新教材2024高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)強(qiáng)化訓(xùn)練9等差數(shù)列與等比數(shù)列-小題備考

強(qiáng)化訓(xùn)練9等差數(shù)列與等比數(shù)列——小題備考一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的)1．[2023·遼寧遼陽一模]在等差數(shù)列{an}中，a3＝13，a9＝1，則a4＝()A．8B．9C．10D．112．[2023·河南駐馬店二模]設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項之積為Sn，若S3＝1，S9＝512，則a11＝()A．2B．4C．8D．163．[2023·湖北黃岡中學(xué)二模]已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a10＋a11>0，a10＋a12<0，則Sn取最大值時n的值為()A．10B．11C．12D．134．[2023·安徽合肥模擬]在數(shù)列{an}中，已知a1＝2，a2＝3，當(dāng)n≥2時，an＋1是an·an－1的個位數(shù)，則a2023＝()A．4B．3C．2D．15．[2023·河南新鄉(xiāng)三模]已知公差不為零的等差數(shù)列{an}中，a4＝6，且a2，a4，a5成等比數(shù)列，Sn是數(shù)列{an}的前n項和，則S6＝()A．45B．42C．84D．1356．[2023·河南鄭州一模]在等比數(shù)列{an}中，公比q＝2，且eq\f(1,a9)＋eq\f(1,a10)＋eq\f(1,a11)＋eq\f(1,a12)＝eq\f(6,aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(10)))，則a9＋a10＋a11＋a12＝()A．3B．12C．18D．247．[2023·江西九江三模]若數(shù)列{an}滿足eq\f(an＋2－an＋1,an＋1－an)＝q(q為常數(shù)，且q≠1)，則稱{an}為差等比數(shù)列，其中q為公差比．已知差等比數(shù)列{an}中，a1＝2，a2＝6，且公差比為2，則a10＝()A．1024B．1022C．2048D．20468．[2023·河北張家口二模]歐拉函數(shù)φ(n)(n∈N*)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)n，且與n互質(zhì)的正整數(shù)的個數(shù)，例如：φ(1)＝1，φ(3)＝2.數(shù)列{an}滿足an＝φ(2n)，其前n項和為Sn，則S10＝()A．1024B．2048C．1023D．2047二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多個符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得2分，選錯或多選得0分)9．[2023·湖北武漢三模]已知實數(shù)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，下列說法正確的是()A．若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，則a1＋a3＋a8＝2a6恒成立B．若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，則S3，S6－S3，S9－S6，…為等差數(shù)列C．若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且a3＝7，S3＝21，則a4＝－eq\f(7,2)D．若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則S3，S6－S3，S9－S6，…為等比數(shù)列10．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3n＋1，n為奇數(shù),2－2n，n為偶數(shù)))，則下列正確的是()A．a(chǎn)6＝19B．a(chǎn)7>a6C．S5＝22D．S6>S811．[2023·山西陽泉三模]設(shè)無窮數(shù)列{an}為正項等差數(shù)列且其前n項和為Sn，若S2023＝2023，則下列判斷正確的是()A．a(chǎn)1012＝1B．a(chǎn)1013≥1C．S2022>2022D．S2024≥202412．[2023·黑龍江牡丹江三模]南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，…，設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列{an}，且a1＝1，數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前n項和為Sn，則正確的選項是()A．a(chǎn)4＝12B．a(chǎn)n＋1＝an＋n＋1C．Sn＝eq\f(2n,n＋1)D．a(chǎn)100＝4950題號123456789101112答案三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)13．[2023·河南省實驗中學(xué)模擬]在等差數(shù)列{an}中，2a9－a12＝6，則數(shù)列{an}的前11項和S11＝________．14．[2023·河北石家莊三模]已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝n－1，數(shù)列{bn}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，則ab1＋ab2＋…＋ab9＝________．15．[2023·遼寧遼河油田中學(xué)模擬]已知等比數(shù)列{an}中，a2·a8＝4a5，等差數(shù)列{bn}中，b4＋b6＝a5，則數(shù)列{bn}的前9項和S9＝________．16．[2023·重慶二模]傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來研究數(shù)．他們根據(jù)沙粒或小石子所排列的形狀把數(shù)分成許多類，如圖中第一行的1，3，6，10…稱為三角形數(shù)，第二行的1，4，9，16…稱為正方形數(shù)，第三行的1，5，12，22…稱為五邊形數(shù)，…，照此規(guī)律進(jìn)行下去，若將每一行的第k(k∈N*)個數(shù)從小到大排列形成數(shù)列{an}，(1)若k＝8，則a3＝________；(2)當(dāng)n≥2且n∈N*時，an－an－1＝________.(用k表示)強(qiáng)化訓(xùn)練9等差數(shù)列與等比數(shù)列1．解析：因為等差數(shù)列{an}中，a3＝13，a9＝1，可得公差d＝＝＝－2，所以a4＝a3＋d＝11.故選D.答案：D2．解析：因為S3＝1，S9＝512，所以a1a2a3＝＝1，a1a2a3…a9＝＝512，解得a2＝1，a5＝2，則q3＝＝2，故a11＝a2q9＝23＝8.故選C.答案：C3．解析：∵等差數(shù)列{an}，∴a10＋a12＝2a11<0，∴a11<0，∵a10＋a11>0，∴a10>0，則Sn取最大值時，n＝10.故選A.答案：A4．解析：因為a1＝2，a2＝3，當(dāng)n≥2時，an＋1是an·an－1的個位數(shù)，所以a3＝6，a4＝8，a5＝8，a6＝4，a7＝2，a8＝8，a9＝6，a10＝8，a11＝8，a12＝4，可知數(shù)列{an}中，從第3項開始有an＋6＝an，即當(dāng)n≥3時，an的值以6為周期呈周期性變化，所以(2023－2)÷6＝336……5，故a2023＝a7＝2.故選C.答案：C5．解析：公差為d，因為a2，a4，a5成等比數(shù)列，所以62＝(6－2d)(6＋d)，解得d＝0(舍去)或d＝－3，所以a1＝15，S6＝6×15＋×(－3)＝45.故選A.答案：A6．解析：＝()＋()＝＝＝，∵＝＝，∴a9＋a10＋a11＋a12＝12.故選B.答案：B7．解析：∵a1＝2，a2＝6，∴a2－a1＝4≠0，∵＝2，∴數(shù)列{an＋1－an}是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，∴an＋1－an＝4×2n－1＝2n＋1，∴當(dāng)n≥2時，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n＋2n－1＋…＋22＋2＝＝2n＋1－2，∴a10＝211－2＝2048－2＝2046.故選D.答案：D8．解析：根據(jù)歐拉函數(shù)的定義可得a1＝φ(2)＝1，a2＝φ(22)＝2，a3＝φ(23)＝4，a4＝φ(24)＝8，一般地，an＝φ(2n)＝2n－1.事實上，φ(2n)表示從1到2n的正整數(shù)中，與2n互質(zhì)的正整數(shù)的個數(shù)，相當(dāng)于去掉從1到2n的正整數(shù)中所有2的倍數(shù)的個數(shù)(共2n－1個數(shù))，因此，an＝φ(2n)＝2n－2n－1＝2n－1.所以，S10＝1＋2＋4＋…＋29＝1023.故選C.答案：C9．解析：若數(shù)列{an}為等差數(shù)列，不妨設(shè)其公差為d，則a1＋a3＋a8＝3a1＋9d，2a6＝2a1＋10d，顯然當(dāng)a1＝d才相等，故A錯誤，而，作差可得(S6－S3)－S3＝9d＝(S9－S6)－(S6－S3)＝…＝(S3n＋3－S3n)－(S3n－S3n－3)(k∈N*)成立，故B正確；若數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且a3＝7，S3＝21，設(shè)其公比為q，則，作商可得q＝1或q＝－，所以a4＝7或a4＝－，故C錯誤；由題意得{an}各項均不為0，而實數(shù)范圍內(nèi)，1＋q＋q2≠0，即S3k≠0，且a3k·(1＋q＋q2)≠0?S3k＋3－S3k≠0(k∈N*)，結(jié)合選項B的計算可得(S6－S3)÷S3＝q3＝(S9－S6)÷(S6－S3)＝…＝(S3n＋3－S3n)÷(S3n－S3n－3)．故D正確．故選BD.答案：BD10．解析：6是偶數(shù)，則a6＝2－12＝－10，A錯誤；a7＝22>a6，B正確；S5＝4＋(－2)＋10＋(－6)＋16＝22，C正確；S6＝S5＋a6＝12，S8＝S6＋a7＋a8＝12＋22＋(－14)＝，D錯誤．故選BC.答案：BC11．解析：因為數(shù)列{an}為正項等差數(shù)列，所以S2023＝＝2023·a1012＝2023，所以a1012＝1，A正確；因為數(shù)列{an}為正項等差數(shù)列，所以a1>0，d≥0，所以a1013＝a1012＋d≥1，S2022＝S2023－a2023≤2023－1＝2022，B正確，C錯誤；S2024＝S2023＋a2024≥2023＋1＝2024，D正確．故選ABD.答案：ABD12．解析：由題意可知：a2－a1＝2，a3－a2＝3，于是有a4－a3＝4，an－an－1＝n(n≥2，n∈N*)，顯然可得：a4＝4＋a3＝10,an＋1＝an＋n＋1，因此選項A不正確，選項B正確；當(dāng)n≥2，n∈N*時，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋…＋1＝，顯然a1＝1適合上式，a100＝＝5050，因此選項D不正確；＝＝2()，Sn＝2(1－＋…＋)＝2(1－)＝，因此選項C正確．故選BC.答案：BC13．解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)可得2a9＝a6＋a12，∴a6＝2a9－a12＝6，∴S11＝＝＝11a6＝66.答案：6614．解析：由題意可得：an＝n－1，bn＝＝bn－1＝2n－1－1.所以＝(1＋2＋…＋28)－9＝－9＝502.答案：50215．解析：在等比數(shù)列{an}中，滿足a2·a8＝4a5，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得a2·a8＝，即＝4a5，所以a5＝4，又由b4＋b6＝a5，所以b4＋b6＝4，所以數(shù)列{bn}的前9項和