2022年專升本《高數(shù)》真題及答案解析4

?？飘厴I(yè)生進入本科階段學(xué)習(xí)考試

2022年河南省普通高等

題號一二三四五總分

602050146150

本卷須知：

答題前：考生務(wù)必將自己的、考場號、座位號、考生號填寫在答題卡上本卷的

試題答案必須答在答題卡上，答在卷上無效

選題分析:

易（24分）中［93分）難（33分）

選擇：選擇：選擇：

1/2/5/6/13/14/293/4/7/8/9/10/11/12/15/1619/25/27/28

填空：/17/18/20/21/22/23/24/26填空：

31/32/33/34/36/30計算：

計算：填空：45/46/47/49/50

應(yīng)用：35/37/38/39/40應(yīng)用：

證明：計算：證明：

41/42/43/44/48

應(yīng)用：

51/52

證明：

53

、選擇題（每題2分，共60分）

在每題的四個備選答案中選一個正確答案，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.

1

L函數(shù)的定義域是（）.

-x/1-X

A.(-00,-1]

B.(-oo,-l)

c.y,i]

D.(-00,1)

2.函數(shù)/（?=九一2九3是（）.A.

奇函數(shù)

C.非奇非偶函數(shù)B.

偶函數(shù)

D.無法判斷奇華性

3./（x）=l-—，那么丹/（九）］=（）.

X

A.l-x

1

B.

x-1

C.一

1

D.____

1—工

4.以下極限不存在的是（）.

X

A.lim-----

—ox率1

B.lim

2

冗+1

C.lim2X

XT-00

D.lim2J

Xf+00

9

1->oc

A.0

B.I

C.-1

D.-2

x

6.極限lim=2,那么a的值是().

iosinax

A.1

B.-?

C.2

1

D.-

2

7.當(dāng)x->0時，2-2cos1~辦2,那么。的值是().

A.1

B.2

1

C.-

2

D.-1

fx2-ar+1XH1

8.函數(shù)/(%)=〈x-l'，那么在點x=1處，以下結(jié)論正確的選項是().

IX-1

A.a=2時，/(%)必連續(xù)

Ca=-1時,C(x)連續(xù)

B.a=2時，/(%)不連續(xù)

D.。=1時，/(x)必連續(xù)

9函數(shù)夕(x)在點x=0處可導(dǎo),函數(shù)/(x)=(x—l)小一1),那么八1)=().

A.0(0)

B"⑴

C.

13.設(shè)函數(shù)/(x)在區(qū)間(—1,1)內(nèi)連續(xù)，假設(shè)xe(—1,0)時，尸(幻<0；xe(O,l)時,

f\x)>0,那么在區(qū)間(一1,1)內(nèi)().

A.7(0)是函數(shù)f(x)的極小值

C./(0)不是函數(shù)/(%)的極值

B./(0)是函數(shù)/(x)的極大值

D./(0)不一定是函數(shù)f(x)的極小值

14.設(shè)函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，假設(shè)xe(O,l)時，/'(x)<0；xe(L2)

時，f(x)>0,那么().

A./(I)是函數(shù)/(x)的極大值

B.點(1,/(1))是曲線y=/(x)的拐點

C./(I)是函數(shù)/(x)的極小值

D.點(1,/(1))不是曲線y=/(x)的拐點

15.曲線y=d,那么().

A.在(-8,0)內(nèi)y=/單調(diào)遞減且形狀為凸

B.在(—8,0)內(nèi)y=/單調(diào)遞增且形狀為凹

C.在(0,+8)內(nèi)y=九4單調(diào)遞減且形狀為凸

D.在(0,+8)內(nèi)y=x4單調(diào)遞增且形狀為凹

16.尸(幻是/(尤)的一個原函數(shù)，那么不定積分］7(尤-1)公=().A.

F(x-1)+C

C.—F(x—1)+C

B.F(x)4-C

D.—F(x)+C

17.設(shè)函數(shù)/(x)=((二+，2)山，那么廣(x)=().

Jo

A,-e-x+Jx3

3

C.e~K+x2

B.-e'+2x

D.€'+2x

18.定積分fxe”公=().

J-a

A.2ae~a2

C.0

B.ae~a2

D.2ci

19.由曲線＞=于'與直線x=0,x=l,y=0所圍成的平面圖形的面積是().

A.e~'

B.1

C.1-e~'

D.1+

20.設(shè)定積分，=卜公，/2=(他，那么().

A/I=12

C.1\<I2

B./]>I2

D.不能確定4與4的大小

—>—>—>

21.向量o=/+%的方向角是().

A兀，兀，兀

442

兀，兀，兀

L.———

424

兀.兀.兀

B.———

422

D.三，工，巴

244

22.是微分方程y'+3ay'+2y=0的一個解，那么常數(shù)。=().A.1

B.-1

C.3

D.-1

3

23.以下微分方程中可進行別離變量的是().

A./=(%+y)ex+y

C.yr=xyexy

B.yr=xyex+y

D.y'=(x+y)exy

d1z

24.設(shè)二元函數(shù)z=x3+xy2+y,那4—=().

dxdy

A.3y2

B.3x2

C.2y

D.2x

25.用鋼板做成一個外表積為54機2的有蓋長方體水箱，欲使水箱的容積最大，那么水箱的

最大容積為().

A.18m2B.

27m2

C.6m2

D.9m2

26.設(shè)0={(用614尤2+,2?4,820,丁20},那么二重積分口4必:辦=().

D

A.6兀

B.8兀

C.4兀

D.3兀

IX

27.Jj/(x,y)da=￡dx^f(x.y)dy,那么交換積分次序后.

A.jf{x,y)dx

X1

C.jdy^of(x,y)dx

iy

B.［辦Tf(x,y)dx

1X

D.［由1/a，y)公

2&設(shè)L為連接點(0,0)與點(1,閭的直線段，那么曲線積分卜2/=().

zb

A.1

B.2

C.3

D.V3

29.以下級數(shù)發(fā)散的是().

0018.1

A

-E/2B.Z(-I)

w=l〃/r=ln

00100|

C工D.%1)”

n=\幾n=lH

OC

30.級數(shù)Z"”，那么以下結(jié)論正確的選項是().

n=l

A.假設(shè)lim〃“=0,乖么“收斂

”一＞00,

n=]

oo

B.假設(shè)局部和數(shù)列｛S,J有界，那么收斂

W=1

c.假傻收斂,那么lim“，=0

,〃一＞8

77=1

008

D.假設(shè)收斂，那么Z%,收斂

M=1n=\

二、填空題(每題2分，共20分)

31.函I數(shù)/(X)=尤3的反函數(shù)是y=J.

n-1

32.極限lim---=_□.

52〃+1—

(2-樂x。0

33.函數(shù)/(%)=〈，那么點x=0是/(X)的_____.間斷點.

U，x=0

35.不定積分Jsin(x+l)〃x=衛(wèi).

11

36.定積分[--dx=.

Jol+x

37.函數(shù)Z=p—-一y?在點(0,1)處的全微分dz[,0])=巨

38.與向量{2,1,2}同向平行的單位向量是.

39.微分方程了+盯2=0的通解是.

40.幕級數(shù)Z的收斂半徑為_____.

〃=i3

三、計算題(每題5分，共50分)

2

41.計算極限尸.

A->0

42.求函數(shù)y=42-cos。的導(dǎo)函數(shù).

21n九一1

43.計算不定積分[------dx?

Jx

3

44.計算定積分『xsinMr.

%+2y+3z=0

45.設(shè)直線/:<,求過點A(0,1,2)且平行于直線/的直線方程.

3x+5y+7z=1

46.函數(shù)2=/(x,y)由方程xz-yz-x+y=0所確定，求全微分dz.

47.D={(x,y)0|<x2+y2<4},計算二重積分JJ小4-幺一ydxdy.

48.求微分方程xy,-^y-x=0的通解.

49.求暴級數(shù)Z(-1)“一L的收斂區(qū)間.

n^\〃+1

四、應(yīng)用題(每題7分，共14分)

51.求由直線x=l,x=e,y=0及曲線y=_所圍成平面圖形的面積.

52.某工廠生產(chǎn)計算器，假設(shè)日產(chǎn)量為無臺的本錢函數(shù)為C(X)=7500+50X-0.02X2,收入函

數(shù)為R(x)=80-0.03*2,且產(chǎn)銷平衡，試確定日生產(chǎn)多少臺計算器時，工廠的利潤最大

五、證明題(每題6分，共6分)

53.方程4尤+3龍3-丁=。有一負根x=-2,證明方程4+9f—5d=0必有一個大于

-2的負根.

2022年河南省普通高等?？飘?/p>

業(yè)生進入本科階段學(xué)習(xí)考試

高等數(shù)學(xué)

【參考答案】

一、選擇題(每題2分，共60分)1.

【答案】D

【解析】要使函數(shù)有意義，開偶次方根被開方數(shù)必須大于等于

又分母不能為0,BPl-x>0

得x<1,應(yīng)選D.

2.【答案】A

【解析】由奇函數(shù)的定義知：/(t)=—X-2(-x)3=-(x-2?)=-/(x),故/(%)為奇函

數(shù)，應(yīng)選A.

3.【答案】D

［解析］/"(x)］=/(l一)=1一」二應(yīng)選D-

X

4.【答案】D

r0x

【解析】A選項：lim____=_=0,B選項：lim=lim:=0,C選項：

1。八1T5犬+1”大1—

x2

AA

lim2=0,D選項：lim2=+oo,應(yīng)選D.

XT-00Xf+oo

5.【答案】C

oo

【解析】法一：利用一型極限有理分式結(jié)論，分子分母最高次項相同，極限結(jié)果等于分子

00

分母最高次項系數(shù)之比，即-1,應(yīng)選C.

oo1_2r—JB-L———1

法二：利用型極限同除法，lim'=1油1x=-1,應(yīng)選C.

00x->oofx-^ooL：1

6.【答案】D

xx11

【解析】x-?0時，sinax-ax,lim=lim_=_=2,B|Ja=應(yīng)選D.

a。sinaxx-^0axa2

7.【答案】A

i%2

【解析】lim2-2^S-1.2(1-cosx)2「2那么應(yīng)選A.

hm---------=—hm2~=1=1.a=1.

x->047JT9°ajcaXa

x->0

8.【答案】B

【解析】要是函數(shù)/(x)在光=1處連續(xù)，那么由連續(xù)的定義必有/(I),即

lim『一融+1=2,當(dāng)a=2時，=lim("-1>=lim(x—1)=0H2,不滿

xflX—]xflx-1X-1-v->l

足連續(xù)的定義，所以當(dāng)4=2時，/(x)不連續(xù)，應(yīng)選B.

9.【答案】C

【解析】由低B在x=0處可導(dǎo)，可知以為在x=0處連續(xù)，那么

y(x)-f(1)..(x—1)(p^x—1)—0「,[、)八\.

f(1)=hvm，=lim=1)=(p(0),應(yīng)選C.

Ilx-lXflx-l7

10.【答案】D

【解析】/(%)=1-X-1，顯然/(X)在%=1處連續(xù)，又

X,X<1

/⑴=lim⑴=］由27-1=7,/(i)=iim/(x)-/(l)x-\

,一uni

x-lT，X-1

/⑴泡衣1),所以在x=1處不可導(dǎo)，應(yīng)選D.

11.【答案】C

【解析】/'(X)=(1—/)'=—31，g'(x)=(lnx)'=1,由于兩切線相互垂直，

00

4沏0X=X()r

人0

那么有一3”」=-1,得x=1,應(yīng)選C.

0X。032

12.【答案】A

【解析】f'(x)=-4X3,廣代)=一443=0,得4=0,應(yīng)選A.

13.【答案】A

【解析】在區(qū)間(-1,0)上一階導(dǎo)小于0,即/(x)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；在區(qū)間(0,1)上一階

導(dǎo)大于0,即/(幻在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，故由極值第一判定定理，可知八0)應(yīng)為函數(shù)的極

小值，應(yīng)選A.

14.【答案】B

【解析】函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,1)上為凸，在區(qū)間(1,2)上為凹，所以(1,7(I))為函數(shù)的拐

點，應(yīng)選B.

15.【答案】D

【解析】9=4必，當(dāng)x>0時，/>0,即函數(shù)/(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增；當(dāng)x<0時，

y<o,即函數(shù)/(X)在(—8,0)上單調(diào)遞減；又y=12/20,函數(shù)在(—8,+8)上為凹,

應(yīng)選D.

16.【答案】A

【解析】由題可知：J/(x)公=/(尤)+。，那么

J/(x-i)dx-jf(x-l)d(x-1)=F(x-1)+C,應(yīng)選A.

17.【答案】C

【解析】考查變限函數(shù)求導(dǎo)f'(x)=(「(e-'+產(chǎn))力['=e-x+x2,應(yīng)選C.

6)

18.【答案】C

【解析】考查定積分奇偶性，令被積函數(shù)/(x)=xe*，又/(-x)=-xe*=-/(x),可知

被積函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，故「/(X心=0,應(yīng)選C.

J-a

19.【答案】C

【解析】由題意可得所求平面圖形的面積S=「e-x公=—x)=—=1—eT,故

J0J00

選C.

20.【答案】B

【解析】考查定積分性質(zhì)：當(dāng)xe(l,2)時，3〉x,由定積分保序性可知：

222

x~dx>xdx,HP/>/應(yīng)選B.

1112

21.【答案】叱

^={o,l,o}+{o,o,l}={o,l,l}cosa=。=0

【解析】向量a，方向余弦為

cos/3=]=J_,cos/=]=1,那么a,P>了分別為匕1t故

Vi2+i2V2Vi2+i2Q244

選D.

22.【答案】A

【解析】因為e-x是該微分方程的一個解，故e-,滿足該微分方程,,令y-e~x,那么

y=—ef,y'=eT,代入該微分方程有eT—3aeT+2er=0,且有e-'HO,那么有

1-3?+2=0,解得a=1,應(yīng)選A.

23.【答案】B

【解析】對于B選項，/=xye*-/，別離變量得丹=xe'dx，故y'=孫/?或是可別離

變量的微分方程，選項A.C,D均不可進行別離變量，應(yīng)選B.24.【答案】C

【解析】g=3f+y2興Z=0(31+力

dxdxdyQy

Mon

=2y,應(yīng)選

C.

25.【答案】B

【解析】設(shè)水箱的長、寬、高分別為??x??y??z又有蓋長方體水箱表面積為

2孫+2yz+Zxz=54,也即為孫+yz+*=27,水箱體積為V=xyz,目標(biāo)函數(shù)為:

(乙=yz+/(y+z)

.凡=xz+A,(x+z)

F(x,y,z)=xyz+A(xy+yz+xz-27)，解得：x=3,

Z7=xy+〃y+x)

FA=xy+yz+XZ-21

y=3,z=3,由于駐點(3,3,3)唯一，且實際問題中駐點唯一必有最值，故當(dāng)尤=3,

y=3,z=3時這個長方體水箱的體積最大，最大值為丫=肛2=27,應(yīng)選B.

26.【答案】1)

3

【解析】由二重積分的性質(zhì)可知："4必由=4"公力=4品=4?%=3乃，應(yīng)選D.

DD

27.【答案】A

【解析】由題意知積分區(qū)域D為：04x41,OWyWx,也可表示為：OWyWl,

11

y<x<\,故交換積分次序后,應(yīng)選A.

28.【答案】B

【解析】由兩點可求得L的方程為：y=島,0<x<l,y'=B

cis=Jl+(y，)2dx=J1+(S')1dx,那么

0Io

力），26=￡（瓜）21+（3）2公=,3—.2公=2/|=2,應(yīng)選B.

L【答案】A

00]00|

【解析】A選項：Z—為調(diào)和級數(shù)，發(fā)散；B選項：Z（—l）“萬為交錯級數(shù)，條件收斂；C

〃n=l?r=l

三中〃=2>1時的p-級數(shù)，絕對收斂：DgI

選項:ZS產(chǎn)為交錯級數(shù)，由

〃=1〃

選項C知其收斂，應(yīng)選A.

30.【答案】C

【解析】A選項：lim，，“=0是X””收斂的必要條件，不是充分條件，故A選項錯誤，B選

項：沒有說明為正項級數(shù)，不正確，D選項：假設(shè)x4“收斂，那么收斂，反之不

//=!?=1〃=1

然，應(yīng)選C.

二、填空題（每題2分，共20分）31.

【答案】3x7~

【解析】令y=/。）=/,x=方，故/（%）的反函數(shù)為y=亞.

32.【答案】-

2

1」I

【解析】lim"1=lim_[=

182〃+1”一。02十12

n

33.【答案】可去

【解析】lim/(x)=lim/(x)=lim/(x)=lim(2-x)=2,且/(0)=1,左極限等于右極

x->0+A-?0Xf0

限，故x=0是/（x）的可去間斷點.

34.【答案】1.01

【解析】取4=1,Av=—0.01,有

，

/(x0+Ax)=/(0.99)?f(x0)+/(x0)Ar=l-l(-O.Ol)=1.01.

【答案】一cos(x+l)+C

【解析】jsin(x+l)dr=jsin(x+1)J(x+1)=-cos(x+l)+C.

36.【答案】ln2

fl1fl11

【解析】Jdx=^+=lnp;+l||=In2-0=In2.

°x+l°x+l1”。

37.【答案】dx-2dy

Qzdz

【解析】=y-2x,x-2y,故dz_Szdx+上dy-dx-2dy.

(0.1)一瓦

dx(0.1)辦

ay(0,1)

38.【答案】121

I-J，I

1333J

222

2+l+2=3,故與向量“響向平行得的單位向【解析】設(shè)該向量為a,a=

量為

212

9

39.【答案】y=

,dy1

c2+C/

【解析】方程別離變量得2xdx,兩邊同時積分得=+C,,整理得:

-ry2

2

>=「一，其中c為任意常數(shù).

/+C

40.【答案】3

【解析】夕故收斂半徑R=J_=3.

"T8an-?oo3'"i13P

三、計算題（每題5分，共50分）

2

2

【解析】lim（l-x），=lim[1+（-x）[；㈠）=e-

A->0XTO

42.【解析】,

1_i'1」sinx

2COS

y=L（2-cos）2J=2（-）-（2-COSX）=-（2-cos）2-sinx=^=—.

2lnx-121nx112

43［解析］j-----l——公=j-----tix-J妝=j21nxdlnx-j祈=lnx-Inx+C.

44.【解析】txsinx公=-|*xdcosx=-xcosxp~+J"cosx6tx=0+sinx1=1.

“（）*010

—>—>

zj

I/3=11{-1,2,-1}{1,-2,1}2

45.【解析】設(shè)直線的方向向量為S,那么||,又所求直線

s357

與直線/平行，故可取直線/的方向向量做為所求直線的方向向量，又所求直線過點A

（0,1,2）,那么所求直線方程為：*=?—2=z-2.

1-21

46.【解析】F（x,y,z）=xz-x+y,那么F=z-l；F=-z+l；F=x-y；因此,

*yz

dzFl-zdzFz-l,'zdxJ?dv-1一zz-1,

dxF'x~y?F_x~y=bxdyx-yx-y

22

47.【解析】令%=rcos。，y=rsinO,那^4-x-ydxdy=「呵"74-~P?rdr

么17