工程數(shù)學線性代數(shù)(同濟第六版)前五章答案

PAGEPAGE91第1章行列式第2章矩陣第3章矩陣的初等變換第4章向量的線性相關性第5章相似矩陣及二次型習題答案1.試用施密特法把下列向量組正交化:(1);解根據(jù)施密特正交化方法,,(2)解根據(jù)施密特正交化方法2.下列矩陣是不是正交陣:(1);解此矩陣的第一個行向量非單位向量,故不是正交陣.(2).解該方陣每一個行向量均是單位向量,且兩兩正交,故為正交陣.3設x為n維列向量xTx1令HE2xxT證明H是對稱的正交陣證明因為HT(E2xxT)TE2(xxT)TE2(xxT)TE2(xT)TxTE2xxT所以H是對稱矩陣因為HTHHH(E2xxT)(E2xxT)E2xxT2xxT(2xxT)(2xxT)E4xxT4x(xTx)xTE4xxT4xxTE所以H是正交矩陣4.設A與B都是n階正交陣,證明AB也是正交陣.證明因為AB是n階正交陣,故A1ATB1BT(AB)T(AB)BTATABB1A1ABE故AB也是正交陣.5.求下列矩陣的特征值和特征向量:(1);解故A的特征值為1(三重).對于特征值1由得方程(AE)x0的基礎解系p1(111)T向量p1就是對應于特征值1的特征值向量.(2);解故A的特征值為102139.對于特征值10,由得方程Ax0的基礎解系p1(111)T向量p1是對應于特征值10的特征值向量.對于特征值21,由得方程(AE)x0的基礎解系p2(110)T向量p2就是對應于特征值21的特征值向量對于特征值39,由得方程(A9E)x0的基礎解系p3(1/21/21)T向量p3就是對應于特征值39的特征值向量.(3).解故A的特征值為121341.對于特征值121,由得方程(AE)x0的基礎解系p1(1001)Tp2(0110)T向量p1和p2是對應于特征值121的線性無關特征值向量.對于特征值341,由得方程(AE)x0的基礎解系p3(1001)Tp4(0110)T向量p3和p4是對應于特征值341的線性無關特征值向量.6設A為n階矩陣證明AT與A的特征值相同證明因為|ATE||(AE)T||AE|T|AE|所以AT與A的特征多項式相同從而AT與A的特征值相同7設n階矩陣A、B滿足R(A)R(B)n證明A與B有公共的特征值有公共的特征向量證明設R(A)rR(B)t則rtn若a1a2anr是齊次方程組Ax0的基礎解系顯然它們是A的對應于特征值0的線性無關的特征向量類似地設b1b2bnt是齊次方程組Bx0的基礎解系則它們是B的對應于特征值0的線性無關的特征向量由于(nr)(nt)n(nrt)n故a1a2anrb1b2bnt必線性相關于是有不全為0的數(shù)k1k2knrl1l2lnk1a1k2a2knranrl1b1l2b2lnrbnr記k1a1k2a2knranr(l1b1l2b2lnrbn則k1k2knr不全為0否則l1l2lntl1b1l2b2lnrbnr0與b1b2bnt線性無關相矛盾因此0是A的也是B的關于0的特征向量所以A與B有公共的特征值有公共的特征向量8設A23A2EO證明A的特征值只能取1或2證明設是A的任意一個特征值x是A的對應于的特征向量則(A23A2E)x2x3x2x(232)x0因為x0所以2320即是方程2320的根也就是說1或29設A為正交陣且|A|1證明1是A的特征值證明因為A為正交矩陣所以A的特征值為1或1因為|A|等于所有特征值之積又|A|1所以必有奇數(shù)個特征值為1即1是A的特征值10設0是m階矩陣AmnBnm的特征值證明也是n階矩陣BA的特征值證明設x是AB的對應于0的特征向量則有(AB)xx于是B(AB)xB(x)或BA(Bx)(Bx)從而是BA的特征值且Bx是BA的對應于的特征向量11已知3階矩陣A的特征值為123求|A35A27A|解令()3527則(1)3(2)2(3)3是(A)的特征值故|A35A27A||(A)|(1)×(2)×(3)3231812已知3階矩陣A的特征值為123求|A*3A2E|解因為|A|12(3)60所以A可逆故A*|A|A16A1A*3A2E6A13A2令()61322則(1)1(2)5(3)5是(A)的特征值故|A*3A2E||6A13A2E||(1)×(2)×(3)15(5)2513設A、B都是n階矩陣且A可逆證明AB與BA相似證明取PA則P1ABPA1ABABA即AB與BA相似14設矩陣可相似對角化求x解由,得A的特征值為l1=6,l2=l3=1.因為A可相似對角化,所以對于l2=l3=1,齊次線性方程組(A-E)x=0有兩個線性無關的解,因此R(A-E)=1.由知當x=3時R(A-E)=1,即x=3為所求.15.已知p=(1,1,-1)T是矩陣的一個特征向量.(1)求參數(shù)a,b及特征向量p所對應的特征值;解設l是特征向量p所對應的特征值,則(A-lE)p=0,即,解之得l=-1,a=-3,b=(2)問A能不能相似對角化？并說明理由.解由得A的特征值為1231由知R(AE)2所以齊次線性方程組(AE)x0的基礎解系只有一個解向量因此A不能相似對角化16.試求一個正交的相似變換矩陣,將下列對稱陣化為對角陣:(1);解將所給矩陣記為A由(1)(4)(2)得矩陣A的特征值為122134.對于12,解方程(A2E)x0即得特征向量(122)T單位化得對于21,解方程(AE)x0即得特征向量(212)T單位化得對于34,解方程(A4E)x0即得特征向量(221)T單位化得于是有正交陣P(p1p2p3)使P1APdiag(214)(2).解將所給矩陣記為A由(1)2(10),得矩陣A的特征值為121310.對于121,解方程(AE)x0即得線性無關特征向量(210)T和(201)T將它們正交化、單位化得對于310,解方程(A10E)x0即得特征向量(122)T單位化得于是有正交陣P(p1p2p3)使P1APdiag(1110)17設矩陣與相似求xy并求一個正交陣P使P1AP解已知相似矩陣有相同的特征值顯然54y是的特征值故它們也是A的特征值因為4是A的特征值所以解之得x4已知相似矩陣的行列式相同因為所以20y100y5對于5解方程(A5E)x0得兩個線性無關的特征向量(101)T(120)T將它們正交化、單位化得對于4解方程(A4E)x0得特征向量(212)T單位化得于是有正交矩陣使P1AP18.設3階方陣A的特征值為122231;對應的特征向量依次為p1(011)Tp2(111)Tp3(110)T求A.解令P(p1p2p3)則P1APdiag(221)APP1因為所以19設3階對稱陣A的特征值為112130對應1、2的特征向量依次為p1(122)Tp2(212)T求A解設則Ap12p1Ap22p2即①②再由特征值的性質(zhì)有x1x4x61230③由①②③解得令x60得x20因此20.設3階對稱矩陣A的特征值162333與特征值16對應的特征向量為p1(111)T求A.解設因為16對應的特征向量為p1(111)T所以有,即①233是A的二重特征值,根據(jù)實對稱矩陣的性質(zhì)定理知R(A3E)1利用①可推出因為R(A3E)1所以x2x43x5且x3x5x63解之得x2x3x51x1x4x64因此.21設a(a1a2an)Ta10A(1)證明0是A的n1重特征值證明設是A的任意一個特征值x是A的對應于的特征向量則有Axx2xA2xaaTaaTxaTaAxaTax于是可得2aTa從而0或aTa設12n是A的所有特征值因為AaaT的主對角線性上的元素為a12a22an2a12a22an2aTa12這說明在12n中有且只有一個等于aTa而其余n1個全為0即0是A的n1重特征值(2)求A的非零特征值及n個線性無關的特征向量解設1aTa2n0因為AaaaTa(aTa)a1a所以p1a是對應于1aTa的特征向量對于2n0解方程Ax0即aaTx0因為a0所以aTx0即a1x1a2x2anxn0p2(a2a100)p3(a30a10)pn(an00a1)T因此n個線性無關特征向量構成的矩陣為22設求A100解由得A的特征值為112535對于11解方程(AE)x0得特征向量p1(100)T對于15解方程(A5E)x0得特征向量p2(212)T對于15解方程(A5E)x0得特征向量p3(121)T令P(p1p2p3)則P1APdiag(155)APP1A100P100P1因為100diag(151005100)所以23在某國每年有比例為p的農(nóng)村居民移居城鎮(zhèn)有比例為q的城鎮(zhèn)居民移居農(nóng)村假設該國總人口數(shù)不變且上述人口遷移的規(guī)律也不變把n年后農(nóng)村人口和城鎮(zhèn)人口占總人口的比例依次記為xn和yn(xnyn1)(1)求關系式中的矩陣A解由題意知xn1xnqynpxn(1p)xnqynyn1ynpxnqynpxn(1q)yn可用矩陣表示為因此(2)設目前農(nóng)村人口與城鎮(zhèn)人口相等即求解由可知由得A的特征值為112r其中r1pq對于11解方程(AE)x0得特征向量p1(qp)T對于1r解方程(ArE)x0得特征向量p2(11)T令則P1APdiag(1r)APP1AnPnP1于是24.(1)設,求(A)A105A9解由得A的特征值為1125對于11解方程(AE)x0得單位特征向量對于15解方程(A5E)x0得單位特征向量于是有正交矩陣使得P1APdiag(15)從而APP1AkPkP1因此(A)P()P1P(1059)P1P[diag(1510)5diag(159)]P1Pdiag(40)P1.(2)設,求(A)A106A95A8解求得正交矩陣為使得P1APdiag(115)APP1于是(A)P()P1P(106958)P1P[8(E)(5E)]P1Pdiag(1158)diag(204)diag(640)P1Pdiag(1200)P1.25.用矩陣記號表示下列二次型:(1)fx24xy4y22xzz24yz解.(2)fx2y27z22xy4xz4yz解.(3)fx12x22x32x422x1x24x1x32x1x46x2x34x2x4解.26寫出下列二次型的矩陣(1)解二次型的矩陣為(2)解二次型的矩陣為27.求一個正交變換將下列二次型化成標準形:(1)f2x123x223x334x2x3解二次型的矩陣為由得A的特征值為122531.當12時,解方程(A2E)x0由得特征向量(100)T取p1(100)T當25時,解方程(A5E)x0由得特征向量(011)T取.當31時,解方程(AE)x0,由得特征向量(011)T取于是有正交矩陣T(p1p2p3)和正交變換xTy使f2y125y22y32.(2)fx12x22x32x422x1x22x1x42x2x32x3x4解二次型矩陣為由,得A的特征值為1123341.當11時,可得單位特征向量當23時,可得單位特征向量當341時,可得線性無關的單位特征向量于是有正交矩陣T(p1p2p3p4)和正交變換xTy使fy123y22y32y42.28求一個正交變換把二次曲面的方程3x25y25z24xy4xz10yz1化成標準方程解二次型的矩陣為由得A的特征值為1221130對于12解方程(A2E)x0得特征向量(411)T單位化得對于211解方程(A11E)x0得特征向量(122)T單位化得對于30解方程Ax0得特征向量(011)T單位化得于是有正交矩陣P(p1p2p3)使P1APdiag(2110)從而有正交變換使原二次方程變?yōu)闃藴史匠?u211v2129.明:二次型fxTAx在||x||1時的最大值為矩陣A的最大特征值.證明A為實對稱矩陣,則有一正交矩陣T,使得TAT1diag(12n)成立其中12n為A的特征值,不妨設1最大作正交變換yTx即xTTy注意到T1TT有fxTAxyTTATTyyTy1y122y22nyn2因為yTx正交變換所以當||x||1時有||y||||x||1即y12y22yn21因此f1y122y22nyn21又當y11y2y3yn0時f1所以fmax130用配方法化下列二次形成規(guī)范形并寫出所用變換的矩陣(1)f(x1x2x3)x123x225x322x1x24x1x3解f(x1x2x3)x123x225x322x1x24x1x3(x1x22x3)24x2x32x22x32