新教材2024高考數(shù)學(xué)二輪專(zhuān)題復(fù)習(xí)強(qiáng)化訓(xùn)練14空間向量與立體幾何-大題備考

強(qiáng)化訓(xùn)練14空間向量與立體幾何——大題備考第一次作業(yè)1．[2023·河北石家莊三模]如圖，在△AOB中，∠AOB＝eq\f(π,2)，OB＝eq\r(3)，OA＝1，C為OB的中點(diǎn)，將△AOB繞OB所在的直線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△BOD形成如圖所示的幾何體Γ，∠AOD＝eq\f(2π,3).(1)求幾何體Γ的體積；(2)求直線AB與平面ACD所成角的正弦值．2.[2023·山東淄博三模]在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝2，過(guò)A1，C1，B三點(diǎn)的平面截去長(zhǎng)方體的一個(gè)角后，得到如圖所示的幾何體ABCDA1C1D1，且這個(gè)幾何體的體積為10.(1)求棱A1A的長(zhǎng)；(2)求平面A1BC1和平面BC1D夾角的余弦值．3.[2023·遼寧沈陽(yáng)模擬]如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，P為線段B1D1上動(dòng)點(diǎn)．(1)證明：CP∥平面A1BD；(2)當(dāng)直線BP與平面A1BCD1所成的角正弦值為eq\f(\r(3),6)時(shí)，求點(diǎn)D到平面A1BP的距離．4．[2023·山東日照三模]如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝2，側(cè)面ABB1A1是正方形，且平面A1BC⊥平面ABB1A1.(1)求證：AB⊥BC；(2)若直線AC與平面A1BC所成的角為eq\f(π,6)，E為線段A1C的中點(diǎn)，求平面ABE與平面BCE所成銳二面角的大?。畯?qiáng)化訓(xùn)練14空間向量與立體幾何1．解析：(1)根據(jù)圓錐的定義易知，幾何體Γ為圓錐的一部分，且OB為圓錐的高，所以V＝×S扇形AOD×OB＝×12×＝π；(2)過(guò)O點(diǎn)作OM⊥OA，分別以O(shè)A，OM，OB所在的直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則：A(1，0，0)，C(0，0，)，B(0，0，)，D(－，0)，則＝(－1，0，)，＝(－，0)，＝(－1，0，)，設(shè)平面ACD的法向量為n＝(x，y，z)，則，所以，令y＝3，得n＝(，3，2)，設(shè)直線AB與平面ACD所成角為θ，則sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝＝，所以直線AB與平面ACD所成角的正弦值為.2．解析：(1)設(shè)A1A＝h，由題設(shè)＝＝10；×h＝10，即2×2×h－×2×2×h＝10，解得h＝3，故A1A的長(zhǎng)為3.(2)以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1所在的直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系；由已知及(1)，可知D(0，0，0)，A1(2，0，3)，B(2，2，0)，C1(0，2，3)，設(shè)平面A1BC1的法向量為n＝(u，v，w)，有n⊥A1B，n⊥C1B，其中A1B＝(0，2，－3)，C1B＝(2，0，－3)，則有，即，解得v＝w，u＝w，取w＝2，得平面A1BC1的一個(gè)法向量n＝(3，3，2)；設(shè)平面BDC1的法向量為n′＝(x，y，1)，有，其中＝(－2，0，3)，＝(2，2，0)，即，解得x＝，y＝－，得平面BDC1的一個(gè)法向量n′＝(，－，1)，故|cos〈n，n′〉|＝＝＝，則平面A1BC1和平面BC1D夾角的余弦值為.3．解析：(1)BD∥B1D1，BD?平面B1CD1，B1D1?平面B1CD1，故BD∥平面B1CD1；同理可得：A1B∥平面B1CD1；A1B＝B，且A1B，BD?平面A1BD，故平面A1BD∥平面B1CD1；CP?B1CD1，故CP∥平面A1BD.(2)如圖所示：以DA，DC，DD1分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A1(2，0，2)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，設(shè)P(a，a，2)，a∈[0，2]，D(0，0，0)，設(shè)平面A1BCD1的法向量為n1＝(m，n，p)，則，取n＝1得到n1＝(0，1，1)，＝(a－2，a－2，2)，BP與平面A1BCD1所成的角正弦值為：|cos〈n1，〉|＝＝＝，解得a＝1或a＝－3(舍)，設(shè)平面A1BP的法向量為n2＝(x，y，z)，則，取y＝1得到n2＝(1，1，1)，則點(diǎn)D到平面A1BP的距離d＝＝＝.4．解析：(1)證明：設(shè)A1B＝M，則A1B中點(diǎn)為M，且AM⊥A1B，∵平面A1BC⊥平面ABB1A1且交線為A1B，AM?平面ABB1A1，∴AM⊥平面A1BC.∵BC?平面A1BC，∴AM⊥BC.又直三棱柱ABCA1B1C1，BB1⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴BB1⊥BC.∵AM＝B1，AM，BB1?平面ABB1A1，∴BC⊥平面ABB1A1.∵AB?平面ABB1A1，∴AB⊥BC.(2)由(1)知AM⊥平面A1BC，所以直線AC與平面A1BC所成的角為∠ACM＝，AB＝2，AM＝，AC＝2，BC＝＝2，以B為原點(diǎn)分別為x，y，z軸正向建立空間直角坐標(biāo)系，A(0，2，0)，C(2，0，0)，E(1，1，1)，M(0，1，1)，則＝(0，2，0)，＝(1，1，1)，設(shè)平面ABE的法向量為n＝(x，y，z)，則，故可設(shè)n＝(1，0，－1)，又因