高考數(shù)學（理）一輪復習課時訓練第6章數(shù)列27

【課時訓練】第27節(jié)數(shù)列的概念與簡單表示法一、選擇題1．(2018四川涼山診斷)數(shù)列{an}滿足an＋an＋1＝eq\f(1,2)(n∈N*)，a2＝2，Sn是數(shù)列{an}的前n項和，則S21為()A．5 B．eq\f(7,2)C．eq\f(9,2) D．eq\f(13,2)【答案】B【解析】∵an＋an＋1＝eq\f(1,2)，a2＝2，∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，n為奇數(shù)，,2，n為偶數(shù).))∴S21＝11×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＋10×2＝eq\f(7,2).2．(2018南昌模擬)在數(shù)列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，則eq\f(a3,a5)的值是()A.eq\f(15,16) B．eq\f(15,8)C．eq\f(3,4) D．eq\f(3,8)【答案】C【解析】由已知得a2＝1＋(－1)2＝2，∴2a3＝2＋(－1)3，a3＝eq\f(1,2)，∴eq\f(1,2)a4＝eq\f(1,2)＋(－1)4，a4＝3，∴3a5＝3＋(－1)5，∴a5＝eq\f(2,3)，∴eq\f(a3,a5)＝eq\f(1,2)×eq\f(3,2)＝eq\f(3,4).3．(2018江西撫州七校聯(lián)考)設an＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋eq\f(1,n＋3)＋…＋eq\f(1,2n)(n∈N*)，那么an＋1－an＝()A.eq\f(1,2n＋1) B．eq\f(1,2n＋2)C.eq\f(1,2n＋1)＋eq\f(1,2n＋2) D．eq\f(1,2n＋1)－eq\f(1,2n＋2)【答案】D【解析】∵an＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋eq\f(1,n＋3)＋…＋eq\f(1,n＋n－1)＋eq\f(1,n＋n)，n∈N*，∴an＋1＝eq\f(1,n＋2)＋eq\f(1,n＋3)＋…＋eq\f(1,n＋1＋n－1)＋eq\f(1,n＋1＋n)＋eq\f(1,n＋1＋n＋1)，n∈N*，故an＋1－an＝eq\f(1,2n＋1)＋eq\f(1,2n＋2)－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(1,2n＋1)－eq\f(1,2n＋2).4．(2018河北石家莊二中調研)已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝eq\f(1,2n－15)，則其最大項和最小項分別為()A．1，－eq\f(1,7) B．0，－eq\f(1,7)C.eq\f(1,7)，－eq\f(1,7) D．1，－eq\f(1,11)【答案】A【解析】由題意知a1＝－eq\f(1,13)，a2＝－eq\f(1,11)，a3＝－eq\f(1,7)，a4＝1，則當n≥4時，an＞0.又當n≥5時，an－an－1＝eq\f(1,2n－15)－eq\f(1,2n－1－15)＝eq\f(－2n－1,2n－152n－1－15)＜0，所以an＜an－1，于是數(shù)列{an}的最大項為1，最小項為－eq\f(1,7).5．(2018浙江湖州模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2an－1，則滿足eq\f(an,n)≤2的正整數(shù)n的集合為()A．{1,2,3} B．{2,3,4}C．{1,2,3,4} D．{1,2,3,4,5}【答案】C【解析】因為Sn＝2an－1，所以當n≥2時，Sn－1＝2an－1－1，兩式相減得an＝2an－2an－1，整理得an＝2an－1.又a1＝2a1－1，所以a1＝1，故an＝2n－1.又eq\f(an,n)≤2，即2n－1≤2n，所以有n∈{1,2,3,4}．6．(2019河南信陽調研)已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝eq\f(1＋an,1－an)(n∈N*)，則a2018的值為()A．－8 B．－3C．－4 D．eq\f(1,3)【答案】B【解析】由a1＝2，an＋1＝eq\f(1＋an,1－an)(n∈N*)得，a2＝－3，a3＝－eq\f(1,2)，a4＝eq\f(1,3)，a5＝2，可見數(shù)列{an}的周期為4，所以a2018＝a504×4＋2＝a2＝－3.7．(2018廣西南寧模擬)已知數(shù)列{an}與{bn}的通項公式分別為an＝－n2＋4n＋5，bn＝n2＋(2－a)n－2a.若對任意正整數(shù)n，an＜0或bn＜0，則a的取值范圍為()A．(5，＋∞) B．(－∞，5)C．(6，＋∞) D．(－∞，6)【答案】A【解析】由an＝－n2＋4n＋5＝－(n＋1)(n－5)可知，當n＞5時，an＜0.由bn＝n2＋(2－a)n－2a＝(n＋2)(n－a)＜0及已知易知－2＜n＜a，為使當0＜n≤5時，bn＜0，只需a＞5.故選A.8．(2018保定調研)在數(shù)列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，則其通項公式an＝()A．2n－1 B．2n－1＋1C．2n－1 D．2(n－1)【答案】A【解析】由an＋1＝2an＋1，可求a2＝3，a3＝7，a4＝15，…，驗證可知an＝2n－1.9．(2018寧夏銀川模擬)若數(shù)列{an}滿足(n－1)an＝(n＋1)an－1(n≥2)且a1＝2，則滿足不等式an＜462的最大正整數(shù)n為()A．19 B．20C．21 D．22【答案】B【解析】由(n－1)an＝(n＋1)an－1得，eq\f(an,an－1)＝eq\f(n＋1,n－1)，則an＝a1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,a1)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a3,a2)))×…×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(an,an－1)))＝2×eq\f(3,1)×eq\f(4,2)×…×eq\f(n＋1,n－1)＝n(n＋1)．又an＜462，即n(n＋1)＜462，所以n2＋n－462＜0，即(n－21)(n＋22)＜0，因為n＞0，所以n＜21.故所求的最大正整數(shù)n＝20.二、填空題10．(2018湖北八校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的通項公式an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2·3n－1n為偶數(shù)，,2n－5n為奇數(shù)，))則a3a4＝________.【答案】54【解析】由題意知，a3＝2×3－5＝1，a4＝2×34－1＝54，∴a3a4＝54.11．(2018濰坊模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝eq\f(1,3)an＋eq\f(2,3)，則{an}的通項公式an＝________.【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n－1【解析】當n＝1時，a1＝S1＝eq\f(1,3)a1＋eq\f(2,3)，∴a1＝1;當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(1,3)an－eq\f(1,3)an－1，∴eq\f(an,an－1)＝－eq\f(1,2).∴數(shù)列{an}是首項a1＝1，公比q＝－eq\f(1,2)的等比數(shù)列，故an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))n－1.三、解答題12．(2018安徽淮南第四次考試)已知數(shù)列{an}，{bn}，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且滿足a2＝4b1，Sn＝2an－2，nbn＋1－(n＋1)bn＝n3＋n2(n∈N*)．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)求數(shù)列{bn}的通項公式．【解】(1)當n＝1時，S1＝2a1－2，則a1＝2.當n≥2時，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Sn＝2an－2，,Sn－1＝2an－1－2))得an＝2an－2an－1，則an＝2an－1，n≥2.綜上，數(shù)列{an}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，故an＝2n，n∈N*.(2)∵a2＝4b1＝4，∴b1＝1.∵nbn＋1－(n＋1)bn＝n3＋n2，∴eq\f(bn＋1,n＋1)－eq\f(bn,n)＝n，故eq\f(bn,n)－eq\f(bn－1,n－1)＝n－1，…，eq\f(b3,3)－eq\f(b2,2)＝2，eq\f(b2,2)－eq\f(b1,1)＝1，n≥2，將上面各式累加得eq\f(bn,n)－eq\f(b1,1)＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＝eq\f(nn－1,2)，∴bn＝eq\f(n3－n2＋2n,2)，n∈N*.13．(2018福建清流一中模擬)設數(shù)列{an}的前n項和為Sn.已知a1＝a(a∈R且a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*.(1)設bn＝Sn－3n，求數(shù)列{bn}的通項公式；(2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范圍．【解】(1)由題意知，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，即Sn＋1＝2Sn＋3n，由此得Sn＋1－3n＋1＝2Sn＋3n－3n＋1＝2(Sn－3n)，又S1－31＝a－3(a≠3)，故數(shù)列{Sn－3n}是首項為a－3，公比為2的等比數(shù)列，因此，所求通項公式為bn＝Sn－3n＝(a－3)2n－1，n∈N*.(2)由(1)知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N*，于是，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，所以an＋1－an