新教材2024高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)強(qiáng)化訓(xùn)練18統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)案例與概率-大題備考

強(qiáng)化訓(xùn)練18統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)案例與概率——大題備考第二次作業(yè)1．[2023·湖南長(zhǎng)沙實(shí)驗(yàn)中學(xué)三模]盲盒是指消費(fèi)者不能提前得知具體產(chǎn)品款式的玩具盒子，具有隨機(jī)屬性．某品牌推出2款盲盒套餐，A款盲盒套餐包含4款不同單品，且必包含隱藏款X；B款盲盒套餐包含2款不同單品，有50%的可能性出現(xiàn)隱藏款X.為避免盲目購(gòu)買與黃牛囤積，每人每天只能購(gòu)買1件盲盒套餐，開售第二日，銷售門店對(duì)80名購(gòu)買了套餐的消費(fèi)者進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：A款盲盒套餐B款盲盒套餐年齡低于30歲1830年齡不低于30歲2210(1)依據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為A、B款盲盒套餐的選擇與年齡有關(guān)聯(lián)？(2)甲、乙、丙三人每人購(gòu)買1件B款盲盒套餐，記隨機(jī)變量ξ為其中隱藏款X的個(gè)數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)某消費(fèi)者在開售首日與次日分別購(gòu)買了A款盲盒套餐與B款盲盒套餐各1件，并將6件單品全部打亂放在一起，從中隨機(jī)抽取1件打開后發(fā)現(xiàn)為隱藏款X，求該隱藏款來(lái)自于B款盲盒套餐的概率．附：χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828

2.[2023·吉林通化模擬]某學(xué)校三年級(jí)開學(xué)之初增加早自習(xí)，早飯?jiān)谛Ｊ程镁筒腿藬?shù)增多，為了緩解就餐壓力，學(xué)校在原有一個(gè)餐廳的基礎(chǔ)上增加了一個(gè)餐廳，分別記做餐廳甲和餐廳乙，經(jīng)過(guò)一周左右統(tǒng)計(jì)調(diào)研分析：前一天選擇餐廳甲就餐第二天選擇餐廳甲就餐的概率是eq\f(1,4)，選擇餐廳乙就餐的概率為eq\f(3,4)，前一天選擇餐廳乙就餐第二天選擇餐廳乙就餐的概率是eq\f(1,2)，選擇餐廳甲就餐的概率也為eq\f(1,2)，如此往復(fù)．假設(shè)學(xué)生第一天選擇餐廳甲就餐的概率是eq\f(1,2)，選擇餐廳乙就餐的概率是eq\f(1,2)，記某同學(xué)第n天選擇餐廳甲就餐的概率為Pn.(1)記某班級(jí)的3位同學(xué)第二天選擇餐廳甲的人數(shù)為X，求X的分布列，并求E(X)；(2)請(qǐng)寫出Pn(n∈N*)的通項(xiàng)公式．3.[2023·山東濰坊三模]某品牌中性筆研發(fā)部門從流水線上隨機(jī)抽取100件產(chǎn)品，統(tǒng)計(jì)其性能指數(shù)并繪制頻率分布直方圖(如圖1)產(chǎn)品的性能指數(shù)在[50，70)的適合兒童使用(簡(jiǎn)稱A類產(chǎn)品)，在[70，90)的適合少年使用(簡(jiǎn)稱B類產(chǎn)品)，在[90，110]的適合青年使用(簡(jiǎn)稱C類產(chǎn)品)，A，B，C三類產(chǎn)品的銷售利潤(rùn)分別為每件1.5，3.5，5.5(單位：元).以這100件產(chǎn)品的性能指數(shù)位于各區(qū)間的頻率代替產(chǎn)品的性能指數(shù)位于該區(qū)間的概率．(1)該公司為了解年?duì)I銷費(fèi)用x(單位：萬(wàn)元)對(duì)年銷售量y(單位：萬(wàn)件)的影響，對(duì)近5年的年?duì)I銷費(fèi)用xi和年銷售量yi(i＝1，2，3，4，5)的數(shù)據(jù)做了初步處理，得到散點(diǎn)圖(如圖2)及一些統(tǒng)計(jì)量的值(如下表).表中ui＝lnxi，vi＝lnyi，＝eq\f(1,5)eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do8(i＝1))ui，＝eq\f(1,5)eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do8(i＝1))vi.根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y＝a·xb可以作為年銷售量y(萬(wàn)件)關(guān)于年?duì)I銷費(fèi)用x(萬(wàn)元)的回歸方程，求y關(guān)于x的回歸方程；(取e4.159＝64)(2)求每件產(chǎn)品的平均銷售利潤(rùn)，并用所求的回歸方程估計(jì)該公司應(yīng)投入多少營(yíng)銷費(fèi)，才能使得該產(chǎn)品一年的收益達(dá)到最大？(收益＝銷售利潤(rùn)－營(yíng)銷費(fèi)用)參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回歸直線＝＋u的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為.4.[2023·河北邯鄲三模]邯鄲是歷史文化名城，被譽(yù)為“中國(guó)成語(yǔ)典故之都”．為了讓廣大市民更好的了解并傳承成語(yǔ)文化，當(dāng)?shù)匚穆镁謹(jǐn)M舉辦猜成語(yǔ)大賽．比賽共設(shè)置n道題，參加比賽的選手從第一題開始答題，一旦答錯(cuò)則停止答題，否則繼續(xù)，直到答完所有題目．設(shè)某選手答對(duì)每道題的概率均為p(0<p<1)，各題回答正確與否相互之間沒有影響．(1)記答題結(jié)束時(shí)答題個(gè)數(shù)為X，當(dāng)n＝3時(shí)，若E(X)>1.75，求p的取值范圍；(2)(ⅰ)記答題結(jié)束時(shí)答對(duì)個(gè)數(shù)為Y，求E(Y)；(ⅱ)當(dāng)p＝eq\f(5,6)時(shí)，求使E(Y)>4的n的最小值．參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.301，lg3≈0.477.強(qiáng)化訓(xùn)練18統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)案例與概率1．解析：(1)零假設(shè)為H0：A，B款盲盒套餐的選擇與年齡之間無(wú)關(guān)聯(lián)．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得χ2＝eq\f(80×（18×10－30×22）2,48×32×40×40)＝7.5>6.635，根據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷H0不成立，即依據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能認(rèn)為A，B款盲盒套餐的選擇與年齡有關(guān)；(2)ξ的所有可能取值為0，1，2，3，P(ξ＝0)＝Ceq\o\al(\s\up1(0),\s\do1(3))(eq\f(1,2))3＝eq\f(1,8)，P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))(eq\f(1,2))3＝eq\f(3,8)，P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))(eq\f(1,2))3＝eq\f(3,8)，P(ξ＝3)＝Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3))(eq\f(1,2))3＝eq\f(1,8)，所以ξ的分布列為：ξ0123Peq\f(1,8)eq\f(3,8)eq\f(3,8)eq\f(1,8)E(ξ)＝0×eq\f(1,8)＋1×eq\f(3,8)＋2×eq\f(3,8)＋3×eq\f(1,8)＝eq\f(3,2)；(3)設(shè)事件A：隨機(jī)抽取1件打開后發(fā)現(xiàn)為隱藏款X，設(shè)事件B1：隨機(jī)抽取的1件單品來(lái)自于A款盲盒套餐，設(shè)事件B2：隨機(jī)抽取的1件單品來(lái)自于B款盲盒套餐，P(A)＝P(B1)·P(A∣B1)＋P(B2)·P(A∣B2)＝eq\f(4,6)×eq\f(1,4)＋eq\f(2,6)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，故由條件概率公式可得P(B2∣A)＝eq\f(P（AB2）,P（A）)＝eq\f(P（B2）·P（A∣B2）,\f(1,4))＝eq\f(\f(1,12),\f(1,4))＝eq\f(1,3)，即該隱藏款來(lái)自于B款盲盒套餐的概率為eq\f(1,3).2．解析：(1)某同學(xué)第二天選擇餐廳甲就餐的概率PA＝eq\f(1,2)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,8)，某同學(xué)第二天選擇餐廳乙就餐的概率PB＝eq\f(1,2)×eq\f(3,4)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(5,8)，所以3位同學(xué)第二天選擇餐廳甲就餐的人數(shù)為X，則X～B(3，eq\f(3,8)).P(X＝k)＝Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(3))(eq\f(3,8))k(eq\f(5,8))3－k，(k＝0，1，2，3)∴X的分布列為X0123Peq\f(125,512)eq\f(225,512)eq\f(135,512)eq\f(27,512)故E(X)＝3×eq\f(3,8)＝eq\f(9,8).(2)依題意，Pn＋1＝Pn×eq\f(1,4)＋(1－Pn)×eq\f(1,2)，即Pn＋1＝－eq\f(1,4)Pn＋eq\f(1,2)(n∈N*).由(1)知Pn＋1＝－eq\f(1,4)Pn＋eq\f(1,2)(n∈N*)，則Pn＋1－eq\f(2,5)＝－eq\f(1,4)(Pn－eq\f(2,5))(n∈N*)當(dāng)n＝1時(shí)，可得P1－eq\f(2,5)＝eq\f(1,10)，∴數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(Pn－\f(2,5)))是首項(xiàng)為eq\f(1,10)公比為－eq\f(1,4)的等比數(shù)列．Pn＝eq\f(1,10)×(－eq\f(1,4))n－1＋eq\f(2,5).3．解析：(1)由題意，由y＝a·xb得，lny＝ln(a·xb)＝lna＋blnx，令u＝lnx，v＝lny，c＝lna，則v＝c＋bu，由表中數(shù)據(jù)可得，＝eq\f(\o(∑,\s\up6(5),\s\do8(i＝1))（ui－\o(u,\s\up6(－))）（vi－\o(v,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up6(5),\s\do8(i＝1))（ui－\o(u,\s\up6(－))）2)＝eq\f(0.41,1.64)＝0.25，則＝－＝eq\f(24.87,5)－0.25×eq\f(16.30,5)＝4.159，∴＝4.159＋0.25u，即ln＝4.159＋0.25lnx＝ln(e4.159·xeq\s\up6(\f(1,4)))，∵e4.159＝64，∴＝64xeq\s\up6(\f(1,4))，∴所求的回歸方程為y＝64xeq\s\up6(\f(1,4)).(2)由題意及(1)得，設(shè)每件產(chǎn)品的銷售利潤(rùn)為X元，則X的所有可能取值為1.5，3.5，5.5，由直方圖可得，A，B，C三類產(chǎn)品的頻率分別為0.15，0.45，0.4，∴P(X＝1.5)＝(0.004＋0.011)×10＝0.15，P(X＝3.5)＝(0.020＋0.025)×10＝0.45，P(X＝5.5)＝(0.023＋0.017)×10＝0.4，所以隨機(jī)變量X的分布列為：X1.53.55.5P0.150.450.4所以E(X)＝1.5×0.15＋3.5×0.45＋5.5×0.4＝4，故每件產(chǎn)品的平均銷售利潤(rùn)為4元；設(shè)年收益為z萬(wàn)元，則z＝E(X)·y－x＝256xeq\s\up6(\f(1,4))－x，設(shè)t＝xeq\s\up6(\f(1,4))，f(t)＝256t－t4，則f′(t)＝256－4t3＝4(64－t3)，當(dāng)t∈(0，4)時(shí)，f′(t)>0，f(t)在(0，4)單週遞增，當(dāng)t∈(4，＋∞)時(shí)，f′(t)<0，f(t)在(4，＋∞)單調(diào)遞減，∴當(dāng)t＝4，即x＝256時(shí)，z有最大值為768，∴估計(jì)當(dāng)該公司一年投入256萬(wàn)元營(yíng)銷費(fèi)時(shí)，能使得該產(chǎn)品年收益達(dá)到最大．4．解析：(1)根據(jù)題意，X可取1，2，3，P(X＝1)＝1－p，P(X＝2)＝p(1－p)，P(X＝3)＝p2，所以E(X)＝1－p＋2p(1－p)＋3p2＝p2＋p＋1，由E(X)＝p2＋p＋1>1.75得p>eq\f(1,2)，又0<p<1，所以p的取值范圍是(eq\f(1,2)，1).(2)(ⅰ)P(Y＝k)＝pk(1－p)，其中k＝0，1，2，…，n－1，P(Y＝n)＝pn，所以Y的數(shù)學(xué)期望為E(Y)＝p(1－p)＋2p2(1－p)＋…＋(n－1)pn－1(1－p)＋npn＝(1－p)[p＋2p2＋3p3＋…＋(n－1)pn－1]＋npn，設(shè)Sn＝p＋2p2＋3p3＋…＋(n－1)pn－1，利用錯(cuò)位相減可得(1－p)Sn＝p＋p2＋p3＋…＋pn－1－(n－1)pn，所以E(Y)＝p＋p2＋p3＋…＋pn－1－(n－1)pn＋npn＝p＋p2＋p3＋…＋pn－1＋pn＝eq\f(p－pn＋1,1－p).另解：E(Y)＝(p－p2)＋(2p2－2p3)＋(3p3－3p4)＋