山東省淄博市2023屆高三三模數(shù)學(xué)試題（含答案與解析）

山東省淄博市2023屆高三三模試題

數(shù)學(xué)

(滿分150分，考試時(shí)間120分鐘)

注意事項(xiàng)：

L答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、座號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每個(gè)小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

L設(shè)集合A=NZl2，>100},8={x%g<l},則ABI)

A.{5,6,7}B.{6,7,8}

C.{7,8,9}D.{8,9,10}

2.已知復(fù)數(shù)Z是一元二次方程2χ+2=0的一個(gè)根，則IZl的值為

A.1B.√2C.0D.2

3.甲、乙兩所學(xué)校各有3名志愿者參加一次公益活動(dòng)，活動(dòng)結(jié)束后，站成前后兩排合影留念，每排3人，

若每排同一個(gè)學(xué)校的兩名志愿者不相鄰，則不同的站法種數(shù)有()

A.36B.72C.144D.288

4.在一ABC中，NC=90°,N8=30°,/84C的平分線交BC于點(diǎn)。.若Ao=ZlA8+(7,"∈R),

2

則一=()

A.-B.?C.2D.3

32

5.中國古代建筑的主要受力構(gòu)件是梁，其截面的基本形式是矩形.如圖，將一根截面為圓形的木材加工制

成截面為矩形的梁，設(shè)與承載重力的方向垂直的寬度為X,與承載重力的方向平行的高度為y,記矩形截面

1?

抵抗矩W=ZD2.根據(jù)力學(xué)原理，截面抵抗矩越大，梁的抗彎曲能力越強(qiáng)，則寬X與高y的最佳之比應(yīng)為

O

()

A.?B.立C.?D.0

22

22

6.已知橢圓C0+2r=l（α＞力＞0）,F為其左焦點(diǎn),直線y=依化＞0）與橢圓。交于點(diǎn)A,B,且

AF±AB.若NABF=30°,則橢圓C的離心率為（）

A.也B,星C也D.如

3366

7.如圖，陰影正方形邊長為1,以其對(duì)角線長為邊長，各邊均經(jīng)過陰影正方形的頂點(diǎn)，作第2個(gè)正方

形；然后再以第2個(gè)正方形的對(duì)角線長為邊長，各邊均經(jīng)過第2個(gè)正方形的頂點(diǎn)，作第3個(gè)正方形；依此

方法一直繼續(xù)下去.若視陰影正方形為第1個(gè)正方形，第〃個(gè)正方形的面積為耳，則

2023

^[cos(∕ιπ)?log2β,,]=()

H=I

A.1011B.-IOllC.1012D.-1012

8.設(shè)A,B是半徑為3的球體。表面上兩定點(diǎn)，且NAOB=60°,球體。表面上動(dòng)點(diǎn)P滿足

∣B4∣=2∣P8∣,則點(diǎn)P的軌跡長度為（）

12√H4后C.MLD."

A.---------πB.--------π

5713

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多

項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.某種子站培育出A、B兩類種子，為了研究種子的發(fā)芽率，分別抽取100粒種子進(jìn)行試種，得到如下餅

狀圖與柱狀圖：

“類種子

用頻率估計(jì)概率，且每一粒種子

A.若規(guī)定種子發(fā)芽時(shí)間越短，越適合種植，則從5天內(nèi)的發(fā)芽率來看，B類種子更適合種植

B.若種下12粒A類種子，則有9粒種子5天內(nèi)發(fā)芽的概率最大

C.從樣本4、B兩類種子中各隨機(jī)取一粒，則這兩粒種子至少有一粒8天內(nèi)未發(fā)芽的概率是0.145

D.若種下10粒B類種子，5至8天發(fā)芽的種子數(shù)記為X,則O（X）=L6

10.設(shè)甲袋中有3個(gè)紅球和4個(gè)白球，乙袋中有1個(gè)紅球和2個(gè)白球，現(xiàn)從甲袋中任取1球放入乙袋，再

從乙袋中任取2球，記事件A=”從甲袋中任取1球是紅球”，記事件B="從乙袋中任取2球全是白

球”，則（）

Q

A.事件A與事件8相互獨(dú)立B.P⑻=—

')14

CP（A⑻4D.P網(wǎng)哈

11.已知拋物線f=4y的焦點(diǎn)為點(diǎn)代準(zhǔn)線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為K,斜率為Z（A>0）的直線/與拋物線相

交于A,B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為"（4,匕,），則下列結(jié)論正確的是（）

A.若IABI=6,則點(diǎn)M到X軸最小距離是3

B.當(dāng)直線/過點(diǎn)P（0,—2）時(shí)，Λ0>2√2

C.當(dāng)。4LOB時(shí)，直線尸M的斜率最小值是邁

2

D.當(dāng)直線/過點(diǎn)K,且AF平分NBFKB寸，怛同=4

12.如圖，已知圓柱母線長為4,底面圓半徑為26，梯形。內(nèi)接于下底面，CZ）是直徑，AB//

CD,AB=6,點(diǎn)AB,C,。在上底面的射影分別為4，Bi,Cl,。，點(diǎn)M,N分別是線段CC∣,AA1

上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。為上底面圓內(nèi)（含邊界）任意一點(diǎn)，則（）

A.若面DMN交線段BBl于點(diǎn)R,則NR//DM

B.若面勿V過點(diǎn)用，則直線MN過定點(diǎn)

C.ABQ周長為定值

D.當(dāng)點(diǎn)。在上底面圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記直線QA,QB與下底面圓所成角分別為α,萬，則

cos^+cos^eΓ39^

sin~asin2β|_22_

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.某個(gè)品種的小麥麥穗長度(單位：Cm)的樣本數(shù)據(jù)如下：10.2、9.7、10.8、9.1、8.9、8.6、9.8、9.6、

9.9、11.2、10.6、11.7,則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為.

14.已知圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，則該圓錐的側(cè)面積與其內(nèi)切球的表面積之比為.

15.已知函數(shù)/(x)=SinS-遂cos8(。>0)零點(diǎn)是以為公差的等差數(shù)列?若“可在區(qū)間［°，加］上單調(diào)

遞增，則機(jī)的最大值為.

16.已知函數(shù)/(x)的定義域O=(YO,0)D(O,+?),且對(duì)任意的xe。，都有/(τ)=∣∕(x)∣,若

/(x)在(-,O)上單調(diào)遞減，且對(duì)任意的XG(0,”)，不等式/(e*)>∕(x)恒成立，則實(shí)數(shù)”的取值

范圍是.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在一ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別是小b,c,己知貪〃A+COSA=0.

(1)求角A的大小；

(2)給出以下三個(gè)條件：①Q(mào)=4出，6=4；②。2一/+￠2+108=0；③SAβc=15λ∕L若以上三個(gè)條

件中恰有兩個(gè)正確，求SinB的值.

18.已知數(shù)列｛α,,｝中，％=1,點(diǎn)P(%,4+∣),"∈N*在直線*一丁+1=0上.

(1)求數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)為=—,S,為數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和，試問：是否存在關(guān)于"的整式g(〃)，使得

S]+S)+S,τ=(S,-l)?g(")(“≥2,"eN*)恒成立,若存在,寫出g(〃)的表達(dá)式，并加以證明，若

不存在，說明理由.

19.在長方體ABC?！?片。1。1中,AB=BC=2,過其，G，8三點(diǎn)的平面截去長方體的一個(gè)角后,

得到如圖所示的幾何體AB。。-AClA,且這個(gè)幾何體的體積為10.

(1)求棱4A的長;

(2)求平面ABc和平面BG。夾角的余弦值.

20.有一大批產(chǎn)品等待驗(yàn)收，驗(yàn)收方案如下：方案一：從中任取6件產(chǎn)品檢驗(yàn)，次品件數(shù)大于1拒收；方

案二：依次從中取4件產(chǎn)品檢驗(yàn)；若取到次品，則停止抽取，拒收；直到第4次抽取后仍無次品，通過驗(yàn)

收.

(1)若本批產(chǎn)品次品率為20%,選擇“方案二”，求需要抽取次數(shù)X的均值；

(2)若本批產(chǎn)品次品率為p(0<p<l),比較選擇哪種方案容易通過驗(yàn)收？

22

21.已知雙曲線C：W-W=I(α>0力>0)的左、右焦點(diǎn)分別為￡、%,焦距為4,右頂點(diǎn)為A,以A

為圓心，b為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線相交于R,S兩點(diǎn)，且NRAS=60。.

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知點(diǎn)M,。是雙曲線C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，其中M位于第一象限，N￡QK的角平分線

IMEl

記為/,過點(diǎn)M做/的垂線，垂足為E,與雙曲線右支的另一交點(diǎn)記為點(diǎn)M求上高的最大值.

?MN?

r-1

22.已知函數(shù)/(χ)=e

X

(1)求函數(shù)“力的單調(diào)區(qū)間；

(2)證明：當(dāng)x>0時(shí)，/(x)>xln(x+l).

參考答案

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.設(shè)集合A=NW>100},B=”ZIlgX<1},則A*（）

A.{5,6,7}B.{6,7,8}

C.{7,8,9}D.{8,9,10}

【答案】C

【解析】

【分析】求得指數(shù)不等式和對(duì)數(shù)不等式從而解得集合A3,再求ACB即可.

【詳解】y=2*為R上的單調(diào)增函數(shù)，又26=64（100,27=128）100,

故集合A的元素為大于等于7的整數(shù)；

lgx<l,即lgx<lglθ,解得0<χ<10,又x∈Z,

故集合B={l,2,3,4,5,6,7,8,9};

則ACB={7,8,9}.

故選：C.

2.已知復(fù)數(shù)Z是一元二次方程2χ+2=0的一個(gè)根，則IZl的值為

A.1B.√2C.OD.2

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意求得方程的兩個(gè)復(fù)數(shù)根，結(jié)合復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式，即可求解.

【詳解】由題意，方程--2χ+2=0,可得A=-2<0,

所以方程的兩個(gè)復(fù)數(shù)根分別為z=l+i或z=l-i,

所以忖=J5.

故選：B.

3.甲、乙兩所學(xué)校各有3名志愿者參加一次公益活動(dòng)，活動(dòng)結(jié)束后，站成前后兩排合影留念，每排3人，

若每排同一個(gè)學(xué)校的兩名志愿者不相鄰，則不同的站法種數(shù)有（）

A.36B.72C.144D.288

【答案】B

【解析】

【分析】先求出第一排有2人來自甲校，1人來自乙校，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理求出不同的站法種數(shù).同

理可得，第一排有2人來自乙校，1人來自甲校，不同的站法種數(shù).然后根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，相加即可

得出答案.

【詳解】第一排有2人來自甲校，1人來自乙校：

第一步，從甲校選出2人，有C；=3種選擇方式；

第二步，2人站在兩邊的站法種數(shù)有A；=2；

第三步，從乙校選出1人，有C；=3種選擇方式；

第四步，第二排甲校剩余的1人站中間，乙校剩余的2人站在兩邊的站法種數(shù)有A；=2.

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的站法種數(shù)有3x2x3x2=36.

同理可得，第一排有2人來自乙校，1人來自甲校，不同的站法種數(shù)有36.

根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可知，不同的站法種數(shù)有36+36=72.

故選：B.

4.在JWC中，ZC=90o,NB=30°,/84C的平分線交BC于點(diǎn)D若AD=+(X,"∈R),

λ

則一=()

A.-B.?C.2D.3

32

【答案】B

【解析】

BD

【分析】設(shè)AC=I,由角平分線定理求得一，然后由向量的線性運(yùn)算可用AB,AC表示出Ao,從而求

CD

得得出結(jié)論.

【詳解】設(shè)AC=I,因?yàn)镹C=90°,NB=30°,所以AB=2，

又A。是/B4C的平分線，所以生=生=1，CD=^BC,

BDAB23

---.1.-1一一.1一2

AD=AC+CD^AC+-CBAC+-(AB-AC)=-AB+-AC,

3333

12

又AO=4ΛB+"AC,所以幾=3，〃=§,

所以人=；.

μ2

故選：B.

5.中國古代建筑的主要受力構(gòu)件是梁，其截面的基本形式是矩形.如圖，將一根截面為圓形的木材加工制

成截面為矩形的梁，設(shè)與承載重力的方向垂直的寬度為X,與承載重力的方向平行的高度為y,記矩形截面

抵抗矩W=Jx）2.根據(jù)力學(xué)原理，截面抵抗矩越大，梁的抗彎曲能力越強(qiáng)，則寬X與高y的最佳之比應(yīng)為

6

()

A.?B.—C.1D.√2

22

【答案】B

【解析】

【分析】設(shè)圓的直徑為d,則V+;/=/,將矩形截面抵抗矩W=5個(gè)2表示成關(guān)于X的的函數(shù)，利用導(dǎo)

6

數(shù)求此函數(shù)的單調(diào)性、最值，從而得出結(jié)果.

【詳解】設(shè)圓的直徑為"，則Y+:/=/,...y=/—/,

由W'>0時(shí)，解得O<x<立d；由W'<O時(shí)，解得x>3

—a；

3、3

所以W在d單調(diào)遞增,d,d單調(diào)遞減,

7/

所以X=走d時(shí)W取最大值.

3

_______Bdr

此時(shí)y=pf=爭，所以：=右=￡.

—a

3

故選：B.

尤2V2

6.已知橢圓C:4+%=l(α>∕7>0),/7為其左焦點(diǎn),直線y="（左>0）與橢圓C交于點(diǎn)A,B,且

AE_LAB.若NABb=3（）。，則橢圓C的離心率為（）

A.也B,"C.也D.國

3366

【答案】A

【解析】

【分析】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F2,連接4工，BF2,設(shè)IAK=加，根據(jù)余弦定理得到C?=手，計(jì)算得

到離心率.

【詳解】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F?,連接AK，BF2,故四邊形AFB瑪為平行四邊形，

設(shè)IA月=加，ZABF-30°,貝IJlFβ∣=2m,忸閭=IAFl=加,

2

∣BF∣÷∣β∕?∣=2m+m=2a,m=-a,

△BE6中，(2c)2=[gα)+g4)-2x^?x^?xcos120o，

整理得到4c2=幽?，即C=立α,故e=￡=也.

93a3

故選：A

7.如圖，陰影正方形的邊長為1,以其對(duì)角線長為邊長，各邊均經(jīng)過陰影正方形的頂點(diǎn)，作第2個(gè)正方

形；然后再以第2個(gè)正方形的對(duì)角線長為邊長，各邊均經(jīng)過第2個(gè)正方形的頂點(diǎn)，作第3個(gè)正方形；依此

方法一直繼續(xù)下去.若視陰影正方形為第1個(gè)正方形，第〃個(gè)正方形的面積為則

2023

?^[eos(ra)-log,ɑ,,]?()

〃=1

C.1012D.-1012

【答案】B

【解析】

’1,“為偶數(shù)

【分析】根據(jù)圖形規(guī)律可知｛q｝是以公比為2,首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，進(jìn)而根據(jù)cosnπ=<

、-為奇數(shù)

并項(xiàng)求和即可?

【詳解】第一個(gè)正方形的邊長為4=1,面積為q="2=1,

222

第二個(gè)正方形的邊長為％=2xy-?,=√2?1,面積為4=b2=(√2?1)=2b：=2at,

第三個(gè)正方形的邊長為4=2×，面積為a?=仇？=(J，"，)=2%2=2a,,..…,進(jìn)而可

知：｛%｝是以公比為2,首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，所以勺=2"τ,??.log2怎=log22"T=〃—1,

I,〃為偶數(shù)

由于CoS〃兀=<,所以

為奇數(shù)

20232023

^[cos(nπ)?log2fl,,]=^[cos(nπ)?(n-l)]=0+1-2+3-4+5++2021-2022

〃=1"=1

2023—1

=0+(1-2)+(3-4)++(2021-2022)=-l×---=-1011,

故選：B

8.設(shè)4,B是半徑為3的球體O表面上兩定點(diǎn)，且NAa3=60°,球體。表面上動(dòng)點(diǎn)ρ滿足

IpAI=2∣PB∣,則點(diǎn)尸的軌跡長度為()

A12而r4√15r6√14n12√j?

A.-----------TlB.---------JTC?---------TtL)?---------兀

115713

【答案】D

【解析】

【分析】建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)IPAI=2歸卻確定軌跡為圓，轉(zhuǎn)化到空間得到軌跡為兩球的交線，計(jì)算球心

距ICa=Jm,對(duì)應(yīng)圓的半徑為Ai=瑞=鋁3,再計(jì)算周長得到答案.

【詳解】以AOB所在的平面建立直角坐標(biāo)系，AB為X軸，AB的垂直平分線為了軸,

I蜴=3,則A[-*0∣,B∣3∣,0,設(shè)P(XM,∣PA∣=2∣PB∣,

27

C3Y+4y2,整理得到(x—21+/=4,

則x+-+y2

I2；、2)\2)

故尸軌跡是以c[g,θj為圓心，半徑〃=2的圓,

轉(zhuǎn)化到空間中：當(dāng)P繞AB為軸旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，網(wǎng),網(wǎng)不變，依然滿足IpH=2∣PM

故空間中P軌跡為以C為球心，半徑為尸=2的球,

同時(shí)P在球。上，故P在兩球的交線上，為圓.

球心距為ICOI=^?0Bf+?BCf-2?OB???0C?COS120°=用=√22+32，

△OCP為直角三角形，對(duì)應(yīng)圓的半徑為4=言=綃3

國∣∕4,cC6√B12√B

周k為2兀4=2兀X-----=------π.

11313

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多

項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.某種子站培育出A、B兩類種子，為了研究種子的發(fā)芽率，分別抽取100粒種子進(jìn)行試種，得到如下餅

狀圖與柱狀圖：

4類種子8類種子

用頻率估計(jì)概率，且每一粒種子是否發(fā)芽均互不影響，則()

A.若規(guī)定種子發(fā)芽時(shí)間越短，越適合種植，則從5天內(nèi)的發(fā)芽率來看，B類種子更適合種植

B.若種下12粒A類種子，則有9粒種子5天內(nèi)發(fā)芽的概率最大

C.從樣本4、B兩類種子中各隨機(jī)取一粒，則這兩粒種子至少有一粒8天內(nèi)未發(fā)芽的概率是0.145

D.若種下10粒8類種子，5至8天發(fā)芽的種子數(shù)記為X,則O(X)=L6

【答案】CD

【解析】

【分析】根據(jù)圖形和概率的概念可判斷A選項(xiàng)；

由題意可知發(fā)芽數(shù)X服從二項(xiàng)分布，X8(12,0.8),

再由P(X=6>P(X=Z:+1),且P(X=6>P(X=女一1),可求人的最大值；

由概率的根據(jù)對(duì)立事件的性質(zhì)和相互獨(dú)立事件的概率公式，可計(jì)算選項(xiàng)C;

由題意可知X服從二項(xiàng)分布，X3(10,0.2),可判斷D選項(xiàng).

【詳解】從5天內(nèi)的發(fā)芽率來看，4類種子為80%,8類種子為75%,故A選項(xiàng)錯(cuò)；

若種下12粒A類種子，由題意可知發(fā)芽數(shù)X服從二項(xiàng)分布，XB(12,0.8),

l2i

P(X=Z)=Cf2O?8"(l-0.8產(chǎn)*=Cf20.8*0.2^,

則P(X=4"P(X=左+1),且P(X=Z)≥P(X=A-I),

可得C?0?8"0.2"d≥Cgi0.84+i0.2∣i,且C,O0θ22--≥Cf廠。圖飛?夫,

4752

所以一≤A≤y,即人=10,即有10粒種子5天內(nèi)發(fā)芽概率最大，故B選項(xiàng)錯(cuò)；

記事件A:樣本A種子中隨機(jī)取一粒8天內(nèi)發(fā)芽；

事件B:樣本B種子中隨機(jī)取一粒8天內(nèi)發(fā)芽；

根據(jù)對(duì)立事件的性質(zhì)，這兩粒種子至少有一粒8天內(nèi)未發(fā)芽的概率：

1-P(AB)=1-P(A)P(B)=l-0.9×0.95=1-0.855=0.145,故C選項(xiàng)正確；

由題意可知X服從二項(xiàng)分布，X3(10,0.2),

所以O(shè)(X)=IoXo.2x(1-0.2)=1.6,故D選項(xiàng)正確;

故選：CD

10.設(shè)甲袋中有3個(gè)紅球和4個(gè)白球，乙袋中有1個(gè)紅球和2個(gè)白球，現(xiàn)從甲袋中任取1球放入乙袋，再

從乙袋中任取2球，記事件A=”從甲袋中任取1球是紅球”，記事件B="從乙袋中任取2球全是白

球”，則()

9

A.事件A與事件B相互獨(dú)立B.P(B)=-

'14

C?P(A⑻=(D.網(wǎng)碉唔

【答案】CD

【解析】

【分析】由古典概型概率計(jì)算公式，以及條件概率公式分項(xiàng)求解判斷即可.

【詳解】現(xiàn)從甲袋中任取1球放入乙袋，再從乙袋中任取2球可知：

從甲袋中任取1球?qū)σ掖腥稳?球有影響，事件A與事件8不是相互獨(dú)立關(guān)系，故A錯(cuò)誤；

34

從甲袋中任取1球是紅球的概率為：P(A)=1,從甲袋中任取1球是白球的概率為：

所以乙袋中任取2球全是白球的概率為:

?C'C?C；C：125

z票?+故錯(cuò)誤;

P(B),=M?=77+4=77,B

`C'7C^C；C：14714

12

P(/AB、)=處CC五1’所以P/(MI?=/P(端AB)Fx1M14=歹1故C正確;

p(而)=1—尸(AB)=I—、=￡,故D正確.

故選：CD

11.已知拋物線￠=4),的焦點(diǎn)為點(diǎn)凡準(zhǔn)線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為K,斜率為k(A>O)的直線/與拋物線相

交于A,8兩點(diǎn)，線段4B的中點(diǎn)為"(x0,yo),則下列結(jié)論正確的是()

A.若IABl=6,則點(diǎn)M到X軸的最小距離是3

B.當(dāng)直線/過點(diǎn)P(0,—2)時(shí)，Λ0>2√2

當(dāng)OA?LO8時(shí)，直線FM的斜率最小值是如

2

D.當(dāng)直線/過點(diǎn)K,且AF平分/BFK時(shí)，忸月=4

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線定義判斷A,由判別式求出k的范圍結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式判斷B,利用均值不等式判斷C,

根據(jù)角平分線定理及拋物線定義判斷D.

連接AEB尸，其中加為準(zhǔn)線,

由拋物線定義知，2?MN?=^AC?+?BDHAF?+?BF?≥?AB?=6,

所以IMNI≥3,當(dāng)且僅當(dāng)/在AB上時(shí)，等號(hào)成立，故A正確;

對(duì)B,直線/過點(diǎn)P(O,-2)時(shí)，直線方程為y=依-2,聯(lián)立Y=今可得f—4日+8=0,

設(shè)A(XI,%),B(x2,y2),則A=16%2-32>0，解得C>√Σ(?>O),

所以2Λ0=石+w=4Z>40,即Xo>20,故B正確;

對(duì)C,設(shè)/:y=依+b,聯(lián)立χ2=4y可得χ2一4Ax-4b=0,當(dāng)△>()時(shí),

設(shè)A(Xl,y∣),B(x2,y2),則2q=X]+>=4：,Bpx0=2k(k>0),

X1X2=-4b,所以Xy2=1號(hào)=嘿-=/'

QA_LoB可得。A?O6=0,即司々+%%=。，

所以一4h+∕=0,解得6=4或沙=0(舍去)，此時(shí)A=16A:?+64>0，滿足題意,

=>∕β,

所以％=T="產(chǎn)=與?仔

當(dāng)且僅當(dāng)％=』，即時(shí)等號(hào)成立，故C錯(cuò)誤;

Ik2

對(duì)D,如圖，作AC_L/n,3O_Lm,

由題意知，K(0,—l),連接AgB/，其中加為準(zhǔn)線，

則/:y=自-1,聯(lián)立拋物線聯(lián)立∕=4y可得/_4履+4=0,當(dāng)△>()時(shí),

設(shè)A(XI,χ),β(%2,y2),則χ+X2=4Z,%l%2=4,

由拋物線定義知，18尸|=%+1=他，

∣BF∣?AB?IAB∣?CD?x,-x.

因?yàn)锳F平分/BFK,所以匕J=%U，由AC〃BD可知ZW=方元=一~l,

IFKIIAK?IAK?ICKlX1

y9÷1kx1X9-x1,?…

所以2=三=。-，即依］工2=2(%-F)，所以2攵二工2一%，

∣βFI3k—kC

又M+∕=4Z,解得Λ?=3A,%=k,所以4W=-—=2,gp∣BF∣=2×2=4,故D正確.

IFKITκ

故選：ABD

12.如圖，已知圓柱母線長為4,底面圓半徑為26,梯形ABC。內(nèi)接于下底面，CD是直徑,AB//

CD,AB=6,點(diǎn)AB,C,。在上底面的射影分別為A,B1,Ci,2,點(diǎn)”,N分別是線段CC∣,AA1

上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為上底面圓內(nèi)(含邊界)任意一點(diǎn)，則()

A.若面DMN交線段于點(diǎn)R,則NR//DM

B.若面勿V過點(diǎn)用，則直線MN過定點(diǎn)

C.ABQ的周長為定值

D.當(dāng)點(diǎn)。在上底面圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記直線QA,QB與下底面圓所成角分別為α,萬，則

cos^+cos^eΓ39^

sin~asin2β|_22_

【答案】ABD

【解析】

【分析】對(duì)A：先證。0〃面ABBlA,再利用線面平行的性質(zhì)，即可判斷；

對(duì)B：根據(jù)。4,MN共面，且MNU面ACe4,即可判斷；

對(duì)C：取點(diǎn)。與點(diǎn)及重合，以及點(diǎn)。與Ag中點(diǎn)重合兩個(gè)位置，分別計(jì)算三角形周長，即可判斷；

對(duì)D：根據(jù)題意，找到線面角，得到一^+「4=———,結(jié)合余弦定理、基本不等式求

s?naSnr夕QE'

四。2+4。2的范圍，即可判斷結(jié)果.

【詳解】對(duì)A：由題可得QC〃AB,ABu面ABqA,Z）C（Z面ABAA∣,故。C〃面ABBI4；

又CGMBBl,Bgu面ABBlAi,CGa面ABBlA1,故CC"/面ABBlA；

DCCCC1=C,DC,CC1U面PCC1D1,故面I）CC∣Q//面ABBl?；

又DMU面OCGol,故DM〃面ABBiAi-

又DMU面DMN,面DMNC面ABBIAl=NR,故可得DM〃NR,A正確；

對(duì)B：根據(jù)題意，DB,MN共面,

又M,N分別為CCl,AA1上的動(dòng)點(diǎn)，故直線施VU面ACC1A1；

不妨設(shè)直線DBl與平面ACCiAi的交點(diǎn)為p,

若要滿足與MN共面，則直線MN必過點(diǎn)尸，又尸為定點(diǎn)，故B正確；

對(duì)C：設(shè)-ABQ的周長為∕,

2

當(dāng)點(diǎn)。與與重合時(shí)，l=AB+BB]+AB∣=6+4+y∣AB+BB^

=10+√36+16=10+2√13；

當(dāng)點(diǎn)。與A隹中點(diǎn)重合時(shí)，連接僅2,AQ：

此時(shí)/=A8+5Q+AQ=A8+25Q=6+2J[；AB]+16

=6+2χ∕9+16=16；

顯然ABQ周長不為定值，C錯(cuò)誤；

對(duì)D：過。作底面圓垂線，垂足為E且在下底面圓周上，即QEJ?面ABCr>,

連接BE,AE,則NQBE、NQAE分別是直線QA,Q3與下底面圓所成角,

所以Sina=W,c。Sa=絲，sin夕=更,c。SP=世，貝COSaAEBE

AQAQBQBQsinaQE'QE

所以"里+霽g=當(dāng)詈1,而QE=4,AB=G,底面圓半徑為2道,

sin^asm~βQE'

若E在AB對(duì)應(yīng)優(yōu)弧上時(shí)NAEB=工，則cosNAEB=AE+'"TB=

32AEBE2

AF24-RF2

所以AE?+BE2-AEBE=36≥----------僅當(dāng)AE=BE=6時(shí)等號(hào)成立,

2

此時(shí)Al+BE2≤72，

2冗Λ"2,RF2AD21

若E在AB對(duì)應(yīng)劣弧上時(shí)ZAEB=—,則cosZAEB=

32AEBE2

所以NE?+BE2+AEBE^36≤匕；BE）,僅當(dāng)AE=BE=20時(shí)等號(hào)成立，

此時(shí)AE2+BE1≥24-

22

z.r,,,,CosCZCosβr39,

綜上，24≤4E2+BE2?72,故一^+―e[二,7],D正確.

Snrasm^∕?22

故選：ABD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：面面平行的性質(zhì)、直線與平面的位置關(guān)系、動(dòng)點(diǎn)問題以及線面角的求解；其中關(guān)于

D選項(xiàng)中對(duì)范圍的求解，將空間問題轉(zhuǎn)化為平米問題進(jìn)行處理，也可以直接建立空間直角坐標(biāo)系進(jìn)行處

理；同時(shí)關(guān)于C選項(xiàng)中的定值問題，選取特殊位置驗(yàn)證，不失為一種較好的做題技巧。

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.某個(gè)品種的小麥麥穗長度（單位：Cm）的樣本數(shù)據(jù)如下：10.2、93、10.8、9.1、8.9、8.6、9.8、9.6、

9.9、11.2、10.6、11.7,則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為.

【答案】10.8

【解析】

【分析】將數(shù)據(jù)從小到大排序后，運(yùn)用百分位數(shù)的運(yùn)算公式即可.

【詳解】數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)椋?.6、8.9、9.1、9.6、9.7、9.8、9.9、10.2、10.6、10.8、11.2、11.7,共有

12個(gè),

所以12χ80%=9.6,

所以這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是第10個(gè)數(shù)即：10.8.

故答案為：10.8

14.已知圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，則該圓錐的側(cè)面積與其內(nèi)切球的表面積之比為.

3

【答案】-

2

【解析】

【分析】由已知先計(jì)算圓錐母線與底面圓半徑的關(guān)系，再確定其內(nèi)切球半徑，最后由圓錐的側(cè)面積與球的表

面積公式計(jì)算即可.

如圖所示圓錐不，設(shè)其底面圓心為尸，半徑為〃，內(nèi)切球球心為0,半徑為心內(nèi)切球與母線〃/切于點(diǎn)

G,

22

則由題意可知;XπX2/"=2兀XHFn/H=IHF=2r,故/=1J(2r)-r=品,

易知IGoIFH,即史=皿=L,所以0∕=2R,/R=OF'+∕0=3R,二=上

OlIH2R

2

1oπr?

圓錐的側(cè)面積為2仃x2rx—=2兀，，內(nèi)切球的表面積為4兀叱，故與T=L

2ATIR-2

3

故答案為：一

2

15.已知函數(shù)/(X)=sinωx-^cosωx(ω>0)的零點(diǎn)是以T為公差的等差數(shù)列.若/(%)在區(qū)間［θ,nι?上單調(diào)

遞增，則，〃的最大值為.

..._5兀

【答x案】—

【解析】

【分析】先化簡函數(shù)，利用零點(diǎn)求出。，根據(jù)單調(diào)遞增求出陽的值.

(1,√3

【詳解】因?yàn)?(x)=sinOR-bCOSGX(G>0),所以/(x)=2一sin------cosωx=2sinωx--

I3

22√

TT9JI

因?yàn)?(X)的零點(diǎn)是以一為公差的等差數(shù)列，所以周期為兀，即一=兀，解得0=2；

2ω

Γ?IlC兀兀C兀

當(dāng)x∈[θ,加]時(shí)，2x——∈--,2ττ?——,

因?yàn)?(x)在區(qū)間[0,向上單調(diào)遞增，所以2,"-(≤],解得m≤∣^.

5兀

所以機(jī)的最大值為一?

127

故答案為：蕓5兀.

12

16.已知函數(shù)/(x)的定義域。=(F,0)D(0,+DO),且對(duì)任意的χ∈O,都有/(T)=∣∕(X)∣,若

/(x)在(y,0)上單調(diào)遞減，且對(duì)任意的x∈(0,+8),不等式/(ejc+")>"x)恒成立，則實(shí)數(shù)”的取值

范圍是.

【答案】(T,+∞)

【解析】

【分析】由/(r)=∣∕(x)∣,得到/(x)是偶函數(shù)，再結(jié)合/(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減，不妨設(shè)

/(x)=ln∣x∣+m,再根據(jù)對(duì)任意的x∈(0,+8),不等式/(6'+")>/(力恒成立求解.

【詳解】因?yàn)閿?shù)/(x)的定義域。=(-∞,0)5°,+s),且對(duì)任意的Xe。，都有x)=∣∕(x)∣,

所以y(-x)=∣∕(x)∣≥o,故以χ)≥o,貝U/(-X)=/(χ),

所以/(X)是偶函數(shù)，

又/(x)在(—8,0)上單調(diào)遞減，

由偶函數(shù)的對(duì)稱性可得/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

因?yàn)閷?duì)任意的％∈(0,+8),不等式f(e+u)>/(χ)恒成立，

所以對(duì)任意x∈(0,+8),不等式e'+α>x恒成立，

即X+α>InX對(duì)任意的X∈(0,+*)恒成立，

即α>In%-%對(duì)任意的％∈(0,七>。)恒成立，

l-x

令∕z(x)=InX-X,則∕z'(x)

X

當(dāng)O<x<l時(shí)，Λ,（x）>O,MX）單調(diào)遞增；

當(dāng)x>l時(shí),Λ,（x）<O,MX）單調(diào)遞減;

所以力（X）max='（I）=T，則α>T,

所以實(shí)數(shù)?的取值范圍是（一L+8）,

故答案為：（―l,+∞）

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在ABC中，角4,B,C的對(duì)邊分別是小b,c,已知A+gcosA=0.

（I）求角4的大??；

（2）給出以下三個(gè)條件：①a=4"，6=4;②〃一/+。？+］。匕=。；③SABC=I5后.若以上三個(gè)條

件中恰有兩個(gè)正確，求SinB的值.

【答案】（1）A-

ZX?p_3>∕3

（92）sinB------

14

【解析】

【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解即可；

（2）先由余弦定理分析條件確定正確的是②③，然后由正弦定理求解即可.

【小問1詳解】

因?yàn)閟inA+>∕3cosA=0，

若COSA=O,則SinA=0,不滿足sin?A+cos?A=I,所以tan4=-6，

2兀

因?yàn)?<A<7t,所以A=1.

【小問2詳解】

由A=年及①，由余弦定理可得〃=〃+/一2歷CoS會(huì)，

即c2+4c-32=0,由c>0,解得c=4；

由A=g及②，由余弦定理可得∕√+<?一/-2Z?ccosA=-be,

由b?一/+c?+10b=0可得10匕一匕C=0,可得C=I0；

由A=Zf及③，由三角形的面積公式可得SMBC=L歷SinA=正歷=15JL

?24

可得〃c=60.

經(jīng)分析可知①②不能同時(shí)成立，①③不能同時(shí)成立，正確條件為②③，

故人=6,c=10?

代入②可得36-Q2+i(χ)+60=0可得。=14.

ab283x∕T

在4LBC中，由正弦定理=Z==f，故SinB=也.

sinAsinB√314

18.已知數(shù)列｛4｝中，α∣=l,點(diǎn)P(an,an+l),在直線了一丁+1=0上.

(I)求數(shù)列｛α,,｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)a=—，S“為數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和，試問：是否存在關(guān)于"的整式g(〃)，使得

a∏

Sl+S2+5,_|=(5,-1)抬(〃)(〃22,〃6%*)恒成立，若存在，寫出g(〃)的表達(dá)式,并加以證明，若

不存在，說明理由.

【答案】(1)aι,=ni(2)存在，g(〃)=〃，證明見解析.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)點(diǎn)P(α.M,小)在直線χ-y+l=0上，將點(diǎn)坐標(biāo)代入方程，可得用與知的關(guān)系，根據(jù)等差數(shù)列

的定義，即可求得數(shù)列｛α,,｝的通項(xiàng)公式；

(2)由⑴可得〃,，進(jìn)而可求得S”的表示式，化簡整理，可.得〃S,一但-I)S=S,"+1,利用累加

法，即可求得S∣+S?+S,"的表達(dá)式，結(jié)合題意，即可得答案.

【詳解】(1)因?yàn)辄c(diǎn)P(q,,αw),〃GN*在直線x-y+l=O上，

所以4-?！?1+1=0,即。"+1-4=1，且4=1，

所以數(shù)列｛4