利用線面垂直的判定定理證得AB⊥平面ACD，又因為AB平面ABC，根據(jù)面面垂直的判定定理，證得平面ACD⊥平面ABC；(2)根據(jù)已知條件，求得相關(guān)的線段的長度，根據(jù)第一問的相關(guān)垂直的條件，求得三棱錐的高，之后借助于三棱錐的體積公式求得三棱錐的體積.詳解：（1）由已知可得，=90°，．又BA⊥AD，且，所以AB⊥平面ACD．又AB平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC．（2）由已知可得，DC=CM=AB=3，DA=．又，所以．作QE⊥AC，垂足為E，則．由已知及（1）可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE=1．因此，三棱錐的體積為．點睛：該題考查的是有關(guān)立體幾何的問題，涉及到的知識點有面面垂直的判定以及三棱錐的體積的求解，在解題的過程中，需要清楚題中的有關(guān)垂直的直線的位置，結(jié)合線面垂直的判定定理證得線面垂直，之后應(yīng)用面面垂直的判定定理證得面面垂直，需要明確線線垂直、線面垂直和面面垂直的關(guān)系，在求三棱錐的體積的時候，注意應(yīng)用體積公式求解即可.42．(1)證明見解析；(2).【解析】【分析】(1)由題意首先證得線面垂直，然后利用線面垂直的定義證明線線垂直即可；(2)方法二：利用幾何關(guān)系找到二面角的平面角，然后結(jié)合相關(guān)的幾何特征計算三棱錐的體積即可.【詳解】（1）因為，O是中點，所以，因為平面，平面平面，且平面平面，所以平面．因為平面，所以.（2）[方法一]：通性通法—坐標法如圖所示，以O(shè)為坐標原點，為軸，為y軸，垂直且過O的直線為x軸，建立空間直角坐標系，則，設(shè),所以，設(shè)為平面的法向量，則由可求得平面的一個法向量為．又平面的一個法向量為，所以，解得．又點C到平面的距離為，所以，所以三棱錐的體積為．[方法二]【最優(yōu)解】：作出二面角的平面角如圖所示，作，垂足為點G．作，垂足為點F，連結(jié)，則．因為平面，所以平面，為二面角的平面角．因為，所以．由已知得，故．又，所以．因為，．[方法三]：三面角公式考慮三面角，記為，為，，記二面角為．據(jù)題意，得．對使用三面角的余弦公式，可得，化簡可得．①使用三面角的正弦公式，可得，化簡可得．②將①②兩式平方后相加，可得，由此得，從而可得．如圖可知，即有，根據(jù)三角形相似知，點G為的三等分點，即可得，結(jié)合的正切值，可得從而可得三棱錐的體積為．【整體點評】(2)方法一：建立空間直角坐標系是解析幾何中常用的方法，是此類題的通性通法，其好處在于將幾何問題代數(shù)化，適合于復(fù)雜圖形的處理；方法二：找到二面角的平面角是立體幾何的基本功，在找出二面角的同時可以對幾何體的幾何特征有更加深刻的認識，該法為本題的最優(yōu)解.方法三：三面角公式是一個優(yōu)美的公式，在很多題目的解析中靈活使用三面角公式可以使得問題更加簡單、直觀、迅速.43．（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）由底面可得，又，由線面垂直的判定定理可得平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證出平面平面；（2）由（1）可知，，由平面知識可知，，由相似比可求出，再根據(jù)四棱錐的體積公式即可求出．【詳解】（1）因為底面，平面，所以，又，，所以平面，而平面，所以平面平面．（2）[方法一]：相似三角形法由（1）可知．于是，故．因為，所以，即．故四棱錐的體積．[方法二]：平面直角坐標系垂直垂直法

由（2）知,所以．建立如圖所示的平面直角坐標系，設(shè)．因為，所以，，，．從而．所以，即．下同方法一.[方法三]【最優(yōu)解】：空間直角坐標系法

建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)，所以，，，，．所以，，．所以．所以，即．下同方法一.[方法四]：空間向量法

由，得．所以．即．又底面，在平面內(nèi)，因此，所以．所以，