2024年全國統(tǒng)一考試高考新課標Ⅱ卷數學試題（真題+答案）

2024年全國統(tǒng)一考試高考新課標Ⅱ卷數學試題一、單選題1．已知，則（

）A．0 B．1 C． D．22．已知命題p：，；命題q：，，則（

）A．p和q都是真命題 B．和q都是真命題C．p和都是真命題 D．和都是真命題3．已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．14．某農業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產量（均在之間，單位：kg）并部分整理下表畝產量[900，950）[950，1000）[1000，1050）[1100，1150）[1150，1200）頻數612182410據表中數據，結論中正確的是（

）A．100塊稻田畝產量的中位數小于1050kgB．100塊稻田中畝產量低于1100kg的稻田所占比例超過80%C．100塊稻田畝產量的極差介于200kg至300kg之間D．100塊稻田畝產量的平均值介于900kg至1000kg之間5．已知曲線C：（），從C上任意一點P向x軸作垂線段，為垂足，則線段的中點M的軌跡方程為（

）A．（） B．（）C．（） D．（）6．設函數，，當時，曲線與恰有一個交點，則（

）A． B． C．1 D．27．已知正三棱臺的體積為，，，則與平面ABC所成角的正切值為（

）A． B．1 C．2 D．38．設函數，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．1二、多選題9．對于函數和，下列說法正確的有（

）A．與有相同的零點 B．與有相同的最大值C．與有相同的最小正周期 D．與的圖像有相同的對稱軸10．拋物線C：的準線為l，P為C上的動點，過P作的一條切線，Q為切點，過P作l的垂線，垂足為B，則（

）A．l與相切B．當P，A，B三點共線時，C．當時，D．滿足的點有且僅有2個11．設函數，則（

）A．當時，有三個零點B．當時，是的極大值點C．存在a，b，使得為曲線的對稱軸D．存在a，使得點為曲線的對稱中心三、填空題12．記為等差數列的前n項和，若，，則.13．已知為第一象限角，為第三象限角，，，則.14．在如圖的4×4方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中，則共有種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個數之和的最大值是．四、解答題15．記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求A．(2)若，，求的周長．16．已知函數．(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)若有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍．17．如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點E，F滿足，，將沿EF對折至△PEF，使得．(1)證明：；(2)求面PCD與面PBF所成的二面角的正弦值．18．某投籃比賽分為兩個階段，每個參賽隊由兩名隊員組成，比賽具體規(guī)則如下：第一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次，若3次都未投中，則該隊被淘汰，比賽成員為0分；若至少投中一次，則該隊進入第二階段，由該隊的另一名隊員投籃3次，每次投中得5分，未投中得0分.該隊的比賽成績?yōu)榈诙A段的得分總和．某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成，設甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨立．(1)若，，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率．(2)假設，（i）為使得甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率最大，應該由誰參加第一階段比賽？（ii）為使得甲、乙，所在隊的比賽成績的數學期望最大，應該由誰參加第一階段比賽？19．已知雙曲線，點在上，為常數，．按照如下方式依次構造點，過作斜率為的直線與的左支交于點，令為關于軸的對稱點，記的坐標為.(1)若，求；(2)證明：數列是公比為的等比數列；(3)設為的面積，證明：對任意的正整數，.

2024年新課標全國Ⅱ卷數學真題一、單選題1．已知，則（

）A．0 B．1 C． D．2【答案】C【解析】若，則.故選C.2．已知命題p：，；命題q：，，則（

）A．p和q都是真命題 B．和q都是真命題C．p和都是真命題 D．和都是真命題【答案】B【解析】對于而言，取，則有，故是假命題，是真命題，對于而言，取，則有，故是真命題，是假命題，綜上，和都是真命題.故選B.3．已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】由得，結合，得，由此即可得解.【解析】因為，所以，即，又因為，所以，從而.故選B.4．某農業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產量（均在之間，單位：kg）并部分整理下表畝產量[900，950）[950，1000）[1000，1050）[1100，1150）[1150，1200）頻數612182410據表中數據，結論中正確的是（

）A．100塊稻田畝產量的中位數小于1050kgB．100塊稻田中畝產量低于1100kg的稻田所占比例超過80%C．100塊稻田畝產量的極差介于200kg至300kg之間D．100塊稻田畝產量的平均值介于900kg至1000kg之間【答案】C【分析】計算出前三段頻數即可判斷A；計算出低于1100kg的頻數，再計算比例即可判斷B；根據極差計算方法即可判斷C；根據平均值計算公式即可判斷D.【解析】A,根據頻數分布表可知,,所以畝產量的中位數不小于,A錯誤；B，畝產量不低于的頻數為，因此低于的稻田占比為，B錯誤；C，稻田畝產量的極差最大為，最小為，C正確；D，根據頻數分布表可得，畝產量在的頻數為，所以平均值為，D錯誤.故選C.5．已知曲線C：（），從C上任意一點P向x軸作垂線段，為垂足，則線段的中點M的軌跡方程為（

）A．（） B．（）C．（） D．（）【答案】A【分析】設點，由題意，根據中點的坐標表示可得，代入圓的方程即可求解.【解析】設點，則，因為為的中點，所以，即，又在圓上所以，即，即點的軌跡方程為.故選A.6．設函數，，當時，曲線與恰有一個交點，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】解法一：令，分析可知曲線與恰有一個交點，結合偶函數的對稱性可知該交點只能在y軸上，即可得，并代入檢驗即可；解法二：令，可知為偶函數，根據偶函數的對稱性可知的零點只能為0，即可得，并代入檢驗即可.【解析】解法一：令，即，可得，令，原題意等價于當時，曲線與恰有一個交點，注意到均為偶函數，可知該交點只能在y軸上，可得，即，解得，若，令，可得因為，則，當且僅當時，等號成立，可得，當且僅當時，等號成立，則方程有且僅有一個實根0，即曲線與恰有一個交點，所以正確；綜上所述：.解法二：令，原題意等價于有且僅有一個零點，因為，則為偶函數，由偶函數的對稱性可知的零點只能為0，即，解得，若，則，又因為當且僅當時，等號成立，可得，當且僅當時，等號成立，即有且僅有一個零點0，所以正確；故選D.7．已知正三棱臺的體積為，，，則與平面ABC所成角的正切值為（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】解法一：根據臺體的體積公式可得三棱臺的高，做輔助線，結合正三棱臺的結構特征求得，進而根據線面夾角的定義分析求解；解法二：將正三棱臺補成正三棱錐，與平面ABC所成角即為與平面ABC所成角，根據比例關系可得，進而可求正三棱錐的高，即可得結果.【解析】解法一：分別取的中點，則，可知，設正三棱臺的為，則，解得，如圖，分別過作底面垂線，垂足為，設，則，，可得，結合等腰梯形可得,即，解得，所以A1A與平面ABC所成角的正切值為解法二：將正三棱臺補成正三棱錐，則與平面ABC所成角即為與平面ABC所成角，因為，則，可知，則，設正三棱錐的高為，則，得，取底面ABC的中心為，則PO⊥底面ABC，且，所以與平面ABC所成角的正切值.故選B.8．設函數，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】解法一：根據題意可知：的定義域為，分類討論與的大小關系，結合符號分析判斷，即可得，代入可得最值；解法二：根據對數函數的性質分析的符號，進而可得的符號，即可得，代入可得最值.【詳解】解法一：根據題意可知：的定義域為，令解得；令解得；若，當時，可知，此時，錯誤；若，當時，可知，此時，錯誤；若，當時，可知，此時；當時，可知，此時；可知若，正確；若，當時，可知，此時，錯誤；綜上所述：，即，則，當且僅當時，等號成立，所以的最小值為；解法二：根據題意可知：的定義域為，令解得；令解得；則當時，，故，所以；時，，故，所以；故，則，當且僅當時，等號成立，所以的最小值為.故選C.二、多選題9．對于函數和，下列說法正確的有（

）A．與有相同的零點 B．與有相同的最大值C．與有相同的最小正周期 D．與的圖像有相同的對稱軸【答案】BC【分析】由正弦函數的零點，最值，周期公式，對稱軸方程逐一分析每個選項即可.【解析】A令，解得，即為零點，令，解得，即為零點，顯然零點不同，A錯誤；B顯然，B正確；C由周期公式，的周期均為，C正確；D由正弦函數的性質的對稱軸滿足，的對稱軸滿足，顯然圖像的對稱軸不同，D錯誤.故選BC。10．拋物線C：的準線為l，P為C上的動點，過P作的一條切線，Q為切點，過P作l的垂線，垂足為B，則（

）A．l與相切B．當P，A，B三點共線時，C．當時，D．滿足的點有且僅有2個【答案】ABD【分析】A、拋物線準線為，根據圓心到準線的距離來判斷；B、三點共線時，先求出的坐標，進而得出切線長；C、根據先算出的坐標，然后驗證是否成立；D、根據拋物線的定義，，于是問題轉化成的點的存在性問題，此時考察的中垂線和拋物線的交點個數即可，亦可直接設點坐標進行求解.【解析】A拋物線的準線為，的圓心到直線的距離顯然是，等于圓的半徑，故準線和相切，A正確；B三點共線時，即，則的縱坐標，由，得到，故，此時切線長，B正確；C當時，，此時，故或，當時，，，，不滿足；當時，，，，不滿足；于是不成立，C錯誤；D方法一：利用拋物線定義轉化由拋物線的定義，，這里，于是時點的存在性問題轉化成時點的存在性問題，，中點，中垂線的斜率為，于是的中垂線方程為：，與拋物線聯立可得，，即的中垂線和拋物線有兩個交點，即存在兩個點，使得，D正確.方法二：（設點直接求解）設，由可得，又，又，根據兩點間的距離公式，，整理得，，則關于的方程有兩個解，即存在兩個這樣的點，D正確.故選ABD。11．設函數，則（

）A．當時，有三個零點B．當時，是的極大值點C．存在a，b，使得為曲線的對稱軸D．存在a，使得點為曲線的對稱中心【答案】AD【分析】A、先分析出函數的極值點為，根據零點存在定理和極值的符號判斷出在上各有一個零點；B、根據極值和導函數符號的關系進行分析；C、假設存在這樣的，使得為的對稱軸，則為恒等式，據此計算判斷；D、若存在這樣的，使得為的對稱中心，則，據此進行計算判斷，亦可利用拐點結論直接求解.【解析】A，由于，故時，故在上單調遞增，時，，單調遞減，則在處取到極大值，在處取到極小值，由，，則，根據零點存在定理在上有一個零點，又，，則，則在上各有一個零點，于是時，有三個零點，A正確；B，時，，單調遞減，時，單調遞增，此時在處取到極小值，B錯誤；C假設存在這樣的，使得為的對稱軸，即存在這樣的使得，即，由二項式定理，等式右邊展開式含有的項為，于是等式左右兩邊的系數都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在這樣的，使得為的對稱軸，C錯誤；D方法一：利用對稱中心的表達式化簡，若存在這樣的，使得為的對稱中心，則，事實，于是即，解得，即存在使得是的對稱中心，D正確.方法二：直接利用拐點結論任何三次函數都有對稱中心，對稱中心的橫坐標是二階導數的零點，，，，由，于是該三次函數的對稱中心為，由題意也是對稱中心，故，即存在使得是的對稱中心，D正確.故選：AD三、填空題12．記為等差數列的前n項和，若，，則.【答案】95【解析】因為數列為等差數列，由題意得，解得，則.答案為：.13．已知為第一象限角，為第三象限角，，，則.【答案】【分析】法一：根據兩角和與差的正切公式得，再縮小的范圍，最后結合同角的平方和關系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【解析】法一：由題意得，因為，，則，，又因為，則，，則，則，聯立，解得.法二：因為為第一象限角，為第三象限角，則,，，則答案為：.14．在如圖的4×4方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中，則共有種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個數之和的最大值是．【答案】24112【分析】由題意可知第一、二、三、四列分別有4、3、2、1個方格可選；利用列舉法寫出所有的可能結果，即可求解.【詳解】根據題意知，選4個方格，每行和每列均恰有一個方格被選中，則第一列有4個方格可選，第二列有3個方格可選，第三列有2個方格可選，第四列有1個方格可選，所以共有種選法；每種選法可標記為，分別表示第一、二、三、四列的數字，則所有的可能結果為：，，，，所以選中的方格中，的4個數之和最大，為.答案為：24；112四、解答題15．記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求A．(2)若，，求的周長．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據輔助角公式對條件進行化簡處理即可求解，常規(guī)方法還可利用同角三角函數的關系解方程組，亦可利用導數，向量數量積公式，萬能公式解決；（2）先根據正弦定理邊角互化算出，然后根據正弦定理算出即可得出周長.【解析】（1）方法一：常規(guī)方法（輔助角公式）由可得，即，由于，故，解得方法二：常規(guī)方法（同角三角函數的基本關系）由，又，消去得到：，解得，又，故方法三：利用極值點求解設，則，顯然時，，注意到，，在開區(qū)間上取到最大值，于是必定是極值點，即，即，又，故方法四：利用向量數量積公式（柯西不等式）設，根據題意，，根據向量的數量積公式，，則，此時，即同向共線，根據向量共線條件，，又，故方法五：利用萬能公式求解設，根據萬能公式，，整理可得，，解得，根據二倍角公式，，又，故（2）由題設條件和正弦定理，又，則，進而，得到，于是，，根據正弦定理可得，，即，解得，故的周長為16．已知函數．(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)若有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）求導，結合導數的幾何意義求切線方程；（2）解法一：求導，分析和兩種情況，利用導數判斷單調性和極值，分析可得，構建函數解不等式即可；解法二：求導，可知有零點，可得，進而利用導數求的單調性和極值，分析可得，構建函數解不等式即可.【解析】（1）當時，則，，可得，，即切點坐標為，切線斜率，所以切線方程為，即.（2）解法一：因為的定義域為，且，若，則對任意恒成立，可知在上單調遞增，無極值，錯誤；若，令，解得；令，解得；可知在內單調遞減，在內單調遞增，則有極小值，無極大值，由題意可得：，即，構建，則，可知在內單調遞增，且，不等式等價于，解得，所以a的取值范圍為；解法二：因為的定義域為，且，若有極小值，則有零點，令，可得，可知與有交點，則，若，令，解得；令，解得；可知在內單調遞減，在內單調遞增，則有極小值，無極大值，正確，根據題意可得：，即，構建，因為則在內單調遞增，可知在內單調遞增，且，不等式等價于，解得，所以a的取值范圍為.17．如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點E，F滿足，，將沿EF對折至△PEF，使得．(1)證明：；(2)求面PCD與面PBF所成的二面角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據余弦定理求得，利用勾股定理的逆定理可證得，則，結合線面垂直的判定定理與性質即可證明；（2）由（1），根據線面垂直的判定定理與性質可證明，建立如圖空間直角坐標系，利用空間向量法求解面面角即可.【解析】（1）由，得，又，在中，根據余弦定理得,所以，則，即，所以，又平面，所以平面，又平面，故；（2）連接，由，則，在中，，得，所以，由（1）知，又平面，所以平面，又平面，所以，則兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標系，則，由是的中點，得，所以，設平面和平面的一個法向量分別為，則，，令，得，所以，所以，設平面和平面所成角為，則，即平面和平面所成角的正弦值為.18．某投籃比賽分為兩個階段，每個參賽隊由兩名隊員組成，比賽具體規(guī)則如下：第一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次，若3次都未投中，則該隊被淘汰，比賽成員為0分；若至少投中一次，則該隊進入第二階段，由該隊的另一名隊員投籃3次，每次投中得5分，未投中得0分.該隊的比賽成績?yōu)榈诙A段的得分總和．某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成，設甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨立．(1)若，，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分的概率．(2)假設，（i）為使得甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率最大，應該由誰參加第一階段比賽？（ii）為使得甲、乙，所在隊的比賽成績的數學期望最大，應該由誰參加第一階段比賽？【答案】(1)(2)（i）由甲參加第一階段比賽；（i）由甲參加第一階段比賽；【分析】（1）根據對立事件的求法和獨立事件的乘法公式即可得到答案；（2）（i）首先各自計算出，，再作差因式分解即可判斷；(ii)首先得到和的所有可能取值，再按步驟列出分布列，計算出各自期望，再次作差比較大小即可.【解析】（1）甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分，則甲第一階段至少投中1次，乙第二階段也至少投中1次，比賽成績不少于5分的概率.（2）（i）若甲先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率為，若乙先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?