上海市2023年各地區(qū)高考數(shù)學(xué)模擬（二模）試題匯編（16套）-05解答題提升題②

上海市2023年各地區(qū)高考數(shù)學(xué)模擬(二模)試題按題型難易度

分層分類匯編(16套)-05解答題提升題②

【考點(diǎn)目錄】

函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用(共1小題).............................................1

一-H四.線性回歸方程(共1小題).................................................8

三.數(shù)列遞推式(共I小題)......................................................14

四.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(共2小題)........................................16

五.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值(共2小題)..........................................19

六.利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程(共1小題)...................................22

九.橢圓的性質(zhì)(共1小題)......................................................27

一十.直線與橢圓的綜合(共2小題)..............................................29

一十三.離散型隨機(jī)變量的期望與方差(共2小題)...................................45

一十四.線性回歸方程(共1小題)................................................48

.

【專題練習(xí)】

一.函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用(共1小題)

1.(2023?黃浦區(qū)二模)三個(gè)互不相同的函數(shù)y=∕(x),y=g(x)與y=∕z(x)在區(qū)間。上恒

有f(x)≡ι(x)g(x)或恒有/(x)釉(x)g(x),則稱y=h(x)為y=/(x)與y=g(x)在區(qū)間。上

的“分割函數(shù)”.

(1)設(shè)∕z1(x)=4x,∕z2(x)=X+1,試分別判斷y=九(x)、y=A2(x)是否是y=2x?+2與

)，=-』+4》在區(qū)間(口,北0)上的“分割函數(shù)”，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)求所有的二次函數(shù)y=αr1+cx+d(ακθ)(用4表示c,d),使得該函數(shù)是y=2x?+2

與y=4x在區(qū)間(YO,+∞)上的"分割函數(shù)”；

(3)若［施，,2］,且存在實(shí)數(shù)A,b,使得y=?r+h為y=Y*-4d與y=4/-16

在區(qū)間［加，川上的“分割函數(shù)”，求〃-%的最大值.

二.數(shù)列的求和(共1小題)

2.(2023?嘉定區(qū)二模)已知f(x)=x+2sinx,等差數(shù)列｛α,,｝的前”項(xiàng)和為S.，記

Tl,=∑f(ai).

(=1

(1)求證：函數(shù)y=∕(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(肛乃)中心對(duì)稱；

(2)若4、α2,由是某三角形的三個(gè)內(nèi)角，求7；的取值范圍；

(3)若SIUO=IO(λτ,求證：Z00=IOO/.反之是否成立？并請(qǐng)說(shuō)明理由.

三.數(shù)列遞推式(共1小題)

3.(2023?楊浦區(qū)二模)已知數(shù)列｛4,,｝是由正實(shí)數(shù)組成的無(wú)窮數(shù)列，滿足％=3,%=7,

4,=∣4,*∣-q,+2∣'"WN*.

(1)寫(xiě)出數(shù)列｛4,,｝前4項(xiàng)的所有可能取法；

(2)判斷：是否存在正整數(shù)3滿足4=1,并說(shuō)明理由；

(3)C?“為數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)中不同取值的個(gè)數(shù)，求CK)O的最小值.

四.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(共2小題)

4.(2023?普陀區(qū)二模)已知a、b≡R,設(shè)函數(shù)y=∕(x)的表達(dá)式為/(x)="?χ2-b?∕ar(其

中x>0).

(1)設(shè)α=l,?=0,當(dāng)Ax)〉/時(shí)，求X的取值范圍；

(2)設(shè)α=2,b>4,集合￡)=(0,1],記gCxXZcr-tlceR),若y=g(x)在。上為嚴(yán)

X

格增函數(shù)且對(duì)。上的任意兩個(gè)變量S,f,均有"S)..g(r)成立，求C的取值范圍；

(3)當(dāng)α=0,?<0,x>l時(shí)，記也,(X)=[/")]"，其中〃為正整數(shù).求證：

[?(?)]

[Λl(x)]"+2.也(X)+2".

5.(2023?滁州模擬)已知定義域?yàn)镺的函數(shù)y=∕(x),其導(dǎo)函數(shù)為y'=f'(x),滿足對(duì)任意

的x∈。都有Ir(X)I<1.

(1)若/(x)=Or+/∕tr,x∈[l,2],求實(shí)數(shù)”的取值范圍；

(2)證明：方程/(x)-x=O至多只有一個(gè)實(shí)根；

(3)若y=f(x),XeR是周期為2的周期函數(shù)，證明：對(duì)任意的實(shí)數(shù)占，X2,都有

l∕U)-∕(?)l<l?

五.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值(共2小題)

6.(2023?徐匯區(qū)二模)已知常數(shù)人為非零整數(shù)，若函數(shù)y=∕(x),xe[0,1]滿足：對(duì)任意

X,,x2∈[0,1],∣∕(X1)-∕(Λ2)∣,,∣(Λ?+1)*-(X2+1)*∣,則稱函數(shù)y=∕(x)為L(zhǎng)(A)函數(shù).

(1)函數(shù)y=2x,Λ∈[0,1]是否為Z,(2)函數(shù)？請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)若y=∕(x)為L(zhǎng)(I)函數(shù)，圖像在xe[0,1]是一條連續(xù)的曲線，f(0)=0,/⑴=；，

且/(%)在區(qū)間(0,1)上僅存在一個(gè)極值點(diǎn)，分別記/(x)wιɑv、/(x),,rt,為函數(shù)y=/(X)的最大、

小值，求/(χ),,κu.-f(X)mill的取值范圍；

(3)若α>0,f(x)=0.05x2+0.Ix+aln(x+1),且y=∕(x)為L(zhǎng)(T)函數(shù)，g(x)=/'(X),

對(duì)任意X,>,∈[0,1],恒有Ig(X)-g(y)∣,,M,記M的最小值為M(a),求”的取值范圍

及M(a)關(guān)于。的表達(dá)式.

7.(2023?松江區(qū)二模)己知x>0,記/(x)=e*,g(x)=xx,h(X)=Ing(X).

。)試將y=/(x)、y=g(x)、y=∕ι(x)中的一個(gè)函數(shù)表示為另外兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合

函數(shù)；

(2)借助(1)的結(jié)果，求函數(shù)y=g(2x)的導(dǎo)函數(shù)和最小值；

(3)記”(x)J?"(x)+x+q,。是實(shí)常數(shù)，函數(shù)y=H(x)的導(dǎo)函數(shù)是y'=H'(x).已

X

x

知函數(shù)y=7/(x)?”'(x)有三個(gè)不相同的零點(diǎn)χ∣、χ?、3■求證：χl-χ2-χ3<i.

六.利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程(共1小題)

8.(2023?閔行區(qū)二模)如果曲線y=f(x)存在相互垂直的兩條切線，稱函數(shù)y=∕(x)是“正

交函數(shù)已知F(X)=X2+αx+2∕nx,設(shè)曲線y=f(x)在點(diǎn)M(X0,/(%))處的切線為∕∣.

(1)當(dāng)∕'(I)=0時(shí)，求實(shí)數(shù)4的值；

(2)當(dāng)α=-8,x0=8時(shí)，是否存在直線4滿足4,4，且4與曲線y=/(X)相切？請(qǐng)說(shuō)明

理由；

(3)當(dāng)口..-5時(shí)，如果函數(shù)y=∕(x)是“正交函數(shù)”，求滿足要求的實(shí)數(shù)"的集合O；若對(duì)

任意.eθ,曲線y=f(x)都不存在與4垂直的切線"，求/的取值范圍.

七.直線與平面所成的角(共1小題)

9.(2023?崇明區(qū)二模)如圖，已知點(diǎn)P在圓柱。。的底面圓O的圓周上，ΛB為圓。的直

徑，圓柱的表面積為20萬(wàn)，OA=2,NAOP=I20。.

(1)求直線AP與平面ABP所成角的大?。?/p>

(2)求點(diǎn)A到平面ABP的距離?

A.二面角的平面角及求法(共1小題)

10.(2023?長(zhǎng)寧區(qū)二模)如圖，在四棱錐P-ABa)中，底面A88為直角梯形，ADHBC,

ABrBC,AB=AD,BC=2AB,E、F分別為棱BC、BP中點(diǎn).

(1)求證：平面AEF//平面Z)CP;

(2)若平面PBC，平面ABCO,直線AP與平面PBC所成的角為45。，且CPLPB,求二

面角尸—AB—D的大小.

11.(2023?奉賢區(qū)二模)已知橢圓C:土+A=1S>O),A(O,b),B(0,-?).橢圓C內(nèi)部的

4b~

一點(diǎn)T(r,g)(f>O),過(guò)點(diǎn)T作直線AT交橢圓于Af,作直線取交橢圓于N.M、N是不同

的兩點(diǎn).

(1)若橢圓C的離心率是由，求。的值；

2

q

(2)設(shè)ΔB7M的面積是S∣,AATTV的面積是S?,若，=5,。=1時(shí)，求f的值；

S?

(3)若點(diǎn)U(Z,yu),V(xv,乂,)滿足怎<兒且乂>h，則稱點(diǎn)U在點(diǎn)V的左上方.求證:

當(dāng)b>!時(shí)，點(diǎn)N在點(diǎn)M的左上方.

2

一十.直線與橢圓的綜合(共2小題)

22

12.(2023?楊浦區(qū)二模)己知橢圓C:二+2*=l(α>0)的右焦點(diǎn)為F,直線/:x+y-4=0.

4a~3a~

(1)若F到直線/的距離為2√Σ,求a；

(2)若直線/與橢圓C交于A、3兩點(diǎn)，且ΔABO的面積為史，求“；

7

(3)若橢圓C上存在點(diǎn)P,過(guò)P作直線/的垂線垂足為〃，滿足直線《和直線四的

夾角町’求〃的取值范圍?

?

13.(2023?崇明區(qū)二模)已知橢圓「:二+或=1(m>0,機(jī)≠√Σ),點(diǎn)A,B分別是橢圓「與

tτΓ2

y軸的交點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)3的上方)，過(guò)點(diǎn)O(0,1)且斜率為％的直線/交橢圓「于E,G兩點(diǎn).

⑴若橢圓「焦點(diǎn)在X軸上，且其離心率是條求實(shí)數(shù)〃,的值；

(2)若帆=Z=I,求ΔBEG的面積；

(3)設(shè)直線AE與直線y=2交于點(diǎn)”，證明：B,G,”三點(diǎn)共線.

一十一.直線與雙曲線的綜合(共1小題)

v?22

14?(2023?靜安區(qū)二模)已知雙曲線：/-方v=L其中〃>。，人。)的左、右焦點(diǎn)分別為

K(-GO)、瑪(GO)(其中c>0).

(1)若雙曲線過(guò)點(diǎn)(2,1)且一條漸近線方程為y=*x;直線/的傾斜角為.，在y軸上的

截距為-2.直線/與該雙曲線交于兩點(diǎn)A、B,M為線段Λβ的中點(diǎn)，求的面積;

(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，C為半徑作圓，該圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為P.過(guò)尸作

圓的切線，若切線的斜率為-√L求雙曲線的離心率.

一十二.直線與圓錐曲線的綜合(共7小題)

15.(2023?徐匯區(qū)二模)已知橢圓C:：+y2=i?>i)的左、右焦點(diǎn)分別為F∣,F2,直線

/?="+〃?(〃/0)與橢圓。交于用、N兩點(diǎn)(M點(diǎn)在N點(diǎn)的上方)，與y軸交于點(diǎn)E.

(1)當(dāng)f=2時(shí)，點(diǎn)A為橢圓C上除頂點(diǎn)外任一點(diǎn)，求aAK工的周長(zhǎng);

(2)當(dāng)r=3且直線/過(guò)點(diǎn)￡>(-1,0)時(shí)，設(shè)EM=TIDM,EN=〃DN,求證：2+〃為定值，

并求出該值；

(3)若橢圓C的離心率為正，當(dāng)我為何值時(shí)，IoMI2+1ONf恒為定值；并求此時(shí)ΔMON

2

面積的最大值.

22

16.(2023?金山區(qū)二模)已知橢圓「:土+:=I(O<b<2).

4b^

(1)已知橢圓「的離心率為正，求橢圓「的標(biāo)準(zhǔn)方程；

2

(2)已知直線/過(guò)橢圓「的右焦點(diǎn)且垂直于X軸，記/與「的交點(diǎn)分別為A、B,A、3兩

點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)分別為A'、B',若四邊形ΛBB∕'是正方形，求正方形ΛBBzA'的內(nèi)切

圓的方程；

(3)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、。兩點(diǎn)都在橢圓「上，若AOP。是等腰直角三角形，其中NoPQ

是直角，點(diǎn)P在第一象限，且。、P、。三點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蚺帕?，?的最大值.

17.(2023?虹口區(qū)二模)已知?jiǎng)狱c(diǎn)M(X,y)到點(diǎn)F(LO)的距離和它到直線x=2的距離之比等

于當(dāng),動(dòng)點(diǎn)〃的軌跡記為曲線C,過(guò)點(diǎn)F的直線/與曲線C相交于P,。兩點(diǎn).

(1)求曲線C的方程；

(2)若FP=-2FQ,求直線/的方程；

(3)已知A(-√Σ,()),直線AP,A。分別與直線x=2相交于“，N兩點(diǎn)，求證：以MN為

直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)E.

18.(2023?普陀區(qū)二模)在Xoy平面上設(shè)橢圓+V=1(m>1),梯形A88的四個(gè)頂

m

點(diǎn)均在「上，且AB//CO.設(shè)直線Λβ的方程為y=區(qū)(AeR)

(1)若AB為「的長(zhǎng)軸，梯形A88的高為1,且C在A3上的射影為「的焦點(diǎn)，求機(jī)的

2

值;

(2)設(shè)∕M=√Σ,直線cr>經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(0,2),求OC?OO的取值范圍;

(3)設(shè)〃=20,?AB?=2?CD?,AD與BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)M,當(dāng)上變化時(shí)，ΔM45的

面積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

19.(2023?寶山區(qū)二模)已知拋物線Γ?y2=4χ.

(1)求拋物線「的焦點(diǎn)尸的坐標(biāo)和準(zhǔn)線/的方程；

(2)過(guò)焦點(diǎn)F且斜率為工的直線與拋物線「交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B,求線段他的長(zhǎng)：

2

(3)已知點(diǎn)尸(1,2),是否存在定點(diǎn)Q,使得過(guò)點(diǎn)Q的直線與拋物線「交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M、

N(均不與點(diǎn)尸重合)，且以線段MN為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)尸？若存在，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若

不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

20.(2023?嘉定區(qū)二模)若直線和拋物線的對(duì)稱軸不平行且與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則稱

該直線是拋物線在該點(diǎn)處的切線，該公共點(diǎn)為切點(diǎn).已知拋物線C:V=4必和C2:V=4〉，

其中a>0.G與G在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為P.G和C?在點(diǎn)尸處的切線分別為《和/2，定

義4和4的夾角為曲線G、g的夾角.

(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(2)若G、C?的夾角為arctan1,求α的值；

(3)若直線4既是G也是G的切線，切點(diǎn)分別為Q、R，當(dāng)APQR為直角三角形時(shí)，求出

相應(yīng)的。的值.

21.(2023?長(zhǎng)寧區(qū)二模)已知拋物線Jy2=4x的焦點(diǎn)為尸，準(zhǔn)線為/,直線廠經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸且

與r交于點(diǎn)A、B.

(1)求以尸為焦點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，離心率為1的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

2

(2)若∣A8∣=5,求線段Λβ的中點(diǎn)到X軸的距離；

(3)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為「上的動(dòng)點(diǎn)，直線A"、分別與準(zhǔn)線/交于點(diǎn)C、D.求

證：OCo。為常數(shù).

一十三.離散型隨機(jī)變量的期望與方差(共2小題)

22.(2023?長(zhǎng)寧區(qū)二模)盒子中有5個(gè)乒乓球，其中2個(gè)次品，3個(gè)正品.現(xiàn)從中不放回地

隨機(jī)摸取2次小球，每次一個(gè).

(1)記“第二次摸出的小球是正品”為事件3,求證：P(B)=|；

(2)用X表示摸出的2個(gè)小球中次品的個(gè)數(shù)，求X的分布和期望.

23.(2023?崇明區(qū)二模)某校工會(huì)開(kāi)展健步走活動(dòng)，要求教職工上傳3月1日至3月7日微

信記步數(shù)信息，下圖是職工甲和職工乙微

步數(shù)15524■步數(shù)12396

情況：

(I)從3月1日至3月7日中任選一天，求這一天職工甲和職工乙微信記步數(shù)都不低于

10000的概率；

(H)從3月1日至3月7日中任選兩天，記職工乙在這兩天中微信記步數(shù)不低于IoOOO

的天數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

(In)如圖是校工會(huì)根據(jù)3月1日至3月7日某一天的數(shù)據(jù)，制作的全校200名教職工微信

記步數(shù)的頻率分布直方圖.已知這一天甲和乙微信記步數(shù)在單位200名教職工中排名分別為

第68和第142,請(qǐng)指出這是根據(jù)哪一天的數(shù)據(jù)制作的頻率分布直方圖(不用說(shuō)明理由).

一十四.線性回歸方程(共1小題)

24.(2023?長(zhǎng)寧區(qū)二模)某地新能源汽車保有量符合阻滯型增長(zhǎng)模型x(r)=∕M7,其中

Xa)為自統(tǒng)計(jì)之日起，經(jīng)過(guò)，年后該地新能源汽車保有量，/1和r為增長(zhǎng)系數(shù)，用為飽和量.

下表是該地近6年年底的新能源汽車的保有量(萬(wàn)輛)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：

年份20182019202020212022

t01234

保有量M）9.612.917.123.231.4

假設(shè)該地新能源汽車飽和量M=290萬(wàn)輛.

（1）若r=0.31,假定2018年數(shù)據(jù)滿足公式Mr）=[47，計(jì)算力的值（精確到0.01）并

估算2023年年底該地新能源汽車保有量（精確到0.1萬(wàn)輛）；

（2）設(shè)y=2--l,貝∣J∕,zy與f線性相關(guān)，請(qǐng)依據(jù)以上表格中相關(guān)數(shù)據(jù)，利用線性回歸分析

x（t）

確定/1和r的值（精確到0.01）.

附：線性回歸方程y=Ar+g中回歸系數(shù)計(jì)算公式如下：

^（xi-x）（yf-γ）.

a=----------，b=y-ax

W（D2

/=I

上海市2023年各地區(qū)高考數(shù)學(xué)模擬(二模)試題按題型難易度

分層分類匯編(16套)-05解答題提升題②

參考答案與試題解析

一.函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用(共1小題)

1.(2023?黃浦區(qū)二模)三個(gè)互不相同的函數(shù)y=f(x),y=g(x)與y="(x)在區(qū)間。上恒

有/(x)因?(x)g(x)或恒有f(x)釉(X)g(x)，則稱y=h(x)為y=/(x)與y=g(x)在區(qū)間。上

的“分割函數(shù)”.

(1)設(shè)4(X)=4x,h1{x)=x+?,試分別判斷y=∕q(x)、y=%(x)是否是y=2x?+2與

y=_/+4x在區(qū)間(γ0,4w)上的“分割函數(shù)”，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)求所有的二次函數(shù)y=ο√i+cx+d(α≠0)(用。表示c,d),使得該函數(shù)是y=2x?+2

與y=4x在區(qū)間(γo,y)上的“分割函數(shù)”；

(3)若0"，??]?[-2,2],且存在實(shí)數(shù)%,人，使得y=fcv+b為y=X4-4Λ7與y=4x?-16

在區(qū)間刖,網(wǎng)上的“分割函數(shù)”，求〃-加的最大值.

2

【答案】(I)y=∕R(X)是y=2x+2與y=-d+4x在(→z>,+∞)上的"分割函數(shù)"；Λ2(x)不

是y=2/+2與y=-x2+4x在(-∞,+∞)上的"分割函數(shù)"；

(2)y=ax2+(4-2a)x+?(0<a<2)；

(3)2√3.

【解答】解：(1)因?yàn)?χ2-4x+2=2(x-l)2..0恒成立，且4x-(-f+?)=/..。恒成立，

所以當(dāng)XeR時(shí)，2/+2解X-x?+4X恒成立，

故y=∕√x)是y=2/+2與y=-x2+4x在S,+?)上的“分割函數(shù)”；

又因?yàn)閤+l-(-χ2+4x)=f-3x+l,當(dāng)X=O與1時(shí)，其值分別為1與一1,

2

所以Λ2(X)...-χ2+4x與似X),,-X+4x?(→x>,+∞)上都不恒成立，

2

故A2(X)不是y=2爐+2與y=-X+4x在(→o,-κo)上的“分割函數(shù)”;

(2)設(shè)y=θr2+cχ+d(q*0)是),=2χ2+2與y=4x在區(qū)間(一oo,+∞)上的"分割函數(shù)",

則2犬+2j?d+cr+d4x對(duì)一切實(shí)數(shù)X恒成立，

又因?yàn)?2∕+2y=4x,當(dāng)x=l時(shí),它的值為4,

可知y=2^+2的圖象在X=I處的切線為直線y=4x,

它也是丫二奴^+行+1的圖象在入斗處的切線，

m/2α+c=4(c=4-2a

所以《,，可得｛,，

[a+c+a=4?d-a

所以2f+2j?x2+(4-2a)X+a4x對(duì)一切實(shí)數(shù)X恒成立，

即(2-α)(x-1)2..0且α(x-l)2..0對(duì)一切實(shí)數(shù)X恒成立,

可得2-a..0且“>0,即Oca,,2,

又α=2時(shí)，y=αx°+(4-24)x+α與y=2W+2為相同函數(shù)，不合題意,

故所求的函數(shù)為y=0r1+(4-24)x+α(0<a<2)；

(3)關(guān)于函數(shù))=犬一4d,令3∕=8χ3-8x=O,可得X=0,土丘,

當(dāng)x∈(-oo,->∕Σ)與Xe(O,夜)時(shí)，/<0；當(dāng)x∈(-0",0)與xe(>∕∑,+8)時(shí)，/>0,

可知土點(diǎn)是函數(shù)y=x4-4χ2極小值點(diǎn)，0是極大值點(diǎn)，

該函數(shù)與y=4/-16的圖象如圖所示:

由y=辰+匕為y=f-4f與＞=4χ2一16在區(qū)間［加，川上的“分割函數(shù)”，

故存在b0使得b,,?且直線y="+為與y=/一4W的圖象相切，并且切點(diǎn)橫坐標(biāo)Zd-2,

-^?［^.2］,

此時(shí)切線方程為y=(4尸-8f)x+4r-3/4，

即∕=4j-8f,?=4r-3Z4,

設(shè)直線y=Ax+人與y=4χ2-16的圖象交于點(diǎn)(XI,yl),(x2,y2),

則由['=日/，可得4f一版-16-%=0,

[y=4x"-16

所以

23J6:2

μι-A∣=J(x,+&『-4+4=后+16+8,后+16+1?=√(Γ'-2,)÷I6+4∕-3Z=√f-7√+8/+16=√?-7√+8s+I6(J=Z∈[2

，4D，

令A(yù)(S)=S3-7s?+8s+16,s∈[2,4],

則I(S)=3S2-14S+8=(3S-2)(S-4),,0,當(dāng)s=4時(shí),Y(S)=0,

所以Z(S)在［2,4］上單調(diào)遞減,

所以Z(S)M=%⑵=12，

所以∣372∣,χ2√L

所以的最大值為26.

二.數(shù)列的求和(共1小題)

2.(2023?嘉定區(qū)二模)己知/(x)=x+2SinX,等差數(shù)列｛4｝的前”項(xiàng)和為S“，記

Tn=∑f(ai).

i=?

(1)求證：函數(shù))，=/(X)的圖像關(guān)于點(diǎn)(萬(wàn),")中心對(duì)稱；

(2)若《、4、%是某三角形的三個(gè)內(nèi)角，求[的取值范圍；

(3)若SH)O=I00%,求證：7；OO=IOO乃.反之是否成立？并請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)證明詳見(jiàn)解析；

(2)7；eU+2√3,Λ-+3√3];

(3)證明詳見(jiàn)解析，反之不成立.

【解答】證明：(1)在函數(shù)y=x+2sinx的圖像上任取一點(diǎn)P(x,y),

點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)(π,π)的對(duì)稱點(diǎn)為PQ兀-x,2τr-y),

/(x)=x+2SinX,

則f(2π-x)=2π-x+2sin(2Λ^-x)=2π-x-2sinx=2π-y,即點(diǎn)P'(2π-x,2π-y)在函數(shù)

y=/(x)圖像上，

故函數(shù)y=/(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(mJI)中心對(duì)稱.

(2)解：若q、出、出是某三角形的三個(gè)內(nèi)角，

則由三角形內(nèi)角和性質(zhì)可知，q+%+%=%，

又｛“"｝為等差數(shù)列，

冗

則4+/+%=34="，解得a2=-y

/(x)=x÷2sinx,

則f(al)=al+2sinq,f(a2)=a2+sina2,f(a3)=a3+sina3，

+α+2(sinw,+sina+sin=++2(sin?,+sin∕)="+VJ+4(sin<；>cos42"")=乃+G+2萬(wàn)cos」2'"

Ti=f(ai)+f(a2)+f(ai)=ax+a2j2

,

2

不妨設(shè)Ov4,,?<-π,

則一:4Vq-Cl3、,0,即cose(?,l]?

故豈的取值范圍為(4+2石，^+3√3];

IOO100IOO

(3)證明：若SlOO=I004，又MOO=X/(4)=SlQO+2SSinq=I00τr+2gsinq,

f=lf=lr=l

因?yàn)椋！ǎ秊榈炔顢?shù)列且Six)=IoO"，

所以當(dāng)〃+m=101時(shí)，all+am=2π,于是sinatl+sinam=0,

100

故2￡sinq=(Sinq+sintz100)+(sin?+sinα99)+…+(SinqoO+sinq)=0,

Z=I

所以7；OO=IOO乃，得證，

IOO

若400=IOOTr,則SlOO+2^sinai=IOO4，

/=I

考慮存在等差數(shù)列｛〃“｝,滿足的)=%+49d=萬(wàn)，貝!|S99=99?,

則an與0100-,j關(guān)于π對(duì)稱，

故T^二99〃.

下面證明，存在d可以使得/(4OO)=乃且為乂)WTT.

不妨設(shè)d>0,又4+49d=π,

則4oo=a?+99d≠π，

/(ɑιω)-π=50J-2sin(50J),考慮函數(shù)y=x-2sin%,x>0,

其中g(shù)(x)=x-2sinx,

因?yàn)間(?)=g-6<0，g(7r)=萬(wàn)>0，

由零點(diǎn)存在定理可知，存在《嗚㈤使得g(9=o,

所以存在de(言,*),使得f(%00)="即7；OO=I00"，但是品》X100萬(wàn)，

故反之不成立.

三.數(shù)列遞推式(共1小題)

3.(2023?楊浦區(qū)二模)已知數(shù)列｛《,｝是由正實(shí)數(shù)組成的無(wú)窮數(shù)列，滿足q=3,a2=l,

”,,=∣%+∣-4,+2∣'"GN*.

(1)寫(xiě)出數(shù)列｛”,,｝前4項(xiàng)的所有可能取法；

(2)判斷：是否存在正整數(shù)”,滿足“*=l,并說(shuō)明理由；

(3)g為數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)中不同取值的個(gè)數(shù)，求CKx)的最小值.

【答案】（1）數(shù)列｛α,,｝前4項(xiàng)的所有可能取法有：4=3,%=7,α3=10,2=17或4=3,

02=7>=IO>%=3或a1=3,α,=7,a3=4,α4=11；

(2)不存在正整數(shù)%,滿足4=1；

(3)Cn)O的最小值為51.

【解答】解：(1).?=l?+,-??t21>

則4,+2=%+%，或4+2=an+l-an,

%=3,?2=7,

.?.%=%+α1=7+3=10,或q=%—O1=7—3=4,

①當(dāng)名=Io時(shí)，a4=a3+a2=10+7=17,或4=%—生=1。-7=3,

②當(dāng)%=4時(shí)?，a4=cι3+a2=4+7=11,^a4=a3-a2=4-7=-3,

數(shù)列｛4｝是由正實(shí)數(shù)組成的無(wú)窮數(shù)列，

.?.%=-3不符合題意，故舍去，

「?數(shù)列｛?！ǎ?項(xiàng)的所有可能取法有：al=3,OI=1,α3=10,%=17或4=3,%=7,

%=10，%=3或%=3,a2=79%=4,a4=11；

(2)不存在，理由如下：

?H?+1-?+2b

?+2=?÷1+??或?+2=?÷l-%，

當(dāng)。"+2=。"|+4時(shí)，

數(shù)列｛4｝是由正實(shí)數(shù)組成的無(wú)窮數(shù)列，

4,+3=?+2+a,,+ι>a,,+2=a,,+l+a,l>a,l,即an+3>an,或?t3=an+2-all+l=an,

當(dāng)《,+2=?+ι-α“時(shí)，

數(shù)列｛4｝是由正實(shí)數(shù)組成的無(wú)窮數(shù)列，

限=?tl>0,即an+l>an,

%+3=?÷2+?+∣>%+2=α,,+∣+??>4,或可+3=4+2-%+∣=<。(不合題意，舍去)，

綜上所述，an+3..an,

??。3以->>??%=3,?kf?a">=7,^3k,,^3=4,

.?.不存在正整數(shù)攵，滿足4=1；

(3)?=l?+,-?+2l>

=5+。“①

,…-LL,,②‘

對(duì)于任意的明,。,用，均可以使用①遞推，只有滿足qU>α“時(shí)，才可以使用②遞推；

若限=--4,顯然有4+2<all*∣,下一次只能用①遞推，即4+3=4+2+4向，即②不能

連續(xù)使用，

g

記bk=max｛a2k_y,4J(%N且.1)，?,+∣=max｛a2k^,a2M｝,

aa9

宕2k+?=生我+2k-?則4+1>bfi；

若a2k+i=a2k—a2k-?9則a2k+2=?A+a2k+?>%k>?-I'則?+l>4'

/.”+|>bk(keN且Z..1),

.?.q,a21...,q00中至少有α∣,a2,b2,4，…，％共51項(xiàng)，即q00..51,

%T+4.2（〃為奇數(shù)）

則舉例如下：％

。,1-4一2（〃為偶數(shù)）

?,?數(shù)列｛%｝中3,7,10,3,13,10,23,13,36,23,此時(shí)CWO=51,

???c∣oo的最小值為51.

四.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性（共2小題）

4.（2023?普陀區(qū)二模）已知〃、b∈7?,設(shè)函數(shù)y=/（x）的表達(dá)式為/（x）=α?f一人.歷X（其

中x>O).

(1)設(shè)α=l,b=O,當(dāng)f(x)>χ-'時(shí)，求X的取值范圍；

(2)設(shè)α=2,b>4,集合。=(0,1],記g(x)=2Cr-S√ceR),若N=g(x)在。上為嚴(yán)

格增函數(shù)且對(duì)。上的任意兩個(gè)變量s,f,均有f(s)..g(f)成立，求C的取值范圍；

(3)當(dāng)α=0,h<O,x>l時(shí)，記〃"(x)="(x)]"+—^~~-，其中〃為正整數(shù).求證：

[./(X)]

[A1(X)F+2.也(X)+2".

【答案】(1)(l,+oo);(2)[-1,-]；(3)證明過(guò)程見(jiàn)解答.

2

【解答】解：⑴由題設(shè)/(X)=χ2,則Y>χT,即*2」=Ul>0,

XX

?x(x-l)(√+x+l)>0,

13

Xx2+Λ+1=(Λ+-)2+?^->0,X>0,則X-1>0,即X>1,

所以X的取值范圍為(1,包)；

(2)由題意f(x)=2f-"7χ,要使。上的任意兩個(gè)變量s,f,均有f(s)..g(f)成立，

則只需當(dāng)X€(0,1]時(shí)，/(x)mi,,..g(x)s成立即可，

又y=g(χ)在。上為嚴(yán)格增函數(shù)，則g(χ)”,Οt=g(1)=2c-?,

且g'(x)=2(c+4)..0在(0,1］上恒成立，

X

又/(X)在(0,1］上單調(diào)遞減，則3(1)=2(c+l)..0,解得C?..-l,

h4r2-h

由匕>4且X€(0,1J,r(χ)=4x-2=--------<0,則/(x)在(0,1］上遞減,

XX

所以/(x)mM=/⑴=2,則2c—L,2,解得c,,5，

綜上，實(shí)數(shù)C的取值范圍為［-1,當(dāng)；

2

(3)證明：依題意，/(x)=-blnx,hx(x)=-blnx--!—,且x>l,。<0,

blnx

令左二-blnx,則4>0,

nn,

所以［?I(X)-2"=(TWnX--—)-2=(k+?-2",

blnXk

,,M,,22n

而(%+，"=端+c,k"T(/+……+C,,(∣)=F+C>^+……+Cf'?^+(-

2"=(1+1)"=Q+d+……+C：T+2,

貝∣J(A:+∣)n-2"=k"+(∣)π-2+C,I(Γ^2-1)+C,^(F^4-1)+.......+C";'(?2^n-l).

又C',,(k"-2-1)+Cf1(k2"1-1)=C,1,(k"-2+k2^n-2),且kn^2+k2-n..2yJkn-2+2-"=2,當(dāng)且僅當(dāng)

A:=1時(shí)等號(hào)成立，

2n

所以CXk--1)+C7(Λ^+1)..0,

同理，c^k"-4-i)+q-2(ki-"-i)..o,……，且均在上=1時(shí)等號(hào)成立，

所以C：(F"_1)+Q(Ki_1)+……+C：T(λ2^n-1)..0,

則[h,(x)r-2n..k"+(，"一2=僅(%)-2,即得證.

5.(2023?滁州模擬)已知定義域?yàn)?。的函?shù)y=f(X),其導(dǎo)函數(shù)為y'=∕'(x),滿足對(duì)任意

的Xe力都有Ir(X)I<1?

(1)若/(x)=OX+∕nx,x∈[l>2],求實(shí)數(shù)α的取值范圍；

(2)證明：方程/(x)-x=0至多只有一個(gè)實(shí)根：

(3)若y=∕(χ),χ∈R是周期為2的周期函數(shù)，證明：對(duì)任意的實(shí)數(shù)h,x2,都有

∣∕(X,)-∕(Λ2)∣<1.

-2

【答案】(1)(-∣,o);

(2)證明見(jiàn)解析

(3)證明見(jiàn)解析.

【解答】(1)解：因?yàn)?f(X)=Or+∕MX,x∈[l.2],所以/'(X)="+L

X

由題意知，"'(x)∣<l在XW[1,2]上恒成立，即∣α+!∣<l在X€口，2]上恒成立，

X

所以一1<!<1,BP-1-?<a<1-??X∈[1,2]上恒成立，

XXX

令X=I—M=—1—1易知，在x∈[l,2]上，函數(shù)y∣=1—l和M=-I-I均單調(diào)遞增，

XXXX

所以一3<〃<0,即實(shí)數(shù)〃的取值范圍是(_3,o).

22

(2)證明：令g(x)=/(X)—故g'(x)=,r(x)—1<0,

所以函數(shù)g(x)是嚴(yán)格減函數(shù)，故Ax)-％=0至多只有一個(gè)實(shí)根；

(3)證明：設(shè)/(x)的最大值為M,最小值為，"，

在一個(gè)周期內(nèi)，函數(shù)值必能取到最大值與最小值，

設(shè)/(a)-M,f(b)=m,

因?yàn)楹瘮?shù)y=∕(x)(x∈R)是周期為2取一個(gè)周期[0,2],且∣∕'(X)I<1,

則有∣∕(N)-/(XJ∣,,I"二盧∣<",(χ)∣<l,

X1-X2Cl-D

1l

若∣a-b∣,,l,JBJIf(,xλ)-/(J?)∣≡JW-m<?a-b?1成立,

若∣4-h∣>l,設(shè)a>6,BPa-h>?>故a+l>6+2,且α<Z>+2,則0<6+2-a<l,

所以IFa)M-"=f(a)?√S+2),,|a—S+2)∣V1成立,

綜上，I/(占)-f(w)l,,1對(duì)任意實(shí)數(shù)看，X?都成立，所以原式得證.

五.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值(共2小題)

6.(2023?徐匯區(qū)二模)已知常數(shù)人為非零整數(shù)，若函數(shù)y=∕(x),xw[0,1]滿足：對(duì)任意

Λ2∈[0,1],∣∕(xl)-∕(x2)∣,,∣(x,+l)*-(?+l∕∣,則稱函數(shù)y=f(x)為QQ函數(shù).

(1)函數(shù)y=2x,x∈[0,1]是否為Z,(2)函數(shù)？請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)若y=∕(x)為Z,(1)函數(shù)，圖像在xe[0,1]是一條連續(xù)的曲線，/(0)=0,?(l)=1,

且/(x)在區(qū)間(0,1)上僅存在一個(gè)極值點(diǎn)，分別記/(x)S、/(x)的為函數(shù)y=/(%)的最大、

小值，求f(X)liuix-f(x)ιni,l的取值范圍：

(3)若α>0,f(x)=O,O5X2+0.Ix+aln(x+1),且y=∕(x)為A(-l)函數(shù)，g(x)=∕'(x),

對(duì)任意X,?∈[0,1]>恒有Ig(X)-g(y)∣,,M,記M的最小值為M(a),求〃的取值范圍

及.M(a)關(guān)于α的表達(dá)式.

【答案】(1)是，理由見(jiàn)解析；

⑵e和

(3)M(a)=0Λ--,ɑe(θ,?].

210

【解答】解：(1)y=2x是Z,(2)函數(shù)，理由如下，

對(duì)任意x1,Λ2∈[0,1],

+1)2-(X÷1)2-Λ^)∣=(2-∣X÷XX-Λ∣=-(X,+X)∣X-X

∣2x∣-2x2∣-∣(x12H2(xl-x2)∣-∣(x1+x2÷2)(xlI2+2∣)∣122I2|?0

故∣2x,-2w∣,,∣α+l)2-(x2+l)2∣

(2)(i)若x0為F(X)在區(qū)間(0,1)上僅存的一個(gè)極大值點(diǎn)，則f(x)在(0,x0)嚴(yán)格遞增，在

(x0,1)嚴(yán)格遞減,

一題期(XO)?

∣∕(?)-∕(0)∣,,ι?ι

由1雙\3'得-：顆(Xo)

l∕(?)-∕(DI,,ι?-n,''天一耳雙狀(XO)2~X°44

3

X,噫Ik—

iiQ

又∕?(0)=0,/⑴=：，則］<f(x0),,(構(gòu)造F(X)=,C.4時(shí)，等號(hào)成立),

33,

<用，1

124

i3

所以/(X).一/(力而=/(?)-/(°)=∕(?)￡(于/；

(ii)若3為/(x)在區(qū)間((M)上僅存的一個(gè)極小值點(diǎn),則/(x)在(0,%)嚴(yán)格遞減，在(%,

1)嚴(yán)格遞增,

Iy(?)-/(0)|?∣xu∣同理可得」顆(X)3,

由π

∣∕(x0)-∕(l)∣,,Ix0-H4°)4

—x,O^k—

又八。)=。，川)［,則一*心。，(構(gòu)造個(gè))=,一4時(shí)，等號(hào)成立),

?-?l<x,,l

ii3

所以fM,,m-AX焉=Al)-/(?)=--∕(?)∈(p-b

綜上所述：所求取值范圍為§,令；

(3)顯然/(x)為［0,1］上的嚴(yán)格增函數(shù)，任意X］,x2∈［0.IJ,不妨設(shè)Λ?<X2,

此時(shí)/Gov，5),

由/(X)為L(zhǎng)(T)函數(shù)，得∕α)-/■),,」_；一一二恒成立，即f(x2)+」~?Ja)+」~r

x1+1x2+1x2+1xl+1

恒成立，

?A(x)=/(x)+—=0.05X2+0.Ix+aln(x+1)+—,則力。)為［0,1］上的減函數(shù)，

x+1x+l

Λ,ω=0.1(x+l)+---------?,,θ,得i--L對(duì)χe［0,1］恒成立，

X÷1(x+l)~x+110

易知上述不等號(hào)右邊的函數(shù)為［0,1］上的減函數(shù),

所以4,,L-巴=L,所以。的取值范圍為(O,'],

2101010

此時(shí)g(x)=∕'(X)=O.l(x+1)+，一,

x+1

法1：當(dāng)0.1(x+l)=-J時(shí)，即x+1=J麗，由J礪,1,而x+l∈[l,2],所