超幾何分布與二項(xiàng)分布的聯(lián)系與區(qū)別

超幾何分布與二項(xiàng)分布的聯(lián)系與區(qū)別摘要：超幾何分布和二項(xiàng)分布有著密切的聯(lián)系，但也有明顯的區(qū)別。本文對此進(jìn)行了分析。

關(guān)鍵詞：超幾何分布；二項(xiàng)分布；區(qū)別；聯(lián)系

作者簡介：丁曼，任教于江蘇省徐州高級中學(xué)。

在蘇教版《數(shù)學(xué)選修2-3》的課本中，第二章《概率》的2.2節(jié)和2.4節(jié)分別介紹了兩種離散型隨機(jī)變量的概率分布，超幾何分布(hyper-geometricdistribution)與二項(xiàng)分布（binomialdistribution）。通過實(shí)例,讓學(xué)生認(rèn)識模型所刻畫的隨機(jī)變量的共同特點(diǎn),從而建立新的模型,并能運(yùn)用兩模型解決一些實(shí)際問題。然而在教學(xué)過程中,卻發(fā)現(xiàn)學(xué)生不能準(zhǔn)確地辨別所要解決的問題是屬于超幾何分布還是二項(xiàng)分布,學(xué)生對這兩模型的定義不能很好的理解,一遇到含“取”或“摸”的題型,就認(rèn)為是超幾何分布,不加分析,隨便濫用公式。事實(shí)上,超幾何分布和二項(xiàng)分布確實(shí)有著密切的聯(lián)系，但也有明顯的區(qū)別。

課本對于超幾何分布的定義是這樣的：一般的，若一個隨機(jī)變量X的分布列為，其中，則稱X服從超幾何分布，記為。其概率分布表為：

對于二項(xiàng)分布的定義是這樣的：若隨機(jī)變量X的分布列為,其中則稱X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布，記為。其概率分布表為：

超幾何分布與二項(xiàng)分布都是取非負(fù)整數(shù)值的離散分布，表面上看，兩種分布的概率求取有截然不同的表達(dá)式，但看它們的概率分布表，會發(fā)現(xiàn)構(gòu)造上的相似點(diǎn)，如：隨機(jī)變量X的取值都從0連續(xù)變化到l，對應(yīng)概率和N,n,l三個值密切相關(guān)……可見兩種分布之間有著密切的聯(lián)系。課本中對超幾何分布的模型建立是這樣的：若有N件產(chǎn)品，其中M件是廢品，無返回地任意抽取n件，則其中恰有的廢品件數(shù)X是服從超幾何分布的。而對二項(xiàng)分布則使用比較容易理解的射擊問題來建立模型。若將但超幾何分布的概率模型改成：若有N件產(chǎn)品，其中M件是廢品，有返回的任意抽取n件，則其中恰有的廢品件數(shù)X是服從二項(xiàng)分布的。在這里，兩種分布的差別就在于“有”與“無”的差別，只要將概率模型中的“無”改為“有”，或?qū)ⅰ坝小备臑椤盁o”，就可以實(shí)現(xiàn)兩種分布之間的轉(zhuǎn)化。“返回”和“不返回”就是兩種分布轉(zhuǎn)換的關(guān)鍵。

如在2.2節(jié)有這樣一個例題：高三（1）班的聯(lián)歡會上設(shè)計(jì)了一項(xiàng)游戲：在一個口袋中裝有10個紅球、20個白球，這些球除顏色外完全相同，一次從中摸出5個球，摸到4個紅球1個白球就是一等獎，求獲一等獎的概率。本題采用的解法是摸出球中的紅球個數(shù)X服從超幾何分布，但是如果將“一次從中摸出5個球”改為“摸出一球記下顏色，放回后再摸一球，反復(fù)5次”，則摸出球中的紅球個數(shù)X將不再服從超幾何分布，而是服從二項(xiàng)分布。

我們分別來計(jì)算兩種分布所對應(yīng)的概率：品看作“成功”，摸到廢品袋中的產(chǎn)品看作“失敗”，則“成功”與“失敗”的概率相等，皆為且每次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的，正是典型的伯努力試驗(yàn)概型，因此可用二項(xiàng)分布去刻劃其概率分布列。,從這一點(diǎn)上講，兩種分布僅“一袋之隔”。將正品和廢品隔離，則超幾何分布將成為二項(xiàng)分布。

超幾何分布和二項(xiàng)分布這兩種離散型隨機(jī)變量的概率分布表面上看來風(fēng)馬牛不相及，但通過以上的論證，我們發(fā)現(xiàn)這兩種分布可以