兩能級系統(tǒng) 本征態(tài)通解

兩能級系統(tǒng)本征態(tài)通解兩能級系統(tǒng)本征態(tài)通解在量子力學(xué)中，兩能級系統(tǒng)是一個重要的概念，它描述了一個量子系統(tǒng)存在兩個能量本征態(tài)的情況。這種情況可以通過求解薛定諤方程得到通解。一個兩能級系統(tǒng)可以用波函數(shù)表示。設(shè)該系統(tǒng)的兩個能量本征態(tài)分別為$\left|1\right>$和$\left|2\right>$，對應(yīng)的能量本征值分別為$E_1$和$E_2$。系統(tǒng)中的任意態(tài)可以表示為這兩個本征態(tài)的線性組合：$$\left|\psi\right>=c_1\left|1\right>+c_2\left|2\right>$$其中$c_1$和$c_2$為復(fù)數(shù)的系數(shù)，滿足歸一化條件：$|c_1|^2+|c_2|^2=1$。為了求解$c_1$和$c_2$的值，我們可以將這個波函數(shù)代入薛定諤方程，得到如下的方程組：$$\begin{cases}E_1c_1+E_2c_2=E\cdotc_1\\E_1c_1+E_2c_2=E\cdotc_2\end{cases}$$其中$E$為系統(tǒng)的總能量。為了得到非平凡解，我們需要方程組的系數(shù)行列式為零。通過計算行列式可以得到：$$(E_1-E)(E_2-E)=0$$解上述方程得到能級能量$E$的解為：$E=E_1$或$E=E_2$。這意味著系統(tǒng)的能量只能取兩個可能的值。對于$E=E_1$的解，將其代入方程組可以得到：$$E_1c_1+E_2c_2=E_1c_1\\(E_2-E_1)c_2=0$$由于$E_2\neqE_1$，所以$c_2=0$，那么$c_1$可以取任意復(fù)數(shù)的值。因此，對應(yīng)于能量$E=E_1$的解，波函數(shù)可以表示為：$$\left|\psi_1\right>=c_1\left|1\right>$$類似地，對于$E=E_2$的解，可以得到波函數(shù)表示為：$$\left|\psi_2\right>=c_2\left|2\right>$$綜上所述，兩能級系統(tǒng)的本征態(tài)通解可以表示為：$$\left|\psi\right>=c_1\left|1\right>+c_2\left|2\right>$$其中，$c_1$和$c_2$為任意復(fù)數(shù)，滿足歸一化條件：$|c_1|^2+|c_2|^2=1$。該通解表示了兩能級系統(tǒng)中任意態(tài)的波函數(shù)形式。兩能級系統(tǒng)是量子力學(xué)中相當(dāng)重要的一個模型，它能夠幫助我們理解許