結構位移和剛度-靜定結構在荷載作用下位移計算（建筑力學）

靜定結構在荷載作用下的位移計算主要內容什么是結構的位移結構位移在實際中的目的靜定結構在荷載作用下的位移計算方法靜定結構的位移一、結構的位移概述結構在荷載作用下，各桿件都會產生一定的變形，結構中各截面的位置將發(fā)生相對的變化。例如圖a所示的剛架，在荷載F作用下發(fā)生圖中虛線所示的變形，截面A的位置發(fā)生了變化，這種截面位置的改變稱為結構的位移。靜定結構的位移最為常見的結構位移有線位移和角位移。線位移即結構中某截面形心的移動，如圖a中A截面形心沿某方向移動到A

點，AA

稱為A點的線位移，用

A表示。

A又可以用兩個相互垂直的分量來表示，如圖b中的

AH和

AV分別稱為A點的水平位移和豎向位移。靜定結構的位移角位移即結構中某截面轉過的角度。如圖a中A截面相對原來方向轉過的角度

A就是A截面的角位移。靜定結構的位移設圖示簡支剛架，在荷載作用下發(fā)生圖中虛線所示的變形，C、D點的水平位移分別為

CH和DH，兩點間相對位移的距離

CD＝

CH＋DH稱為C、D兩點的相對線位移，即兩截面之間相互距離的改變量。靜定結構的位移同時，截面A發(fā)生順時針角位移

A，截面B發(fā)生逆時針角位移

B，A、B兩截面相對轉過的角度，即它們向相反方向產生的角位移之和

AB＝

A＋

B，稱為AB兩截面的相對角位移。引起結構位移的原因除了荷載因素外，還有其他一些因素，如溫度的變化、支座的移動和桿件的制造誤差等。靜定結構的位移（1）驗算結構的剛度，使結構的變形和位移控制在允許的限度內；（2）由于超靜定結構的未知力數(shù)目大于平衡方程數(shù)目，因而在計算超靜定結構的反力和內力時，除了利用平衡條件外，還必須考慮位移條件，補充變形協(xié)調方程。所以，位移計算是求解超靜定結構的基礎。

（3）在結構制作和養(yǎng)護過程中，經常需要預先知道結構變形后的位置，以便采用相應的施工措施。二、研究結構位移的目的：下面從功能原理的角度來研究結構位移的計算。靜定結構的位移三、靜定結構在荷載作用下的位移計算方法在圖示結構中，欲求A點豎直方向的位移

，可在A點的豎直方向上加一個單位力=1，構成一個虛擬的力狀態(tài)(圖b)。在F上加一杠以表示虛擬。靜定結構的位移同樣，由虛擬力所產生的內力也在內力符號上加一杠。結構在荷載作用下的狀態(tài)作為實際的位移狀態(tài)(圖a)。由虛功原理可以得到（推導從略）靜定結構的位移

該式就是結構在荷載作用下的位移計算公式。當計算結果為正時，表示實際位移方向與虛擬單位力所指方向相同；當計算結果為負時，則相反。上述方法稱為單位荷載法。

式中，F(xiàn)N、M、Fs分別為實際位移狀態(tài)中由荷載引起的結構內力；、、分別為虛擬力狀態(tài)中由虛擬單位力引起的結構內力；EA、EI、GA分別為桿件的拉壓剛度、彎曲剛度、剪切剛度；為切應力分布不均勻系數(shù)，與截面的形狀有關；求和號∑表示對結構中每一桿件積分后再求和。靜定結構的位移在具體的結構位移計算中，對于以彎曲變形為主的結構，如：梁、剛架，由軸力和剪力產生的位移一般情況下只占彎矩產生位移的3％以下。若不計軸力和剪力的影響，虛功原理可表示為對于平面桁架，因為每根桿只產生軸力，且每根桿的軸力、FN和EA都是常量，所以虛功原理可表示為式中，l為桿件長度。

靜定結構的位移對于組合結構，梁式桿只考慮彎矩的影響，鏈桿只考慮軸力的影響，對兩種桿件分別計算后相加得到位移計算公式為：+上述各種情況下位移計算公式，就是結構在不同荷載作用下的位移計算公式。希望同學們掌握。靜定結構的位移靜定結構在荷載作用下的位移計算主要內容靜定結構在荷載作用下的位移計算實例分析靜定結構

同學們好，上節(jié)課給大家介紹了由虛功原理可以得到的單位荷載法計算結構在荷載作用下的位移公式。當計算結果為正時，表示實際位移方向與虛擬單位力所指方向相同；當計算結果為負時，則相反。對于組合結構，梁式桿只考慮彎矩的影響，鏈桿只考慮軸力的影響，對兩種桿件分別計算后相加得到位移計算公式為:+靜定結構在具體的結構位移計算中，對于以彎曲變形為主的結構，如：梁、剛架，由軸力和剪力產生的位移一般情況下只占彎矩產生位移的3％以下。若不計軸力和剪力的影響，虛功原理可表示為：對于平面桁架，因為每根桿只產生軸力，且每根桿的軸力、FN和EA都是常量，所以虛功原理可表示為：式中，l為桿件長度。下面我們利用公式，解決實際問題。靜定結構

例1試計算圖示等截面懸臂梁B截面的豎向位移

BV和角位移

B。設梁的彎曲剛度EI為常數(shù)。靜定結構解：(1)求豎向位移

BV在實際狀態(tài)(圖a)中，梁的彎矩方程為（0≤x＜l）

在B截面虛加一豎向單位力=1(圖b)，在虛擬狀態(tài)中，梁的彎矩方程為（0≤x＜l）靜定結構由虛功原理可得（↓）

正號表示

BV的方向與所設單位力方向一致，即位移是向下的。

在B截面虛加一個單位力偶＝1(圖c)，在虛擬狀態(tài)中，梁的彎矩方程為（2）求角位移θB(0≤x<l)靜定結構由虛功原理得負號表示

B的轉向與所設單位力偶的轉向相反，即為順時針轉向。

靜定結構例2試計算圖示桁架C點的水平位移

CH。設各桿的拉壓剛度EA均相同。靜定結構

解：分別算出實際狀態(tài)和虛擬狀態(tài)下桁架各桿的軸力，如圖a、b所示。靜定結構為了清楚，可列表計算如下：靜定結構由虛功原理得

（→）

所得結果為正，表示

CH的方向與所設單位力方向一致，即水平向右。

靜定結構

課堂任務試計算圖示結構C、D兩點間距離的改變。設梁的彎曲剛度EI為常數(shù)。靜定結構解:在實際狀態(tài)(圖a)中，鏈桿的軸力均為零。

靜定結構由于對稱性，可只計算半個結構的內力。

考慮左半部分，取圖示的研究對象，求得彎矩方程為：M=

（0≤x≤）

靜定結構在C、D兩點加一對反向單位力(圖a)，在虛擬狀態(tài)中，利用對稱性，分別取圖b、c所示的研究對象，求得彎矩方程為：AE段=－x

（0≤x≤a）

EG段

（0≤x≤）(a)GEG靜定結構由虛功原理得=＝－

（←→）所得結果為負，表示實際位移的方向與所設單位力方向相反，