北師大版七年級數(shù)學(xué)下冊高頻考點(diǎn)專題突破 專題02 三角形及全等 重難點(diǎn)題型-【高頻考點(diǎn)】（原卷版+解析）

專題02三角形及全等重難點(diǎn)題型題型1三角形三邊關(guān)系及其運(yùn)用性質(zhì)：兩邊之差的絕對值<第三邊<兩邊之和解題技巧：（1）已知兩條邊，根據(jù)限定條件求第三條邊，求解完成后，切勿忘記要驗證三邊是否能構(gòu)成三角形。（2）題干告知為等腰三角形，但未告知哪條邊是腰時，往往有多解。最后，也需驗證三邊是否能構(gòu)成三角形。（3）遇到證明邊之間大小關(guān)系的題型，想辦法構(gòu)造三角形，將需要證明的邊轉(zhuǎn)化到同一個三角形中，利用三角形兩邊的和大于第三邊，三角形兩邊的差小于第三邊解題.1．（2021·天津八年級期末）已知三角形的兩邊長分別為3cm、5cm，則此三角形第三邊的長可以是（）A．1cm B．5cm C．8cm D．9cm2．（2021·自貢市八年級月考）在△ABC中，AB=5，BC=2，若AC的長是偶數(shù)，則△ABC的周長為________．3．（2021·浙江八年級期末）兩根木棒的長分別是和．要選擇第三根木棒，將它們釘成一個三角形．如果第三根木棒的長度為偶數(shù)，那么第三根木棒的取值情況有（）A．3種 B．4種 C．5種 D．6種4．（2021·自貢市八年級月考）若是△ABC的三邊長，則化簡的結(jié)果是________．5．（2021·黑龍江·牡丹江四中八年級期中）已知a、b、c為的三邊長，化簡______6.（2021·綿陽市八年級月考）如圖，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接BP，PC，延長BP交AC于D．（1）圖中有幾個三角形；（2）求證：AB+AC＞PB+PC．7.（2020?遵義月考）如圖，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，求證：PA+PB+PC＞12AB+12題型2中線與三角形面積（周長）性質(zhì)：（1）三角形中線將三角形的面積分成相等的兩部分（2）兩個三角形的面積之比等于它們的底、高乘積之比；（3）等底（高）的兩個三角形面積之比等于它們的高（底）之比；（4）等底等高的兩個三角形面積相等。解題技巧：（1）明確中線是哪個三角形的中線，這條中線將對應(yīng)三角形的面積平分。題目中往往會出現(xiàn)多個三角形和多條中線，利用中線性質(zhì)依次類推三角形的面積，直至求解出題干要求的面積。（2）尋找兩個面積相等三角形技巧：選取底邊相同的兩個點(diǎn)的三角形，三角形的另一個頂點(diǎn)為與底邊平行的線段上的點(diǎn)（等高）；（3）兩圖形面積之比，就是底邊與高乘積之比。1．（2021·重慶市第九十五初級中學(xué)校七年級階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD為中線，求△ABD與△ACD的周長之差（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2021·福建廈門市·八年級期中）如圖，在中，已知，點(diǎn)是的中點(diǎn)，且的面積為9cm2，則的面積為（）A．1cm2 B．2cm2 C．3cm2 D．4cm23．（2022·江蘇梁溪初一期中）如圖，A、B、C分別是線段A1B、B1C、C1A的中點(diǎn)，若△A1BlC1的面積是14，那么△ABC的面積是（）A．2 B． C．3 D．4．（2021·西安市鐵一中學(xué)初三一模）如圖，點(diǎn)為的重心，則的值是（）．A． B． C． D．無法確定5．（2021·河南焦作·八年級階段練習(xí)）如圖，在中，，分別是，邊上的中線．已知，，且的周長為15，邊上的高為3.96，求的面積．6．（2021·廣西河池市·九年級二模）如圖，中，點(diǎn)，分別在，上，與交于點(diǎn)，若，，，則的面積______．7．（2021·常熟市實(shí)驗中學(xué)八年級月考）如圖，三角形內(nèi)的線段、相交于點(diǎn)．已知，，設(shè)三角形、三角形、三角形和四邊形的面積分別為、、、，若，則______．題型3高線與三角形面積性質(zhì)：三角形面積等于對應(yīng)底邊和高乘積的一半，同一個三角形面積不變注：求面積時，底邊和高必須對應(yīng)解題技巧：同一個三角形面積不變，利用這條性質(zhì)，可得出等式：BC×AD=AB×CE=AC×BF。利用個等式，可求出三角形中某些不太方便求解的邊。1．（2021·河北石家莊·八年級階段練習(xí)）如圖，在ABC中，D是BC上的點(diǎn)，且BD＝2，DC＝1，＝12，那么等于（）A．30 B．36 C．72 D．242．（2021·全國初二課時練習(xí)）在直角三角形ABC中，，，則的三條高之和為（）A．8.4 B．9.4 C．10.4 D．11.3．（2021·南通市八一中學(xué)初一月考）若一個三角形的三邊長之比為3：5：7．則這個三角形三邊上的高之比為（）A．3：5：7 B．7：5：3 C．35：21：15 D．6：5：44．（2021·江蘇揚(yáng)州初三一模）如圖，四邊形ABCD的對角線AC和BD相交于點(diǎn)E，如果△CDE的面積為3，△BCE的面積為4，△AED的面積為6，那么△ABE的面積為（）A．7B．8C．9D．105．（2021·廣東·珠海市南屏中學(xué)八年級期中）如圖，AD、BE分別是ABC的高，AC＝9，BC＝12，BE＝10．則AD＝________．6．（2022·廣西南寧·八年級期末）等面積法是一種常用的、重要的數(shù)學(xué)解題方法．(1)如圖1，在中，，，，，，則長為__________；(2)如圖2，在中，，，則的高與的比是__________；(3)如圖3，在中，（），點(diǎn)，分別在邊，上，且，，，垂足分別為點(diǎn)，．若，求的值．題型4直角三角板中的求角度問題1．（2022·河南濮陽·八年級期末）有一塊直角三角板放置在上，三角板的兩條直角邊，恰好分別經(jīng)過點(diǎn)B、C，在中，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．2．（2021·湖北棗陽初二期中）如圖是一副三角尺拼成圖案，則∠AEB=_____度．

3．（2021·江蘇八年級期中）將一副直角三角板按如圖放置（其中），使含角的三角板的較長直角邊與等腰直角三角板的斜邊平行，則圖中的度數(shù)為（）A． B． C． D．4．（2021·江蘇南京市·九年級二模）將一副三角板如圖擺放，則____°．

5．（2022·浙江八年級期中）將一副三角板中的兩個直角頂點(diǎn)C疊放在一起，其中，．（1）當(dāng)時，試說明的理由．（2）若按住三角板不動，繞頂點(diǎn)C轉(zhuǎn)動三角板，在旋轉(zhuǎn)過程中始終要求點(diǎn)E在直線上方，當(dāng)兩塊三角板有一組邊互相平行時，則的度數(shù)為_________（請直接寫出所有答案）．6．（2021·浙江杭州市·八年級期中）如圖1，含角的直角三角板與含角的直角三角板的斜邊在同一直線上，D為的中點(diǎn)，將直角三角板繞點(diǎn)D按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中：（1）如圖2，當(dāng)________時，；當(dāng)______時，；（2）如圖③，當(dāng)直角三角板的邊、分別交、的延長線于點(diǎn)M、N時；①與度數(shù)的和是否變化？若不變，求出與度數(shù)的和；若變化，請說明理由；②若使得，求出、的度數(shù)，并直接寫出此時的度數(shù)；③若使得，求的度數(shù)范圍．考點(diǎn)5三角形的折疊問題1．（2021·湖南長沙·八年級期末）如圖，把的一角折疊，若，則（

）A． B． C． D．2．（2021·保定市樂凱中學(xué)初一期末）如圖，已知△ABC中，∠BAC=135°，現(xiàn)將△ABC進(jìn)行折疊，使頂點(diǎn)B、C均與頂點(diǎn)A重合，則∠DAE的度數(shù)為____．3．（2021·陜西西安市·高新一中八年級期中）如圖，將紙片沿折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，若，則__________．4．（2021·江蘇鎮(zhèn)江市·八年級期中）如圖，中，于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，與交于點(diǎn)O，將沿折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)O重合，若，則__________．5．（2021·上海黃浦區(qū)·八年級期末）如圖，在△ABC中，∠A＝42°，點(diǎn)D是邊A上的一點(diǎn)，將△BCD沿直線CD翻折斜到△B′CD，B′C交AB于點(diǎn)E，如果B′D∥AC，那么∠BDC＝___度．6．（2021·江蘇鎮(zhèn)江市·八年級期中）將紙片的一角折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)的位置，折痕為．（1）如圖1，點(diǎn)落在內(nèi)的點(diǎn)的位置．①若，那么與有怎樣的位置關(guān)系，請說明理由；②如圖2，、與之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；③連接、，已知、恰好分別平分、（如圖3），、與之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖4，點(diǎn)落在外的點(diǎn)的位置．連接、，如果、恰好分別平分的兩個外角，，那么、與之間的數(shù)量關(guān)系是______．（請直接寫出結(jié)果）題型6雙角平分線（兩內(nèi)、兩外、一內(nèi)一外）1．（2021·無錫市江南中學(xué)七年級月考）如圖，BD、CE為△ABC的兩條角平分線，則圖中∠1、∠2、∠A之間的關(guān)系為___________．2．（2021·江蘇揚(yáng)州市·七年級月考）如圖，BP是△ABC中∠ABC的平分線，CP是∠ACB的外角的平分線，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，則∠P=______°．3．（2021·蘇州外國語學(xué)校八年級期中）如圖，在中，，、分別平分、，M、N、Q分別在、、的延長線上，、分別平分、，、分別平分、，則_______．4．（2021·上海市川沙中學(xué)南校八年級期中）如圖1，、的角平分線、相交于點(diǎn)，（1）如果，那么的度數(shù)是多少，試說明理由并完成填空；（2）如圖2，，如果、的角平分線、相交于點(diǎn)，請直接寫出度數(shù)；（3）如圖2，重復(fù)上述過程，、的角平分線、相交于點(diǎn)得到，設(shè)，請用表示的度數(shù)（直接寫出答案）解：（1）結(jié)論：______度．說理如下：因為、平分和（已知），所以，（角平分線的意義）．因為，（）（完成以下說理過程）5．（2021·鎮(zhèn)江市外國語學(xué)校八年級月考）如圖1，已知，A、B兩點(diǎn)同時從點(diǎn)O出發(fā)，點(diǎn)A沿射線運(yùn)動，點(diǎn)B沿射線運(yùn)動．（1）如圖2，點(diǎn)C為三條內(nèi)角平分線交點(diǎn)，連接、，在點(diǎn)A、B的運(yùn)動過程中，的度數(shù)是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，求其值；若發(fā)生變化，請說明理由：（2）如圖3，在（1）的條件下，連接并延長，與的角平分線交于點(diǎn)P，與交于點(diǎn)Q．①與的數(shù)量關(guān)系為____．②在中，如果有一個角是另一個角的2倍，求的度數(shù)．6.（2022?蓬溪縣月考）某校七年級數(shù)學(xué)興趣小組對“三角形內(nèi)角或外角平分線的夾角與第三個內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系”進(jìn)行了探究．（1）如圖1，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)P，∠A＝64°，則∠BPC＝；（2）如圖2，△ABC的內(nèi)角∠ACB的平分線與△ABC的外角∠ABD的平分線交于點(diǎn)E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；（3）如圖3，∠CBM、∠BCN為△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分線交于點(diǎn)Q，請你寫出∠BQC與∠A的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（4）如圖4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分線交于點(diǎn)Q，∠A＝64°，∠CBQ，∠BCQ的平分線交于點(diǎn)P，則∠BPC＝°，延長BC至點(diǎn)E，∠ECQ的平分線與BP的延長線相交于點(diǎn)R，則∠R＝°．題型7全等三角形的判定方法：5種判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（特殊形式的SSA）解題技巧：1）根據(jù)圖形和已知條件，猜測可能的全等三角形；2）尋找邊角相等的3組條件。3）往往有2個條件比較好找，第3個條件需要推理尋找第3個條件思路：原則1）需要證明的邊或角需首先排除，不可作為第3個條件尋找2）尋找第3個條件，往往需要根據(jù)題干給出的信息為指導(dǎo)，確定是找角還是邊全等三角形證明思路：1°：SSS證全等1．（2021·山東槐蔭初一期末）在一次小制作活動中，艷艷剪了一個燕尾圖案（如圖所示），她用刻度尺量得AB＝AC，BO＝CO，為了保證圖案的美觀，她準(zhǔn)備再用量角器量一下∠B和∠C是否相等，小麥走過來說：“不用量了，肯定相等”，小麥的說法利用了判定三角形全等的方法是（）A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS2．（2021·福建廈門·八年級期中）已知：如圖，，，求證：3．（2022·福建莆田·八年級期末）莆仙戲是現(xiàn)存最古老的地方戲劇種之一，被稱為“宋元南戲的活化石”，2021年5月莆仙戲《踏傘行》獲評為“2020年度國家舞臺藝術(shù)精品創(chuàng)作扶持工程重點(diǎn)扶持劇目”．該劇中“油紙傘”無疑是最重要的道具，依傘設(shè)戲，情節(jié)新穎，結(jié)構(gòu)巧妙，譜寫了一曲美輪美奐、詩意盎然的傳統(tǒng)戲曲樂歌．“油紙傘”的制作工藝十分巧妙．如圖，傘圈D沿著傘柄滑動時，總有傘骨，，從而使得傘柄AP始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的．為什么？4．（2022·浙江杭州·八年級期末）如圖，在中，點(diǎn)，點(diǎn)分別在邊，邊上，連接，，．(1)求證：．(2)若，，求的度數(shù)．2°：SAS證全等1．（2022·黑龍江齊齊哈爾·八年級期末）如圖，在△ABC與△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠ABC＝∠AEF，∠EAB＝40°，AB交EF于點(diǎn)D，連接EB．下列結(jié)論：①∠FAC＝40°；②AF＝AC；③∠EFB＝40°；④AD＝AC，正確的個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2021·福建·福州華倫中學(xué)八年級期中）如圖，點(diǎn)A，D，B在同一直線上，AC＝BD，AB＝DE，∠C＝∠DFB．試說明：△DEB≌△ABC．3．（2021·江蘇徐州·八年級期中）如圖，在△ABC和△ABD中，AC與BD相交于點(diǎn)E，AC＝BD，∠BAC＝∠ABD．求證：∠C＝∠D．4．（2021·全國七年級單元測試）如圖，將兩塊含45°角的大小不同的直角三角板△COD和△AOB如圖①擺放，連結(jié)AC，BD．（1）如圖①，猜想線段AC與BD存在怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請寫出結(jié)論并證明；（2）將圖①中的△COD繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度（如圖②），連結(jié)AC，BD，其他條件不變，線段AC與BD還存在（1）中的關(guān)系嗎？請寫出結(jié)論并說明理由．（3）將圖①中的△COD繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)一定的角度（如圖③），連結(jié)AC，BD，其他條件不變，線段AC與BD存在怎樣的關(guān)系？請直接寫出結(jié)論．

3°：ASA證全等1．（2022·四川攀枝花·模擬預(yù)測）小剛把一塊三角形玻璃打碎成了如圖所示的三塊，現(xiàn)要到玻璃店取配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的辦法是（）A．帶①去 B．帶②去 C．帶③去 D．帶①和②去2．（2022·新疆吐魯番·八年級期末）如圖，∠1＝∠2，∠3＝∠4，則判定△ABD和△ACD全等的依據(jù)是（）A．SSS B．ASA C．SAS D．HL3．（2021·江蘇鎮(zhèn)江市·九年級二模）如圖，在四邊形ABCD中，，點(diǎn)E為對角線BD上一點(diǎn)，，且．（1）求證：；（2）若，求的度數(shù)．4．（2021·廣東廣州市·八年級期末）如圖1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點(diǎn)D是線段BC上一個動點(diǎn)，點(diǎn)F在線段AB上，且∠FDB＝∠ACB，BE⊥DF．垂足E在DF的延長線上．（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時，試探究線段BE和DF的數(shù)量關(guān)系．并證明你的結(jié)論；（2）若點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合，試探究線段BE和DF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．4°：AAS證全等1．（2021·廣東廣州·三模）如圖，E為BC上一點(diǎn)，AC∥BD，AC＝BE，∠ABC＝∠D．求證：AB＝ED．2．（2021·山東·東營市東營區(qū)實(shí)驗中學(xué)七年級階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)，，，在同一直線上．已知，，，請說明．3．（2022·江蘇東臺初二期末）如圖，點(diǎn)、、、在一條直線上，，，，交于．（1）求證：．（2）求證：．4．（2021·重慶七年級期末）如圖，點(diǎn)E在△ABC的邊AC上，且∠ABE＝∠C，AF平分∠BAE交BE于F，F(xiàn)D∥BC交AC于點(diǎn)D．（1）求證：△ABF≌△ADF；（2）若BE＝7，AB＝8，AE＝5，求△EFD的周長．5°：HL證全等1．（2021·內(nèi)蒙古·包頭市第八中學(xué)八年級期中）如圖，點(diǎn)D、A、E在直線m上，AB=AC，BD⊥m于點(diǎn)D，CE⊥m于點(diǎn)E，且BD=AE．若BD=3，CE=5，則DE=____________2．（2022·全國·八年級專題練習(xí)）如圖：已知，，，垂足分別為點(diǎn)、，若，求證：．3．（2022·全國·七年級課時練習(xí)）已知，線段AC、BD交于點(diǎn)O，，于點(diǎn)F，于點(diǎn)E，，則（1）如圖，若為鈍角，求證：；（2）若為銳角，其他條件不變，請畫圖判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由．4．（2022·江西·八年級期末）已知：，，，．（1）試猜想線段與的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（2）若將沿方向平移至圖2情形，其余條件不變，結(jié)論還成立嗎？請說明理由．（3）若將沿方向平移至圖3情形，其余條件不變，結(jié)論還成立嗎？請說明理由．題型8全等三角形性質(zhì)（求長度、角度）1．（2022··八年級期末）如圖，在與中，點(diǎn)F在上，，，，交于點(diǎn)D，，則（

）A．35° B．40° C．45° D．50°2．（2022·廣西貴港·八年級期末）如圖，已知是邊長為4的等邊三角形，是頂角為120°的等腰三角形，動點(diǎn)、分別在邊、上，且，則的周長是（

）A．12 B．10 C．8 D．63．（2021·河北唐山·二模）如圖，AD是△ABC的中線，CE⊥AD，BF⊥AD，點(diǎn)E、F為垂足，若EF＝6，∠1＝2∠2，則BC的長為（）A．6 B．8 C．10 D．124．（2022·河北唐山·八年級期末）如圖，已知，，，B、D、E三點(diǎn)在一條直線上．若，，則的度數(shù)為___________．5．（2022·廣西貴港·八年級期末）如圖，在中，，點(diǎn)、、分別在邊、、上，且，．若，則的度數(shù)是______．6．（2022·廣西貴港·八年級期末）如圖，在中，點(diǎn)在邊上，是邊的中點(diǎn)，//，與的延長線交于點(diǎn)，若，，則的長為______．7．（2022·安徽六安·八年級期末）如圖，點(diǎn)B、C、D在同一直線上，△ABC、△ADE是等邊三角形，CE＝5，CD＝2;(1)證明：△ABD≌△ACE；(2)求∠ECD的度數(shù)；(3)求AC的長．題型9利用全等三角形證明數(shù)量（位置）關(guān)系1．（2021·重慶·八年級階段練習(xí)）如圖所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC，CE交BA于點(diǎn)D，CE交BF于點(diǎn)M．求證：（1）EC＝BF；（2）EC⊥BF．2．（2022·重慶渝北·八年級期末）如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)E是線段CA延長線上一點(diǎn)，連接BE，過點(diǎn)C作CD⊥BE交于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作AF⊥CD交于點(diǎn)F；(1)求證：BD＝CF；(2)若點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，連接MF，MD，求證：FM⊥MD．3．（2021·貴州遵義·八年級期末）如圖，．（1）求證：；（2）試判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．4．（2021·河南周口·八年級期中）如圖，在△ADC中，DB是高，點(diǎn)E是DB上一點(diǎn)，，，M、N分別是AE、CD上的點(diǎn)，且．（1）△ABE和△DBC全等嗎？請說明理由；（2）探索BM與BN之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由．5．（2021·河南駐馬店·八年級期中）如圖，∠ABC＝90°，F(xiàn)A⊥AB于點(diǎn)A，D是線段AB上的點(diǎn)，AD＝BC，AF＝BD．（1）判斷DF與DC的數(shù)量關(guān)系為，位置關(guān)系為．（2）如圖2，若點(diǎn)D在線段AB的延長線上，點(diǎn)F在點(diǎn)A的左側(cè)，其他條件不變，試說明（1）中結(jié)論是否成立，并說明理由．6．（2021·河南省淮濱縣第一中學(xué)八年級期末）如圖，在等邊三角形中，是邊上的動點(diǎn)，以為一邊向上作等邊三角形，連接．（1）求證：≌；（2）求證：；（3）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到的中點(diǎn)時，與有什么位置關(guān)系？并說明理由．題型10.尺規(guī)作圖與三角形全等1．（2021·河北唐山市·八年級期末）如圖，在，上分別截取，，使，再分別以點(diǎn)，為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)，作射線，就是的角平分線．這是因為連結(jié)，，可得到，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等，可得．在這個過程中，得到的條件是（）A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS2．（2021·河南鄭州·一模）在課堂上，陳老師布置了一道畫圖題：畫一個，使，它的兩條邊分別等于兩條已知線段，小明和小強(qiáng)兩位同學(xué)先畫出了之后，后續(xù)畫圖的主要過程分別如圖所示．那么小明和小強(qiáng)兩位同學(xué)作圖確定三角形的依據(jù)分別是（

）A．， B．， C．， D．，3．（2021·黑龍江·齊齊哈爾市第二十八中學(xué)八年級期中）下列說法中，若①，，則；②三角形三條角平分線的交點(diǎn)到三角形三個頂點(diǎn)的距離相等；③在三角形全等的判定中，至少要有一條邊對應(yīng)相等才能判定兩個三角形全等；④用尺規(guī)作已知角的平分線的理論依據(jù)是“SSS”；⑤經(jīng)過線段中點(diǎn)的直線是這條線段的對稱軸，其中正確說法的有（

）個．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個4．（2021·江蘇蘇州市·七年級期末）如圖，小正方形的邊長為1，為格點(diǎn)三角形．(1)如圖①，的面積為；(2)在圖②中畫出所有與全等，且只有一條公共邊的格點(diǎn)三角形．5．（2021·浙江·八年級期末）如圖，已知，請按下列要求作圖：（1）作邊上的中線．（2）用直尺和圓規(guī)作的角平分線．（3）用直尺和圓規(guī)作，使（使點(diǎn)D與A對應(yīng)，點(diǎn)E與B對應(yīng)，點(diǎn)F與C對應(yīng)）．6．（2021·江蘇泰州·一模）已知：如圖1，中，．（1）請你以為一邊，在的同側(cè)構(gòu)造一個與全等的三角形，畫出圖形；（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）（2）參考（1）中構(gòu)造全等三角形的方法解決下面問題：如圖2，在四邊形中①；②；③．請在上述三條信息中選擇其中兩條作為條件，其余的一條信息作為結(jié)論組成一個命題．試判斷這個命題是否正確，并說明理由你選擇的條件是________，結(jié)論是_______（只要填寫序號）題型11.利用三角形全等測距離1．（2022·浙江·九年級專題練習(xí)）如圖，把兩根鋼條的中點(diǎn)連在一起，可以做成一個測量工件內(nèi)槽寬的工具（卡鉗）．在圖中，要測量工件內(nèi)槽寬AB，只要測量A′B′就可以，這是利用什么數(shù)學(xué)原理呢？（

）A．AAS B．SAS C．ASA D．SSS2．（2022·廣西·環(huán)江毛南族自治縣教研室八年級期末）如圖，為了測量池塘兩岸相對的A，B兩點(diǎn)之間的距離，小明同學(xué)在池塘外取AB的垂線BF上兩點(diǎn)C，D，BC=CD，再畫出BF的垂線DE，使點(diǎn)E與A，C在同一條直線上，可得△ABC≌△EDC，從而DE=AB．判定△ABC≌△EDC的依據(jù)是（

）A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS3．（2021·廣東廣州·八年級階段練習(xí)）如圖，要測量水池的寬度，可從點(diǎn)出發(fā)在地面上畫一條線段，使，再從點(diǎn)觀測，在的延長線上測得一點(diǎn)，使，這時量得，則水池寬的長度是______m．4．（2021·四川南充·八年級期末）某中學(xué)八年級學(xué)生進(jìn)行課外實(shí)踐活動，要測池塘兩端A，B的距離，因無法直接測量，經(jīng)小組討論決定，先在地上取一個可以直接到達(dá)A，B兩點(diǎn)的點(diǎn)O，連接AO并延長到點(diǎn)C，使AO＝CO；連接BO并延長到點(diǎn)D，使BO＝DO，連接CD并測出它的長度．（1）根據(jù)題中描述，畫出圖形；（2）CD的長度就是A，B兩點(diǎn)之間的距離，請說明理由．5．（2022·福建龍巖·八年級期末）將一個含45°角的直角三角板ABC和一把刻度尺按如圖所示的位置放在一起，其中直角的頂點(diǎn)C在刻度尺上，如果分別過A，B兩點(diǎn)想刻度尺作兩條垂線段AM和BN，垂足分別為M，N．通過測量CN的長度就可以知道AM的長度，為什么？請說明理由．6．（2021·山東青島·七年級期中）某校七年級班學(xué)生到野外活動，為測量一池塘兩端A、B之間的距離，設(shè)計出如下幾種方案：方案a：如圖（1）所示，先在平地上取一個可直接到達(dá)A、B的點(diǎn)C，再連接AC、BC，并分別延長AC至D，BC至E，使，，最后測出DE的距離即為AB之長：方案b：如圖（2）所示，過點(diǎn)B作AB的垂線BF，再在BF上取C、D兩點(diǎn)，使，接著過點(diǎn)D作BD的垂線DE，交AC的延長線于點(diǎn)E，則測出了DE的長即為A、B之間的距離．閱讀后回答下列問題：（1）方案a是否可行？請說明理由；（2）方案b是否可行？不必說明理由；（3）方案b中作，的目的是___________，若僅滿足，方案b的結(jié)論是否成立．題型12.全等三角形中的動態(tài)問題1．（2022·四川廣元·八年級期末）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=5，AX⊥AC，點(diǎn)P和點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，分別在線段AC和射線AX上運(yùn)動，且AB=PQ，當(dāng)AP=________時，△ABC與△APQ全等．2．（2022·河北唐山·八年級期末）如圖，在長方形ABCD中，AB＝CD＝8cm，BC＝12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以2cm/秒的速度沿BC向點(diǎn)C運(yùn)動，同時，點(diǎn)Q由點(diǎn)C出發(fā)，以相同的速度沿CD向點(diǎn)D運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t秒，當(dāng)時，t的值為（

）A．1或3 B．2 C．2或4 D．1或23．（2022·廣西百色·八年級期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8厘米，BC＝6厘米，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線段BC上以1.5厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動，同時，點(diǎn)Q在線段CA上，由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動，為了使△BPD≌△CPQ，點(diǎn)Q的運(yùn)動速度應(yīng)為（

）A．1厘米/秒 B．2厘米/秒 C．3厘米/秒 D．4厘米/秒4．（2022·河北石家莊·八年級期末）如圖，已知直線于點(diǎn)P，B是內(nèi)部一點(diǎn)，過點(diǎn)B作于點(diǎn)A，于點(diǎn)C，四邊形是邊長為8cm的正方形，N是的中點(diǎn)，動點(diǎn)M從點(diǎn)P出發(fā)，以2cm/s的速度，沿方向運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)C停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為，當(dāng)時，t等于（

）A．2 B．4 C．2或4 D．2或65．（2021·江蘇鹽城·八年級期中）如圖，已知四邊形ABCD中，AB＝12cm，BC＝10cm，CD＝14cm，∠B＝∠C，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線段BC上以2cm/s的速度沿B﹣C運(yùn)動，同時，點(diǎn)Q在線段CD上由C點(diǎn)向D點(diǎn)運(yùn)動．當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為_______cm/s時，能夠使△BPE與△CQP全等．6．（2021·四川宜賓市·八年級期末）在中，，，，點(diǎn)在上，且，過點(diǎn)作射線（與在同側(cè)），若點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿射線勻速運(yùn)動，運(yùn)動速度為，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動時間為秒．連結(jié)、．（1）如圖①，當(dāng)時，求證：；（2）如圖②，當(dāng)于點(diǎn)時，求此時的值．

專題02三角形及全等重難點(diǎn)題型題型1三角形三邊關(guān)系及其運(yùn)用性質(zhì)：兩邊之差的絕對值<第三邊<兩邊之和解題技巧：（1）已知兩條邊，根據(jù)限定條件求第三條邊，求解完成后，切勿忘記要驗證三邊是否能構(gòu)成三角形。（2）題干告知為等腰三角形，但未告知哪條邊是腰時，往往有多解。最后，也需驗證三邊是否能構(gòu)成三角形。（3）遇到證明邊之間大小關(guān)系的題型，想辦法構(gòu)造三角形，將需要證明的邊轉(zhuǎn)化到同一個三角形中，利用三角形兩邊的和大于第三邊，三角形兩邊的差小于第三邊解題.1．（2021·天津八年級期末）已知三角形的兩邊長分別為3cm、5cm，則此三角形第三邊的長可以是（）A．1cm B．5cm C．8cm D．9cm【答案】B【分析】已知兩邊，則第三邊的長度應(yīng)是大于兩邊的差而小于兩邊的和，這樣就可求出第三邊長的范圍，再選出答案即可．【詳解】解：設(shè)第三邊的長度為xcm，由題意得：5-3＜x＜5+3，即：2＜x＜8，∴5cm可能，故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，實(shí)際上就是根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理列出不等式，然后解不等式即可．2．（2021·自貢市八年級月考）在△ABC中，AB=5，BC=2，若AC的長是偶數(shù)，則△ABC的周長為________．【答案】11或13【分析】根據(jù)“三角形的兩邊的和一定大于第三邊，兩邊的差一定小于第三邊”進(jìn)行分析，解答即可．【詳解】解：因為5-2＜AC＜5+2，所以3＜AC＜7，因為AC長是偶數(shù)，所以AC為4或6，所以△ABC的周長為：11或13.故答案為：11或13．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的三邊關(guān)系．三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊．3．（2021·浙江八年級期末）兩根木棒的長分別是和．要選擇第三根木棒，將它們釘成一個三角形．如果第三根木棒的長度為偶數(shù)，那么第三根木棒的取值情況有（）A．3種 B．4種 C．5種 D．6種【答案】B【分析】首先根據(jù)三角形的三邊關(guān)系確定第三邊的取值范圍，再根據(jù)第三邊是偶數(shù)確定其值．【詳解】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得：第三根木棒的長大于2cm而小于12cm．又第三根木棒的長是偶數(shù)，則應(yīng)為4cm，6cm，8cm，10cm．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系：第三邊大于兩邊之差而小于兩邊之和．注意：偶數(shù)這一條件．4．（2021·自貢市八年級月考）若是△ABC的三邊長，則化簡的結(jié)果是________．【答案】2a【分析】根據(jù)a，b，c為三角形三邊長，利用三角形三邊關(guān)系判斷出絕對值里邊式子的正負(fù)，利用絕對值的代數(shù)意義化簡即可．【詳解】解：∵a，b，c為三角形三邊上，∴a+b-c>0，b-c-a＜0，則原式=a+b-c-b+a+c=2a，故答案為：2a．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形三邊關(guān)系以及整式的加減-化簡求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．5．（2021·黑龍江·牡丹江四中八年級期中）已知a、b、c為的三邊長，化簡______【答案】【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”，得到a+b﹣c>0，a﹣b﹣c<0，再根據(jù)絕對值的性質(zhì)進(jìn)行化簡計算．【詳解】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得a+b﹣c>0，a﹣b﹣c<0．|a﹣b﹣c|﹣|a+b﹣c|＝﹣a+b+c﹣a﹣b+c＝．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系和絕對值的化簡，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷出a﹣b+c，a﹣b﹣c的正負(fù)性．6.（2021·綿陽市八年級月考）如圖，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接BP，PC，延長BP交AC于D．（1）圖中有幾個三角形；（2）求證：AB+AC＞PB+PC．【答案】（1）5個；（2）證明見解析．【分析】（1）直接找出圖中的三角形即可，注意要不重不漏；（2）利用三角形的三邊關(guān)系可得AB+AD＞BD，PD+CD＞PC，再把兩個式子相加進(jìn)行變形即可．【詳解】（1）圖中三角形有△ABC，△ABD，△BPC，△PDC，△BDC，共5個．（2）證明：∵AB+AD＞BD，PD+CD＞PC，∴AB+AD+PD+CD＞BD+PC，∴AB+AD+PD+CD＞BP+PD+PC，∴AB+AC＞PB+PC．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的三邊關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握兩邊之和大于第三邊．7.（2020?遵義月考）如圖，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，求證：PA+PB+PC＞12AB+12【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得出結(jié)論．【解答】證明：∵PA+PB＞AB，PB+PC＞BC，PC+PA＞AC．∴把它們相加，再除以2，得PA+PB+PC＞12AB+12【點(diǎn)評】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系，熟知三角形任意兩邊之和大于第三邊是解答此題的關(guān)鍵．題型2中線與三角形面積（周長）性質(zhì)：（1）三角形中線將三角形的面積分成相等的兩部分（2）兩個三角形的面積之比等于它們的底、高乘積之比；（3）等底（高）的兩個三角形面積之比等于它們的高（底）之比；（4）等底等高的兩個三角形面積相等。解題技巧：（1）明確中線是哪個三角形的中線，這條中線將對應(yīng)三角形的面積平分。題目中往往會出現(xiàn)多個三角形和多條中線，利用中線性質(zhì)依次類推三角形的面積，直至求解出題干要求的面積。（2）尋找兩個面積相等三角形技巧：選取底邊相同的兩個點(diǎn)的三角形，三角形的另一個頂點(diǎn)為與底邊平行的線段上的點(diǎn)（等高）；（3）兩圖形面積之比，就是底邊與高乘積之比。1．（2021·重慶市第九十五初級中學(xué)校七年級階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD為中線，求△ABD與△ACD的周長之差（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)題意，AD是△ABC的邊BC上的中線，可得BD=CD，進(jìn)而得出△ABD的周長=AB+BD+AD，△ACD的周長=AC+CD+AD，相減即可得到周長差．【詳解】解：∵AD是△ABC的中線，∴BD=CD，∴△ABD與△ACD的周長之差為：（AB+BD+AD）-（AC+CD+AD）=AB+BD+AD-AC-CD-AD=AB-AC=5-3=2；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的中線、高和三角形周長的求法，熟練掌握三角形周長公式是解題的關(guān)鍵．2．（2021·福建廈門市·八年級期中）如圖，在中，已知，點(diǎn)是的中點(diǎn)，且的面積為9cm2，則的面積為（）A．1cm2 B．2cm2 C．3cm2 D．4cm2【答案】C【分析】根據(jù)線段中點(diǎn)的概念、三角形的面積公式計算，得到答案．【詳解】解：∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴△AED的面積=△ABD的面積，∵S△ABD：S△ACD=2：1，∴△ABD的面積=△ABC的面積×∴△AED的面積=3cm2，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的面積計算，掌握三角形的中線把三角形分為面積相等的兩部分是解題的關(guān)鍵．3．（2022·江蘇梁溪初一期中）如圖，A、B、C分別是線段A1B、B1C、C1A的中點(diǎn)，若△A1BlC1的面積是14，那么△ABC的面積是（）A．2 B． C．3 D．【答案】A【分析】連接AB1，BC1，CA1，根據(jù)等底等高的三角形的面積相等求出△ABB1，△A1AB1的面積，從而求出△A1BB1的面積，同理可求△B1CC1的面積，△A1AC1的面積，于是得到結(jié)論．【解析】如圖，連接AB1，BC1，CA1，∵A、B分別是線段A1B，B1C的中點(diǎn)，∴S△ABB1＝S△ABC，S△A1AB1＝S△ABB1＝S△ABC，∴S△A1BB1＝S△A1AB1+S△ABB1＝2S△ABC，同理：S△B1CC1＝2S△ABC，S△A1AC1＝2S△ABC，∴△A1B1C1的面積＝S△A1BB1+S△B1CC1+S△A1AC1+S△ABC＝7S△ABC＝14．∴S△ABC＝2，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積，主要利用了等底等高的三角形的面積相等，作輔助線把三角形進(jìn)行分割是解題的關(guān)鍵．4．（2021·西安市鐵一中學(xué)初三一模）如圖，點(diǎn)為的重心，則的值是（）．A． B． C． D．無法確定【答案】C【分析】如圖,分別延長、、，交、、于點(diǎn)、、，根據(jù)三角形重心定理得到、、是的中線，繼而根據(jù)三中線把三角形分成面積相等的兩個三角形即可求得答案.【解析】如圖,分別延長、、，交、、于點(diǎn)、、，因為G是三角形重心，所以、、是的中線，所以，即，同理，所以，即=1:1:1，故選C.5．（2021·河南焦作·八年級階段練習(xí)）如圖，在中，，分別是，邊上的中線．已知，，且的周長為15，邊上的高為3.96，求的面積．【答案】9.9【分析】根據(jù)三角形中線的定義求出AB、AC，再利用三角形的周長的定義列式計算即可得BC，再用三角形面積公式即可的解．【詳解】解：∵，分別是，邊上的中線，，，∴，．∵的周長為15，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中線和高，熟記概念并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．6．（2021·廣西河池市·九年級二模）如圖，中，點(diǎn)，分別在，上，與交于點(diǎn)，若，，，則的面積______．【答案】7.5．【分析】觀察三角形之間的關(guān)系，利用等高或同高的兩個三角形的面積之比等于底之比，利用已知比例關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解．【詳解】如下圖所示，連接，∵，，，∴,∴,,∴,,設(shè)，，∴，，由，可得，，解得，∴，，．故答案為：7.5．【點(diǎn)睛】本題考查的是等高同高三角形，應(yīng)用等高或同高的兩個三角形的面積之比等于底之比進(jìn)行求解是本題的關(guān)鍵．7．（2021·常熟市實(shí)驗中學(xué)八年級月考）如圖，三角形內(nèi)的線段、相交于點(diǎn)．已知，，設(shè)三角形、三角形、三角形和四邊形的面積分別為、、、，若，則______．【答案】【分析】先根據(jù)高相等的三角形的面積之比等于底邊之比分別求出，，的面積，再連接，假設(shè)，可表示出，再由列出方程，求出的值即可．【詳解】根據(jù)高相等的三角形的面積之比等于底邊之比，，，，，，，，如圖，連接，設(shè)，則，，，解得，，，故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題考查的是等積變換，熟知“高相等的三角形的面積之比等于底邊之比”是解答此題的關(guān)鍵．題型3高線與三角形面積性質(zhì)：三角形面積等于對應(yīng)底邊和高乘積的一半，同一個三角形面積不變注：求面積時，底邊和高必須對應(yīng)解題技巧：同一個三角形面積不變，利用這條性質(zhì)，可得出等式：BC×AD=AB×CE=AC×BF。利用個等式，可求出三角形中某些不太方便求解的邊。1．（2021·河北石家莊·八年級階段練習(xí)）如圖，在ABC中，D是BC上的點(diǎn)，且BD＝2，DC＝1，＝12，那么等于（）A．30 B．36 C．72 D．24【答案】B【分析】根據(jù)三角形的面積公式，知S△ABD：S△ACD＝BD：DC＝2：1，得出S△ABD＝24，即可求解．【詳解】解：根據(jù)三角形的面積公式，得S△ABD：S△ACD＝BD：DC＝2：1．又＝12，∴S△ABD＝24．∴S△ABC＝+S△ABD＝36．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要是根據(jù)三角形的面積公式，解題關(guān)鍵是掌握等高的三角形的面積等于三角形的底的比．2．（2021·全國初二課時練習(xí)）在直角三角形ABC中，，，則的三條高之和為（）A．8.4 B．9.4 C．10.4 D．11.【答案】B【分析】過點(diǎn)B作AC邊上的高BD，根據(jù)直角三角形的面積公式即可求出BD，從而求出結(jié)論．【解析】解：如圖，過點(diǎn)B作AC邊上的高BD．，，即，解得．的三條高之和為，故選B．【點(diǎn)睛】此題考查的是三角形的高和三角形的面積公式，掌握三角形高的定義和三角形的面積公式是解決此題的關(guān)鍵．3．（2021·南通市八一中學(xué)初一月考）若一個三角形的三邊長之比為3：5：7．則這個三角形三邊上的高之比為（）A．3：5：7 B．7：5：3 C．35：21：15 D．6：5：4【答案】C【分析】首先根據(jù)三角形的面積計算出各邊上的高的比．【解析】因為邊長之比滿足3：5：7，設(shè)三邊分別為3x、5x、7x，設(shè)三邊上的高為a，b，c，由題意得：故這個三角形三邊上的高之比為：．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的面積公式，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的面積的公式計算．4．（2021·江蘇揚(yáng)州初三一模）如圖，四邊形ABCD的對角線AC和BD相交于點(diǎn)E，如果△CDE的面積為3，△BCE的面積為4，△AED的面積為6，那么△ABE的面積為（）A．7B．8C．9D．10【答案】B【解析】△CDE與△AED的同底，底為DE；△BCE與△ABE的底相同，為BE，△CDE與△BCE在DE、BE上高相同；△AED與△ABE在DE、BE上高相同，SCDESADE考點(diǎn)：三角形的面積點(diǎn)評：本題考查三角形的面積公式，本題的關(guān)鍵是找出四個三角形的邊、高的關(guān)系5．（2021·廣東·珠海市南屏中學(xué)八年級期中）如圖，AD、BE分別是ABC的高，AC＝9，BC＝12，BE＝10．則AD＝________．【答案】【分析】根據(jù)三角形的面積公式即可求得．【詳解】∵AD、BE分別是△ABC的高，∴S△ABC＝AC?BE＝×9×10＝45，S△ABC＝BC?AD，∴BC?AD＝45，∴AD＝．答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積公式的應(yīng)用；三角形的面積＝×底×高．6．（2022·廣西南寧·八年級期末）等面積法是一種常用的、重要的數(shù)學(xué)解題方法．(1)如圖1，在中，，，，，，則長為__________；(2)如圖2，在中，，，則的高與的比是__________；(3)如圖3，在中，（），點(diǎn)，分別在邊，上，且，，，垂足分別為點(diǎn)，．若，求的值．【答案】(1)(2)1：2(3)5【分析】（1）根據(jù)題意可得，從而得到，即可求解；（2）根據(jù)題意可得，從而得到，即可求解；（3）根據(jù)可得，再由，可得，即可求解．【解析】(1)解：∵，，∴，∴，∵，，，∴；(2)解：根據(jù)題意得：，∴，∴(3)解：∵，，，，∴，又，∴，即．【點(diǎn)睛】本題主要考查了求三角形的面積，熟練掌握利用等面積法求線段的長是解題的關(guān)鍵．題型4直角三角板中的求角度問題1．（2022·河南濮陽·八年級期末）有一塊直角三角板放置在上，三角板的兩條直角邊，恰好分別經(jīng)過點(diǎn)B、C，在中，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先在△DBC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得到∠DBC與∠DCB的和，再在△ABC中利用三角形內(nèi)角和定理計算的度數(shù)即可．【詳解】在△DBC中，∵，∴，∵，∴在△ABC中，【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和為180°，熟記三角形內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵．2．（2021·湖北棗陽初二期中）如圖是一副三角尺拼成圖案，則∠AEB=_____度．

【答案】75o【分析】根據(jù)三角板的特殊角和三角形的內(nèi)角和是180度求解即可．

【解析】由圖知,∠A=60°,∠ABE=∠ABC-∠DBC=90°-45°=45°,∴∠AEB=180°-(∠A+∠ABE)=180°-(60°+45°)=75°.故答案為：753．（2021·江蘇八年級期中）將一副直角三角板按如圖放置（其中），使含角的三角板的較長直角邊與等腰直角三角板的斜邊平行，則圖中的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和特殊直角三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理即可求出答案．【詳解】解：如圖：根據(jù)特殊直角三角形的性質(zhì)可知，∠A=45°，∠F=30°，∵AB∥EF，∴∠ACF=∠A=45°，∴∠CHF=180°-∠F-∠ACF=180°-30°-45°=105°，∴∠1=180°-∠CHF=108°-105°=75°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟知兩直線平行，內(nèi)錯角相等是解題的關(guān)鍵．4．（2021·江蘇南京市·九年級二模）將一副三角板如圖擺放，則____°．

【答案】105【分析】結(jié)合直角三角板各個角的度數(shù)和三角形內(nèi)角和即可求解．【詳解】解：由圖可得圖中三角形是直角三角板三角形內(nèi)角和為故答案是：105．

【點(diǎn)睛】本題主要考察直角三角板的角度和三角形內(nèi)角和，屬于基礎(chǔ)的幾何角度求解問題，難度不大．解題的關(guān)鍵是掌握直角三角板的特殊角度．5．（2022·浙江八年級期中）將一副三角板中的兩個直角頂點(diǎn)C疊放在一起，其中，．（1）當(dāng)時，試說明的理由．（2）若按住三角板不動，繞頂點(diǎn)C轉(zhuǎn)動三角板，在旋轉(zhuǎn)過程中始終要求點(diǎn)E在直線上方，當(dāng)兩塊三角板有一組邊互相平行時，則的度數(shù)為_________（請直接寫出所有答案）．【答案】（1）見解析；（2）30°或45°或120°或135°或165°【分析】（1）首先證明∠BCE=∠ACD=30°，根據(jù)∠A=∠ACD，可得結(jié)論；（2）分AB∥CD，BC∥DE，AB∥CE，DE∥AC，AB∥DE，五種情況，畫圖出圖，再求解．【詳解】解：（1）∵∠ACB=∠ECD=90°，即∠ACE+∠BCE=∠ACE+∠ACD=90°，∴∠BCE=∠ACD=30°，∵∠A=30°，∴CD∥AB；（2）如圖1，AB∥CD，∴∠ACD=∠A=30°，∴∠ACE=90°-30°=60°，∴∠BCE=∠ACB-∠ACE=30°；如圖2，BC∥DE，∴∠E=∠BCE=45°；如圖3，AB∥CE，∴∠ACE=∠A=30°，∴∠BCE=∠ACE+∠ACB=120°；如圖4，DE∥AC，∴∠ACE=∠E=45°，∴∠BCE=∠ACE+∠ACB=135°；如圖5，AB∥DE，延長BC交DE于F，∵AB∥DE，∴∠B=∠CFD=60°，∵∠E=45°，∴∠ECF=60°-45°=15°，∴∠BCE=180°-15°=165°．綜上：∠BCE的度數(shù)為：30°或45°或120°或135°或165°．【點(diǎn)睛】本題考查三角形綜合題、平行線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．6．（2021·浙江杭州市·八年級期中）如圖1，含角的直角三角板與含角的直角三角板的斜邊在同一直線上，D為的中點(diǎn)，將直角三角板繞點(diǎn)D按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中：（1）如圖2，當(dāng)________時，；當(dāng)______時，；（2）如圖③，當(dāng)直角三角板的邊、分別交、的延長線于點(diǎn)M、N時；①與度數(shù)的和是否變化？若不變，求出與度數(shù)的和；若變化，請說明理由；②若使得，求出、的度數(shù)，并直接寫出此時的度數(shù)；③若使得，求的度數(shù)范圍．【答案】（1）15°，105°；（2）①不變，60°；②∠1＝40°，∠2＝20°，∠α=85°；③69°≤α＜90°【分析】（1）當(dāng)時，，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，解得；當(dāng)時，，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，解得；（2）①連接，如圖3，在中，由三角形內(nèi)角和定理得，則，再在中，利用三角形內(nèi)角和定理得到，所以；②根據(jù)與的關(guān)系列方程組，然后解方程組即可；再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和對頂角相等得到，即，解得；③由，可解得，由于，即，則，所以，解得，利用直角三角板的邊、分別交、的延長線于點(diǎn)、得到，于是得到．【詳解】解：（1），當(dāng)時，，而，，解得；當(dāng)時，，此時，，解得；故答案為，；（2）①與度數(shù)的和不變．連接，如圖3，在中，，，在中，，即，；②根據(jù)題意得，解得；，即，；③，，，，，即，，，解得，的度數(shù)范圍為．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．也考查了解二元一次方程組．合理選擇三角形后利用三角形內(nèi)角和定理列等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵，同時運(yùn)用不等式的性質(zhì)解決∠α的度數(shù)范圍．考點(diǎn)5三角形的折疊問題1．（2021·湖南長沙·八年級期末）如圖，把的一角折疊，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由折疊得，再根據(jù)平角的定義得從而得到，再利用三角形的內(nèi)角和定理即可得到答案．【詳解】由折疊得故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理，運(yùn)用整體思想進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．2．（2021·保定市樂凱中學(xué)初一期末）如圖，已知△ABC中，∠BAC=135°，現(xiàn)將△ABC進(jìn)行折疊，使頂點(diǎn)B、C均與頂點(diǎn)A重合，則∠DAE的度數(shù)為____．【答案】90°．【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算∠B+∠C的度數(shù)，再由折疊的性質(zhì)解題即可．【解析】如圖，∵∠BAC=135°，∴∠B+∠C=180°﹣135°=45°；由折疊的性質(zhì)得：∠B=∠DAB（設(shè)為α），∠C=∠EAC（設(shè)為β），則α+β=45°，∠ADE=2α，∠AED=2β，∴∠DAE=180°﹣2（α+β）=180°﹣90°=90°．故答案為：90°．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，折疊的性質(zhì)等知識，是常見考點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．3．（2021·陜西西安市·高新一中八年級期中）如圖，將紙片沿折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，若，則__________．【答案】【分析】利用折疊性質(zhì)得到，然后根據(jù)三角形外角性質(zhì)求解．【詳解】解：紙片沿折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，，．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是．也考查了折疊的性質(zhì)．4．（2021·江蘇鎮(zhèn)江市·八年級期中）如圖，中，于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，與交于點(diǎn)O，將沿折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)O重合，若，則__________．【答案】90【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到對應(yīng)角相等，推出，根據(jù)垂直的定義得到，利用平角的定義得到，即可求出結(jié)果．【詳解】解：由折疊性質(zhì)可知，，，，∴，，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，，∵，即，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，平角的定義，互余的定義，解題的關(guān)鍵是利用相應(yīng)的定義得到角之間的關(guān)系．5．（2021·上海黃浦區(qū)·八年級期末）如圖，在△ABC中，∠A＝42°，點(diǎn)D是邊A上的一點(diǎn)，將△BCD沿直線CD翻折斜到△B′CD，B′C交AB于點(diǎn)E，如果B′D∥AC，那么∠BDC＝___度．【答案】111【分析】設(shè)∠BCD為α，∠CBD為β，列出關(guān)于α+β的方程，求出α+β，即可求出∠BDC．【詳解】解：設(shè)∠BCD為α，∠CBD為β，∵B′D∥AC，∴∠B'DC+∠ACD=180°，由對稱性知∠BDC=∠B'DC，∴180°-（α+β）+180°-42°-（α+β）=180°，∴α+β=69°，∴∠BDC=180°-69°=111°，故答案為111．【點(diǎn)睛】本題主要考查翻折的性質(zhì)，還有平行線的性質(zhì)，注意翻折是軸對稱變換，具有對稱性，平行線的三個基本性質(zhì)要牢記于心．6．（2021·江蘇鎮(zhèn)江市·八年級期中）將紙片的一角折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)的位置，折痕為．（1）如圖1，點(diǎn)落在內(nèi)的點(diǎn)的位置．①若，那么與有怎樣的位置關(guān)系，請說明理由；②如圖2，、與之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；③連接、，已知、恰好分別平分、（如圖3），、與之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖4，點(diǎn)落在外的點(diǎn)的位置．連接、，如果、恰好分別平分的兩個外角，，那么、與之間的數(shù)量關(guān)系是______．（請直接寫出結(jié)果）【答案】（1）①，理由見解析；②，理由見解析；③，理由見解析；（2），理由見解析【分析】（1）①若，則可推出，然后根據(jù)翻折的性質(zhì)可推出，從而得出結(jié)論即可；②根據(jù)翻折的性質(zhì)推出，然后結(jié)合三角形的內(nèi)角和推出，從而代入替換得出結(jié)論即可；③根據(jù)、恰好分別平分、，可推出，然后結(jié)合②的結(jié)論進(jìn)行變形整理即可；（2）根據(jù)題意可推出，然后結(jié)合三角形的內(nèi)角和以及（1）中②的結(jié)論，綜合整理求解即可．【詳解】（1），理由如下：∵，∴，由翻折的性質(zhì)可得：，，∴，∴；②，理由如下：由翻折的性質(zhì)可得：，，∴，，∴，在中，，∴，∴；③，理由如下：∵、恰好分別平分、，∴，，∴，在中，，由②可知，，∴，在中，，∴，∴；（2），理由如下：∵、恰好分別平分的兩個外角，，∴，，∴在中，，即：，整理得：，在中，，由②可知，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的翻折問題，內(nèi)角和與外角定理，以及角平分線的定義等，掌握基本性質(zhì)，熟練運(yùn)用基本定理是解題關(guān)鍵．題型6雙角平分線（兩內(nèi)、兩外、一內(nèi)一外）1．（2021·無錫市江南中學(xué)七年級月考）如圖，BD、CE為△ABC的兩條角平分線，則圖中∠1、∠2、∠A之間的關(guān)系為___________．【答案】∠1+∠2-∠A=90°【分析】先根據(jù)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，寫出∠1+∠2與∠A的關(guān)系，再根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180°，求出∠1+∠2與∠A的度數(shù)關(guān)系．【詳解】∵BD、CE為△ABC的兩條角平分線，∴∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB，

∵∠1=∠ACE+∠A，∠2=∠ABD+∠A

∴∠1+∠2=∠ACE+∠A+∠ABD+∠A=∠ABC+∠ACB+∠A+∠A＝（∠ABC+∠ACB+∠A）+∠A=90°+∠A故答案為∠1+∠2-∠A=90°．【點(diǎn)睛】考查了三角形的內(nèi)角和等于180°、外角與內(nèi)角關(guān)系及角平分線的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．三角形的外角與內(nèi)角間的關(guān)系：三角形的外角與它相鄰的內(nèi)角互補(bǔ)，等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．2．（2021·江蘇揚(yáng)州市·七年級月考）如圖，BP是△ABC中∠ABC的平分線，CP是∠ACB的外角的平分線，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，則∠P=______°．【答案】30【分析】根據(jù)角平分線的定義可得∠PBC=20°，∠PCM=50°，根據(jù)三角形外角性質(zhì)即可求出∠P的度數(shù).【詳解】∵BP是∠ABC的平分線，CP是∠ACM的平分線，∠ABP=20°，∠ACP=50°，∴∠PBC=20°，∠PCM=50°，∵∠PBC+∠P=∠PCM，∴∠P=∠PCM-∠PBC=50°-20°=30°，故答案為30【點(diǎn)睛】本題考查及角平分線的定義及三角形外角性質(zhì)，三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，熟練掌握三角形外角性質(zhì)是解題關(guān)鍵.3．（2021·蘇州外國語學(xué)校八年級期中）如圖，在中，，、分別平分、，M、N、Q分別在、、的延長線上，、分別平分、，、分別平分、，則_______．【答案】52°【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和角平分線的定義可求出∠E，利用三角形內(nèi)角和求出，得到，從而求出，再次利用角平分線的定義和三角形內(nèi)角和得到∠A．【詳解】解：、分別平分、，，，，，即，，，、分別平分、，，，，，∴，∴，、分別平分、，，，∴，，故答案為：52°．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角性質(zhì)、角平分線的定義等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．4．（2021·上海市川沙中學(xué)南校八年級期中）如圖1，、的角平分線、相交于點(diǎn)，（1）如果，那么的度數(shù)是多少，試說明理由并完成填空；（2）如圖2，，如果、的角平分線、相交于點(diǎn)，請直接寫出度數(shù)；（3）如圖2，重復(fù)上述過程，、的角平分線、相交于點(diǎn)得到，設(shè)，請用表示的度數(shù)（直接寫出答案）解：（1）結(jié)論：______度．說理如下：因為、平分和（已知），所以，（角平分線的意義）．因為，（）（完成以下說理過程）【答案】（1）32；三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；過程見解析；（2）；（3）．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義和三角形的外角的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)（1）的解法進(jìn)行求解即可；（3）利用（1）的結(jié)論求解即可．【詳解】（1）結(jié)論：；理由如下：∵、的角平分線、相交于點(diǎn)∴，（角平分線的意義）∵，（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）∴，（等式性質(zhì)）∴（等量代換）∴；（2）∵、的角平分線、相交于點(diǎn)∴，（角平分線的意義）∵，（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）∴，（等式性質(zhì)）∴（等量代換）∴；（3）∵當(dāng)，、∴當(dāng)，=．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角的平分線的定義以及三角形的外角的性質(zhì)，掌握三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和成為解答本題的關(guān)鍵．5．（2021·鎮(zhèn)江市外國語學(xué)校八年級月考）如圖1，已知，A、B兩點(diǎn)同時從點(diǎn)O出發(fā)，點(diǎn)A沿射線運(yùn)動，點(diǎn)B沿射線運(yùn)動．（1）如圖2，點(diǎn)C為三條內(nèi)角平分線交點(diǎn)，連接、，在點(diǎn)A、B的運(yùn)動過程中，的度數(shù)是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，求其值；若發(fā)生變化，請說明理由：（2）如圖3，在（1）的條件下，連接并延長，與的角平分線交于點(diǎn)P，與交于點(diǎn)Q．①與的數(shù)量關(guān)系為____．②在中，如果有一個角是另一個角的2倍，求的度數(shù)．【答案】（1）不變，120°；（2）①；②或【分析】（1）由的和不變可知度數(shù)不變；（2）①利用三角形外角的性質(zhì)和角平分線的定義，分別用∠BAO和∠P表示出∠MBP，據(jù)此可得結(jié)果；②設(shè)為度，可用表示三個內(nèi)角，分類討論可得答案．【詳解】解：（1）的度數(shù)不變，理由如下：點(diǎn)為三條內(nèi)角平分線交點(diǎn)，，，，，，，，即的度數(shù)不變；（2）①點(diǎn)為三條內(nèi)角平分線交點(diǎn)，，，∴，為的角平分線，，∴，，，整理得：；②設(shè)，則，，為的角平分線，，，點(diǎn)為三條內(nèi)角平分線交點(diǎn)，，，，，中有一個角是另一個角的2倍，分四種情況：（1），則，解得，此時，（2），則，解得，此時，（3），則，解得，此時，（4），則，解得，故舍去，中有一個角是另一個角的2倍，為或．【點(diǎn)睛】本題考查三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，角平分線，一元一次方程等知識點(diǎn)，是一道較綜合的題目，難點(diǎn)是表示三個內(nèi)角分類討論．6.（2022?蓬溪縣月考）某校七年級數(shù)學(xué)興趣小組對“三角形內(nèi)角或外角平分線的夾角與第三個內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系”進(jìn)行了探究．（1）如圖1，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)P，∠A＝64°，則∠BPC＝；（2）如圖2，△ABC的內(nèi)角∠ACB的平分線與△ABC的外角∠ABD的平分線交于點(diǎn)E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；（3）如圖3，∠CBM、∠BCN為△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分線交于點(diǎn)Q，請你寫出∠BQC與∠A的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（4）如圖4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分線交于點(diǎn)Q，∠A＝64°，∠CBQ，∠BCQ的平分線交于點(diǎn)P，則∠BPC＝°，延長BC至點(diǎn)E，∠ECQ的平分線與BP的延長線相交于點(diǎn)R，則∠R＝°．【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和角平分線的定義；（2）根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，用∠A與∠1表示出∠2，再利用∠E與∠1表示出∠2，于是得到結(jié)論；（3）根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和以及角平分線的定義表示出∠EBC與∠ECB，然后再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解；（4）結(jié)合（1）（2）（3）的解析即可求得．【解答】解：（1）∵PB、PC分別平分∠ABC和∠ACB，∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=∴∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°（三角形內(nèi)角和定理），∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（12∠ABC+12∠ACB）＝180°?12＝180°?12（180°﹣∠A）＝180°﹣90°+12∠A＝90°+1（2）∵BE是∠ABD的平分線，CE是∠ACB的平分線，∴∠ECB=12∠ACB，∠ECD=1∵∠ABD是△ABC的外角，∠EBD是△BCE的外角，∴∠ABD＝∠A+∠ACB，∠EBD＝∠ECB+∠BEC，∴∠EBD=12∠ABD=12（∠A+∠ACB）＝∠BEC+∠ECB，即12∠A+∠ECB∴∠BEC=12∠A（3）結(jié)論∠BQC＝90°?12∠∵∠CBM與∠BCN是△ABC的外角，∴∠CBM＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，∵BQ，CQ分別是∠ABC與∠ACB外角的平分線，∴∠QBC=12（∠A+∠ACB），∠QCB=12（∠∵∠QBC+∠QCB+∠BQC＝180°，∴∠BQC＝180°﹣∠QBC﹣∠EQB＝180°?12（∠A+∠ACB）?12（∠＝180°?12∠A?12（∠A+∠ABC+∠ACB）＝180°?12∠（4）由（3）可知，∠BQC＝90°?12∠A＝90°由（1）可知∠BPC＝90°+12∠BQC＝90°由（2）可知，∠R=12∠【點(diǎn)評】本題考查了三角形的外角性質(zhì)與內(nèi)角和定理，熟記三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．題型7全等三角形的判定方法：5種判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（特殊形式的SSA）解題技巧：1）根據(jù)圖形和已知條件，猜測可能的全等三角形；2）尋找邊角相等的3組條件。3）往往有2個條件比較好找，第3個條件需要推理尋找第3個條件思路：原則1）需要證明的邊或角需首先排除，不可作為第3個條件尋找2）尋找第3個條件，往往需要根據(jù)題干給出的信息為指導(dǎo)，確定是找角還是邊全等三角形證明思路：1°：SSS證全等1．（2021·山東槐蔭初一期末）在一次小制作活動中，艷艷剪了一個燕尾圖案（如圖所示），她用刻度尺量得AB＝AC，BO＝CO，為了保證圖案的美觀，她準(zhǔn)備再用量角器量一下∠B和∠C是否相等，小麥走過來說：“不用量了，肯定相等”，小麥的說法利用了判定三角形全等的方法是（）A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS【答案】D【分析】根據(jù)SSS判定即可得出答案．【解析】在和中，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定的方法是解題的關(guān)鍵．2．（2021·福建廈門·八年級期中）已知：如圖，，，求證：【答案】證明見解析【分析】由，，結(jié)合公共邊從而可得結(jié)論.【詳解】證明：在與中，【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定，掌握“利用邊邊邊公理證明三角形全等”是解本題的關(guān)鍵.3．（2022·福建莆田·八年級期末）莆仙戲是現(xiàn)存最古老的地方戲劇種之一，被稱為“宋元南戲的活化石”，2021年5月莆仙戲《踏傘行》獲評為“2020年度國家舞臺藝術(shù)精品創(chuàng)作扶持工程重點(diǎn)扶持劇目”．該劇中“油紙傘”無疑是最重要的道具，依傘設(shè)戲，情節(jié)新穎，結(jié)構(gòu)巧妙，譜寫了一曲美輪美奐、詩意盎然的傳統(tǒng)戲曲樂歌．“油紙傘”的制作工藝十分巧妙．如圖，傘圈D沿著傘柄滑動時，總有傘骨，，從而使得傘柄AP始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的．為什么？【答案】見解析【分析】利用SSS證明，即可得到，由此證得結(jié)論．【詳解】證明：∵在和中，，∴，∴，即AP平分．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，熟記全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．4．（2022·浙江杭州·八年級期末）如圖，在中，點(diǎn)，點(diǎn)分別在邊，邊上，連接，，．(1)求證：．(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)45°【分析】（1）證明△ADE≌△ACE（SSS），由全等三角形的性質(zhì)得出∠ADE=∠C；（2）由等腰三角形的性質(zhì)得出∠BDE=∠BED=75°，求出∠C的度數(shù)，則可求出答案．【解析】(1)證明：連接．在△ADE和△ACE中，，∴△ADE≌△ACE（SSS），∴∠ADE=∠C；(2)∵BD=BE，∠B=30°，∴∠BDE=∠BED=×（180°-30°）=75°，∴∠ADE=105°，∵∠ADE=∠C，∴∠C=105°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-105°=45°．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，證明△ADE≌△ACE是解題的關(guān)鍵．2°：SAS證全等1．（2022·黑龍江齊齊哈爾·八年級期末）如圖，在△ABC與△AEF中，AB＝AE，BC＝EF，∠ABC＝∠AEF，∠EAB＝40°，AB交EF于點(diǎn)D，連接EB．下列結(jié)論：①∠FAC＝40°；②AF＝AC；③∠EFB＝40°；④AD＝AC，正確的個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】由“SAS”可證△ABC≌△AEF，由全等三角形的性質(zhì)依次判斷可求解．【詳解】解：在△ABC和△AEF中，，∴△ABC≌△AEF（SAS），∴AF＝AC，∠EAF＝∠BAC，∠AFE＝∠C，故②正確，∴∠BAE＝∠FAC＝40°，故①正確，∵∠AFB＝∠C+∠FAC＝∠AFE+∠EFB，∴∠EFB＝∠FAC＝40°，故③正確，無法證明AD＝AC，故④錯誤，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．2．（2021·福建·福州華倫中學(xué)八年級期中）如圖，點(diǎn)A，D，B在同一直線上，AC＝BD，AB＝DE，∠C＝∠DFB．試說明：△DEB≌△ABC．【答案】證明過程見解析．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠A＝∠BDE，根據(jù)SAS證明三角形全等即可；【詳解】∵∠C＝∠DFB，∴AC∥DE，∴∠A＝∠BDE，在△ABC與△DEB中，，∴△ABC≌△DEB（SAS）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)，三角形全等判定，準(zhǔn)確分析判斷是解題的關(guān)鍵．3．（2021·江蘇徐州·八年級期中）如圖，在△ABC和△ABD中，AC與BD相交于點(diǎn)E，AC＝BD，∠BAC＝∠ABD．求證：∠C＝∠D．【答案】見解析【分析】根據(jù)“SAS”可證明△ADB≌△BCA，由全等三角形的性質(zhì)即可證明∠C＝∠D．【詳解】證明：在△ADB和△BAC中，，∴△ADB≌△BCA（SAS），∴∠C＝∠D．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．4．（2021·全國七年級單元測試）如圖，將兩塊含45°角的大小不同的直角三角板△COD和△AOB如圖①擺放，連結(jié)AC，BD．

（1）如圖①，猜想線段AC與BD存在怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請寫出結(jié)論并證明；（2）將圖①中的△COD繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)一定的角度（如圖②），連結(jié)AC，BD，其他條件不變，線段AC與BD還存在（1）中的關(guān)系嗎？請寫出結(jié)論并說明理由．（3）將圖①中的△COD繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)一定的角度（如圖③），連結(jié)AC，BD，其他條件不變，線段AC與BD存在怎樣的關(guān)系？請直接寫出結(jié)論．【答案】（1）AC=BD，AC⊥BD，證明見解析；（2）存在，AC=BD，AC⊥BD，證明見解析；（3）AC=BD，AC⊥BD【分析】（1）延長BD交AC于點(diǎn)E．易證△AOC≌△BOD（SAS），可得AC=BD，∠OAC=∠OBD，由∠ADE=∠BDO，可證∠AED=∠BOD=90o即可；（2）延長BD交AC于點(diǎn)F，交AO于點(diǎn)G．易證△AOC≌△BOD（SAS），可得AC=BD，∠OAC=∠OBD，由∠AGF=∠BGO，可得∠AFG=∠BOG=90o即可；（3）BD交AC于點(diǎn)H，AO于M，可證△AOC≌△BOD（SAS），可得AC=BD，∠OAC=∠OBD，由∠AMH=∠BMO，可得∠AHM=∠BOH=90o即可．【詳解】（1）AC=BD，AC⊥BD，證明：延長BD交AC于點(diǎn)E．

∵△COD和△AOB均為等腰直角三角形，∴OC=OD，OA=OB，∠COA=∠BOD=90o，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC=BD，∴∠OAC=∠OBD，∵∠ADE=∠BDO，∴∠AED=∠BOD=90o，∴AC⊥BD；（2）存在，證明：延長BD交AC于點(diǎn)F，交AO于點(diǎn)G．∵△COD和△AOB均為等腰直角三角形，∴OC=OD，OA=OB，∠DOC=BOA=90o，∵∠AOC=∠DOC－∠DOA，∠BOD=∠BOA－∠DOA，∴∠AOC=∠BOD，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC=BD，∠OAC=∠OBD，∵∠AGF=∠BGO，∴∠AFG=∠BOG=90o，∴AC⊥BD；（3）AC=BD，AC⊥BD．證明：BD交AC于點(diǎn)H，AO于M，∵△COD和△AOB均為等腰直角三角形，∴OC=OD，OA=OB，∠DOC=BOA=90o，∵∠AOC=∠DOC+∠DOA，∠BOD=∠BOA+∠DOA，∴∠AOC=∠BOD，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC=BD，∠OAC=∠OBD，∵∠AMH=∠BMO，∴∠AHM=∠BOH=90o，∴AC⊥BD．

【點(diǎn)睛】