2023高考立體幾何綜合大題練習(xí)100題

2023高考立體幾何綜合大題必刷100題

目錄

1.任務(wù)一:善良模式（基礎(chǔ)）1-30題................................................1

2.任務(wù)二：中立模式（中檔）30-70題.............................................44

3.任務(wù)三:邪惡模式（困難）70-100題...........................................128

L任務(wù)一:善良模式（基礎(chǔ)）1-30題

1.在棱長(zhǎng)為1的正方體/8CD-44CQ中，E為線段44的中點(diǎn)，尸為線段N8的

中點(diǎn).

（1）求點(diǎn)8到直線/G的距離；

（2）求直線FC到平面AECt的距離.

【答案】（I）逅；（2）近.

36

【分析】

（1）以A為原點(diǎn)，DJOQ所在直線分別為X軸，y軸，Z軸，建立空間

_^AC.

直角坐標(biāo)系，取￡=荏，Iz=崗，根據(jù)空間向量點(diǎn)到直線距離公式，可得點(diǎn)點(diǎn)8

到直線ZG的距離；

（2）易證"7/平面NEG，則點(diǎn)尸到平面ZEG的距離為直線尸C到平面Zg的距

離,求出平面ZEa的一個(gè)法向量，再求出萬=（0,；,0）,根據(jù)點(diǎn)到面的距離公式,

可得直線FC到平面XEG的距離.

【詳解】

以。為原點(diǎn)，RAyDlCl,OQ所在直線分別為X軸，P軸，z軸，建立如圖所示的

空間直角坐標(biāo)系，

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則A(l,0,1),5(1,1,1),C(0a,l),C,Q,1,0),E

_______,1

所以48=(0,1,0),AC1=(-1,1,-1),AE=(θ,?,-l),

—?1—■1—1

ECl=(-l,-,0),FC=(-l,-,0),Af=(Q-,0).

(1)取Z=酢=((M,0),u=1,1,-1),則

所以，點(diǎn)B到直線/G的距離為

(2)因?yàn)槎?鬲=卜lg,θ],所以FC//EJ,所以尸C//平面/g.

所以點(diǎn)尸到平面/EG的距離為直線尸C到平面NEa的距離.

h?AE=0

設(shè)平面ZECl的法向量為"=(χ,y,z),則

n?ECl=0

-y-z=0

2

所以

-X+??=0

X=Z

所以

y=2z

取Z=L則ALy=2.所以,I=(1,2,1)是平面力四的一個(gè)法向量.

又因?yàn)槿f=(0,4,0),所以點(diǎn)尸到平面AEC1的距離為也@=150)"W|=√6

2|?|√66

即直線FC到平面∕EC∣的距離為".

6

2.如圖，正方形/38/的邊長(zhǎng)為2,///蜴的中點(diǎn)分別為GG,正方形

沿著折起形成三棱柱/8C-44G,三棱柱N8C-4AG中，AClBC,AD=AA4.

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Blf?、

(1)證明：當(dāng)/=4時(shí)，求證：OCi平面8CZ)；

(2)當(dāng)2=J時(shí)，求二面角。-8G-C的余弦值.

4

【答案】(I)詳見解析；(2)返

29

【分析】

(1)要證明線面垂直，轉(zhuǎn)化為證明線線垂直，關(guān)鍵證明。C，OC；,BClDCf;

(2)以點(diǎn)C為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求平面附和平面BCG的法向

量，利用法向量公式求二面角Q-BG-C的余弦值.

【詳解】

(1)當(dāng)2=3時(shí)，點(diǎn)。是44的中點(diǎn)，

因?yàn)?。=/。=4。=4。|=1,所以。C=Z)G=應(yīng)，又CCI=2,

所以。C?+DC；=CC：,所以。C?LOC∣,

因?yàn)锽C_L/C,BCLCCx,所以5C_L平面/CC/,OGU平面RCC/

所以BCIOG，且。C18C=C,

所以。q1平面88；

(2)因?yàn)镃G,CA,CB兩兩互相垂直，所以以點(diǎn)C為原點(diǎn)，以B,在，西作

為羽入Z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖，

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。，平面3CG，所以向量有=(1,0,0)是平面BCG的法向量，

8(0,1,0),CI=(0,0,2),nfl,θ,?l西=卜1端,麗=(TLq

設(shè)平面附的法向量J=(X,y,z),

3八

-X+—z=0

所以乳2

即令z=2,%=3,V=4,

1

-x+y--z=λ0

所以平面￡0。的一個(gè)法向量萬=(3,4,2),

>=M?=.33場(chǎng)

COS<CA,n

ICdMl√32+42+2229

所以二面角。-SC-C的余弦值是嚕

3.如圖，直三棱柱48C-4&G的底面為直角三角形，兩直角邊/5和/C的長(zhǎng)

分別為4和2,側(cè)棱的的長(zhǎng)為5.

(1)求三棱柱"C-45G的體積；

(2)設(shè)M是BC中點(diǎn)，求直線4"與平面"5C所成角的正切值.

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【答案】⑴20；(2)√5.

【分析】

(1)根據(jù)棱柱的體積公式進(jìn)行求解即可；

(2)根據(jù)線面角的定義，結(jié)合銳角三角函數(shù)定義進(jìn)行求解即可.

【詳解】

(1)???直三棱柱"C-的底面為直角三角形，

兩直角邊AB和AC的長(zhǎng)分別為4和2,側(cè)棱/4的長(zhǎng)為5.

.?.三棱柱NBC-的體積：V≈S^ΛBC×AA,=^×AB×AC×AAX

=Lχ4x2χ5=20.

2

(2)連接

??,直三棱柱"CfMG的底面為直角三角形，

兩直角邊力8和力。的長(zhǎng)分別為4和2,側(cè)棱/4的長(zhǎng)為5,M是BC中點(diǎn),

.W底面Z8C,∕∣M=∣βC=∣√16+4=√5,

???^MA是直線A1M與平面ABC所成角，

tanZA,MA=以=?=后,

'AM√5

二直線4附與平面/8C所成角的正切值為有.

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4.如圖，在三棱錐PrBC中，PAABC,/BZC=90。.點(diǎn)。，E,N分別

為棱24,PC,3C的中點(diǎn)，M是線段的中點(diǎn)，PA=AC=4,AB=2.

(1)求證：W//YffiBDE;

(2)求二面角C-EM-N的正弦值；

(3)已知點(diǎn)〃在棱以上，且直線M與直線5E所成角的余弦值為手，求

線段/77的長(zhǎng).

【答案】(1)證明見解析；(2)返；(3)4

21

【分析】

(1)根據(jù)三角形中位線定理，結(jié)合面面平行的判定定理和性質(zhì)進(jìn)行證明即可;

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可；

(3)利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】

(1)證明：取Z8中點(diǎn)E連接MF.NF,

?.?M為Zz)中點(diǎn)，

.-.MFHBD,

Q83u平面BDE,"尸U平面BDE,

.?.MF∕/平面BDE.

QN為8C中點(diǎn)，

.-.NFHAC,

又。、E分別為/P、PC的中點(diǎn)，

.-.DEHAC,NF11DE.

■：DEU平面BDE,NF(Z平面BDE,

.?.*//平面BDE.

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又MFCNF=F,MEU平面JWW,NFU平面Λ√FN,

，平面"/W//平而8QE,又MNU平面MFN,

則1W//平面BDE-,

(2)VPzllJgjfI/胡C=90。.

.??以N為原點(diǎn)，分別以48、AC.NP所在直線為X、八Z軸建立空間直角坐標(biāo)

系.

?.?P∕=∕C=4,AB=2,

.?.∕(0,0,0),8(2,0,0),C(0,4,0),M(0,0,1),N(1,2,。)，￡(0,2,2),

貝IJ麗=(1,2,-1),Λffi=(0,2,l),

設(shè)平面MEN的一個(gè)法向量為∕w=(x,y,z),

[沅?麗=0/曰卜+2y-Z=O

^i[m-ME=0,2j+z=0'

取z=2,得而=(4,-1,2).

由圖可得平面CME的一個(gè)法向量為；=(1,0,0).

/--mn

―加〃?)=麗=標(biāo)445∕21

由圖Ur知:而向C-EM-N的平面.角為銳用，

???二面角C-EM-N的余弦值為逑?,則正弦值為運(yùn)；

2121

(3)設(shè)/H=f,則"(0,0,「)，ΛW=(-l,-2√),而=(-2,2,2).

直線NH與直線BE所成角的余弦值為五,c0s<≡≡>?

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2t-2_√Γ

y∣5+t2×2y∣37"

解得：f=4.

.?當(dāng)H與P重合時(shí)直線NH與直線BE所成角的余弦值為近，此時(shí)線段AH的

7

長(zhǎng)為4.

5.已知圓錐的頂點(diǎn)為P,底面圓心為0,半徑為2.

（1）設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為4,求圓錐的體積；

（2）設(shè)PO=4,OA.03是底面半徑，且4408=90。，M為線段45的中點(diǎn),

如圖.求異面直線PM與08所成的角的余弦值.

【答案】（I）返；（2）也.

36

【分析】

（1）利用圓錐的體積公式進(jìn)行求解即可；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】

（1）?.?圓錐的頂點(diǎn)為P,底面圓心為0,半徑為2,圓錐的母線長(zhǎng)為4,

圓錐的體積P=^×π×r2×Λ=-^X?×22×Λ∕42-22

8√3^?

=;

3

（2）?.?PO=4,OA,08是底面半徑，且4。8=90。，

M為線段/8的中點(diǎn)，

二以。為原點(diǎn)，（以為X軸，08為y軸，OP為Z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，

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mo,4),A(2,0,O),8(0,2,O),

”(1,1,O),O(O,O,O),

麗=(1,1,-4),OB=(0,2,O),

設(shè)異面直線PM與OB所成的角為6,

PM-θS?2^√2

則COSe

^PM??O^^√I8×2-6-

???異面直線PM與OB所成的角的余弦值為也.

6

6.如圖所示，已知四棱錐P-力88中，四邊形NBCQ為正方形，三角形P4B為

正三角形，側(cè)面/>43，底面/88,用是棱/。的中點(diǎn).

(1)求證：PCLBM；

(2)求二面角8-PM-C的正弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2)理.

4

【分析】

(1)取Z18的中點(diǎn)0,連接。尸，并過。點(diǎn)作5C的平行線OE,交CD于E,即可

得到OE:8,POVAB,從而得到POL底面/8C。，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

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利用空間向量法證明線線垂直；

（2）利用空間向量法求出二面角的余弦值，從而求出其正弦值；

【詳解】

解：（1）取力8的中點(diǎn)（9,連接。尸，并過。點(diǎn)作8C的平行線OE,交CD于E,

則OE1AB

???三角形產(chǎn)/8為正三角形

.?.PO1AB

,：平面PAB1底面/8CZ）且平面PABC底面ABCD=AB

尸01底面/8C。

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，歷的方向?yàn)閄軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，令

PB=AB=2,

Zi\

P

D

則B(l,0,0),P(θ,θ,√3),M(-1,1,0),C(l,2,0)

FC=(1,2,√3),5Λ7=(-2,1,0)

~PC~BM=l×(-2)+2×l+卜6卜0=0

PC?BM

(2)麗=(-1,1,-?CΛ∕=(-2,-1,0)

設(shè)平面產(chǎn)旭8的?個(gè)法向量為M=(X,y,z)

貝訴=。即[-x+v-"=C)

[BM?∕w=0—2x+?=0

_(W

令X=I,m=1,2,—

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設(shè)平面PMC的一個(gè)法向量為n=（a,b,c）

,.PM-n=O?-a+b-?fic=0

則r一即《

[CM-n^Q[-2a-b=0

令α=l,〃=(∣,-2,>/5")

.?.二面角B-PM-C的正弦值為巫

4

7.已知點(diǎn)E,尸分別是正方形/8CD的邊,4D,BC的中點(diǎn).現(xiàn)將四邊形EFcD沿EF

折起，使二面角C-EF-B為直二面角，如圖所示.

（1）若點(diǎn)G,H分別是/C,濟(jì)■的中點(diǎn)，求證：G"http://平面E”。；

（2）求直線/C與平面/8/芭所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）逅.

6

【分析】

（1）要證明線面平行，可轉(zhuǎn)化為證明面面平行；

（2）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，可知C尸，平面/8FE,再結(jié)合線面角的定義,

可得得到直線ZC與平面/8FE所成角的正弦值.

【詳解】

證明：（1）連接“尸，

設(shè)點(diǎn)。為ZF的中點(diǎn)，連接G。，OH,

在"C尸中，又因?yàn)辄c(diǎn)G為ZC中點(diǎn)，

所以O(shè)G//CF.

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同理可證得

又因?yàn)镋,尸分別為正方形/8C。的邊/O,8C的中點(diǎn)，

故EFHAB,所以?！薄‥尸.

又因?yàn)镺HCoG=O,所以平面GOHH平面EFCD.

又因?yàn)镚ZZu平面GCW,所以G"http://平面MCD.

(2)因?yàn)閆BCD為正方形，E,尸分別是4。，BC的中點(diǎn)，

所以四邊形EFC。為矩形，JjllJCFlfF.

又因?yàn)槎娼荂-EF-B為直二面角，平面EFCon平面ZB尸E=EF,CFU平面

EFCD,

所以C尸J_平面ABFE,

則/尸為直線ZC在平面/8FE內(nèi)的射影，

因?yàn)镹C4廠為直線4C與平面ZBFE所成的角.

不妨設(shè)正方形邊長(zhǎng)為。，則CF=B尸=￡,

在Rt"8F中，4F=^AB2+BF-==亭，

因?yàn)镃FJ.平面48尸E,4尸U平面NBPE,所以CFJ_/尸,

在Rt中，AC=在尸+C尸=J［與J+H=當(dāng)，

a

CF2V6

SinZCAF-----—=—

ACy∕βa6

2

即為直線XC與平面”8房所成角的正弦值.

8.已知如圖1所示，等腰“8C中，∕8=∕C=4,BC=4∣i,。為8C中點(diǎn)，現(xiàn)

將48。沿折痕翻折至如圖2所示位置，使得N8OC=(,E、尸分別為48、4C

的中點(diǎn).

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A

A

(1)證明：BC//平面。EF；

(2)求四面體8CZ)E的體積.

【答案】(1)證明見解析；(2)√3.

【分析】

(1)由線面平行的判斷定理即得；

(2)根據(jù)題意可得—=，加=；%8，即求

【詳解】

(1)證明：

；E、尸分別為“8、4C的中點(diǎn)，.?.E尸〃BC,

VEFU平面DEF,8CC平面DEF,

.?.BC//平面。E尸；

(2)在原等腰三角形ZBC中，?.?∕8=∕C=4,BC=而,。為8C中點(diǎn),

.?.ADVDB,ADlDC,K∕1D=√42-(2√3)2=2,

在折疊后的三棱錐中，ADlDB,ADLDC,

又DBCDC=D,.?.∕Z)1平面8DC,

71

■：DB=DC=2邪,ZBDC=—,

S^DC=?×2√3×2√3×sin?=6×?y=√5,

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^-βc∕>=∣×3√3×2=2√3,

,?'E為AB111點(diǎn)，?,?SgCE=5SMBc,

可得^BCDE=2^D-^BC=2".CD=6■

9.在三棱柱ABC-AxBxCi中，AB=2,BC=BBl=4,AC=ABi=2√5,且N5CCi=60。.

C'

(1)求證：平面4SG_L平面5CG5ι:

(2)設(shè)二面角GNGd的大小為仇求sinθ的值.

【答案】⑴證明見解析；⑵sin。=姮.

4

【分析】

(1)勾股定理證明/8L8C.結(jié)合"8C="四.證明即可證明；(2)建

立空間坐標(biāo)系求解

【詳解】

解:⑴在“8C中,AB2+BC2=20=AC2,所以2月5C=9(Γ,BPAB1BC.

因?yàn)锽C=BBI,4C=4B],4B=4B,所以A∕8CMA∕88∣.

所以NABBI=NABC=90°,即AB1BBv

又BCCBB、=B,所以48,平面8明斗

又ABI平面ZBG，所以平面NBG?平面BCaB、.

(2)由題意知，四邊形3CCf為菱形，且NBCG=60。，則A8CG為正三角形，

取CG的中點(diǎn)，連接8D,則友〃CCr

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以B為原點(diǎn)，以前,函,0的方向分別為x,%z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系

B-xyz,則B(0,0,0)中(0,4,0),∕(0,0,2),c(2√i,-2,0),G(2√J,2,0)

設(shè)乎面NCC/的法向量為7=(x,y/),且就=(2/-2,-2),西=(0,4,0).

由時(shí)”。得I箕產(chǎn)2Z=。,取χ,o的

由四邊形BCC圈為菱形，得BaLBC；

又/8_L平面8CG8∣,所以力8J.8C；

又AB?BG=B,所以4C_L平面48G，

所以平面/8G的法向量為品=(2√3,-6,θ).

故Sine=^?.

4

10.如圖，四棱錐P-NBS中，底面，88是直角梯形，ADHBCf/540=90。,

已知P/=PC=3有，AD=2,AB=后,BC=3.

(2)若二面角P-/C-8的余弦值為:，求四棱錐尸-的體積.

70

【答案】⑴證明見解析；(2)y.

【分析】

(1)過。作OE_LBC交8C于點(diǎn)E,求得CZ)=2,取4C中點(diǎn)為尸點(diǎn)，連接PF,如，

證得NC_Lz)EZCl尸尸，證得"，平面尸萬，即可證得4C_LH).

(2)由(1)知，得到cos/PFD=；,求得點(diǎn)P到平面/88的距離為人，和梯形

488的面積，結(jié)合體積公式，即可求解.

【詳解】

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(1)過。作DEjC交BC于點(diǎn)E,則。E=Z8=√J,EC=BC-ZO=I,

在直角A。CE中，則CD=JDE2+E(j2=2,

取力C中點(diǎn)為尸點(diǎn)，連接PEE0,

因?yàn)镹D=CZ)=2,Λ4=PC=3百，所以Zo',4C?LPF,

乂因?yàn)镻FCFD=F,且PEH?u平面PFr),所以/Cl平面PFD,

又由PZ)U平面PFD,所以4C?LPD.

（2）由題意知，二面角P-NC-。的余弦值為:，

由（1）知，二面角P-XC-。的平面角為NPQ,故cos/尸F(xiàn)。=；,

在RtZU8C中，可得AC=LB?+BC）=28，所以4r=g∕C=√i,

所以PF=JPr-加=2指，

設(shè)點(diǎn)P到平面月BCD的距離為4,則h=PFsmZPFD=2√6×逑=—，

33

又梯形/88的面積為5=（竿卜百=",

故四棱錐P-/88的體積H=Lx筮X迪=型.

3233

11.如圖，四棱柱/567）—431。101中，底面4BC0和側(cè)面3CG5ι都是矩形,

E是CO的中點(diǎn)，DlE±CD,AB=IBC=I.

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(1)求證：平面CGOIojL底面/6C0；

(2)若平面BCC1B1與平面BEDl所成的銳二面角的大小為。，求線段EOl的

長(zhǎng)度.

【答案】(1)證明見解析；⑵ED=L

【分析】

(1)利用線面垂直的判定定理證明平面CDDiG,可得ADlDtE,又

CDID1E,即可證明。/J_平面/BCD再由面面垂直的判定定理證明即可；

(2)DtE=a,建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo),

然后利用待定系數(shù)法求出平面的法向量，由向量的夾角公式列出關(guān)于。的方

程求解即可.

【詳解】

(1)證明：因?yàn)榈酌?8CO和側(cè)面BCC囪都是矩形，

所以AD-LDDi,

又CDCDDi=D,CD,DDlU平面CODG,

所以4。，平面CDDC,又。IEU平面CDDC,

所以/。，。歸，又CD±DιE,且。。A/。=。，CD,NOu平面Z8C。，

故L平面/8C。，又OIEU平面CGJ0。，

則平面Ca平面ABCD-,

(2)解：取力8得中點(diǎn)R連結(jié)ER則四邊形EEBC為正方形，

所以EZLLCZ),故以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

設(shè)。∕=α,貝!]E(0,0,0),F(1,0,0),5(1,1,0),C(0,1,0),

Ci(0,2,a),

所以元=(-1,0,0),西=(0,1,a),定=(TL0),

設(shè)平面BCaBI的法向量為萬=(χ,y,z),

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n-BC=O-x=0

則有?,即

n-CCl≈Oy+az=0

令z=l,則萬=(0,-α,D,

因?yàn)槭諪C上DιE,BECDIE=E,BE,Z)IEU平面BEZh,

所以“，平面BED?,

故定=(-1,1,0)為平面BDIE的一個(gè)法向量，

所以MSG,硝I=犒=瓦衣r

因?yàn)槠矫鍮CClBI與平面BEDl所成的銳二面角的大小為

√?π=cosτ4'解得a』，

所以AE=L

12.如圖，四棱錐P-/88的底面/88是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面PNoJ.平面

ABCD,是斜邊山的長(zhǎng)為2及的等腰直角三角形，E,尸分別是棱PC

的中點(diǎn)，M是棱8C上一點(diǎn).

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（1）求證：平面DEM_L平面尸/8；

（2）若直線“與平面/8CD所成角的正切值為嚀，求銳二面角E-DM-尸的

2

余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）逅.

6

【分析】

（I）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，結(jié)合線面垂直的判定定理、面面垂直的判定定

理進(jìn)行證明即可；

（2）根據(jù)（1）,結(jié)合線面角的定義得出加點(diǎn)是8C的中點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)

系，利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】

解：（1）依題意可得：PDLDA,DP=DA=DC=2.

,/平面尸/。_L平面ABCD,平面P∕°n平面ABCD=DA,ABlDA,ABi平面ABCD,

/.45J_平面PAD,DEU平面PAD：.ABLDE.

在RtV中，DP=DA,￡■是棱PZ的中點(diǎn)，所以尸4,?DE.

又P4C4B=4,PA,481平面PNB,，DE_L平面尸NB.

又DEU平面DEM,二平面。ENI平面P48.

（2）如圖，取CD的中點(diǎn)N,連接MN,NF,

則JVF〃尸D,NF=；PD=I

由（1）知PoJ_平面∕5S,ΛNF1ABCD

第19頁共199頁

.?./FMN是直線Λ//與平面N88所成角

I72

.*.tanZFMN==

^MN~~2

：.MN=近,/?MC=y∣MN2-NC2=1

???M是棱BC的中點(diǎn),

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DP分別為X軸，y軸，Z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則有：JD(0,0,0),￡(1,0,1),尸(0,1,1),M(1,2,0)

.?.市=(1,0,1),而=(0,1,1),麗=(1,2,0)

設(shè)平面EDM的法向量為五=(α,6,C),平面DMF的法向量為3=(x,%z)

0=DE?m=a+c??,—、

則l_____，令α=-2,則"7=(-2,1,2)z

0=DM?m=a+2b

0=DF?π=?+z…-/x

有,0=兩S=X+2/令A(yù)2則〃=(-2],-1)

/一一?m`n3√6

?COS(/〃?〃)=I__II_i=---------產(chǎn)=---

'?w'H3×y∕β6

銳二面角E-OW-尸的余弦值為理.

6

13.如圖所示，四棱錐E-?8。的底面/8C。是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面E48,

底面488,EA=EB,尸在側(cè)棱CE上，且"，平面/CE.

(1)求證：4E_L平面8CE；

(2)求點(diǎn)O到平面/CE的距離.

【答案】(1)證明見解析；(2)苧.

【分析】

第20頁共199頁

(1)證得8/E和C結(jié)合線面垂直的判定定理即可證得結(jié)論；

(2)等體積法即可求出結(jié)果.

【詳解】

證明：(1)：側(cè)面EZBL底面/58,側(cè)面￡48C底面NBCO=NB,且C

CBU底面/8CD,，CB，平面ABE,：.CBVAE,'：8/，平面ACE,4Eu平面ACE,

故BF人4E,BFCCB=B,故4E_L平面2CE：

(2)過點(diǎn)E作E0_LZ5,垂足為O,則EO_L平面/18C。，在取AE/8中，

EA=EB,AB=2,可求得OE=1,設(shè)。到平面ZCE的距離為〃，由^D-ΛCE=VE-ACD，

所以義腔∕=:?S"8?EO,/,=S?%絲,

?'GACEJ

即點(diǎn)D到平面ACE的距離為亞.

3

14.在三棱錐5-∕α)中，平面/3ZKL平面/CO,AC=CD=AD=AB

=1,且/5/0=30。，求點(diǎn)O到平面/5C的距離.

【答案】警

13

【分析】

建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面/6。的一個(gè)法向量，利用空間距離的公式即可

求出結(jié)果.

【詳解】

解如圖所示，以的中點(diǎn)。為原點(diǎn)，以O(shè)D,OC所在直線為X軸、y軸，

過。作OML平面/CD交/8于以直線OM為Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則Z(-1θ,O),s(^??,θ?),C(O,3,0),Z)(∣,0,0),

22222

ZC=(；,當(dāng)0),AB=(與,0,},OC=(-；,*,0),

設(shè)G=(X,y,z)為平面/BC的一個(gè)法向量，

第21頁共199頁

h?AB=^-x+-z=O∣-

則,23,所以y=一日工，z=一√Jx,可取7=（一百，1,3）,

n?AC=JX+--y=0

22

/LIχ>IDCHIZ≡.+y/39

代入d=J,得d=22

W~ar13

即點(diǎn)D到平面ABC的距離是叵.

13

15.如圖，在長(zhǎng)方體∕88-40G2中，AB=BC=I,BB、=2,E為棱熱的中點(diǎn).

（1）證明：BE2平面EB￡；

（2）求二面角B-EC-C的大小.

【答案】（1）證明見解析；（2）120。.

【分析】

（1）根據(jù)4G，側(cè)平面44B/得出8E_LB￡,再利用勾股定理即可證明BE1S1C1,

從而證明筋_L平面E4G.

（2）以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以方,反,西分別為X，HZ軸，建立空間直角坐標(biāo)

系，利用向量法即可解決.

【詳解】

（1）證明：因?yàn)?8CZ）-48￡鼻是長(zhǎng)方體，所以8CU則平面48由/,

而BEU平面48田4,所以3E_L5G，

在A8E8∣中，BE=瓜BlE=>∕2,BB、=2,

所以BE、BF=BB；,所以8EL8f,

第22頁共199頁

又B?C?CB∣E=B∣,βlCl,AEU平面EBlCl,因此龐，平面EB￡.

（2）如圖所示，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以方,反,國分別為X，。Z軸，建立空

間直角坐標(biāo)系,

則8(1,1,O),C(O,1,0),C1(0,1,2),￡(1,0,I),

反=(-1,1,-1),CC1=(0,0,2),麗=(0,7,1),

設(shè)比=（演,必，zI）是平面BEC的法向量,

ifi`BE=0,-y+z=0,

力1?1=>w=(0,1,1),

rfιEC=0F+M-z∣=0

設(shè)元=（和必，Z2）是平面ECG的法向量,

n,CC=0,2z=0,

則l1=>π=(l,1,0),

∏?EC=O—X)+%—Z2=0

所以品=U方=；，因?yàn)槎娼荁-EC-C為鈍角，所以二面角B-EC-C^

大小為120。.

16.如下圖，在四棱錐S-/BO）中，底面［8CZ）是正方形，平面S4），平面/8CZ）,

SA=SD=29AB=3.

（1）求以與8C所成角的余弦值;

第23頁共199頁

(2)求證：ABlSD.

7

【答案】⑴工(2)證明見解析.

4

【分析】

(D由題意可得NS/。即為SA與BC所成的角，根據(jù)余弦定理計(jì)算即可；

(2)結(jié)合面面垂直的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)即可證明.

【詳解】

【考查內(nèi)容】異面直線所成的角，直線與平面垂直的判定和性質(zhì)

【解】(1)因?yàn)锳DHBC,因此ASAD即為SA與BC所成的角，在^SADψ,SA=SD=2,

又在正方形ABCD'?'AD=AB=i,因此cosZSAD="丘/"一"：=2二3-二2：=3,

2SA?AD2×2×34

因此與BC所成角的余弦值是(

4

(2)因?yàn)槠矫嬉?。，平?BCD,平面%Z)C平面Z5C。=/。，在正方形ZBCZ)中，

ABLAD,

因此/18，平面S4D,又因?yàn)镾oU平面S/D,因此力8_LSD.

17.如圖，四棱錐尸-的底面是矩形，Pr)I底面N8CZ),M為BC的中點(diǎn)，

且尸8J.ZM.

(1)證明：平面Λ4Λ∕J■平面P8。；

(2)若PD=DC=1,求四棱錐P-/8C。的體積.

【答案】(1)證明見解析；(2)也.

3

【分析】

(1)由POL底面/8CD可得PDL/",又PBL4M,由線面垂直的判定定理可

得4"，平面PBD,再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證出平面PAM?平面PBD；

第24頁共199頁

(2)由(1)可知，AMLBD,由平面知識(shí)可知，ADAB~"BM,由相似比可求

出再根據(jù)四棱錐尸-43CC的體積公式即可求出.

【詳解】

(1)因?yàn)镻DL底面∕5S,4Wu平面月88,

所以PDJ.NV,

又PB!.AM,PBRPD=P,

所以/A/_L平面P8D,

而AMU平面PAM,

所以平面PAM1平面PBD.

(2)由(1)可知，平面尸8D,所以

從'而ADAB~AABM,設(shè)BΛ∕=x,AD=2x,

則=即2χ2=l,解得χ=4∑,所以力。=￠?

ABAD2

因?yàn)镻D，底面?SGO,

故四棱錐尸-/5C。的體積為∕=gx(lx√?xl=q.

18.如圖，在四棱錐P-/8CZ)中，底面/8CD是平行四邊形，

ZABC=?2Qo,AB=l,BC=4,PA=√15,M,N分別為8C,尸。的中點(diǎn)，

PDlDC,PMLMD.

(1)證明：ABlPMi

(2)求直線NN與平面PDM所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2)坐.

6

【分析】

(1)要證48_LPM,可證Z)C_LPA/,由題意可得，PDLDC,易證DWLOC,

第25頁共199頁

從而Z)CJ?平面PDM,即有。CIPW,從而得證;

(2)取中點(diǎn)￡,根據(jù)題意可知，"E,DM,PAT兩兩垂直,所以以點(diǎn)M為坐標(biāo)

原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，再分別求出向量麗和平面PZW的一個(gè)法向量，即

可根據(jù)線面角的向量公式求出.

【詳解】

(1)在AOCM中，DC=I,CM=2,NDCM=60°,由余弦定理可得=百，

所以。M2+OC2=C“，.?.DMLDC.由題意。C?L尸。且尸DCQM=Z),.?.OCL平

面/,而尸MU平面叩M,所以。CLP”,又ABUDC,所以Z8_LPA/.

(2)由尸ABLPM,而N8與。/W相交，所以PA/_L平面/8CD,因?yàn)?/p>

AM=41,所以PM=2&,取ND中點(diǎn)E,連接ME,則MEB",PA/兩兩垂直，

以點(diǎn)M為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，

則J(-√3,2,0),P(0,0,2√2),D(√3,0,0)M0,0,0),C(√3,-l,0)

乂N為PC中點(diǎn)，所以NFg,彳用,麗=(孚v*.

由(1)得CQ_L平面PDW,所以平面PDW的一個(gè)法向量力=(OJO)

_f5

從而直線AN與平面PDM所成角的正弦值為Sinθ=僚，=?===?.

A/---1------F2

V44

19.如圖，是圓。的直徑，PX垂直圓O所在的平面，C是圓。上的點(diǎn).

第26頁共199頁

(I)求證8CJ.平面尸4C；

(II)設(shè)。為PZ的中點(diǎn)，G為MOC的重心，求證：QG//平面58C?

【答案】見解析

【詳解】

(I)由力8是圓的直徑可得XCJ_8C,由P4J■平面∕8C,BCu平面∕8C,^PA1BC

又R4cNC=4P/u平面PZGNCU平面PNC,所以8CJ.平面尸ZC

(II)連。G并延長(zhǎng)交4C于河，連接。W,QG

由G為A40C的重心，得“為ZC的中點(diǎn)，

由0為融的中點(diǎn)，得0Λ∕IlPG由。為Z面勺中點(diǎn)，得OMIlBG

因?yàn)镼MCMo=M,QMu平面QAlO

MOU平面QΛ∕O,BCcPC=C,

BCU平面08C,PCU平面PBC,

所以平面QMoll平面P3C,因?yàn)镼GU平面QMO

所以O(shè)Gll平面PBC

20.如圖，在四棱錐P-/8C。中，PAABCD,ABLAD,點(diǎn)E在線段上,

第27頁共199頁

^CE∕∕AB.

(I)求證：底，平面4。；

(∏)^PA=AB=?,/。=3,CZ)=√2,NaM=45。，求四棱錐P-/8。的體積.

【答案】(I)證明見解析(IDI

O

【分析】

(1)由已知可得&?LCE,CELAD,即可證明結(jié)論；

(II)Λ4?L底面NBCO,VP.ΛBCD=^SΛBCD?PA,根據(jù)已知條件求出梯形居CO面積,

即可求解.

【詳解】

(I)證明：因?yàn)?MJ■底面"CD,CEU平面”88,

所以PN1?CE.因?yàn)?CE//AB,

所以CEJ./。.又Λ4c/O=Z,

所以CE_L平面尸?D.

(U)解：由(I)可知CE_L/￡>,

在RtΔΛCD中，CE=CQ?sin45。=1,

OE=Cc>?cos45°=l,

又因?yàn)?8=1,貝∣J∕8=CE.

又CEHAB`ABLAD,

所以四邊形/8CE為矩形，四邊形NBC。為梯形.

因?yàn)?0=3,所以BC=∕E=∕D-OE=2,

∣

SABCD=^BC+AD?/J5=i(2+3)×1=,

VP-ABCD='SABCD*P4=TXTX?=T>

第28頁共199頁

于是四棱錐PT88的體積為4.

O

21.如圖，直三棱柱/8C-H*C',ABAC=90°,/B=ZC=-H,點(diǎn)M,N分別為

43和8C的中點(diǎn).

(I)證明：MN〃平面H/CC;

(∏)若二面角/-MN-C為直二面角，求2的值.

【答案】(I)見解析(II)Λ=√2

【詳解】

試題分析：(I)分別取4C'//的中點(diǎn)P,Q,再連結(jié)MQ,∕VP,PQ,則有

PN∕∕-A'B',PN≈^A'B',MQ//^A'B',MQ=^A'B',所以PN"MQ,PN=MQ

則四邊形MNPQ為平行四邊形，所以AW〃尸Q,則MN//平面HZCC

(Ii)分別以”利以44所在直線為χ∕,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)

設(shè)/4=2,則彳必=(40,-1),麗=(O,/M),而=(4-2/M),

設(shè)平面/MN的一個(gè)法向量秘=(χ,y,z),

由，:黑得平面AMN的一個(gè)法向量*=(LT,2),

同理可得平面MNC的一個(gè)法向量;ξ=(3,1,T),

因?yàn)槎娼荋-MN-CA為直二面角，所以屋后=0,則有;l=√∑

第29頁共199頁

22.如圖，在三棱錐S-ZBC中，側(cè)面"8與側(cè)面”C均為等邊三角

形,/歷1C=9O。,。為8C中點(diǎn).

(I)證明：SoI平面"C;

(H)求二面角/-SC-8的余弦值.

【答案】(I)S。_L平面ABC;

(Il)二面角Z-SC-8的余弦值為3.

3

【詳解】

證明：

(I)由題設(shè)∕8=ZC=S8=SC=S4連結(jié)O/,ANBC為等腰直角三角形，所以

OA=OB=OC=-SA,J.AOLBC.又4SBC為等腰三角形，故SOL8C,

2

SO=-SA,

2

從而OA2+SO2=SA2,

第30頁共199頁

所以ASO/為直角三角形，SOlAO.

又AOQBC=O,

所以SOJ_平面ZBC

(II)解法一:

取SC中點(diǎn)M,連結(jié)AMQM,由（I）知SO=Oe,S/=4C,得0M±SC,AM±SC.

NOMA為二面角/-SC-5的平面角.

由ZOLBC,AO±SO,SonBC=。得

ZO，平面S6C,

所以ZO_LOM.又AM=2SA,故

2

s"AM0=處=華=如

AME3

所以二面角/-SC-B的余弦值為當(dāng)

解法二：

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線08、分別為X軸、y軸的正半軸，建立如圖的空間

直角坐標(biāo)系。-號(hào)z?

第31頁共199頁

設(shè)8(1,0,0),則C(T,0,0),40,1,0),S(0,0,1).

SC的中點(diǎn)

MO=(g,O,-g),MX=(g,l,-],SC=(-1,0,-1),

.-.MO-SC=O,MA-SC=O.

故MOJ_SC,MALSC,(加,瘋)等于二面角/-SC-8的平面角.

MO-MA_√3

∣wδ∣p∣=T,

所以二面角”SC-8的余弦值為史.

3

23.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為2√J的菱形，且NBAD=I20。,

且PAj_平面ABCD,PA=2√6,M,N分別為PB,PD的中點(diǎn).

(I)證明：MN〃平面ABCD；

(2)過點(diǎn)A作AQ_LPC,垂足為點(diǎn)Q,求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值.

【答案】(1)見解析;(2)亭.

【分析】

⑴證明:連接BD,因?yàn)镸、N分別是PB.PD的中點(diǎn),所以MN是APBD的中位線,

所以MNHBD.

又因?yàn)镸NC平面ABCD,BDu平面ABCD,

所以MNll平面ABCD.

⑵解：在菱形ABCDΦ≠BAD=120o,

得AC=AB=BC=CD=DA,

第32頁共199頁

BD=√jAB.

又因?yàn)镻Aj_平面ABCD,

所以PA±AB,PA±AC,

PAlAD.

所以PB=PC=PD.

所以APBCMPDC.

而M、N分別是PB、PD的中點(diǎn),

所以MQ=NQ,

且AM=-PB=-PD=AN.

取線段MN的中點(diǎn)E,連接AE,EQ

則AE±MN,QE±MN,

所以NAEQ為二面角A-MN-Q的平面角.

由AB=2√3,PA=2Jβ,故在aAMN中,AM=AN=3,MN==BD=3,得AE=必.

■工

在直角APAC中,AQLPC,得AQ=2,QC=2,PQ=4,

??PBC中,coszBPC=PB：二￡二叫=二,

IPBPC6

得MQ=JRTr+10.2RT/PQgSqPCf.

在等腰AMQN中,MQ=NQ=在,MN=3,

得QE=J嬲蜉=坐.

第33頁共199頁

在aAEQ中,AE=半,QE=gI,AQ=275,

得CosZ-AEQ=

叵

所以二面角A-MN-Q的平面角的余弦值為

24.如圖，在三棱錐尸一/8C中，AB=BC=2點(diǎn),PA=PB=PC=AC=A,0為AC

的中點(diǎn).

（1）證明：尸。，平面/8C；

（2）若點(diǎn)M在棱8。上，且MC=2M8,求點(diǎn)C到平面PoM的距離.

【詳解】

分析：（1）連接08,欲證PO?L平面/8C,只需證明？。_14,尸。_1。5即可；（2）

過點(diǎn)C作S?LOM,垂足為M,只需論證CH的長(zhǎng)即為