高中數(shù)學(xué)-必修二第四章-圓與方程復(fù)習(xí)

第四章圓與方程1.圓的定義：平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合〔軌跡〕叫做圓，定點(diǎn)叫做圓心，定長叫做圓的半徑.2.圓的方程〔1〕標(biāo)準(zhǔn)方程：以〔a,b〕為圓心，r〔r>0〕為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x-a)2+(y-b)2=r2〔2〕一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0.當(dāng)D2+E2-4F>0時(shí)，表示圓的一般方程，其圓心的坐標(biāo)為半徑當(dāng)D2+E2-4F=0時(shí)，只表示一個(gè)點(diǎn)當(dāng)D2+E2-4F<0時(shí)，不表示任何圖形.例1求圓心為點(diǎn)C(8，-3)，且過點(diǎn)A(5，1)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

半徑

所以所求的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

(x-8)2+(y+3)2=25.【典例精析】例2假設(shè)半徑為5且圓心在y軸上的圓與x軸相切，求圓的方程。設(shè)圓心為〔0，b〕，由題意，那么圓的方程為x2+(y-b)2=b2.因?yàn)榘霃綖?.所以b2=25,b=±5.故圓的方程為x2+y2+10y=0或x2+y2-10y=0.

易錯(cuò)點(diǎn)：圓心的位置可能在y軸上半軸或下半軸.直線與圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法:一般地,直線Ax+By+C=0(A,B不同時(shí)為零)和圓(x-a)2+(y-b)2=r2,那么圓心(a,b)到此直線的距離為d<rd=rd>rd與r2個(gè)1個(gè)0個(gè)交點(diǎn)個(gè)數(shù)圖形相交相切相離位置rdrdrd畫板那么3.直線x+2y-1=0和圓x2-2x+y2-y+1=0的位置是________相交1.直線x+y-2=0與圓x2+y2=2的位置關(guān)系為________相切2.直線x-y-2=0與圓(x-1)2+(y-1)2=1的位置關(guān)系為________相離畫板練習(xí)：直線與圓的位置關(guān)系判斷方法：一、幾何方法。主要步驟：利用點(diǎn)到直線的距離公式求圓心到直線的距離作判斷:當(dāng)d>r時(shí)，直線與圓相離；當(dāng)d=r時(shí)，直線與圓相切;當(dāng)d<r時(shí)，直線與圓相交把直線方程化為一般式,利用圓的方程求出圓心和半徑方法總結(jié)一：把直線方程與圓的方程聯(lián)立成方程組求出其Δ的值比較Δ與0的大小:當(dāng)Δ<0時(shí),直線與圓相離；當(dāng)Δ=0時(shí),直線與圓相切;當(dāng)Δ>0時(shí),直線與圓相交。二、代數(shù)方法。主要步驟：利用消元法，得到關(guān)于另一個(gè)元的一元二次方程xyO

當(dāng)-2<b<2時(shí)，⊿>0,直線與圓相交；當(dāng)b=2或b=-2時(shí),⊿=0,直線與圓相切；當(dāng)b>2或b<-2時(shí)，⊿<0，直線與圓相離。解法一(利用△)：解方程組消去y得：2x2+2bx+b2-4=0①

方程①的判別式⊿=(2b)2-4×2(b2-4)=4(2+b)(2-b).

解法二(利用d與r的關(guān)系)：圓x2+y2=4的圓心為〔0，0〕,半徑為r=2圓心到直線的距離為xyO

（3）當(dāng)b>2或b<-2時(shí)，d>r，直線與圓相離。（1）當(dāng)-2<b<2時(shí)，d<r,直線與圓相交，（2）當(dāng)b=2或b=-2時(shí),d=r,直線與圓相切；求圓的弦長方法〔1〕幾何法：用弦心距，半徑及半弦構(gòu)成直角三角形的三邊〔2〕代數(shù)法：求交點(diǎn)或韋達(dá)定理〔1〕幾何法：用弦心距，半徑及半弦構(gòu)成直角三角形的三邊〔2〕代數(shù)法：用弦長公式方法總結(jié)二：例3直線y=x+1與圓x2+y2=4相交于A,B兩點(diǎn)，求弦長|AB|的值解法一：〔求出交點(diǎn)利用兩點(diǎn)間距離公式〕xyOAB直線與圓相交---求弦長

解法二：〔弦長公式〕例3直線y=x+1與圓x2+y2=4相交于A,B兩點(diǎn)，求弦長|AB|的值.直線與圓相交---求弦長

xyOAB解法三：(解弦心距,半弦及半徑構(gòu)成的直角三角形)設(shè)圓心O(0，0)到直線的距離為d,那么例3直線y=x+1與圓x2+y2=4相交于A,B兩點(diǎn)，求弦長|AB|的值.直線與圓相交---求弦長

xyOABrd

圓與圓的位置關(guān)系直線和圓的位置關(guān)系幾何方法代數(shù)方法圓和圓的位置關(guān)系幾何方法代數(shù)方法類比猜測外離圓和圓的五種位置關(guān)系|O1O2|>|R+r||O1O2|=|R+r||R-r|<|O1O2|<|R+r||O1O2|=|R-r|0≤|O1O2|<|R-r||O1O2|=0外切相交內(nèi)切內(nèi)含同心圓(一種特殊的內(nèi)含)rRO1O2rRO1O2rRO1O2rRO1O2rRO1O2rRO1O2判斷兩圓位置關(guān)系幾何方法兩圓心坐標(biāo)及半徑〔配方法〕圓心距d〔兩點(diǎn)間距離公式〕比較d和r1，r2的大小，下結(jié)論外離d>R+rd=R+rR-r<d<R+rd=R-r0≤d<R-r外切相交內(nèi)切內(nèi)含結(jié)合圖形記憶練習(xí)判斷C1和C2的位置關(guān)系反思幾何方法兩圓心坐標(biāo)及半徑〔配方法〕圓心距d〔兩點(diǎn)間距離公式〕比較d和r1，r2的大小，下結(jié)論代數(shù)方法？判斷C1和C2的位置關(guān)系判斷C1和C2的位置關(guān)系解：聯(lián)立兩個(gè)方程組得①-②得把上式代入①①②④所以方程④有兩個(gè)不相等的實(shí)根x1，x2把x1，x2代入方程③得到y(tǒng)1，y2③所以圓C1與圓C2有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)聯(lián)立方程組消去二次項(xiàng)消元得一元二次方程用Δ判斷兩的位置關(guān)系在方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2中，假設(shè)圓心(a,b)為定點(diǎn)，r為參變數(shù)，那么它表示同心圓的圓系方程．假設(shè)r是常量，a〔或b〕為參變數(shù)，那么它表示半徑相同，圓心在同一直線上〔平行于x軸或y軸〕的圓系方程．經(jīng)過兩圓x^2+y^2+D1x+E1y+F1=0與x^2+y^2+D2x+E2y+F2=0的交點(diǎn)圓系方程為：x^2+y^2+D1x+E1y+F1+λ(x^2+y^2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)經(jīng)過直線Ax+By+C=0與圓x^2+y^2+Dx+Ey+F