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朽木易折,金石可鏤。千里之行,始于足下。第頁(yè)/共頁(yè)第四節(jié)線性方程組1.線性方程組的概念(1)含有個(gè)未知數(shù)的個(gè)一次方程的方程組(16-1)稱為個(gè)未知數(shù)個(gè)方程的線性方程組,簡(jiǎn)稱線性方程組.倘若不全為零,則為非齊次線性方程組;倘若,即(16-2)則稱為齊次線性方程組。(2)矩陣形式:記,,則方程組(16-1)和(16-2)可分離表示為和,并稱為方程組的系數(shù)矩陣,為方程組的增廣矩陣。2.線性方程組有解判定條件(1)齊次線性方程組有非零解(這時(shí)必有無(wú)窮多解)的充要條件是其系數(shù)矩陣的秩。當(dāng)為方陣時(shí),齊次線性方程組有非零解的充要條件是?!纠}10-15】設(shè)是3階非零矩陣,已知的每一列都是方程組的解,則等于:(A)(B)(C)(D)解:由是非零矩陣,知所給齊次方程組有非零解,故其系數(shù)行列式應(yīng)等于零,即,計(jì)算行列式并求解得,故選(D)。(2)非齊次線性方程組有解的充要條件是;當(dāng)時(shí),有無(wú)窮多解,當(dāng)時(shí),有唯一解。當(dāng)為方陣時(shí),即有惟一解的充足須要條件為(即可逆),這時(shí)解為。3.線性方程組解的性質(zhì)(1)若均為齊次線性方程組的解(向量),則依然是的解。(2)若均為非齊次線性方程組的解(向量),則為對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的解。(3)若為非齊次線性方程組的一個(gè)解,為對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的解,則是非齊次線性方程組的解。(4)若是非齊次線性方程組的解,為常數(shù),且,則仍是的解。4.線性方程組解的結(jié)構(gòu)(1)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系:若是齊次線性方程組的線性無(wú)關(guān)的解,并且的任一解向量均可被線性表出,則稱為的一組基礎(chǔ)解系。齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系不惟一,但基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)是固定的。(2)倘若個(gè)未知量的齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為,則它的基礎(chǔ)解系含個(gè)解向量,且通解為其中為的一組基礎(chǔ)解系,為隨意常數(shù)。并且的隨意個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量都能構(gòu)成它的一組基礎(chǔ)解系。【例題10-16】設(shè)為非零矩陣,都是齊次線性方程組的解,則矩陣為:(A)(B)(C)(D)解:因?yàn)榫€性無(wú)關(guān),知三元方程組的基礎(chǔ)解系含兩個(gè)向量,故有,顯然選項(xiàng)(A)中矩陣秩為3,選項(xiàng)(B)和(C)中矩陣秩都為2,應(yīng)選(D)。(3)非齊次線性方程組的任一解,均可表示為的一個(gè)特解與對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的某個(gè)解之和。(4)若有無(wú)窮多解,則其通解為對(duì)應(yīng)其中為的一組基礎(chǔ)解系,為隨意常數(shù)?!纠}10-17】設(shè)是線性方程組的兩個(gè)不同的解,是導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系,是隨意常數(shù),則的通解是:(A)(B)(C)(D)解:首先的通解是其導(dǎo)出組的通解加上的一個(gè)特解,由是導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系,知的基礎(chǔ)解系含兩個(gè)解向量,又可證實(shí)是的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解,故構(gòu)成的通解;再由是線性方程組的兩個(gè)不同的解,利用非齊次方程組解的性質(zhì)知仍是的特解,從而是的通解,應(yīng)選(C).5.線性方程組求解的主意【例題10-18】齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系為:(A)(B)(C)(D)解:主意一:方程組系數(shù)矩陣的秩為2,方程組有非零解。并且其基礎(chǔ)解系含有個(gè)解向量,經(jīng)驗(yàn)證和是方程組的解,并且線性無(wú)關(guān),所以是方程
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