新教材2024高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)強(qiáng)化訓(xùn)練11數(shù)列的通項(xiàng)與求和-大題備考

強(qiáng)化訓(xùn)練11數(shù)列的通項(xiàng)與求和——大題備考第二次作業(yè)1．[2022·新高考Ⅱ卷]已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是公比為2的等比數(shù)列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4.(1)證明：a1＝b1.(2)求集合{k|bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素的個(gè)數(shù)．2．[2023·河北張家口二模]已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1，Sn為其前n項(xiàng)和，且nan＋1＝2Sn＋2(n∈N*).(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若bn＝eq\f(1,anan＋1)，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，求證：Tn<eq\f(3,8).3．[2023·河北石家莊模擬]設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且4Sn＝aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))＋2an－8.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)能否從{an}中選出以a1為首項(xiàng)，以原次序組成的等比數(shù)列ak1，ak2，…，akm，…，(k1＝1).若能，請(qǐng)找出使得公比最小的一組，寫出此等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求出數(shù)列{kn}的前n項(xiàng)和Tn；若不能，請(qǐng)說明理由．4．[2023·浙江鎮(zhèn)海中學(xué)模擬]已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝－eq\f(16,5)，且5an＋1＋Sn＋16＝0.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)；(2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足4bn＋(n－5)an＝0(n∈N*)，記{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，若Tn≤λbn對(duì)任意n∈N*恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．強(qiáng)化訓(xùn)練11數(shù)列的通項(xiàng)與求和1．解析：(1)證明：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.由a2－b2＝a3－b3，知a1＋d－2b1＝a1＋2d－4b1，故d＝2b1.由a2－b2＝b4－a4，知a1＋d－2b1＝8b1－(a1＋3d)，所以a1＋d－2b1＝4d－(a1＋3d)，所以a1＋d－2b1＝d－a1.整理，得a1＝b1，得證．(2)由(1)知d＝2b1＝2a1.由bk＝am＋a1，知b1·2k－1＝a1＋(m－1)·d＋a1，即b1·2k－1＝b1＋(m－1)·2b1＋b1，即2k－1＝2m.因?yàn)?≤m≤500，所以2≤2k－1≤1000，解得2≤k≤10.故集合{k|bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素的個(gè)數(shù)為9.2．解析：(1)由題意，當(dāng)n＝1時(shí)，a2＝2S1＋2＝2a1＋2＝4.當(dāng)n≥2時(shí)，(n－1)an＝2Sn－1＋2.又nan＋1＝2Sn＋2(n∈N*)，所以，當(dāng)n≥2時(shí)，有nan＋1－(n－1)an＝2an，即＝.這表明從第二項(xiàng)起，數(shù)列是以＝2為首項(xiàng)的常數(shù)列，即＝2(n≥2)．所以，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝.(2)由(1)可得，b1＝＝，T1＝b1＝<.當(dāng)n≥2時(shí)，bn＝＝＝)，所以，Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋…＋)＝<.綜上所述，對(duì)n∈N*，都有Tn<.3．解析：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，4S1＝＋2a1－8＝4a1，即－2a1－8＝0(a1>0)，得a1＝4或a1＝－2(舍去)．當(dāng)n≥2時(shí)，由4Sn＝＋2an－8①，得4Sn－1＝＋2an－1－8(n≥2)②，①－②得：4an＝＋2an－2an－1，化簡(jiǎn)得(an－an－1－2)(an＋an－1)＝0.因?yàn)閍n>0，所以an－an－1－2＝0，an＝an－1＋2(n≥2)，即數(shù)列{an}是以4為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以an＝2n＋2(n∈N*)．(2)存在．當(dāng)＝a1＝＝a3＝8時(shí)，會(huì)得到數(shù)列{an}中原次序的一列等比數(shù)列，…，(k1＝1)，此時(shí)的公比q＝2，是最小的，此時(shí)該等比數(shù)列的項(xiàng)均為偶數(shù)，均在數(shù)列{an}中；下面證明此時(shí)的公比最?。海絘1＝4，假若取a2＝6，公比為＝，則＝4×＝9為奇數(shù)，不可能在數(shù)列{an}中．所以＝4·2m－1＝2m＋1.又＝2km＋2＝2m＋1，所以km＝2m－1，即{kn}的通項(xiàng)公式為：kn＝2n－1(n∈N*)，故Tn＝21－1＋22－1＋…＋2n－1＝－n＝2n＋1－n－2.4．解析：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，5a2＋a1＋16＝0，∴a2＝－，當(dāng)n≥2時(shí)，由5an＋1＋Sn＋16＝0①，得5an＋Sn－1＋16＝0②，①－②得5an＋1＝4an，a2＝－≠0，∴an≠0，∴＝，又＝，∴{an}是首項(xiàng)為－，公比為的等比數(shù)列，∴an＝－·＝－4·.(2)由4bn＋(n－5)an＝0，得bn＝－an＝(n－5)，所以Tn＝－4×－3×－2×＋(－1)×＋…＋(n－5)×，Tn＝－4×－3×－2×＋…＋(n－6)×＋(n－5)×，兩式相減得Tn＝－4×＋＋＋…＋－(n－5)×＝－－(n－5)＝－－5－(n－5)·＝－n·，所以Tn＝－