2023-2024屆新高考一輪復習湘教版 8-7 雙曲線及其性質(zhì) 學案

第七節(jié)雙曲線及其性質(zhì)

【課標標準】1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程2掌握雙曲線的簡單幾何性

質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線).3.了解雙曲線的簡單應用.

必備知識夯實雙基

知識梳理

1.雙曲線的定義

平面內(nèi)與兩個定點Fι,匕的距離的等于非零常數(shù)(小于IaF2∣)的點的軌跡叫

做雙曲線.這兩個定點叫做雙曲線的,兩焦點間的距離叫做雙曲線的

2.雙曲線的標準方程和簡單幾何性質(zhì)

標準方程5—S=1(〃>0,?>0)

az—τD^z2~1(α>0,?>0)azbz

圖形

范圍

對稱性對稱軸：________，對稱中心：_________

頂點

漸近線

性質(zhì)

CL

離心率e=-∈

a

實軸1441=:虛軸由i&l=；實半軸長

實軸與虛軸

,虛半軸長______________________________

2

a,b,c的關(guān)系C=_______(c>a>0fc>b>O)

［常用結(jié)論］

(1)雙曲線的焦點到漸近線的距離為b.

⑵若尸是雙曲線右支上一點,F∣,B分別為雙曲線的左、右焦點，則IpQlmin=C+。，|尸問min

(3)焦點三角形的面積：P為雙曲線上的點，F(xiàn)i,6為雙曲線的兩個焦點，且/QPB=

θ,則aQPR的面積為上二

tan?

(4)與雙曲線、-《=l(a>O,匕>0)共漸近線的雙曲線方程為\-g≈A(2≠0).

夯實雙基

1.思考辨析(正確的打“J”，錯誤的打“X”)

(1)平面內(nèi)到點Q(0,4),巳(0,—4)距離之差的絕對值等于8的點的軌跡是雙曲線.()

(2)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于√Σ()

(3)雙曲線條-?="∕n>0,n>0,4W0)的漸近線方程是條一?=0,KP?^=O.()

(4)關(guān)于X,y的方程式一^=1(機”>0)表示焦點在X軸上的雙曲線.()

2.(教材改編)雙曲線2f—y2=8的漸近線方程是()

A.γ=±∣Λ-B.y=±2x

C.y=±VΣrD.y=+y.r

3.(教材改編)經(jīng)過點A(4,1)且對稱軸都在坐標軸上的等軸雙曲線方程為.

4.(易錯)已知雙曲線x2-［=l上一點產(chǎn)到它的一個焦點的距離等于4,那么點P到另

16

一個焦點的距離等于.

5.(易錯)以坐標原點為對稱中心，兩坐標軸為對稱軸的雙曲線的一條漸近線的傾斜角

為會則雙曲線的離心率為.

關(guān)鍵能力?題型突破

題型一雙曲線的定義及應用

222

例1⑴已知圓Cl:(x+3)+y-l和圓。2：(X-3)2+J=9,動圓M同時與圓Cl及圓

C2相外切，求動圓圓心M的軌跡方程()

A.JC2-^?=l(x≤-1)

B.X2——=1

8

c.X2-?=IaNI)

D.--Λ2=1

8

(2)［2023?河南鄭州模擬］已知雙曲線C?-'=l(α>0,匕>0)的離心率為3,焦點分別為

Fi,尸2，點4在雙曲線C上.若AAQ尸2的周長為144,則4AF∣B的面積是()

A.√17a2B.15。2

C.2√14a2D.2√15a2

［聽課記錄］............................................................................

題后師說

(1)①抓住"焦點三角形PQF2”中的數(shù)量關(guān)系是求解此類題的關(guān)鍵；②利用定義求動點

的軌跡方程，要分清是差的絕對值為常數(shù)，還是差為常數(shù)，即是雙曲線還是雙曲線的一支.

(2)利用雙曲線定義求方程，要注意三點：①距離之差的絕對值；②2“<∣F∣F2∣;③焦點

所在坐標軸的位置.

鞏固訓練1

(1)一動圓尸過定點M(-4,0),且與已知圓M(χ-4)2+)2=16相切，則動圓P的軌跡

方程是()

A.--^=1(Λ≥2)B.--^?=l(x≤2)

412'/412v,

(2)[2023?黑龍江齊齊哈爾模擬]設F∣,B分別是雙曲線蘭-馬=1的左、右焦點，P是該

445

雙曲線上的一點，且3∣PQ∣=5∣PF2∣,則尸2的面積等于()

A.14√3B.7√15

C.15√3D.5√15

題型二雙曲線的標準方程

例2(1)雙曲線C的兩焦點分別為(一6,0),(6,0),且經(jīng)過點(-5,2),則雙曲線的標

準方程為()

A.過一些=1b1

204??^?=

C=JD.

2016204

(2)[2023?山東濟南歷城二中模擬]由倫敦著名建筑事務所SteynStudio設計的南非雙曲線

大教堂驚艷世界，該建筑是數(shù)學與建筑完美結(jié)合造就的藝術(shù)品.若將如圖所示的大教堂外形

弧線的一段近似看成雙曲線號―W=ιm>o,〃>。)下支的一部分，且此雙曲線的一條漸近線

為3x+√7y=0,下焦點到下頂點的距離為1,則該雙曲線的方程為()

(3)［2023?遼寧沈陽模擬］焦點在X軸上的雙曲線C與雙曲線?-?=1有共同的漸近線,

且C的焦點到一條漸近線的距離為3√Σ則雙曲線C的方程為.

(4)經(jīng)過點P(3,2√7),β(-6√2,7)的雙曲線的標準方程為.

［聽課記錄］............................................................................

題后師說

鞏固訓練2

(l)［2023?廣東佛山模擬］已知雙曲線的兩個焦點分別為Q(0,-5),F2(0,5),雙曲線上

一點P與Fi,尸2的距離差的絕對值等于6,則雙曲線的標準方程為()

A.次一旺=1B.次一《=1

916169

C.《一次=1D.^-^=1

916169

(2)［2023?河北保定期末］已知雙曲線C：4-?=l(α>0,心0)的一條漸近線與直線/：Zr

azbz

一y=2垂直，若右焦點到漸近線的距離為2,則此雙曲線的方程為()

X2V2X2V2

A.---------=?B.---------=1

164416

C.過一x!=lD.@_f=l

124412

⑶過點(2次，百)且漸近線與雙曲線C:√-y=l的漸近線相同的雙曲線方程為

題型三雙曲線的簡單幾何性質(zhì)

角度一漸近線

例3(l)［2023?山東日照模擬］下列雙曲線中，焦點在y軸上,且漸近線互相垂直的是()

A.y2~x2=4B.y—y2=1

C.ξ--Jt2=1D.x2-y2=1

(2)［2023?河南洛陽模擬］已知雙曲線C：-d=l(∏7>O)的離心率e=匹，則雙曲線C的

m2

漸近線方程為()

A.y=±2xB.y=±∣Λ-

C.y=±y∕2xD.y=埒X

［聽*果e≡>錄］........................................................................

題后師說

求雙曲線漸近線方程的兩種常用方法

鞏固訓練3

(l)［2O23?廣東汕頭模擬］雙曲線E-E=I的一條漸近線斜率為√L則%=()

mm+2

A.2B.√2

C.3D.√3

(2)雙曲線C：?-?=l(tz>O,b>0)的焦點到一條漸近線的距離為√∑4,則雙曲線C的漸

近線方程是.

角度二離心率

例4(l)[2023?廣東汕尾期末]已知雙曲線2-?=13>0,6>0)的漸近線方程為y=±√lr,

則該雙曲線的離心率為()

?2√3?K

A.—B.V2

3

C.√3D.2

(2)[2023?安徽巢湖模擬]已知人，尸2是雙曲線C：?-?=l(a>0,b>0)的左、右焦點，

azbz

點尸在雙曲線的右支上，且2∣PQl+|尸尸2|=花尸1尸2|，NFIPF2=90。，則雙曲線C的離心率

是()

A.√2B.√3

C.√5D.√10

(3)[2023?河北保定模擬]已知雙曲線￡-《=1的右焦點為凡在右支上存在點P,Q,使

得POQF為正方形(。為坐標原點)，設該雙曲線離心率為e,則e2=()

A.—B.3+√5

2

C.D.9+√65

(4)[2023?江西臨川一中模擬]已知雙曲線,一看=1(4>0">0)左，右焦點分別為B(—c,

0),∕?c,0),若雙曲線右支上存在點P使得.：「c=.:IJl.,則離心率的取值范圍為()

s?nZ-PF1F2SmzPF2F1

A.[√2+l,+∞)B.(1,√2+l]

C.(1,√2+l)D.(√2+l,+∞)

[聽課記錄]

題后師說

求雙曲線離心率(或其范圍)的兩種常用方法

鞏固訓練4

(l)[2023?山東濰坊模擬]已知雙曲線C的頂點為A∣,A2,虛軸的一個端點為B,且^BA∣A2

是一個等邊三角形，則雙曲線C的離心率為()

A.2B.√2

C.3D.√3

(2)[2023?河南商丘模擬]已知雙曲線C：?-?≈I(a>0,b>0)經(jīng)過點(一1,一1),且C的

azbz

實軸長大于VL則C的離心率的取值范圍為()

A.(1,√2)B.(1,√3)

C.(√2,+∞)D.(√3,+∞)

(3)[2023?山東濟南模擬]已知F∣,B分別為雙曲線W-弓=Im>0，人>0)的左、右焦點，

O

點P在雙曲線上，若尸F(xiàn)2?LHF2,ZPFIF2=30,則雙曲線的離心率為.

真題展臺

2

l.[2022?全國甲卷]若雙曲線V—盍=1(心0)的漸近線與圓/+y2-4y+3=0相切，則根

2.[2022?北京卷]已知雙曲線V+'=1的漸近線方程為),=±等，則WZ=.

3.[2022?全國乙卷]雙曲線C的兩個焦點為尸”F2,以C的實軸為直徑的圓記為。，

過Fl作。的切線與C的兩支交于M,N兩點，且COS4F]NF2=∣,則C的離心率為()

A.叵B.2C?色D.包

2222

4.[2021?全國甲卷]已知Q,B是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且NFlPF2=

60。，IPFII=3∣PF2∣,則C的離心率為()

A.—B.—C.√7D.√13

22

5.[2021?全國乙卷]已知雙曲線C-.\一52=1(心0)的一條漸近線為國+叼=0,則C

的焦距為.

6.[2021?新高考∏卷]已知雙曲線W=I(α>0,"))的離心率為2,則該雙曲線的漸

近線方程為.

7.[202。新高考I卷](多選)已知曲線C：≡2+34567π∕=l.()

A.若m>">0,則C是橢圓，其焦點在y軸上

B.若〃?=">0,則C是圓，其半徑為√H

C.若，M<0,則C是雙曲線，其漸近線方程為y=±RX

D.若〃?=0,w>0,則C是兩條直線

第七節(jié)雙曲線及其性質(zhì)

必備知識?夯實雙基

知識梳理

I.差的絕對值焦點焦距

2.或xW一mj∈Rx∈R,yW—〃或y2α坐標軸原點A?(~a,O),A2(m

0)4(0,-a)fA2(0,a)

y=±%y=±9(L+°o)la2baba2+b2

夯實雙基

?.d)×(2)√(3)√(4)×

2.解析：由題意，1=1的漸近線方程為y=±EX=±√∑r.

48Y4

故選C.

答案：C

3.解析：由題意，設等軸雙曲線的方程為『一y2="2W0)

代入點A(4,1)的坐標得42—12=九

解得2=15,

所以所求雙曲線的方程為《一(=1.

4.解析：設雙曲線/一1=1的左右焦點分別為Q,F2,

16

???。=1,/?—4.

則IIPFILIPBII=2,

可設IPF2∣=4,

則IPFIl=2或IPFll=6,

Vc=√Γ7>4,Λ∣PFι∣>2,

...∣PBl=2(舍去)，Λ∣PF1∣=6.

答案：6

5.解析：由題意知P=tanE=√5或:=tan-=√3,

a3D3

?-=√3?,

a

嬰=W時,

D

答案:2或竽

關(guān)鍵能力?題型突破

例1解析：（D

如圖，設動圓M與圓Cl及圓C2分別外切于點A和8.

根據(jù)兩圓外切的條件，得IMGLHClI=IAMIMC2∣一∣8C2∣=∣MB∣.因為IMAl=IM陰,所

以IMGI—IACII=IMC2∣T8C2∣,即IMQMMGI=IBC2∣-1ACII=2,所以點M到兩定點C∣,

C2的距離之差是常數(shù)且小于IGCd

又根據(jù)雙曲線的定義，得動點M的軌跡為雙曲線的左支（點M到C2的距離比到G的距

離大)，其中α=l,c=3,則〃=8,故點M的軌跡方程為『一E=l(x<-1).故選A.

(2)不妨令A在雙曲線右支，

依題意可得IQAI+∣BA∣+2c=144,?FiA?-?F2A?=2a,c=3a,

解得I尸ι4∣=5α,∣F2A∣=3α,又回尸,=2c=60,

2

由余弦定理IFlFM=∣PFιF+∣PF2∣-2∣PFι∣■∣PF2∣cosZF1PF2,

即36a2=2502+9α2-2×5?×3αcosNFIPF2,

解得CoSNFIPF2=一",

2

所以sinZF∣PF2=√1-cosZ,F1PF2???.

所以44BF2的面積5=∣×3tJ×5a×^=2√i4a2.

故選C.

答案：（I）A（2）C

鞏固訓練1解析：（1）設動圓P的半徑為r,由題意知IPM=r,圓N的圓心坐標為（4,

0）,半徑為4.動圓P與圓N相切有兩種情況，即內(nèi)切或外切，所以IPNl=壯4,

所以IIPNl—IPMI=4,即動點P到兩定點的距離之差為常數(shù)4,所以點P在以M,N為

焦點的雙曲線上，所以2a=4,2c=8,所以6=2%,所以動圓P的軌跡方程是?一［=1.

故選D.

(2)設IPFII=5x,∣PF2∣=3X,則由雙曲線的定義可得：IPFlI一∣P∕?∣=5x—3x=2x=2a=4,

310+96

所以x=2,故IP吊I=10,∣PF2∣=6,又∣BR∣=14,故CoSZF,∕F2=°^=-?故Sin

Z×10×oL

/FιPF2=*所以APQB的面積為TX10X6×y=15√3.

故選C.

答案：(I)D(2)C

例2解析：(l)2α≈∣√(-5+6)2+22-√(-5-6)2+22∣=4√5,

所以。=2^?∕^,又c=6,

所以"=C2-4=36—20=16.

所以雙曲線的標準方程為左一1=1.

ZO16

故選B.

(2)因為雙曲線￡一菽=1的漸近線方程為土公+辦=0,

又雙曲線的一條漸近線為3x+√辦=0,所以一：=一5

即√7a=36,又下焦點到下頂點的距離為1,

所以c—α=l,結(jié)合/=層+/解得/=9,爐=7.

故選A.

⑶由題意可設雙曲線C的方程為：?—^-―2(λ>0),即三一9=1；

494人9人

2

則a=4λ9P=9λ,

???雙曲線焦點到漸近線距離為兒???3&=V克，解得：2=2,

.?.雙曲線C的方程為1一盤=L

818

(4)設雙曲線的方程為mx2+ny1=?(∕WΛ<O).因為所求雙曲線經(jīng)過點P(3,2√7),(2(—6√2,

7),

1

m=-----,

9m+28n=1,解得75

所以1

72m+49n=1.n=—.

25

故所求雙曲線的方程為(T=L

答案：⑴B(2)A(3?-?=l(4>?-?=1

鞏固訓練2解析：⑴由題意，c=5,2α=6=α=3,則fe=√c2-a2=4,結(jié)合條件可

知，雙曲線的標準方程為—γ~≈1.

故選C.

(2)根據(jù)題意得：雙曲線C的漸近線方程為y=*r,

因為其一條漸近線與直線/：2χ-y=2垂直，所以一^X2=-1,

解得匕=；,即。=2〃，

a2

又右焦點到漸近線的距離為2,則焉=2,解得22,貝1〃=4,

所以雙曲線的方程為1一二=1.

164

故選A.

(3)根據(jù)題意，雙曲線C:y2-∣≈l漸近線方程為>=±壬，所以要求的雙曲線方程為

/-?=2(Λ≠0),又過點(2遮，√3),代入方程可得2=-3,因此雙曲線方程為=一==1.

263

答案：(I)C(2)AO)7-7=l

例3解析：(1)由于雙曲線的焦點在y軸上，所以選項BD不滿足題意；

選項A中雙曲線的漸近線為y=tr,兩漸近線的斜率乘積為一1,所以兩漸近線互相垂

直，所以選項A滿足題意；

選項C中雙曲線的漸近線為y=±gx,兩漸近線的斜率乘積不為一1,所以兩漸近線不

互相垂直，所以選項C不滿足題意.

故選A.

(2)由題意，雙曲線Cx2=l(∕n>0),可得fo2=l,

因為雙曲線C的離心率e=當可得9=J1+G)2=Jl+/=苧，可得〃?=4,

所以雙曲線C的漸近線方程為產(chǎn)增=土立

故選A.

答案：(I)A(2)A

鞏固訓練3解析：(1)由題意可知〃》0,

所以雙曲線2—痣=1(加>0)的漸近線方程為y=±匿X.

：雙曲線近一的一條漸近線斜率為√Σ,

mm+2

.?.叵=√Σ,解得，w=2.

7m

故選A.

(2)設雙曲線的半焦距為c,則焦點坐標為(0,+c),

而雙曲線的漸近線方程為：ax±by=O,

故焦點到漸近線的距離為?‰=b,故》=√I”,

7√a2+b2

故漸近線方程為x±√?=0.

答案：(I)A(2)Λ±√2.y=0

例4解析：(1)雙曲線?-^∣=l(a>0,fr>0)的漸近線方程為y=±+,^=√3,h=^3a,

故選D.

(2)由題意可知，2∣PF,∣+∣PF2∣=2√5C,?PF↑?-?PF2?=2a,

JlPFII=誓^

.?[叫|=若士，

又NFlPF2=90°,

.?.∣PF∣F+∣尸尸2∣2=∣B尸2∣2,

即(誓場)2+(吟竺)2=(2C)2,

.^.C2—2y[Sac÷5?2=O,即(c—*4)2=0,c=V50,

.?.e=遮

故選C.

(3)由題意，當PoQF為正方形時，點P的坐標為(|,|),

代入W-S=I可得:?一《=1，整理得//一〃2/=442/,

a2b24az4b2

即(c2-a2)∕-α2c2=4α2(c2-42),整理得c4-6α2^+4α4=0j

即e4—6^2+4=0,解得∕=3+√^.

故選B.

(4)由題意可得點P不是雙曲線的頂點，否則.：一=.，=無意義.

Slnz?P卜1卜2Sl∏Z.r1*2*,ι

在aPF聲2中,由正弦定理得IPFll_IPFzI

SinzPF2F1SinzPF1F2

因為,

sinZPF1F2SinzPF2F1

所以四I=￡

,Λ

'∣PF2∣a

所以由RI=S∣PF2∣,

a

因為點P在雙曲線右支上，

所以IPQLlPBI=20,

所以1尸尸2|一∣PF,=2α,得∣PF2I=空，

ac—a

由雙曲線的性質(zhì)可得IPF2∣>c-α,

所以巴>c—〃，化簡得c2-2ac-a2<0

c-a9

所以e2-2e—1<0,解得一√I+l<e<&+1,

因為e>l,

所以l<e<√2+l,

即雙曲線離心率的取值范圍為(1,√2+l).

故選C.

答案：(I)D(2)C(3)B(4)C

鞏固訓練4解析：(1)由ABA∣42是一個等邊三角形，可得b=√5α,

即b1=3(Γ,則有c2-o2=3a2,即c2=4a2,

則雙曲線C的離心率e=S=2.

a

故選A.

(2)由題意可知，W—去=1,所以b2-cr=a1b2,又b2=c1-a2,所以<r-2cr=cr(c2—a2),

azI)%

所以層=守=.>(f)2,解得e>√5.

cz-azez-l2

故選D.

(3)不妨假設點尸在雙曲線右支上，則IPFIl—|尸&|=2”,

由于尸尸2,FlF2,NPFIF2=30。，故IPQl=2∣PB∣,

故IPFIl=4a,∣PF2∣=2a,

IPF2I_2a_V3

而tanNpaF2=--

IF1F2I2c3

故e---yj3.

a

答案：(I)A(2)D⑶√5

真題展臺——知道高考考什么？

1.解析：由題意，得雙曲線的一條漸近線方程為y=2,即X-Wy=O.圓的方程可化為

Y+U-2)2=l,故圓心坐標為(0,2),半徑r=l.由漸近線與圓相切，結(jié)合點到直線的距離

公式，得篝萼=1,解得小=±f.又因為zn>o,所以,"=f.

√mz+l33

答案：y

222

2.解析：雙曲線V+±=l的標準方程為匕-L=1,其漸近線方程為2N==0,即y

mI—m1√-m